蘇教版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2講《常用邏輯用語(yǔ)》

蘇教版（2019）高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2講《常用邏輯

用語(yǔ)》（解析版）

一、【考情分析】（新高考1卷）

年份考點(diǎn)題號(hào)題型分值難度

2021未考查

2022未考查

充分、必要條件的

20237單選題5★★★

判定

二、【知識(shí)梳理】

概念能夠判斷真假的陳述句

即題

形式"若P，則q",其中P叫條件，q叫結(jié)論

若p=q則p是q的充分條件，q是p的必要條件

充要若p=q且q*p則p是q的充分不必要條件

條件若p?q且q=p則夕是9的必要不充分條件

概念若p=q則。是q的充要條件

若paq且q?p則P是g的既不充分也不必要條件

常

若命題p對(duì)應(yīng)集合/，命題q對(duì)應(yīng)集合8廁等價(jià)于力18.poq

用充要

等價(jià)于4=8

邏條件

若AjB則A是B的充分條件

輯與集

若，4B則A是B的充分不必要條件

用合的

若A=B則A是B的充要條件

語(yǔ)關(guān)系

若力uB且則A是B的既不充分也不必要條件

全稱量詞V,含全稱量詞的命題叫全稱命題，其否定為特稱命題

量詞

存在量詞3,含存在量詞的命題叫特稱命題，其否定為全稱命題

命題名稱符號(hào)表示命題的否定

全稱量詞命題▼x￡M,/XM

存在量詞命題3xE：M,▼xGM,->p(x)

三、【真題再現(xiàn)】

1.（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）若切片0,則“x+y=0"是"』+*=-2”的（）

xy

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】解法一：

因?yàn)閭€(gè)*0,且±+[=-2,

yx

所以/+/=—2孫，B[Jx2+y2+2xy=0,即（x+y『=0,所以x+y=0.

所以"x+y=0"是"色+匕=-2"的充要條件.

yx

解法二：

充分性：因?yàn)閷O40,且x+y=0,所以x=-y,

所以，2L=N+L-i=_2,

yXy-y

所以充分性成立；

必要性：因?yàn)閷OHO,K-+-=-2,

yx

所以/+_/=-2盯，即/+?2+2?=0,即（x+y『=0,所以x+y=0.

所以必要性成立.

所以"x+y=0"是"：+?=-2，，的充要條件.

解法三：

充分性：因?yàn)樘?hào)*0,且x+y=0,

所以xIy='+V=/++2邛_2jy_（X+y）--2xy__2xy,

yxxyxyxyxy

所以充分性成立；

必要性：因?yàn)閷O工0,且±+±=-2,

yx

所以二+2=/+/=x、/+2xy-2孫=（x+y）22孫=（x+丁、-、

yxxyxyxyxy

所以9立=0,所以（x+y）2=0,所以x+y=0,

xy

所以必要性成立.

所以"x+y=0"是"：+彳=-2，，的充要條件.

故選：C

2.（2023?天津）"。2=/>2”是“。2+/=2向，的（）

A.充分不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】a2=h2,即伍+方）（。-/0=0,解得。=-6或。=人，

a1+h'=lab>即（“—b）2=0，解得a=b,

故"a2=h2”不能推出“a2+b2=lab"，充分性不成立，

ua2+b2=lab”能推出aa2=b2”,必要性成立,

故"a2=從”是ua2+b2=2ab”的必要不充分條件.

故選：B.

3.（2022?天津）“x為整數(shù)”是“2x+l為整數(shù)”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】x為整數(shù)時(shí)，2x+l也是整數(shù)，充分性成立；

2x+l為整數(shù)時(shí)，x不一定是整數(shù)，如工=工時(shí)，所以必要性不成立，是充分不必要條件.

2

故選：A.

4.（2022?浙江）設(shè)工￡火，則"sinx=l”是“cosx=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

［解析］sin2x+cos2x=l,

Q）當(dāng)sinx=l時(shí)，則cosx=0,.,.充分性成立，

②當(dāng)cosx=0時(shí)，則sinx=±1,.?.必要性不成立，

sinx=l是cosx=0的充分不必要條件，

故選：A.

