高三數(shù)學新高考一輪復習 充分條件與必要條件

1.2充分條件與必要條件

課標要求考情分析核心素養(yǎng)

1.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義；新高考3年考題題號考點

2.能夠運用“n,u”對“若p,則q”形式的命充要條件探數(shù)學抽象

題進行合理推斷，判斷充分、必要條件及充要究，與橢圓離數(shù)學運算

2021(II)卷20

條件.心率有關(guān)的邏輯推理

參數(shù)問題

1.充分條件、必要條件、充要條件

充分、必要條件：A={x|p(x)},B={x|q(x))集合關(guān)系

若p=>q,則p是q的充分條件，q是p的必要條件AQB

p是q的充分不必要條件p=q且q#pA^B

p是q的必要不充分條件p#q且q=>pB^A

p是q的充要條件poqA=B

p是q的既不充分也不必要條件p/q且q#p且

1.對于命題“若p，則q”的條件和結(jié)論，我們都視為條件，只看推岀符號“=”的方向.

2.若p=q,則p是q的充分條件.充分性就是說條件是充分的，條件是充足的，足夠的，條件p是足以保證結(jié)

論q成立的.“有之必成立，無之未必不成立”.

3.若qnp,則p是q的必要條件.所謂必要性，就是缺其不可，即如果沒有p,也就沒有q.

4.如果''若p,則q”為假命題，那么由p推不岀q,記作p#q.此時，我們就說p不是q的充分條件，等價

于q不是p的必要條件.

5.證明“充要條件”應分為兩個環(huán)節(jié)，一是充分性，二是必要性，應該進行一方面充分性由條件到結(jié)論，另一方

面由結(jié)論到條件的兩次證明，證明時要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論.

1.[P19T2]"sEa>0”是“a是第一象限角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

考點一充分條件、必要條件的判斷

【方法儲備】

充分條件、必要條件的判定方法：

【典例精講】

例1.（2021?遼寧省沈陽市模擬.多選）對任意實數(shù)a、b、c,給出下列命題，其中假命題是（）

A.“a=b”是"ac=bc”的充要條件

B.ua>bn是％2>房”的充分條件

C."a<5”是“a<3”的必要條件

D.“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充分不必要條件

【名師點睛】

解決充分、必要、充要條件的判定問題，主要是運用充分條件、必要條件的概念進行判斷.

【靶向訓練】

練11（2022?江西省宜春市期末）設4、B是兩個集合，則“4nB=A”是“4UB”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

練12（2021?溫州市模擬）設a,b€R,則“a>“'是"a冋〉匕網(wǎng)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

[|考點二充分條件、必要條件的應用

【方法儲備】

1.充分條件、必要條件的應用一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上,解題時需注意：

2.探求某結(jié)論成立的充分、必要條件解題策略：

角度1結(jié)合充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍

【典例精講】

例2.（2022?湖南省名校聯(lián)考）若“好+3x-4<0”是“好一（37n+3口+2徵2+3m>0"的充分不必要條件,

則實數(shù)m的取值范圍是（）

A.m<—4或?n2IB.m<-4或zn>—3C.m<—1或m24D.m<—3或m24

【名師點睛】

解決已知充分、必要條件，求參數(shù)取值范圍的問題，通常把充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合

之間的關(guān)系列岀關(guān)于參數(shù)的不等式（或不等式組）求解，解題過程中要注意檢驗區(qū)間端點值。

【靶向訓練】

練21（2022。山東省濟寧市期中）已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|l<x<3},ax&P"是“x6Q”的必

要條件，則實數(shù)a的取值范圍是.

練22（2022?河北省月考）已知P={X|X2-8X-20<0},非空集合5={x|l-m4%W1+m}.若“%€尸”是“x€S”

的必要條件，則m的取值范圍為.

角度2探求某結(jié)論成立的充分、必要條件

【典例精講】

例3.（2022?重慶市聯(lián)考）已知a>0且a于1,則函數(shù)f（x）="-/為奇函數(shù)的一個充分不必要條件是（）

A.b<0B.h>-lC.b=-lD.b=+1

【名師點睛】

依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義對充分、必要條件進行判定.

【靶向訓練】

練23（2022?廣東省模擬.多選）“2d一3x—2<0”的一個充分不必要條件可以是（）

1<X<1

A.%>-1B,0<x<1C.-22D.X<2

練24（2022?廣東省模擬.多選）函數(shù)/0）=3。%2-9+2口+2億》單調(diào)遞增的必要不充分條件有（）

A.a>2B.a=2C.a>1D.a>2

核心素養(yǎng)系列邏輯推理一一充要條件探究

【方法儲備】

探究充要條件的關(guān)鍵在于問題轉(zhuǎn)化的等價性，解題時要考慮條件包含的各種情況，保證條件的充分性和必要性。

求（證）充要條件的兩種方法：

【典例精講】

例4.（2021?新高考二卷）已知橢圓C的方程為5+，=l（a>b>0）,右焦點為尸（夜,0）,且離心率為當.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設M,N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線%2+y2=/（%>0）相切.證明：“，此F三點共線的充

要條件是|MN|=V3.

