考點(diǎn)利用空間向量求解立體幾何中的角數(shù)學(xué)（理）個(gè)黃金考點(diǎn)精析精訓(xùn)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2018屆高考數(shù)學(xué)30黃金考點(diǎn)精析精訓(xùn)考點(diǎn)22利用空間向量求解立體幾何中的角（理）【考點(diǎn)剖析】1.最新考試說(shuō)明:能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。2。命題方向預(yù)測(cè)：空間角的計(jì)算是高考熱點(diǎn)，一般以大題的條件或一小問(wèn)形式呈現(xiàn),考查用向量方法解決立體幾何問(wèn)題，將空間幾何元素之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，并通過(guò)計(jì)算解決立體幾何問(wèn)題．此類問(wèn)題往往屬于“證算并重”題，即第一問(wèn)用幾何法證明平行關(guān)系或垂直關(guān)系，第二問(wèn)則通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量方法進(jìn)一步求角.3.課本結(jié)論總結(jié)：一種方法用空間向量解決幾何問(wèn)題的一般方法步驟是：（1)適當(dāng)?shù)倪x取基底｛a，b，c｝；(2）用a，b，c表示相關(guān)向量;（3）通過(guò)運(yùn)算完成證明或計(jì)算問(wèn)題．兩個(gè)理解（1）共線向量定理還可以有以下幾種形式：①a＝λb?a∥b；②空間任意兩個(gè)向量,共線的充要條件是存在λ，μ∈R使λa＝μb。③若eq\o（OA,\s\up6(→）)，eq\o(OB，\s\up6(→）)不共線，則P，A,B三點(diǎn)共線的充要條件是eq\o(OP,\s\up6（→)）＝λeq\o(OA,\s\up6（→）)＋μeq\o（OB,\s\up6(→））且λ＋μ＝1。(2）對(duì)于共面向量定理和空間向量基本定理可對(duì)比共線向量定理進(jìn)行學(xué)習(xí)理解．空間向量基本定理是適當(dāng)選取基底的依據(jù)，共線向量定理和共面向量定理是證明三點(diǎn)共線、線線平行、四點(diǎn)共面、線面平行的工具，三個(gè)定理保證了由向量作為橋梁由實(shí)數(shù)運(yùn)算方法完成幾何證明問(wèn)題的完美“嫁接”．四種運(yùn)算空間向量的四種運(yùn)算與平面向量的四種運(yùn)算加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積從形式到內(nèi)容完全一致可類比學(xué)習(xí)．學(xué)生要特別注意共面向量的概念．而對(duì)于四種運(yùn)算的運(yùn)算律,要類比實(shí)數(shù)加、減、乘的運(yùn)算律進(jìn)行學(xué)習(xí)．三種成角(1)異面直線所成的角的范圍是eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2）））;(2)直線與平面所成角的范圍是eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(0,\f（π，2））)；(3）二面角的范圍是［0,π]．4。名師二級(jí)結(jié)論：1。夾角計(jì)算公式(1）線線角：直線與直線所成的角θ，如兩直線的方向向量分別為a,b,則SKIPIF1〈0。(2）線面角:直線與平面所成的角θ，如直線的方向向量為a，平面的法向量為n,則SKIPIF1〈0。(3)面面角：兩相交平面所成的角θ，兩平面的法向量分別為n1，n2,則cosθ＝|cos〈n1，n2〉｜.判定二面角的平面角是銳角還是鈍角的情況來(lái)決定cosθ＝|cos〈n1，n2〉|還是cosθ＝－｜c(diǎn)os<n1,n2〉|。2.距離公式（1）點(diǎn)點(diǎn)距:點(diǎn)與點(diǎn)的距離，以這兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量的模;（2）點(diǎn)線距：點(diǎn)M到直線a的距離，如直線的方向向量為a，直線上任一點(diǎn)為N,則點(diǎn)M到直線a的距離d＝｜eq\o(MN，\s\up6(→））|sin〈eq\o（MN，\s\up6(→)），a〉;(3）線線距:兩平行線間的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離；兩異面直線間的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離或者直接求公垂線段的長(zhǎng)度；（4）點(diǎn)面距:點(diǎn)M到平面α的距離：如平面α的法向量為n,平面α內(nèi)任一點(diǎn)為N，則點(diǎn)M到平面α的距離d＝|eq\o(MN，\s\up6(→）)｜|cos〈eq\o(MN，\s\up6(→)），n〉|＝eq\f（|\o（MN,\s\up6（→）)·n|,|n|）;(5）線面距：直線和與它平行的平面間的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離;（6）面面距：兩平行平面間的距離,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.5.課本經(jīng)典習(xí)題：（1）新課標(biāo)人教A版選修2—1第109頁(yè)，例題4如圖3.2-7,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PDSKIPIF1〈0底面ABCD,PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),作EFSKIPIF1<0PB交PB于點(diǎn)F。(1)求證:PA//平面EDB;(2)求證：PBSKIPIF1〈0平面EFD;(3）求二面角C-PB—D的大小.【解析】如圖3.2—8所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)DC=1。（3）解:已知PBSKIPIF1〈0EF,由（2)可知PBSKIPIF1〈0DF，故SKIPIF1〈0EFD是二面角C-PB—D的平面角。設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x,y,z)，則SKIPIF1〈0.