2024高考數(shù)學(xué)模擬試題及答案 (一)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知集合^^={弁（丁一2）（1—6）<0},N={I|1<2<5},則MQN=

A.{3|2Vl<5}B.{x|Kx<C5}

C.{x|2V；c<6}D.{尤［1<丁<6）

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（1十i）z=3+5i,則|z|=

A.2B.3C.4D.717

3.國家射擊運(yùn)動員甲在某次訓(xùn)練中10次射擊成績（單位：環(huán)）為：7,6,9,7,4,8,9,10,7,5,則這組數(shù)

據(jù)第70百分位數(shù)為

A.7B.8C.8.5D.9

4.過點(diǎn)（4,0）的直線/與圓4工一8、+16=0相切，則直線I的方程為

A.3x+4j/—12=0或y=0B.3x+4y—12=0或_r=4

C.4JC+3J;-12=0或3?=0D.\x-\-3y—12=0或z=4

5.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，四

棱錐P-ABCD是陽馬，PA,平面ABCD,且戶法=2嬴，若讖=a,而=b,H=c,則商丘=

A-n+——C

A.3a十3。3c

B.ytl+yfo-yC

D.—+

6.已知圓錐的側(cè)面積是16m其側(cè)面展開圖是頂角為5的扇形，則該圓錐的體積為

A2口4715XP8兀16小4

A，

-3---3-,3

7.已知巴，F(xiàn)是橢圓的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為

ab

手的直線上，△PFiB為等腰三角形，/居KP=120°,則C的離心率為

A.yB.C—D

.3-f

8.如圖，在正方體ABCD-AI3GDI中，0是AC中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AG上，若直

線OP與平面A1G所成的角為。，則sin9的取值范圍是

A.J2V3B.「11]

-T?T-一W'2.

-----o

V3V3'X1'AB

C.-T9T-D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/（彳）=sin（2x+?）,則

AJ（z）的最小正周期為7T

BJ⑺的圖象關(guān)于直線丁二卷對稱

c./卜十句是偶函數(shù)

D.”z）的單調(diào)遞減區(qū)間為&一羽,薪+曾［（狂Z）

_1La_L乙一

10.已知三條直線2z—3?+l=0,4z+3v+5=0,m—V—1=0能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值可能為

424

A.2B.——C.-wD.—

11.如圖，兩條異面直線a，b所成的角為60°,在直線a,6上分別取點(diǎn)A,O和點(diǎn)

C,B,使AO±OC,OC±CB.已知AO=4,CB=3,AB=7,則線段OC的

長為

A.6B.8

C.2#D.V3

12.已知雙曲線C：（一4=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,P是C上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是

o4

A.C的漸近線方程為y=士暫支

B.若直線y=kx與雙曲線C有交點(diǎn)，則|k|港

C.點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為,

D.當(dāng)點(diǎn)P與A,B兩點(diǎn)不重合時，直線PA,PB的斜率之積為2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知點(diǎn)A(1,2),B(3,4),則線段AB的垂直平分線的方程是.

cos

14.已知cos(個—aj,QS，兀卜則Q=.

15.如圖，棱長為1的正方體A1A2A3A4-A5A6A7A8的八個頂點(diǎn)分別為A

A8，記正方體12條棱的中點(diǎn)分別為A,A1。，…,A?。，6個面的中心分別為A21,

A22，…，A26,正方體的中心為A27，記見=A1A7?AA,,/e{1,2,…，27},貝lj如

+m2+…+m27=.

16.已知橢圓C：y+^=1的左、右焦點(diǎn)分別為K,居，M為C上任意一點(diǎn)，N為圓E：(b5)2+

(、-4)2=1上任意一點(diǎn)，則|MN|一1MF1|的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

為配合創(chuàng)建全國文明城市,某市交警支隊(duì)全面啟動路口秩序綜合治理，重點(diǎn)整治機(jī)動車不禮讓行

人的行為.經(jīng)過一段時間的治理,從市交警隊(duì)數(shù)據(jù)庫中調(diào)取了10個路口的車輛違章數(shù)據(jù)，根據(jù)這

10個路口的違章車次的數(shù)量繪制如圖所示的頻率分布直方圖，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中凡違章車次超過30次

的路口設(shè)為“重點(diǎn)路口”.