5.（2022?北京）設(shè)｛《,｝是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則”｛《,｝為遞增數(shù)列”是“存在正

整數(shù)N。，當(dāng)"〉N0時(shí)，《,>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】c

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛%｝是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，當(dāng)｛〃,,｝為遞增數(shù)列時(shí)，公差d>0,

令％=q+（〃-l）d>0,解得”>1號(hào)，□-為表示取整函數(shù)，

所以存在正整數(shù)N0=l+[1-知，”'|〃>乂時(shí)，凡>0,充分性成立；

當(dāng)〃>/時(shí)，an>0,an_t<0,則1-a“_1>0,必要性成立；

是充分必要條件.

故選：C.

6.（2021?天津）已知aeR,則“a>6”是“/>36”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】①由。>6,得/>36,所以“。>6”是“/>36”的充分條件，

②由。2>36,得a>6或〃<-6,所以“。>6”是“。2>36”的不必要性條件，

故a>6是/>36的充分不必要條件，

故選：A.

1.（2021?乙卷（理））已知命題sinx<l；命題g:VxeR,冽.」，則下列命題

中為真命題的是（）

A.pr\qB.—>pAqC.p八一>qD.—>（pvq）

【答案】A

【解析】對(duì)于命題p：e7?,sinx<1,

當(dāng)x=0時(shí)，sinx=0<1,故命題p為真命題，-i0為假命題；

對(duì)于命題/...1,

因?yàn)橛趾瘮?shù)y=e'為單調(diào)遞增函數(shù)，故泌...e°=l,

故命題q為真命題，「夕為假命題，

所以為真命題，力人q為假命題，PA-1夕為假命題，r（pvq）為假命題，

故選：A-

四、【考點(diǎn)精講】

考點(diǎn)1全稱量詞命題與存在量詞命題

【例題1T】（2021年廣東）已知命題p：fxodR,內(nèi)一刀0—1或”，則「。為（）

A.BxoGR,xo—1>OB.3x（）￡R,e5*-xo—1>0

C.Vx￡R,et_x_1>0D.e^—x—1>0

【答案】c

【解析】根據(jù)全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，可得㈱P為“WxGR,e'-x-l>0'\

故選C.

【例題1-2】已知命題p：2x，若「〃為真命題，則x的取值范圍是

-^->0/

x-1

【錯(cuò)解】為真命題,則上一<0,所以O(shè)<X<1.【錯(cuò)因分析】忽略X—1=0的情況.

%-1

【正解】（0,1］【糾錯(cuò)筆記】「"為真命題，則q<0或x—1=0.

【變式17］（2021?四川瀘州市?瀘縣五中高三一模）已知命題p:VxNO,e'Nl或

sinxW1,則?為（）

A.3x<0.0*<1且5出》>1B.玉<0,/21或5由工41

C.3x>0.0*<1或$111》>1D.3x20,9*<1且5皿工>1

【答案】D

【解析】命題p：Wx20,9*21或$而》<1,為全稱命題，則F7為：3x>0,ex<in.

sinx>1,故選：D.

【變式1-2］（2021?陜西西安市?西安中學(xué)高三月考）命題'Txf（1,+8），2V?-

l=k”的否定是（）

A.3%建（1,+8）,2%-1—XoB.3（1,+8）,2X0-

C.Vxd（1,+8）,2s-l^xD.W脛（1,+8）,2X-l=x

【答案】C

【解析】命題“玉。6（1,+00）,2%-1=*”，它的否定是“\/xe（l,+8）,2、-lwx2”.

故選：C.

考點(diǎn)2命題真假的判定

【例題27】（2021?全國(guó)高三）下列命題為真命題的是（）

A.VxeR,x2-|x|+l<0B.VxeR,-l<-^―<1

cosx

2

C.3x0eR,（lnx0）<0D.3x0GR,sinx0=3

【答案】C

ia

【解析】對(duì)于月：因?yàn)?-|劉+1=（|刈-5）2+；>0恒成立，所以X/》￡R,X2_|X|+1WO是假

命題；

jr11

對(duì)于8：當(dāng)X=一時(shí)，——=2,所以VXGRLIS——41是假命題；

3cosxcosx

對(duì)于G當(dāng)/=1時(shí)，lnx0=0,所以Hr。wR,（lnxo）240是真命題；

對(duì)于〃：因?yàn)椤猯?sinx<l,所以去°￡R,sinx°=3是假命題；故選：C.