因?yàn)镾KIPIF1〈0,所以SKIPIF1〈0,所以（1，1，—1）·（k,k，1-k）=k+k-1+k=3k-1=0，所以SKIPIF1<0,點(diǎn)F的坐標(biāo)為SKIPIF1〈0。又點(diǎn)E的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1〈0,因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0EFD=600，即二面角C—PB—D的大小為600.【經(jīng)典理由】直線與平面平行與垂直的證明，二面角大小的求解是高熱點(diǎn)中的熱點(diǎn)，幾乎每年必考,而此例題很好的展現(xiàn)了，用向量方法證明直線與平面平行與垂直,還給出了用向量方法求二面角的大小。6.考點(diǎn)交匯展示：（1)求空間角與三視圖的交匯三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示。設(shè)，分別為線段,的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且.（1）證明：為線段的中點(diǎn)；（2）求二面角的余弦值?！敬鸢浮浚?）證明詳見解析;(2）?！窘馕觥扛鶕?jù)側(cè)視圖和俯視圖可知，SKIPIF1<0為正三角形，頂點(diǎn)D在底面內(nèi)的射影為BD的中點(diǎn)O,所以SKIPIF1<0兩兩互相垂直,建坐標(biāo)系如圖所示，則SKIPIF1〈0，SKIPIF1<0,設(shè)（1）證明：設(shè)，則，.因?yàn)?，所以點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)。（2）易得平面PMN的法向量為。，設(shè)平面ABC的法向量為,則,所以.（2)求空間角與平行及垂直關(guān)系的交匯【2017天津，理17】如圖,在三棱錐P—ABC中，PA⊥底面ABC，SKIPIF1<0。點(diǎn)D，E,N分別為棱PA，PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.（Ⅰ)求證:MN∥平面BDE；(Ⅱ）求二面角C—EM-N的正弦值；（Ⅲ）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為SKIPIF1〈0,求線段AH的長(zhǎng)?！敬鸢浮浚?）證明見解析（2）SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1〈0試題解析：如圖，以A為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A（0，0，0)，B（2，0，0），C(0，4,0），P（0,0，4），D（0，0，2）,E(0，2，2）,M(0,0,1），N（1，2，0）。(Ⅰ）證明：SKIPIF1〈0=（0，2，0）,SKIPIF1〈0=（2，0,SKIPIF1<0）.設(shè)SKIPIF1〈0，為平面BDE的法向量，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.不妨設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1〈0。又SKIPIF1<0=（1，2,SKIPIF1〈0），可得SKIPIF1〈0。因?yàn)镾KIPIF1<0平面BDE，所以MN//平面BDE.(3)求空間角與面積、體積的交匯如圖，已知四棱臺(tái)SKIPIF1<0上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形，SKIPIF1〈0，且SKIPIF1〈0底面SKIPIF1<0,點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0，BC上.（1）若P是SKIPIF1〈0的中點(diǎn)，證明：SKIPIF1<0;（2)若SKIPIF1〈0平面SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1〈0的余弦值為SKIPIF1〈0，求四面體SKIPIF1〈0的體積.【答案】（1）詳見解析；(2）SKIPIF1〈0.【解析】解法一由題設(shè)知，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0兩兩垂直,以SKIPIF1〈0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，建立如圖b所示的空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1〈0SKIPIF1〈0SKIPIF1<0,而二面角SKIPIF1〈0的余弦值為SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或者SKIPIF1<0（舍去），此時(shí)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，而SKIPIF1〈0，由此得點(diǎn)SKIPIF1〈0，SKIPIF1〈0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1〈0，且平面SKIPIF1〈0的一個(gè)法向量是SKIPIF1〈0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1〈0，即SKIPIF1〈0，亦即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，從而SKIPIF1〈0，于是,將四面體SKIPIF1〈0視為以SKIPIF1<0為底面的三棱錐SKIPIF1<0，則其高SKIPIF1〈0，故四面體SKIPIF1〈0的體積SKIPIF1〈0.