(1)根據(jù)直方圖估計(jì)這10個路口的違章車次的中位數(shù)；

(2)現(xiàn)從“重點(diǎn)路口”中隨機(jī)抽取兩個路口安排交警去執(zhí)勤，求抽出來的

路口中有且僅有一個違章車次在(40,50］的概率.

18.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)F(丁)=1。8?知一工2)5>0_且

(1)判斷函數(shù)F(x)的奇偶性,并說明理由；

(2)若+—，求7〃的取值范圍.

19.(本小題滿分12分)

已知圓C：(x+l)2+(y—2)2=25,直線/：(2+a)>z+(l+a)y+a=0.

(1)求證:直線/恒過定點(diǎn)；

(2)直線/被圓C截得的弦長何時最長、何時最短？并求截得的弦長最短時。的值以及最短弦長.

20.(本小題滿分12分)

已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且3acosC+V3-csinA=36.

⑴求A；

(2)若a=2,且△ABC為銳角三角形，求△ABC周長的取值范圍.

21.(本小題滿分12分)

如圖，在正三棱柱ABC-A出G中，AA=2,AB=1.點(diǎn)D,E?F分別在棱AA】，,CG上,

9

AD=CF=1,BE=LM為AC中點(diǎn)，連接

(1)證明：〃平面DEF；

(2)點(diǎn)P在棱BE1上，當(dāng)二面角P-DF-E為30°時，求EP的長.

22.(本小題滿分12分)

22

已知橢圓C：t+%=l(a>6>0)經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),且右焦點(diǎn)為F(e,0).

ab

(1)求。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)(1,0)且斜率不為0的直線I與C交于M,N兩點(diǎn)，直線丁=4分別交直線AM,AN于點(diǎn)

E,F,以EF為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是，請說明理由.

1.【答案】A

【解析】M={>](z—2)(z—6)VO}={xj2Vz<6},N={h|2<x<5}.故選A.

2.【答案】D

士匚、后來r3+5i(3+5i)(1—i)8+2i.,.七[?rr-=-、+門

【解析】旻數(shù)之=]+j=(]+.(]_.=2=4+i,有|之|=，17?4故7r選D.

3.【答案】C

【解析】將10次射擊成績按照從小到大順序排序?yàn)椋?,5,6,7,7,7,8,9,9,10,???10X70%=7,???第70百分位數(shù)

為9=8.5.故選C.

4.【答案】B

【解析】圓式2+了2—41—8)+16=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(久一2)2+()—4)2=4,得圓心(2,4),半徑為2,

當(dāng)直線I的斜率不存在時，直線，:無=4,此時直線I與圓/+/一心—力+通二。相切，符合題意；

當(dāng)直線I的斜率存在時，設(shè)直線I的方程為)=4(1—4),即kx—y-=0,

圓心(2,4)到直線I的距離為d=?2'4然I=I,由題意得d=r=2.

yp+ryp+r

所以g絲4=2,平方化簡得左=—求得直線方程為3了+4>—12=0.故選B.

yp+r4

5.【答案】D

--->--->--->9--->

【解析】丁PM=2MC,：.PM=yPC,

--->——>--->——>9——>——>9——>——?1——>9——>1——>——>9---->1——>

：.BM=BP+PM=BP+^-PC=BP+-^-(BC-BP)=^-BP+-^BC=^-(AP-AB)+-^AD=-^-AB+

0O000OO

-^-AD+-^-AP=--^-a+-^-b+-^-c.故選D.

ooooo

6.【答案】C

【解析】設(shè)圓錐母線長為a,底面半徑為廠，側(cè)面積是16兀,則天?廠?a=16穴，有Q廠=16.

