競賽題 （行程方程題）（專項訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年六年級下冊數(shù)學(xué)通用版

2023-2024年度第二學(xué)期六年數(shù)學(xué)競賽題（行程方程題含詳解）一、選擇題1.★★★甲、乙兩地相距千米，一輛汽車從甲地到乙地，前一半時間用千米/時的速度行駛，后一半時間用千米/時的速度行駛，又已知，那么，這輛汽車行駛前一半路程所用時間與后一半路程所用時間的比是（

）．A. B. C. D.2.★★★某學(xué)校組織一次遠(yuǎn)足活動，計劃點分從甲地出發(fā)，點分到達(dá)乙地，但出發(fā)晚了分鐘，卻早到達(dá)了分鐘．甲、乙兩地之間的丙地恰好是按照計劃時間到達(dá)的，那么到達(dá)丙地的時間是（

）．A.點分 B.點分 C.點 D.點分3.★★★已知兩地相距米。甲、乙兩人同時分別從兩地出發(fā)，相向而行，在距地米處相遇；如果乙每秒多行米，則兩人相遇處距地米。那么乙原來的速度是每秒（）米。A. B. C. D.4.★★★★、兩地相距千米．甲、丙兩人從地向地行走，乙從地向地行走．甲每小時行千米，乙每小時行千米，丙每小時行千米．三人同時出發(fā)，問幾小時后甲剛好走到乙、丙兩人距離的中點？要求寫出關(guān)鍵的解題推理過程．A.小時 B.小時 C.小時 D.小時5.★★★★一段路程，甲小時走完，乙小時走完，甲、乙的速度比是（

）．A. B. C. D.無法確定二、填空題1.★小明從甲地到乙地，去時每時走千米，回來時每時走千米，來回共用了小時．那么小明去時用了

小時．2.★★小明從甲地到乙地，去時每小時走千米，回來時每小時走千米，來回共用了小時，則小明去時用了

小時．3.★甲、乙、丙三個人進行米賽跑，當(dāng)甲到終點時，乙離終點還有米，丙離終點還有米．如果甲、乙、丙三人賽跑速度不變，那么，當(dāng)乙到終點時，丙離終點還有

米．4.★獵豹奔跑的時速能達(dá)到，比貓最快時速的倍還多．貓的最快時速是

．5.★★奧斑馬、小泉、歐歐三人進行米賽跑，當(dāng)奧斑馬到終點時，小泉離終點還有米，歐歐離終點還有米，如果奧斑馬、小泉、歐歐賽跑的速度都不變，那么當(dāng)小泉到達(dá)終點時，歐歐離終點還有

米．6.★★★甲、乙、丙三人同時從地到地，且乙的速度最快，丙的速度最慢．當(dāng)甲跑到中點時，甲離乙還有米的距離，丙離甲還有米；當(dāng)乙跑到地的時候，丙剛超過中點米．那么、距離

米．7.★★★甲、乙兩人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點同時出發(fā)，背向而行．現(xiàn)在已知甲走一圈的時間是分鐘，如果在出發(fā)后分鐘，甲、乙兩人相遇，那么乙走一圈的時間是

分鐘．8.★★★★東、西兩地相距千米，小明從東向西走，每分鐘走米；小莉從西向東走，小輝騎車從東向西走，每分鐘米．三人同時動身，途中小輝遇見小莉即折回向東騎，遇見了小明又折回向西騎，再遇見小莉又折回向東騎，這樣往返．如果小輝第二次返回遇見小明時，小明與小莉相距恰好千米，那么小莉每分鐘走

米．9.★★小軍了解到：貨車和客車從，兩地同時相向而行，貨車每小時行千米，客車每小時行千米，問幾小時后兩車在離中點千米處相遇？（解：設(shè)小時后兩車在離中點千米處相遇．）下面算式或方程中正確的是

．①；②；③；④；⑤；⑥．10.★★★★★甲、乙兩車分別從、兩地同時出發(fā)，相向而行．出發(fā)時，甲、乙兩車的速度比是，相遇后，兩車速度都減少．又過了分鐘，甲車遇到了從地出發(fā)開往地的丙車．相遇后，甲、丙兩車的速度都增加，這樣，當(dāng)甲車到達(dá)地時，乙，丙兩車同時到達(dá)地．那么丙車一共行駛了