解法二（1)如圖c,取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1〈0,SKIPIF1〈0，∵SKIPIF1〈0,SKIPIF1〈0是梯形SKIPIF1<0的兩腰,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1〈0，于是由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，由題設(shè)知,SKIPIF1<0,SKIPIF1〈0，∴SKIPIF1〈0平面SKIPIF1〈0,因此SKIPIF1<0①,∵SKIPIF1〈0SKIPIF1<0SKIPIF1〈0SKIPIF1〈0SKIPIF1〈0，∴SKIPIF1〈0SKIPIF1〈0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,于是SKIPIF1〈0SKIPIF1<0，再由①即知SKIPIF1〈0SKIPIF1<0平面SKIPIF1〈0,又SKIPIF1〈0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）如圖d，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1〈0作SKIPIF1〈0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1〈0,則SKIPIF1〈0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1〈0，∴SKIPIF1〈0平面SKIPIF1〈0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1〈0作SKIPIF1〈0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1〈0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0為二面角SKIPIF1<0的平面角,∴SKIPIF1〈0，即SKIPIF1〈0SKIPIF1〈0，從而SKIPIF1〈0③連結(jié)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1〈0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1〈0是正方形，所以SKIPIF1<0為矩形,故SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1〈0④，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1〈0作SKIPIF1〈0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1〈0，則SKIPIF1〈0為矩形，∴SKIPIF1〈0SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0，因此SKIPIF1〈0，于是SKIPIF1〈0，∴SKIPIF1〈0，再由③④得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1〈0，故四面體SKIPIF1<0的體積SKIPIF1〈0?！究键c(diǎn)分類】熱點(diǎn)1利用空間向量求空間角1?！?017屆浙江省嘉興一中、杭州高級(jí)中學(xué)、寧波效實(shí)中學(xué)等高三下五校聯(lián)考】正方體中，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則與所成角的取值范圍是()A。B。C.D。【答案】D2。如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1〈0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0,SKIPIF1〈0，SKIPIF1<0,SKIPIF1〈0，點(diǎn)SKIPIF1〈0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(Ⅰ）證明：SKIPIF1〈0；(Ⅱ）求直線SKIPIF1〈0與平面SKIPIF1〈0所成角的正弦值；（Ⅲ）若SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上一點(diǎn)，滿足SKIPIF1〈0，求二面角SKIPIF1〈0的余弦值．【答案】（Ⅰ）詳見試題分析；（Ⅱ）直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1〈0所成角的正弦值為SKIPIF1〈0；（Ⅲ）SKIPIF1〈0．【解析】（方法一)依題意，以點(diǎn)SKIPIF1〈0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得SKIPIF1〈0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0．由SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn),得SKIPIF1<0．（Ⅰ）向量SKIPIF1〈0,SKIPIF1〈0，故SKIPIF1〈0．∴SKIPIF1〈0．（Ⅱ）向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0為平面SKIPIF1〈0的法向量,則SKIPIF1〈0即SKIPIF1<0不妨令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1〈0為平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量．于是有SKIPIF1〈0，∴直線SKIPIF1〈0與平面SKIPIF1〈0所成角的正弦值為SKIPIF1〈0．（Ⅲ）向量SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0，SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0．由點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上,設(shè)SKIPIF1〈0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1〈0，得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1〈0,解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1〈0為平面SKIPIF1〈0的法向量，則SKIPIF1<0即SKIPIF1〈0不妨令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1〈0為平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量．取平面SKIPIF1〈0的法向量SKIPIF1〈0，則SKIPIF1〈0．易知，二面角SKIPIF1<0是銳角，∴其余弦值為SKIPIF1〈0．