【例題2-2】（多選）（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）下列命題中正確的是（）

A.命題〃VxOR.sinx<1〃的否定是“三萬(wàn)￡兄sinx>l〃

B.“@〉1"是,<1”的充分不必要條件

a

C.在中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若/+/乂2,則為銳角三角

形

D.在△/鴕中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sin24=sin26,則4=8

【答案】AB

【解析】對(duì)于A,符合命題的否定的定義，A正確；

對(duì)于B,“a>l”可以推導(dǎo)出L<1,但是包括。<0,所以，上<1無(wú)法得出a>l,所以,

aaa

B正確；

對(duì)于C,在△｛優(yōu)中，內(nèi)角H,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若/+/>02，只能說(shuō)明NC為

7T

銳角，無(wú)法說(shuō)明△?）比為銳角三角形，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,sin2J=sin25,當(dāng)4+5=一時(shí)，

2

同樣成立，D錯(cuò)；故選：AB

【變式2-1］（多選）（2021?山東高三專題練習(xí)）下列命題為真命題的是（）?

A.若a>b,則'>'

ba

ab

B.若Q>b>0,cede。,則一<一

c.若a〉6>0,且c<0,則——>——

ah~

D.若a>b,且則

ab

【答案】BCD

【解析】選項(xiàng)A：當(dāng)取a=l,6=-1時(shí)，!<▲,.??本命題是假命題.

ha

選項(xiàng)B：已知。>力〉0，c<J<0?所以--->—>0,

dc

--->—,故一<一?本命題是真命題.

dcdc

選項(xiàng)c：。>%>0=>。2>62>0=0<4<

:C<0，，一7>—7，工本命題是真命題.

a2h2

選項(xiàng)D：—〉

bab

；a>b—。<0,ab<0,?,?本命題是真命題.故選：BCD

【變式2-2](2021江蘇鹽城中學(xué)高三一模)下列4個(gè)命題中，真命題的是()

XO(1\xo

A.3xG(0,+a)<10gjX

0I七卜.Vxe

C.Vxe(0,+a>),f|T>log,xD.3x0e(l,+a)),log,x0>log,x0

【答案】B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特值法，即可判斷各選項(xiàng)中命題的真假.

(](1\x

【詳解】因?yàn)閂xe(0,+8),-\<-，故A為假命題：

VXG0,1<(()=1，log產(chǎn)>logi；=L即(：)〈logy,故B為真命題:

取x=(,則log1；=l,gj<(；|°=i，所以(:j<iog|",故c為假命題；

Vxe(l,+oo),log4x>log5x>0,所以-logdXC-logsXvO,即l°gj_"<1°gi”,

故D為假命題.故選：B.

考點(diǎn)3充分、必要條件的判定與應(yīng)用

【例題3-1］(2021北京卷)己知/(x)是定義在［0,1］上的函數(shù)，那么“函數(shù)_/(x)在［0,1］

上單調(diào)遞增”是“函數(shù)/(x)在［0,1］上的最大值為/(1)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的增減性與最值聯(lián)系即可確定充分性和必要性是否成立即可.

【詳解】首先考慮充分性，由函數(shù)/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，可推出/(x)在x=l處取的最

大值，故充分性具備，再考慮必要性，可通過(guò)反例(/(x)=2x2-x+3的最大值是/(1),

但是/(x)在［0,1］上不單調(diào))，判定不具有必要性，

故答案選：A.

【例題3-2］(2021全國(guó)甲卷理)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,前"項(xiàng)和為S“，設(shè)甲：q>0,

乙：｛S“｝是遞增數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【分析】當(dāng)4>0時(shí)，通過(guò)舉反例說(shuō)明甲不是乙的充分條件；當(dāng)｛S,｝是遞增數(shù)列時(shí)，必有

%>0成立即可說(shuō)明q>0成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案.

【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為-2,-4,—8,…時(shí)，滿足>0,但是｛凡｝不是遞增數(shù)列，所以甲

不是乙的充分條件.若｛S,｝是遞增數(shù)列，則必有%>0成立，若q>0不成立，則會(huì)出現(xiàn)

一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則q>0成立，所以甲是乙的必要條件.故選：B.

【例題3-3］(2021?全國(guó)高三專題練習(xí))復(fù)數(shù)(合一23)+(/一。一6卜為純虛數(shù)的

一個(gè)必要不充分條件是()

A.a=~\B.。=3

C.〃=一2或。=3D.〃=一1或。=一2

【答案】D

22a3_0

【解析】當(dāng)復(fù)數(shù)(/一2a-3)+(/一。一6”為純虛數(shù)時(shí)，/—“一=，解得：a=—1，

'7v7[a2-a-6^0

所以復(fù)數(shù)(/-2a-3)+(a2-a-6)z為純虛數(shù)的一個(gè)必要不充分條件是a=—1或a=—2；

故選：D.