分鐘．三、應(yīng)用題1.★★一輛貨車從甲地開往乙地，前小時行了千米，照這樣的速度，到達(dá)乙地還需要小時，甲乙兩地相距多遠(yuǎn)？（用比例解答）2.★★★客車和貨車同時從甲、乙兩地的中點向相反方向行駛，小時后，客車到達(dá)甲地，貨車輛離乙地還有千米，已知貨車與客車的速度比是，求甲、乙兩地相距多少千米？3.★某周末小明從家里到西灣公園去游玩，已知他騎自行車去西灣公園，騎自行車勻速行駛的速度為每小時千米，回家時選擇乘坐公交車，公交車勻速行駛的速度為每小時千米，結(jié)果騎自行車比公交車多用小時，問他家到西灣公園相距多少千米?4.★一條路全長千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的比是，某人走各段路程所用的時間之比是，已知他走平路的速度是千米每小時，求此人走完全程用了多長時間．5.★★某品牌自行車輪胎，安裝在后輪上，只能行駛千米就要報廢，安裝在前輪上，則行駛千米才報廢，為使一對輪胎能在行駛盡可能多的路程后才報廢，在自行車行駛一定路程后，就將前、后輪進行調(diào)整，這樣安裝在自行車上的一對輪胎最多可以行駛多少千米？6.★★小明去游玩，在李村碼頭租了一條小船逆流而上，行進速度約為每小時千米，到王村碼頭后沿原路返回，速度增加了，回到李村碼頭比去時少用了分鐘，求兩村碼頭之間的這段路程．7.★★★甲、乙分別從、兩地同時出發(fā)，相向而行，出發(fā)時他們的速度比是，他們第一次相遇后，甲的速度提高了，乙的速度提高了，這樣，當(dāng)甲到達(dá)地時，乙離地還有千米，那么、兩地的距離是多少千米？8.★★★★如圖①，線段厘米，點沿線段自點向點以厘米/秒的速度運動，同時點沿線段自點向點以厘米/秒的速度運動．(1)求幾秒鐘后，、兩點相遇？(2)如圖②，，，現(xiàn)點繞著點以的速度順時針旋轉(zhuǎn)一周后停止，同時點沿直線自點向點運動，假若點、兩點也能相遇，求點運動的速度．9.★（行程問題）快、慢兩車分別從相距千米路程的甲、乙兩地同時出發(fā)，勻速行駛，先相向而行，快車到達(dá)乙地后，停留小時，然后按原路原速返回，快車比慢車晚小時到達(dá)甲地，快、慢兩車距各自出發(fā)地的路程（千米）與出發(fā)后所用的時間（小時）的關(guān)系如圖所示．請結(jié)合圖象信息解答下列問題：(1)快，慢兩車的速度各是多少？(2)出發(fā)多少小時后，快，慢兩車距各自出發(fā)地的路程相等？(3)求出在慢車到達(dá)甲地前，快慢兩車相距的路程為千米的時間．10.★★★★★如圖，在一個正方形環(huán)形跑道上，甲乙丙三人同時從點出發(fā)，逆時針環(huán)行．已知，甲、乙、丙跑一圈的時間分別為、、分鐘．(1)出發(fā)后多少分鐘后，甲乙丙第一次同時經(jīng)過點？(2)出發(fā)后多少分鐘（分鐘數(shù)為整數(shù)）后，以甲乙丙所在的位置為頂點所組成三角形的面積第一次恰好為正方形面積的一半？11.★★★一輛汽車從地到地，去時每小時行駛千米，回來時每小時行駛千米，往返一次共用了小時，問，兩地的距離是多少？12.★★客車和貨車同時從甲、乙兩地的中點處向相反方向行駛，時后，客車到達(dá)甲地，貨車離乙地還有千米．已知貨車和客車的速度比是．甲、乙兩地相距多少千米？13.★★★甲、乙兩地公路長千米，一輛汽車從甲地到乙地，半個小時后，又有一輛同樣速度的汽車從甲地開往乙地．王叔叔從乙地騎摩托車出發(fā)去甲地，在差分不到點時，他遇到了第一輛汽車，遇到第二輛汽車，王叔叔騎摩托車速度是多少？