側(cè)面展開圖頂角為5，有a=4r,解得r=2,a=8,圓錐的高〃=^=2，貝ljV=vSA

Nao

22

=y7rr/l=1-K-2.2，1^=注產(chǎn).故選C.

7.【答案】B

【解析】由題意易知直線AP的方程為了+a)①，

直線P”的方程為，=遮(了一c)②.聯(lián)立①②，得P點(diǎn)縱坐標(biāo)yp=g(a+c),

如圖，過P向了軸引垂線，垂足為H,貝UPH=與(a+c).

因?yàn)?PF?H=60°,PF2=JK=2c,

§(a+c)反

P"=§*+,),所以96。。=墨o_Vo

Tc=1"

即a+c=3c,即a=2c,所以e=_=方.故選B.

8.【答案】A

【解析】如圖，設(shè)正方體棱長為l，#=4（0W/W1）,則不力=入工方，以。為原點(diǎn),分

A15

別以DA,DC,DDi所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1,0,0）,

/11\----->---->-----

50,1,0）,。（2,2，°），故43=A。=（—1,1,0）,人］尸=（一儲儲0）,

又A（1,0,1）,則尸（1一義,儲1）,所以法=（1—儲義一），1）.

在正方體ABCD-ABCD1中，可知體對角線平面ABC1，

所以兩=（1,1,1）是平面4BG的一個法向量，

(1-A)+(A-1)+1

所以sin0=|cos<OP,DB7>|==_______1_______

①『+(")+iJ(」J+3

所以當(dāng)義=十時*sm。取得最大值暫，當(dāng)義=0或1時，sin6取得最小值彳.

所以sin為.故選A.

9.【答案】AD

【解析】對于A,由三角函數(shù)的性質(zhì)，可得/⑺的最小正周期為7=9=口所以A正確；

對于B,當(dāng)了=需時，可得/?）=sin（2X駕+汩=sin半W±1.所以/（了）的圖象不關(guān)于直線了=藉對稱,

_LLi,乙,乙D/0J■乙

所以B錯誤；

對于C,由/',+［）=5111］2（了+5）+曾］=￡m（2了+%.此時函數(shù)，了十給為非奇非偶函數(shù)，所以C錯誤;

對于D,令干+2徐W2"甲W萼+2藐，左CZ,解得施一得474徐+落石GZ,即函數(shù)的遞減區(qū)間為

乙。乙_L乙_L乙

.L=，丘+!|］"ez,所以D正確.故選AD.

10.【答案】AD

【解析】因?yàn)槿龡l直線2支―36+1=0,41+36+5=0,機(jī)1-3/—1=0能構(gòu)成三角形，

所以直線rnx—y—1—0與2%―3j/+l—0,4^+3j/+5—0都不平行，

且直線mx—y—l=0不過2支一3了+1=0與4i+3y+5=0的交點(diǎn)，

,9A

直線mx~y~1=0與2%—3;y+l=0,4z+3;y+5=0都不平行時，機(jī)六不，且m#——,

直線2了一3y+l=0與4z+3y+5=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,一1）,

9A

代入直線，％r—y—1=0中，可得mW—（，所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值可以為2或。，故選AD.

11.【答案】AC

-->-->-->-->-->9-->-->-->-->2-->2-->2-->-->-->

【解析】依題意,AB=AO+。C+CB,平方得AB=（AO+OC+CBy=AO+OC+CB+2AO-OC+2OC-

CB+2CB-AO,因?yàn)锳O_LOC,OCJ_CB,〈AO,CB〉=60減120°,所以72=42+OC+3?！?X4X3X寺，故

|OC|=6或26■，即OC的長為6或2遮.故選AC.

