第十二講反比例函數(shù)講義（原卷版）

第三章函數(shù)第十二講第三章函數(shù)第十二講反比例函數(shù)滿分講義知識梳理夯實基礎知識點1：反比例函數(shù)的概念定義：一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成或的形式．自變量x的取值范圍是的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)．知識點2：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸．（2）性質(zhì)：當k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。攌<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大對稱性1.反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，其對稱軸為直線y=x和y=x；2.反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點．反比例函數(shù)比例系數(shù)越大，圖象離原點越遠。注意：（1）畫反比例函數(shù)圖象應多取一些點，描點越多，圖象越準確，連線時，要注意用平滑的曲線連接各點．（2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標軸靠近，但永遠不與坐標軸相交，因為反比例函數(shù)中x≠0且y≠0．（3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當k>0時，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當k>0時，y隨x的增大而減?。瑯?，當k<0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．知識點3：反比例函數(shù)解析式的確定1．待定系數(shù)法確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設的函數(shù)解析式．知識點4：反比例函數(shù)中|k|的幾何意義1．反比例函數(shù)圖象中有關圖形的面積2．涉及三角形的面積型當一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．知識點5：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1．涉及自變量取值范圍型當一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點坐標．針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應的x的范圍.例如，如下圖，當時，x的取值范圍為或；同理，當時，x的取值范圍為或．2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定.①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可能無交點，可能有一個交點，也可能有兩個交點；（2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．知識點6：反比例函數(shù)的實際應用解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．典例解析呈現(xiàn)命題點命題點1反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)關于反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，下列說法正確的是（

）A．圖象經(jīng)過點 B．圖象位于第二、四象限C．當時，y隨x的增大而增大 D．當時，（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）已知點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關系為（）A． B．C． D．（2024上·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期末）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點與），則的值為（

）A． B．4 C． D．8已知反比例函數(shù)，當時，，則m的值是（）A． B．1 C． D．2（2023上·山西晉中·九年級統(tǒng)考期末）若點，在反比例函數(shù)的圖象上，且當時，，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，則m的值為．命題點2反比例函數(shù)解析式的確定（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）若反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點，則k的值是（

）A．2 B． C． D．（無錫中考）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖形有一個交點，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則反比例函數(shù)的表達式為．命題點3反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的頂點A，B在y軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C和的中點E，若，則k的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A在函數(shù)的圖象上，點B在函數(shù)的圖象上，且軸，軸于點C，則四邊形的面積為（

）A．1 B．2 C．3 D．4（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A是反比例函數(shù)的圖象上一點，過點A作軸，垂足為點C，延長至點B，使，點D是y軸上任意一點，連接，，若的面積是6，則．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A、B在x軸上，分別以，為邊，在x軸上方作正方形，．反比例函數(shù)的圖象分別交邊，于點P，Q．作軸于點M，軸于點N．若，Q為的中點，且陰影部分面積等于6，則k的值為．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點在反比例函數(shù)為常數(shù)，，的圖象上，過點作軸的垂線，垂足為，連接．若的面積為，則．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，垂直于x軸，以為對稱軸作的軸對稱圖形，對稱軸與線段相交于點F，點D的對應點B恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，點O、E的對應點分別是點C、A．若點A為的中點，且，則k的值為．命題點4反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，下列結(jié)論正確的是（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線交y軸于點A，交x軸于點B，與雙曲線在一，三象限分別交于C，D兩點，，連接，．(1)求k的值；(2)求的面積．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與雙曲線相交于點，．(1)求雙曲線及直線對應的函數(shù)表達式；(2)將直線向下平移至處，其中點，點在軸上．連接，，求的面積；(3)請直接寫出關于的不等式的解集．命題點5反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點、在函數(shù)的圖象上，分別以、為圓心，為半徑作圓，當與軸相切、與軸相切時，連結(jié)，，則的值為（

）A．3 B． C．4 D．6（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，點恰好落在反比例函數(shù)（）的圖象上，則的值是．（2022年江西省中考數(shù)學真題）已知點A在反比例函數(shù)的圖象上，點B在x軸正半軸上，若為等腰三角形，且腰長為5，則的長為．命題點6反比例函數(shù)的實際應用（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）已知蓄電池兩端電壓為定值，電流與成反比例函數(shù)關系．當時，，則當時，的值為（

）A． B． C． D．數(shù)學是一切學科的基礎，物理研究也離不開數(shù)學知識的支撐．密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的二氧化碳，當容器的體積V（單位：）變化時，氣體的密度（單位：）隨之變化．已知密度與體積V是反比例函數(shù)關系，它的圖像如圖所示，當時，．(1)求密度關于體積的函數(shù)解析式；(2)當時，求的值；(3)若，求二氧化碳密度的變化范圍．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）視力表中蘊含著很多數(shù)學知識，如：每個“E”形圖都是正方形結(jié)構(gòu)，同一行的“E”是全等圖形且對應著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．素材1

國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值n，測得對應行的“E”形圖邊長b（mm），在平面直角坐標系中描點如圖1．探究1

檢測距離為5米時，歸納n與b的關系式，并求視力值1.2所對應行的“E”