14.★★一家人準(zhǔn)備去海南過年，一行共人，分別乘兩輛出租車趕往火車站，其中一輛小汽車在距離火車站千米的地方出了故障，此時離火車停止檢票時間還有分鐘，因處于交通高峰期，這時唯一可以利用的交通工具只有一輛小汽車，連司機在內(nèi)限乘人．這輛小汽車的平均速度為千米時，人行走的速度為千米時，這人能趕上火車嗎?若能，請說明理由．請你設(shè)計一個方案（上、下車的時間不計），使人能在分鐘內(nèi)全部到達(dá)車站，并用方程的有關(guān)知識說明理由．(如果方案能使人在規(guī)定時間內(nèi)全部到達(dá)車站，時間少于分鐘可得分，時間在分鐘以內(nèi)的可得分)15.★★★★肥羅從點出發(fā)，按“”的順序在五邊形跑道上練習(xí)跑步．與此同時，小倫從點出發(fā)，按“”的順序在正方形跑道上練習(xí)跑步．已知為米，為中點．又知肥羅與小倫的速度比為，且兩人第一次走到點時恰好相遇．(1)求的長度．(2)若兩人保持速度、運動路線不變，將在點第二次相遇．求的長度．(3)實際上，兩人在相遇后，肥羅提速繼續(xù)前行，而小倫提速原路返回，結(jié)果兩人在點第二次相遇．求三角形的面積．1、【答案】A【解析】，時間相等時，路程比速度比．，以速度走的距離為：（千米）．以速度走的距離：（千米）．（千米），一半路程為千米．，前一半路程都以速度走．．后一半：（千米）．千米以速度走，千米以速度走．，，．故選．2、【答案】B【解析】根據(jù)題意，實際比計劃全程省了（分），將全程平均分成等分，則在每一等分中實際比計劃省分鐘．所以當(dāng)走完等分時，到達(dá)地點的實際時間和計劃時間相同，故丙地在全程的處．計劃走全程用小時即分鐘，則走到丙地用（分）．點分出發(fā)走分鐘是點分．3、【答案】D【解析】本題是典型的利用正反比例解行程的問題。首先根據(jù)不變量判斷是否成正反比例。兩次相遇過程中兩人的時間相同，路程比等于速度比。兩次相遇過程中甲的速度沒變，通分比較乙的，即可解決問題。解：第一次相遇過程中，甲、乙兩人的路程之比是，時間相同，路程比就是速度比。第二次相遇過程中，甲、乙兩人的路程之比是，速度比也是。在兩次相遇問題中，甲的速度是保持不變的。通分得，第一次速度比為；第二次速度比為。速度從份增加到份，速度增加米/秒，即。乙原來的速度是（米/秒）（米/秒）。故選：D4、【答案】C【解析】假設(shè)經(jīng)過小時．甲丙距離：，甲乙距離：，由題列方程：，解得．5、【答案】B【解析】甲每小時走這段路的，乙每小時走這段路的，甲、乙的速度比為．6、【答案】【解析】設(shè)去的時間為小時，則有：，解得．故答案為．7、【答案】【解析】一定，（小時）．8、【答案】【解析】乙和丙的速度的比是．設(shè)當(dāng)乙到終點時，丙還有米，則，即，解得，即當(dāng)乙到終點時，丙離終點還有米．9、【答案】【解析】設(shè)貓的最快時速是．10、【答案】【解析】三者路程比：，米，米11、【答案】【解析】設(shè)、的距離為米，那么當(dāng)甲達(dá)到中點時，乙走了米，丙走了米；當(dāng)乙到達(dá)地時，乙走了米，丙走了米．因此，即，，解得，、的距離為米．12、【答案】【解析】因為甲走一圈的時間是分鐘，走了分鐘后相遇，說明同樣的一段路程，甲要走（分鐘），乙要走分鐘，所以乙走一圈的時間為（分鐘）．13、【答案】【解析】小輝小明小莉三人速度不變，三人在做了圖上運動后，又在圖中？