12.【答案】AC

【解析】對于A,C的漸近線方程為y=士熱,A正確;

對于B,若直線y=kx與雙曲線C有交點(diǎn)，則㈤.B錯誤;

對于C,設(shè)點(diǎn)「（了,，），則《一'=10/—2/=8,點(diǎn)p到c的兩條漸近線的距離之積為

o4

C正確；

33?

對于D,易得A（—2德,0）,5（2科,0）,設(shè)P（z，v）,則y2=41）（了W士29），所以直線PA,PB的斜率

之積為y；.D錯誤.故選AC.

一8

13.【答案】z+y—5=0

1

【解析】線段AB的中點(diǎn)為（2,3）,垂直平分線的斜率上=—1,?,?線段AB的垂直平分線的方程是尤+y

一%AB

—5=0,故答案為久+)—5=0.

14.【答案】一看

兀

【解析】因?yàn)閏os（1__Q）=，又aS

102'兀

兀7A/2

所以十一aS37T7t

T,-T,sin1—cosIT

兀7t_7t7T_I?7C?3

COSQ=cos—cos—COS十sin—sin

TT~a4z-a4

15.【答案】乎或40.5

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則4（0,0,0）,42（1,0,0）,A3（1,1,0）,

A4(0,l,0),A5(0,0,l),A6(l,0,l),A7(l,l,l),A8(0,l,l),

設(shè)向量AiA,=(K，了，之)，而AiA7=(1,1,1),故啊=AA,?AiA7=I+、+N.4

故mi+m2-\----表示各點(diǎn)的坐標(biāo)和的和，現(xiàn)各點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為X,縱坐標(biāo)之和為Y,豎坐標(biāo)之和為Z,

,197

根據(jù)對稱性可得X=Y=Z=1X9+十*9+。義9=田,

=

故7??i+m2H------|-m273X^=^.

16.【答案】4M—5

【解析】由題意知F2(1,O),E(5,4)^|MFJ+|MK|=4,|MN|)|ME|—1,

當(dāng)且僅當(dāng)M,N,E共線時取等號，

所以|MN|一=MN-(4-|MF2|)=MN\+\MF,\—4>(|ME|-1)+

|MF2|-4>|EF2|-5,

當(dāng)且僅當(dāng)M,N,E,Fz共線時取等號,

22

而|EF2|=y(5-l)+(4-0)=4A/2,

故|乂河一|河巴|的最小值為4#-5.

17.【答案】（1）32.5（2）心

15

【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)中位數(shù)為：30+*；X（40—30）=32.5；......................4分

（2）由頻率分布直方圖可知：違章車次在（30,401的路口有4個，記為4,89,￡）；違章車次在（40,50］的路口有

2個，t己為a,b................................................................................5分

從“重點(diǎn)路口”中隨機(jī)抽取兩個路口，則有46,A<?,40,4°,46,8（：,&0,&,&）,。0,。1,加，。0,1）6,",共15

種情況，.........................................................................................7分

其中有且僅有一個違章車次在（40,50］的情況有Aa,A6,Ba,B6,Ca,C6,Da,D6,共8種.............9分

，所求概率P=已.............................................................................10分

18.【答案】⑴偶函數(shù)，理由略⑵當(dāng)時，山的取值范圍為（一：，一：）；當(dāng)0Va<l時，利的取值范圍

為"，。）.

【解析】（1）由1—/>0得一1<了<1,即函數(shù)F（了）的定義域?yàn)椋ㄒ?,1）.