（方法二）(Ⅰ）如圖,取SKIPIF1〈0中點(diǎn)SKIPIF1〈0，連結(jié)SKIPIF1〈0,SKIPIF1〈0．由于SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，故SKIPIF1〈0,且SKIPIF1〈0，又由已知，可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1〈0為平行四邊形,∴SKIPIF1〈0．∵SKIPIF1〈0底面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0，從而SKIPIF1〈0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1〈0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1〈0，又SKIPIF1〈0，∴SKIPIF1<0．（Ⅲ）如圖,在SKIPIF1〈0中，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1〈0作SKIPIF1〈0交SKIPIF1〈0于點(diǎn)SKIPIF1〈0．∵SKIPIF1〈0底面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，從而SKIPIF1〈0．又SKIPIF1<0，得SKIPIF1〈0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1〈0．在底面SKIPIF1<0內(nèi)，可得SKIPIF1〈0,從而SKIPIF1<0．在平面SKIPIF1〈0內(nèi)，作SKIPIF1〈0交SKIPIF1〈0于點(diǎn)SKIPIF1<0,于是SKIPIF1〈0．由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1〈0四點(diǎn)共面．由SKIPIF1〈0，SKIPIF1<0,得SKIPIF1〈0平面SKIPIF1〈0，故SKIPIF1〈0，∴SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角．在SKIPIF1〈0中,SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0，SKIPIF1〈0,由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴二面角SKIPIF1〈0的斜率值為SKIPIF1〈0．【方法規(guī)律】1．利用向量法求異面直線所成的角時(shí)，注意向量的夾角與異面直線所成的角的異同．同時(shí)注意根據(jù)異面直線所成的角的范圍(0，eq\f（π，2)］得出結(jié)論．2．利用向量法求線面角的方法一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角)；二是通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角。3．利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大??；二是通過(guò)平面的法向量來(lái)求：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于〈n1,n2〉(或π－<n1，n2〉）．4．利用空間向量求二面角時(shí),注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角．求解過(guò)程中應(yīng)注意以下幾個(gè)方面:（1）兩平面的法向量的夾角不一定就是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補(bǔ)角為所求；（2)求平面的法向量的方法:①待定系數(shù)法:設(shè)出法向量坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系建立坐標(biāo)的方程解之;②先確定平面的垂線，然后取相關(guān)線段對(duì)應(yīng)的向量,即確定了平面的法向量．當(dāng)平面的垂線較易確定時(shí),?？紤]此方法.5。（1)運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟為:①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；③寫出向量坐標(biāo)；④結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算;⑤轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．（2)求直線與平面所成的角θ，主要通過(guò)直線的方向向量與平面的法向量的夾角α求得，即sinθ＝｜c(diǎn)osα｜.【解題技巧】運(yùn)用空間向量求解空間的角關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系后，空間角轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算．使用空間向量解決立體幾何計(jì)算，直線的標(biāo)志是它的方向向量，平面的標(biāo)志是它的法向量,我們可以借助于直線和平面的標(biāo)志用向量這個(gè)工具解決立體幾何計(jì)算問(wèn)題．利用向量法求解空間角,可以避免利用定義法作角、證角、求角中的“一作、二證、三計(jì)算”的繁瑣過(guò)程，利用法向量求解空間角的關(guān)鍵在于“四破"．第一破“建系關(guān)"，第二破“求坐標(biāo)關(guān)";第三破“求法向量關(guān)"；第四破“應(yīng)用公式關(guān)"，熟記線面成的角與二面角的公式，即可求出空間角．【易錯(cuò)點(diǎn)睛】1.異面直線所成角的范圍；線面角的正弦值是直線的方向向量和平面法向量所成角余弦的絕對(duì)值；兩相交平面所成的角θ，兩平面的法向量分別為n1和n2，則cosθ＝｜c(diǎn)os〈n1，n2〉｜，其特殊情況是兩個(gè)半平面所成的角即二面角，也可以用這個(gè)公式解決，但要判定二面角的平面角是銳角還是鈍角的情況以決定cosθ＝|cos<n1,n2〉|還是cosθ＝－|cos〈n1,n2〉｜.這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)．