一段路程上又做了同樣的運動，所以兩次的全程與小明小莉距離比，即是一樣的，所以設(shè)？為，則有，．小輝小明速度比為，所以易知小輝從開始前進份與小莉相遇，可知小明小莉份時間走了；返回份與小明相遇，同時離小莉，可知份時間相差，綜上，份時間中，，；可得，即小莉速度．14、【答案】②④【解析】（）設(shè)小時后兩車在離中點千米處相遇，根據(jù)：客車的速度兩車相遇用的時間貨車的速度兩車相遇用的時間兩車行駛的路程之差，列出方程，求出幾小時后兩車在離中點千米處相遇即可．（）首先根據(jù)題意，可得兩車相遇時行駛的路程之差是千米，然后根據(jù)路程速度時間，用兩車相遇時行駛的路程之差除以兩車的速度之差，求出幾小時后兩車在離中點千米處相遇即可．（）設(shè)小時后兩車在離中點千米處相遇，則．答：小時后兩車在離中點千米處相遇．（）（小時）．答：小時后兩車在離中點千米處相遇．所以正確的算式或方程共有個：（）．（）．15、【答案】【解析】甲、乙兩車在點相遇，那么因為甲、乙兩車的速度比是，所以．相遇后兩車速度都減少，所以速度比不變，那么，這樣可得．當(dāng)甲、丙相遇后，，所以．因為，所以通過化連比知為的中點．設(shè)為份，可得份．份，份，這樣，可得（分鐘）．又，所以（分鐘），所以丙一共用了分鐘．16、【答案】千米．【解析】方法一：因為貨車速度不變，路程之比等于時間之比，所以，甲、乙兩地相距：（千米）．答：甲、乙兩地相距千米．方法二：設(shè)甲、乙兩地相距千米，依題意，得：，解得：．答：甲、乙兩地相距千米．17、【答案】千米．【解析】方法一：速度比是，則路程比是，對應(yīng)（份），每份是，全長是．方法二：貨車的速度為：（千米/小時）；客車的速度為：（千米/小時）；甲、乙兩地相距：（千米）；答：甲、乙兩地相距千米．故答案為：甲、乙兩地相距千米．18、【答案】千米．【解析】設(shè)公交車回家用小時，自行車用，．19、【答案】小時．【解析】根據(jù)題意，平路路程為（千米），那么走平路用的時間為（小時），所以走完全程所用的時間為（小時）．故答案為：小時．20、【答案】千米．【解析】把每個車輪可以行駛的路程看做“”，那么前輪每行千米就使用了，后輪每行千米就使用了，又由于可以在適當(dāng)時間交換前后輪，所以同時報廢時行程最遠(yuǎn)是：（千米）．21、【答案】千米．【解析】逆流而上時速度為千米/時，原路返回時速度增加了，即返回時速度為（千米/時），設(shè)去時所用時間為小時，回到李村碼頭比去時少用了分鐘，所以返回時所用時間為小時．列式為：，解得，所以兩村碼頭之間的這段路程為（千米）．答：兩村碼頭之間的這段路程為千米．22、【答案】千米【解析】方法一：解：相遇后，甲、乙兩人的速度比是，相遇時，甲已經(jīng)行了全程的，乙已經(jīng)行了全程的，相遇后，甲又行駛了全程的，則乙又行駛了全程的，所以乙總共行駛了全程的，、兩地的距離是（千米）．答：、兩地的距離是千米．方法二：首先明白，相同時間內(nèi)，速度比和路程比相等，所以第一次相遇路程比為，假設(shè)全程千米，那么剛開始甲乙分別走了千米和千米，而后速度增加后，兩人的速度比變?yōu)?，那么相同時間走得路程比變?yōu)椋髞砑鬃咄晔Ｏ碌那讜r，乙會走千米，此時距離地還有千米，，解得，所以距離千米．23、【答案】(1)秒(2)厘米/秒或厘米/秒【解析】(1)設(shè)秒后，、兩點相遇．，解得：．秒后，、兩點相遇．(2)分兩種情況．