【名師點睛】

本題考查了直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達定理的應用，注意運算的準確性是解題的重中之重.

(1)由離心率公式可得a=百，進而可得〃，即可得解；

(2)必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證|MN|=百；

充分性：設直線MN:y=kx+b,(kb<0),由直線與圓相切得〃=卜2+1,聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長公式可

得的二中?叵J=遅，進而可得九=±1，即可得解.

【靶向訓練】

練31(2021?江蘇省徐州市模擬)設非空集合A=(x\-2<x<a],B={y\y=2x+3,xeA),

C=(z\z=x2,xGA],求使CaB成立的充要條件.

練32(2021?湖北省聯(lián)考)己知函數(shù)/(x)=sin(cox+w)0>0,|<p|<])的部分圖象如圖所示.

(1)求/(x)的解析式.

(2)把y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的m(m>1)倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)丫=g(x)的圖象,

證明：硬0)在(0吟)上有最大值的充要條件是1<小<8.

)

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

易錯點2.忽視端點值的取舍

例6.(2021?河南省月考)已知全集U=R,m>0,集合。={淚*2-—一12<0},B={x\\x-3|<m}.

(1)當m=2時，求an(CuB)；

(2)p：xEA,q：xEB,若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.

答案解析

【教材改編】

1.【解析】由sina>0,可得a是第一或第二象限角及終邊在y軸正半軸上：

若a是第一象限角，則sina>0,所以“sina>0”是“a是第一象限角”的必要不充分條件.故選B.

【考點探究】

例1.【解析】因為"a=b”能推出“ac=bc"，當c=0時，"ac=be”不能推出“a=b”，

所以“a=b”是"ac=bc”的充分不必要條件，故｛為假命題;

因為“a>b”不能推出“a2>b2"，"a2>b2”不能推出“a>b”,

所以“a>b”是“a?>b2n的既不充分也不必要條件，故8為假命題；

因為{a|a<3}內(nèi){a|a<5},所以“a<5”是“a<3”的必要條件，故C為真命題;

因為“a+5是無理數(shù)”能推出“a是無理數(shù)”，“a是無理數(shù)”能推出“a+5是無理數(shù)”，

所以“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件，故〃為假命題.

故選：ABD.

練11.【解析】4、B是兩個集合，則“4nB=4”可得“4UB”，

UAcB",可得"4nB=4”.

所以'"nB=4”是“AUB”的充要條件.

故選：C.

練12.【解析】若a>b,

①a>b>0,不等式a|a|>b|b|等價為a-a>b-b,此時成立；

@0>a>b,不等式a|a|>b|b|等價為-a-a>—b-瓦即a?<b2,此時成立；

③a>0>b,不等式a|a|>b|b|等價為a-a>—b-b,即a?>-b2,此時成立,

即充分性成立；

若a|a|>b\b\,

①當a>0,b>0時,a\a\>去掉絕對值得,(a-b)(a+b)>0,因為a+b>0,所以a-b>0,即a>b；

②當a>0,b<0時，a>b；

③當a<0,b<0時,a|a|>b|b|去掉絕對值得,(a—b)(a+b)<0,因為a+b<0,所以a-b>0,即a>b,

即必要性成立.

綜上“a>b”是“a|a|>b網(wǎng)”的充要條件，

故選C.

例2.【解析】設集合力={久優(yōu)？+3x—4<0},集合B={x|/—(3m+3)x+2m2+36>0},

由題意得A^B.

由％2+3萬一4<0,得一4<x<l,則力={x|-4<x<1},

由廣—(3m+3)x+2m2+3m>0,得(x—m)(x—2m—3)>0,

當m<—3時，2m+3<m,所以x<2m+3或x>m,

則B=(x\x<2m+3或%>m},

因為4呈B,所以m<-4.

當m=—3時，2m4-3=m,所以x。一3,不滿足條件.

當m>—3時，2nl+3>犯所以xVm或％,2m+3,

則B={x\xVm或x>2m+3],因為A^Bf所以m>1.

綜上所述：實數(shù)m的取值范圍是血4-4或mZ1.

故選：A.

練21.【解析】vP={x\a-4<x<a4-4},Q={x|lVxV3},xWP是xEQ的必要條件，

x6Qnx6P,即QUP=1：，EE51，解得一1WaS5..?.實數(shù)a的取值范圍為[-1,5].