2。向量的書寫不規(guī)范，字母上方缺少＂→＂．3.作圖馬虎，虛實(shí)線不分,不用直尺作圖．熱點(diǎn)2利用空間向量解決探索與翻折問(wèn)題1.【2017屆浙江省杭州高級(jí)中學(xué)高三2月模擬】在矩形中，，將沿折起，使得點(diǎn)折起至，設(shè)二面角的大小為。（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)；（2）?！窘馕觥吭囶}分析：（1）結(jié)合題意建立空間直角坐標(biāo)系可得的長(zhǎng)是；(2）利用空間直角坐標(biāo)系結(jié)合直線的方向向量和平面的法向量可得與平面所成角的正弦值是.試題解析：（1)在圖1中，過(guò)作的垂線交于，交于，則，從而如圖2,以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，(圖1）(圖2）（2）當(dāng)時(shí)，由余弦定理知又易知平面，故有所以平面故，又求得的法向量又設(shè)與平面成角為，2.【2017屆浙江省嘉興市第一中學(xué)高三適應(yīng)性考試】如圖,在三棱錐中，底面，，，，分別是，的中點(diǎn)，在上，且．（1）求證：平面;（2）在線段上上是否存在點(diǎn),使二面角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析；(2）見解析.【解析】試題分析：第（1）問(wèn)證明

平面，基本思路是證明平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，注意合理利用題設(shè)條件給出的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系；第（2)問(wèn)應(yīng)抓住兩點(diǎn)找到問(wèn)題的求解方向：一是點(diǎn)

的預(yù)設(shè)位置，二是二面角

的位置．涉及空間二面角的問(wèn)題，可以從兩個(gè)不同的方法上得到求解，即常規(guī)法和向量法試題解析:(1)由,，是的中點(diǎn)，得．因?yàn)榈酌?，所以．在中?所以．因此,又因?yàn)椋?則，即．因?yàn)榈酌?，所以，?所以底面，則．又，所以平面．由，得,于是有，．在中,,即，解得．于是滿足條件的點(diǎn)存在,且．（2）方法二：假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在,并設(shè)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，,為，，軸建立空間直線坐標(biāo)系，則，,，．由得．所以，，．設(shè)平面的法向量為,則,即，取，得，，即．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，，即．由二面角的大小為,得，化簡(jiǎn)得，又，求得．于是滿足條件的點(diǎn)存在，且．【方法規(guī)律】1.解決探索性問(wèn)題，都是先假設(shè)存在，然后根據(jù)已知條件和結(jié)論逐步進(jìn)行計(jì)算和推導(dǎo)，若推出矛盾則不存在，這是解決探索性問(wèn)題的常用方法．2.解決翻折問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清翻折前后哪些量變了,哪些量沒(méi)有變，特別是沒(méi)有變的量是我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【解題技巧】探索性問(wèn)題命題背景寬，涉及到的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性較強(qiáng)，通常是尋找使結(jié)論成立的條件或探索使結(jié)論成立的點(diǎn)是否存在等問(wèn)題，全面考查考生對(duì)立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，考生的空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力．空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問(wèn)題,它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷．解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解,是否有規(guī)定范圍的解”等,因此使用問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題．【易錯(cuò)點(diǎn)睛】解決與平行、垂直有關(guān)的存在性問(wèn)題的基本策略是:通常假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立），然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若能導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說(shuō)明假設(shè)成立，即存在,并可進(jìn)一步證明；若導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)果,則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在．如本題把直二面角轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)平面的法向量垂直，利用兩法向量數(shù)量積為零，得參數(shù)p的方程．即把與兩平面垂直有關(guān)的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有無(wú)解的問(wèn)題．與“兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角”有關(guān)的存在性問(wèn)題，常利用空間向量法解決，可以避開抽象、復(fù)雜地尋找角的過(guò)程，只要能夠準(zhǔn)確理解和熟練應(yīng)用夾角公式，就可以把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解"等．事實(shí)說(shuō)明，空間向量法是證明立體幾何中存在性問(wèn)題的強(qiáng)有力的方法．【熱點(diǎn)預(yù)測(cè)】1?！?016高考新課標(biāo)1卷】平面過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，//平面CB1D1,平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，則m、n所成角的正弦值為（A)(B）(C）(D）【答案】A2。【2017學(xué)山東省煙臺(tái)市期末】在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面,AB=4,AA1A。-26B。26C.【答案】D【解析】以C為原點(diǎn)，CA為軸，在平面ABC中過(guò)作AC的垂線為軸，CC1為軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面,ABA1E=(-2,33,-3),AF=(-4,0,4),