第一種：運動到點與相遇，點運動到點需要的時間為秒，所以點運動的速度為（厘米/秒）；第二種：運動到點與相遇，點運動到點需要的時間為秒，所以點運動的速度為（厘米/秒）．點運動的速度為厘米/秒或厘米/秒．24、【答案】(1)快車的速度是千米/時，慢車的速度是千米/時．(2)出發(fā)小時．(3)出發(fā)小時或小時．【解析】(1)（千米/時），（小時），（千米/時），答：快車的速度是千米/時，慢車的速度是千米/時．(2)第小時，慢車距離出發(fā)點：（千米），快車距離出發(fā)點：千米．設(shè)從第小時開始，再過小時兩車距出發(fā)點距離相等．，，，，（小時）．答：出發(fā)小時后，兩車距各自出發(fā)地距離相等．(3)共有三種情況：①兩車相遇前相距千米．（小時），②兩車相遇后相距千米，（小時），③快車從乙地返回相距千米，（小時），（小時）慢車剛好到達(dá)甲地，不符合題意，答：出發(fā)小時或小時后兩車相距千米．25、【答案】(1)．(2)．【解析】(1)分鐘．(2)引理：長方形的內(nèi)接三角形面積不超過此長方形面積的一半，等號成立的條件是三角形某兩個頂點恰在長方形的兩個相鄰頂點處，第三個頂點在長方形的對邊上．證明如下：①若此三角形只有個頂點在長方形頂點上，適當(dāng)割補圖形，能證明面積必然小于一半；②若此三角形有某兩點在同一條邊上，易見面積不超過一半，且等號成立條件恰如上述條件：③若此三角形的個頂點分屬長方形的三條邊，則可轉(zhuǎn)化成情形①，面積一定小于一半；④若此三角形某有兩個頂點恰在長方形的兩個對頂點上，而此三角形的第個頂點不在長方形頂點處，也易見面積小于一半；⑤若此三角形某有兩個頂點恰在長方形的兩個相鄰頂點處，則第個頂點若不在對邊上，則面積小于一半；若在對邊上（含頂點處）則面積等于一半；綜合以上幾種情況，引理得證．下面求解原題．根據(jù)引理的等號成立條件，可知甲、乙、丙必須有某兩人站在相鄰的頂點處，第三人在對邊上時，才能滿足“三角形面積恰為正方形一半”這個條件．甲、乙、丙的速度比為，下面以甲乙、乙丙、甲丙站在相鄰頂點的時刻來分類討論：尋找甲乙站在相鄰頂點處的時刻：由于甲乙速度比為，故甲跑個邊長時，乙必然跑了個邊長，兩人之間的路程差距是個邊長，但，故知甲站在頂點處時，乙要么站在頂點處，要么和甲站在同一位置，故知不可能有甲乙站在相鄰頂點處的時刻．尋找乙丙站在相鄰頂點處的時刻：由于乙丙速度比為，故乙跑個邊長時，丙必然跑了個邊長，兩人之間的路程差距是個邊長，解同余方程，得，，，當(dāng)乙跑個邊長在點，丙跑個邊長在點時，甲跑了個邊長在上，不符引理要求；當(dāng)乙跑個邊長在點，丙跑個邊長在點時，甲跑了個邊長在點上，不符引理要求；當(dāng)乙跑個邊長在點，丙跑個邊長在點時，甲跑了個邊長在上，符合引理要求，用時（分鐘）．尋找甲丙站在相鄰頂點處的時刻：由于甲丙速度比為，故甲跑個邊長時，丙必然跑了個邊長，兩人之間的路程差距是個邊長，解同余方程，得，，，當(dāng)甲跑個邊長在點，丙跑個邊長在點時，乙跑了個邊長在上，不符引理要求；當(dāng)甲跑個邊長在點，丙跑個邊長在點時，乙跑了個邊長在上，符合引理要求，用時（分鐘）．綜上，由于，故第一次符合條件的時刻是在分鐘之后．26、【答案】．【解析】一定，（），、兩地距離：（）．27、【答案】（千米）（千米）答：甲、乙兩地相距千米．【解析】時間相同，貨車和客車的速度比是，說明貨車和客車的路程比是．28、【答案】．【解析】假設(shè)從甲地出發(fā)的車車速為，摩托車車速為，，①，，②，①②，所以，分鐘小時，分鐘小時，將代入①，，，．29、【答案