故答案為[—1,5].

練22.【解析】由%2—8%—20式0,得-2WXWIO,P={X|-2<XW10},

1—m<14-m

由xep是xes的必要條件，知SUP,貝小1-mN-2,0<m<3,

.1+m<10

.?.當0WmS3時，x6P是xeS的必要條件，即m的取值范圍是[0,3].

故答案為：[0,3].

例3.【解析】函數(shù)f(x)=9—掲為奇函數(shù)，則/(x)+f(—x)=O,

f(x)+-_%)=9_/+?一吉=>/+告_b.ax=4i)(ax+/)=o,

即(3-6)=0,解得b=±1,

當b=±1時，f(-x)=[一3==一ba*=5?芻一屍=勻_/=_/(%),

baxbcraxbaxb丿、/

即/(X)=號一最為奇函數(shù)的充分必要條件是6=1或b=-1,

b<0是b=±1的非充分非必要條件;b>-1是b=±1的非充分非必要條件;b=-1是b=±1的充分不必要條

件；

則函數(shù)/(%)=》提為奇函數(shù)的一個充分不必要條件是匕=-1,

故選C

練23.【解析】2x2-3x—2<0,所以—<x<2.

設M=(一表2),選項對應的集合為N,

因為選項是“2x2—3%-2<0”的一個充分不必要條件,

所以N是M的真子集.

故選闈

練24.【解析】由函數(shù)/(x)=2a%2-((1+2)%+2伍乂在(0,+8)上單調(diào)遞增，

可得/''(>)=ax-(a+2)+|=a/-(a：2)x+2丄。在(0,+8)上恒成立，

即ax2-(a+2)x+2>0在(0,+8)上恒成立，

當。=0時，一2%+220=%41,不滿足題意；

當Q<0時,ax2一(a+2)%4-2=a—1)>0,

又:<o,即［一ga—1)w0=久w1,不滿足題意；

當a>0時,a/—(a+2)x+2=a(x—：)(x—1)20,

又:>0,ax2-(a+2)x+2>0在(0,+8)上恒成立，

則A=(a+2/-8a=(a-2/40na=2,

綜上，函數(shù)/(x)=1ax2-(a+2)x4-2lnx單調(diào)遞增的充要條件是a=2.

則函數(shù)/(x)=1ax2-(a+2)x+2lnx單調(diào)遞增的必要不充分條件,a>2,a>1都可以,

故選：AC.

【素養(yǎng)提升】

例4.【解析】(1)解：由題意，橢圓半焦距c=&且e=￡=在，所以a=百，

a3

.2

又62=。2一?2=1,所以橢圓方程為^■+y2=1；

(2)證明：由(1)得，曲線為%2+y2=IQ>0),

當直線MN的斜率不存在時，直線MN:x=l,不滿足M,N,尸三點共線；

當直線MN的斜率存在時，設M(Xi，yi),N(M，y2)，

必要性：

若“，N,尸三點共線，可設直線MMy=k(x—亜)即kx—y—&/c=0，

由直線MN與曲線/+y2=IQ>0)相切可得崢L=i,解得A=±1,

y=±(x-V2)

聯(lián)立?2可得4/—6A/^X+3=0，△>0.

yx+y2=i

所以X1+x2=等的,久2=3，

2—

所以|MN\—V1+1--7(X1+x2)1%2=V3，

所以必要性成立;

充分性:

設直線MN:y=kx+b,(kb<0)即kx—y+b=0,

由直線MN與曲線x2+y2=i(x>o)相切可得烏=1,所以扶=/+i,

y=kx+b

聯(lián)立x2,可得(1+3卜2)%2+6以)％+362-3=0,4=12(3/￡2-/)2+=24k2>0,

T+y=1

6kb3b2-3

所以+x2=一五新""2=五新

2222

所以|MN|=Vl+/c-V(X1+%2)-4%1-X2=Vl+fcJ(-y^p-)-4-1^

=加倭V3.

化簡得3(fc2—l)2=0,所以k=±1,

所以]fc=-l

h=V2

所以直線MN:y=x—&或y=—%+V2,

所以直線MN過點F(&,0),M,N,F三點共線，充分性成立；

所以M,N,尸三點共線的充要條件是|MN|=V^.

練31.【解析】B={y\y=2%4-3,xE4}={y|-1<y<2a4-3].

(1)當一2Wa<0時，C=(z\z=x2,xEA]={z|a2<z<4].

由CUB,得產(chǎn)+322^ae0.

(2)當0Wa。2時,C-{z\z=x2,x￡4}={z|0<z<4}.

由CUB,得案+獸2，制-2.

(3)當a>2時，