設(shè)異面直線A1E與AF3。【2018屆河北省定州中學(xué)高三上第二次月考】已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角線B【答案】454。【2018屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期考試】如圖，棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)在平面內(nèi)，三條棱,,都在平面的同側(cè).若頂點(diǎn)，到平面的距離分別為，，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為________【答案】【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,設(shè)

連結(jié)則四面體為直角四面體;

作平面的法線作于于于

連結(jié)，令由等體積可得令可得設(shè)，解得;

則的法向量為由得，∴，平面的法向量為，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為5.【2018屆貴州省黔東南州高三上第一次聯(lián)考】如圖所示，在四棱錐中，四邊形為菱形，為正三角形，且分別為的中點(diǎn),平面，平面．(1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值．【答案】(1）見解析；（2）.試題解析：（1）證明：因?yàn)槠矫?平面，所以，又平面平面，所以平面，由四邊形菱形,得,所以平面．（2)解:以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2，則,，則點(diǎn),，設(shè)平面的法向量為,則由，解得，不妨令，得;又，所以與平面所成角的正弦值為．6?！?017課標(biāo)3，理19】如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.【答案】(1）證明略;（2)SKIPIF1<0?！窘馕觥浚?）由題設(shè)及（1）知，SKIPIF1<0兩兩垂直,以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0的方向?yàn)镾KIPIF1〈0軸正方向,SKIPIF1〈0為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0由題設(shè)知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的SKIPIF1〈0,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的SKIPIF1〈0，即E為DB的中點(diǎn)，得SKIPIF1<0。故7。【2016高考新課標(biāo)1卷】如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形,AF=2FD，，且二面角D-AF—E與二面角C—BE-F都是．（=1\*ROMANI）證明：平面ABEF平面EFDC;（=2\*ROMANII）求二面角E—BC—A的余弦值．【答案】（=1\＊ROMANI）見解析(=2\*ROMANII）【解析】（I）由已知可得,，所以平面．又平面，故平面平面．所以,,,．設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可?。O(shè)是平面的法向量，則，同理可取．則．故二面角的余弦值為．8.【2017屆新疆兵團(tuán)農(nóng)二師華山中學(xué)高三上學(xué)前考】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分別為AB、PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；（Ⅱ)若PA=2，試問(wèn)在線段EF上是否存在點(diǎn)Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)Q的位置;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(I)證明見解析；(II)滿足條件的存在，是中點(diǎn).（Ⅱ）結(jié)論:滿足條件的存在，是中點(diǎn)．理由如下：如圖：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，由題易知平面的法向量為，假設(shè)存在滿足條件：設(shè)，，,，，設(shè)平面的法向量為，由，可得，,由已知：，解得：，所以滿足條件的存在，是中點(diǎn)．9.如圖，在直角梯形中，，，，,是的中點(diǎn),是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置,如圖．(I)證明：平面;（II）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（I）證明見解析;（II）．【解析】（I）在圖1中,因?yàn)?,是的中點(diǎn)，，所以即在圖2中,，從而平面又，所以平面.(II）由已知，平面平面，又由(I）知，,所以為二面角的平面角,所以.如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?所以得，.設(shè)平面的法向量，平面的法向量,平面與平面夾角為,則，得，取，,得，取，從而，即平面與平面夾角的余弦值為.1