【變式37](2021浙江卷)已知非零向量則"￡.%=鼠/是"￡=/的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.

rrX-

【詳解】若a.c=b?c，則(a—b),c=0,推不出a=B；若a=B,則。.c=6?c必成立,

故5Z=W是"G=b"的必要不充分條件。

故選：B.

1(1\x

【變式3-2](2021?天津高三期末)設(shè)xeR,貝！I“一<1”是“上>1”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件.

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

1I1-Y

【解析】一<1等價(jià)于一一1<0等價(jià)于——<0等價(jià)于x(x-l)>0等價(jià)于x<o或X〉l,

XXX

(gJ>1等價(jià)于(gJ>(gj等價(jià)于X<0，

因?yàn)閧x|x<0}C{x|x<0或x〉l},所以“/<1”是>1"的必要不充分條件.故

選：B

【變式3-3](2021湖南高三月考)若P是q的充分不必要條件，4是s的必要條件，/是

9的必要條件，/是s的充分條件，則()

A.f是。的必要不充分條件B./是q的充要條件C.。是S的充要條件D.，是S的充要條

件

【答案】ABD

【分析】根據(jù)充分性和必要性的定義，結(jié)合充分不必要性條件、充要條件的定義逐一判斷即

可.

【詳解】由題知f是4的必要條件，，是S的充分條件，4是S的必要條件，

所以qnrns,且s=鄉(xiāng)，貝ijqozos,所以B,D正確.因?yàn)?=t=s,且P是q的

充分不必要條件，所以P是s的充分不必要條件，/是P的必要不充分條件，所以A正確，

C不正確.故選：ABD

考點(diǎn)4參數(shù)問(wèn)題

【例題4T】（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）若命題"Vxe[l,4]時(shí)，以一加工?！笔?/p>

假命題，則機(jī)的取值范圍（）

A.[-4,-3]B.（一8,-4）C.[-4,+oo）D.[-4,0]

【答案】D

【解析】若命題"Vxe[l,4]時(shí),――4%—加工?！笔羌倜}，

則命題Txe[l,4]II-]-,/—4x—加=o"是真命題，則,〃=x?-4x，

設(shè)/（x）=%2-4x=（x—2）2—4,當(dāng)L,x,4時(shí)，0,則Y,,陽(yáng)，0.故選：D.

【例題4-2]（2020?江西高三期中）存在xe[—1,1],Wx2+mx—3/?＞0＞則〃?的

最大值為（）

11

A.1B.—C.-D.-1

42

【答案】C

r2

【解析】由不等式一+加工一3加之0,可化為----，

3-x

f/、6x-x2-x（x-6）

設(shè)?。?04[-1/，則/3=萬(wàn)7牙二巧干’

當(dāng)xe[—1,0）時(shí)，r（x）＜0,/（X）單調(diào)遞減；

當(dāng)xe（0,1]時(shí)，/,（x）＞0,/（X）單調(diào)遞增，

又由/（一1）=；,/⑴=；,所以函數(shù)/（x）的最大值為/⑴=；，

要使得存在xe[T,l],使得/+加工一3加20,則加《工,

2

則用的最大值為g.

2

故選：C.

【例題4-3]（2020?湖北武漢市?華中師大一附中高三期中）“陽(yáng)>0”是“女￡火,

（m一1）爐+2（1—加）丫+3?0是假命題”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由題意，命題“HreR,（加―1）1+2（1—〃?）x+3W0是假命題”

可得命題“VxeR,（〃?—l）d+2（1—m）x+3〉0是真命題”

當(dāng)加一1=0時(shí)，即相=1時(shí)，不等式3〉0恒成立；

/w-1>0

當(dāng)〃7-1。0時(shí)、即加時(shí)，則滿足/\[2/\，解得1<加<4,

[2（1—加）]-4（//7-1）X3<0

綜上可得，實(shí)數(shù)14加<4,

即命題“*（加一l）f+2（l—〃?）x+3W0是假命題”時(shí)，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是0,4）,

又由“〃z>0”是“1W機(jī)