2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題-圓錐曲線第07講：軌跡問(wèn)題（原卷版）

第七講：軌跡方程

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡(jiǎn)單定義，及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)；

應(yīng)用目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的幾何性質(zhì)，并能夠熟練利用直譯法和相關(guān)點(diǎn)法求解軌

跡方程；

拓展目標(biāo)：能夠熟練應(yīng)用橢圓，雙曲線，拋物線的定義，并數(shù)形結(jié)合找到動(dòng)點(diǎn)的軌跡形式，通

過(guò)定義求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

素養(yǎng)目標(biāo)：通過(guò)數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生

的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

【基礎(chǔ)知識(shí)】

1、曲線方程的定義

一般地，如果曲線。與方程尸(XJ)=O之間有以下兩個(gè)關(guān)系：

①曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程R(Xj)=O的解；

②以方程R(XJ)=O的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn).

此時(shí)，把方程Xj)=O叫做曲線。的方程，曲線。叫做方程b(x∕)=0的曲線.

2、求曲線方程的一般步驟：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系(如果已給出，本步驟省略)；

(2)設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x∕);

(3)根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫出等式；

(4)用坐標(biāo)X、N表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)；

(5)確定化簡(jiǎn)后的式子中點(diǎn)的范圍.

上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍.

3、求軌跡方程的方法：

(1)直譯法：

如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立,

則可以先表示出點(diǎn)尸所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)尸的坐標(biāo)(Xj)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌

跡方程.

(2)相關(guān)點(diǎn)法：

如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P’的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，(該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線

方程)，則可以設(shè)出P(Xj),用(Xj)表示出相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后把P'的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即

可得到動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程.

(1)定義法：

如果動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的定義，則可先設(shè)出軌

跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程.

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：直譯法

3

例L在平面直角坐標(biāo)系XOy中，點(diǎn)8與點(diǎn)4(-1,])關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，尸是動(dòng)點(diǎn)，且直線“尸與8P的斜率之

積等于求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程，并注明X的范圍；

4

變式訓(xùn)練L已知止2,。），5（2,。），動(dòng)點(diǎn)”（3）滿足,與斕的斜率之積為T記M的軌跡為曲線C；

求點(diǎn)M的軌跡方程;

變式訓(xùn)練2：在平面直角坐標(biāo)系X。中，點(diǎn)8與點(diǎn)4-1,1）關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線/P與8P的

斜率之積等于T.

⑴求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程C;

變式訓(xùn)練3：在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知4,4兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-√i,0）,（百,0）,直線4民48相交于

點(diǎn)5,且它們的斜率之積為:；求點(diǎn)8的軌跡方程;

例2.已知平面上動(dòng)點(diǎn)。(χ,y)到尸(0,1)的距離比。(χ,y)到直線/：y=-2的距離小ι,記動(dòng)點(diǎn)。(χ,y)的軌跡為

曲線C；求曲線。的方程.

變式訓(xùn)練1：已知點(diǎn)尸(灰,0),動(dòng)點(diǎn)"(χ,y)到直線/:x=2&的距離為d,且d=√∑∣M曰，記/的軌跡為

曲線C；求C的方程；

變式訓(xùn)練2：已知點(diǎn)尸卜6,0),平面上的動(dòng)點(diǎn)S到尸的距離是S到直線JIt+4=0的距離的等倍，記點(diǎn)S

的軌跡為曲線C;求曲線C的方程;

變式訓(xùn)練3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)F(LO),動(dòng)點(diǎn)M滿足：以心為直徑的圓與〉軸相切，記動(dòng)

點(diǎn)M的軌跡為曲線E;求曲線E的方程；

例3.在平面直角坐標(biāo)系XQy中，已知點(diǎn)4(1,2),B是一動(dòng)點(diǎn)，直線O/,OB,/18的斜率分別為4，k1,

ki,且!+!=!，記B點(diǎn)的軌跡為E；求E的方程；

尢k1ki

變式訓(xùn)練1：在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知點(diǎn)”(-1,1),尸是動(dòng)點(diǎn)，且直線。尸的斜率與直線?！钡男甭手?/p>

和等于直線的PA斜率；求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;

變式訓(xùn)練2：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在直線y=o和y=-2上的射影分別為點(diǎn)N和R,已知痂.血=OM2,其中。為坐

標(biāo)原點(diǎn)；求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；

變式訓(xùn)練3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)共。,正)、5(0.-√2),動(dòng)點(diǎn)C(XM關(guān)于直線N=*的對(duì)稱點(diǎn)為，

且而屈=動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線E;求曲線E的方程；

考點(diǎn)二：相關(guān)點(diǎn)法

例L圓。：/+丁=4與》軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為4(-2,0),4(2,0),點(diǎn)M為圓。上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作X軸

的垂線，垂足為N,點(diǎn)R滿足麗=；兩；求點(diǎn)R的軌跡方程;