可知F（z）的定義域關(guān)于原點(diǎn)中心對稱...........................................................2分

又F（一了）=10gl,（1—了Z）=F（Z）,故F（z）為偶函數(shù)；...............................................4分

（2）因?yàn)镕（了）為偶函數(shù)，所以不等式F（機(jī)+1）>F（J—2〃?）即F（M+1|）>F（|/―2"），.........5分

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)a>l時，F(xiàn)（G在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)0<a〈l時，F(xiàn)（了）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增...........................................................6分

（i）當(dāng)a>］時，由已知有］—1<2―2根<1，解得_；<機(jī)..............................8分

46

Im+1|<2m,

—l<Cm+1<C1,

（ii）當(dāng)OVaCl時，由已知有12解得一白〈根〈0..............................10分

o

Im+11〉|-|,

故當(dāng)a〉l時，根的取值范圍為（一:,一看卜當(dāng)0<a<l時,根的取值范圍為（一看,0）.............12分

19.【答案】（1）直線/必過定點(diǎn)P（L—2）（2）當(dāng)直線/過圓心C時,直線被圓截得的弦長最長.當(dāng)直線l±CP時，

直線被圓截得的弦長最短，當(dāng)Q=一1■時，最短弦長為275.

【解析】（1）直線/：（2+a）z+（l+a））+Q=0.即a（i+;y+l）+（2］+、）=0,........................2分

E+y+l=O,fi=l,

聯(lián)立J解得J

〔21+了=0,［/=—2,

所以不論Q取何值，直線，必過定點(diǎn)P（L—2）；.................................................4分

（2）當(dāng)直線Z過圓心C時,直線被圓截得的弦長最長，

當(dāng)直線/LCP時，直線被圓截得的弦長最短.......................................................6分

、9-I-/7—9—9

直線I的斜率為:=—*#CP==—2,

1十Q1］—（（—1：）、

有一生?（一2）=—1,解得a=一日..............................................................8分

1十Q3

此時直線/的方程是z-2y—5=0...................................................................9分

圓心C（—1,2）到直線二一2，一5=0的距離為d=?—1二4—5|=2傳,..................................分

75

所以最短弦長是2，產(chǎn)一/=2"25—20=2的..................................................12分

20.【答案】(1)60°(或5)(2)(2+273,6]

【解析】(1)由已知有3sinAcosC+福sinCsinA=3sinB,.............................................2分

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCeosA,.,.esinCsinA=3sinCeosA,

又sinCT^O,.".V3-sinA=3cosA,有tanA=-/3,.......................................................4分

又AG(0,K),，A=[;..............................................................................6分

(2)：a=2,且A=1,

；?由正弦定理有=—7^=^^=卒,從而6=挈5mB,c=#^sinC,.........................7分

sinDsinC.7to33

sin-

VsinC=sin(A+B)=sin(y+B),

.,.6+c=^^]sinB+sin傳+8)]=^^傳sinB+"cosB)=4sin(_B+0),......................9分

又AABC為銳角三角形，有BG(0,號),且A+B=^+BG(y.7r),/.B6

,1，11分

故6+ce（2點(diǎn),41,從而aABC周長的取值范圍為（2+2e,6].12分

21.【答案】（1）略（2）4^

【解析】（1）取DF中點(diǎn)N,連接EN,MN.1分

由MN為梯形ADFC的中位線，得MN〃AD.MN=1：0F=A

又BE〃AD,故MN〃BE,且MN=BE,

故四邊形BMNE為平行四邊形.則BM//NE.......3分

因?yàn)镹EU面DEF,BMU面DEF,故BM〃面DEF；4分

（2）以BM所在直線為z軸,AC所在直線為y軸,MN所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz.

5分

則D（O，TT），E（亨設(shè)P（名,oj

可得靛=（暮,；,—J）,赤=（0,1,一，赤=（年金,a—〈），................................6分

乙乙。\乙乙O

設(shè)平面DEF的法向量為小=（?，g，％）,平面PDF的法向量為“2=（心，北，力），

則有

fV3.11

-2~^1十~~3Z1一。，

即＜取力=3,

rvi-y2^i—八°，

則yi=2,x1=0,得〃i=（0,2,3）.8分

十;”+（a—5）*=0,

?DF=0,

又一即＜

?DF=0,

y2-j-z2=0,

取之2=3,則了2=2,12=2G~~27^。，得〃2=（2西一2"。，2,3）..........................................