變式訓(xùn)練1：圓。的方程為：√+∕=9,P為圓上任意一點(diǎn)，過(guò)戶作X軸的垂線，垂足為。，點(diǎn)。在尸。上,

___2一

且。。=；。尸；求點(diǎn)。的軌跡C的方程；

變式訓(xùn)練2：已知圓。：/+爐=4與X軸交于點(diǎn)4-2,0),過(guò)圓上一動(dòng)點(diǎn)/作X軸的垂線，垂足為H,N

是的中點(diǎn)，記N的軌跡為曲線C；求曲線C的方程；

___2__1___

變式訓(xùn)練3：圓O:Y+/=9上的動(dòng)點(diǎn)尸在X軸、y軸上的射影分別是小巴，點(diǎn)“滿足OM=§+§。鳥；

求點(diǎn)M的軌跡C的方程;

例2.已知兩直線方程4：y=也X與，2：y=-交X,點(diǎn)A在4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)8在/,上運(yùn)動(dòng)，且線段RB的長(zhǎng)為

,222

定值2√L求線段48的中點(diǎn)C的軌跡方程;

變式訓(xùn)練L如圖，M,N分別在X軸、N軸上運(yùn)動(dòng)，IMM=L點(diǎn)尸滿足

麗=麗r,點(diǎn)尸的軌跡為曲線C；求曲線C的方程；

變式訓(xùn)練2：已知點(diǎn)D為圓0：/+『=］上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作X軸、N軸的垂線，垂足分別為A、B,

連接BA并延長(zhǎng)至點(diǎn)P,使得∣P∕∣=1,點(diǎn)P的軌跡記為曲線C；求曲線C的方程；

變式訓(xùn)練3：已知圓G的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)。，且恰好與直線kx-2y+3石=O相切，設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn),

AMIX軸于點(diǎn)且動(dòng)點(diǎn)N滿足麗=[?3i+(l-?)麗，設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C；求曲線C的方程,

考點(diǎn)三：定義法

例L已知平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)耳，厄瑪∣=2√J,平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M滿足IMl+1MGI=4.記〃的軌跡為曲

線E;請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求E的方程；

變式訓(xùn)練1：動(dòng)點(diǎn)M(Xj)滿足J(X.20)2+政+J(χ+2無(wú)Y+式=6；求M點(diǎn)的軌跡并給出標(biāo)準(zhǔn)方程;

變式訓(xùn)練2：已知片B（1,0）,曲線G上任意一點(diǎn)M滿足IMEl-IME∣=√∑;曲線C2上的點(diǎn)N在夕軸

的右邊且N到F2的距離與它到y(tǒng)軸的距離的差為1；求Cl,C2的方程；

變式訓(xùn)練3：已知兩定點(diǎn)/1:，。卜生。）點(diǎn)M是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且阿+矛同+網(wǎng)+西卜4,記M的軌

跡是C;求曲線C的方程;

例2.如圖，點(diǎn)M是圓/:卜+2遙『+了2=100上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8（2指,0）,線段的垂直平分線交半徑NM

于點(diǎn)P;求點(diǎn)尸的軌跡E的方程;

變式訓(xùn)練1：已知點(diǎn)C為圓(x+6)2+/=16,F(√3,0),P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段Fp的垂直平分線交CP于

點(diǎn)。；求點(diǎn)。的軌跡。的方程；

變式訓(xùn)練2：已知點(diǎn)P是圓片：(x-l)2+/=8上任意一點(diǎn)，點(diǎn)心與點(diǎn)耳關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，線段PK的垂直平分

線分別與PK,PK交于M,N兩點(diǎn);求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

變式訓(xùn)練3：設(shè)圓/+/+2^-15=0的圓心為A,直線1過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與X軸不重合，1交圓A于C,D

兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(I)證明∣E4∣+∣E邳為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

例3.如圖，已知圓耳的方程為（x+l>+/=彳圓巴的方程為（X-I）2+/=J,若動(dòng)圓〃與圓6內(nèi)切與

OO

圓巴外切；求動(dòng)圓圓心〃的軌跡C的方程；

變式訓(xùn)練1：已知圓M與圓月：（x+2p+V=1外切，同時(shí)與圓冷（x-2y+∕=49內(nèi)切；說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)M的

軌跡是何種曲線，并求其軌跡方程；

變式訓(xùn)練2：在直角坐標(biāo)系Xay中，動(dòng)圓尸與圓。：（x-2>+y2=ι外切，且圓尸與直線x=T相切，記動(dòng)

圓圓心P的軌跡為曲線C;求曲線C的軌跡方程;

?773

變式訓(xùn)練3：已知圓M：(x+2)-+y2=q_的圓心為?/,圓M(x-2)9-+/=彳的圓心為N,一動(dòng)圓與圓N內(nèi)

切，與圓M外切，動(dòng)圓的圓心E的軌跡為曲線C；求曲線C的方程；

考點(diǎn)四：交軌法

例L已知點(diǎn)M(0,2√J),M0,-2√3),Λ(4,2√3),。(4,0),動(dòng)點(diǎn)S,T滿足忌=乂&,MT=2λMR(λeR)>

直線MS與NT交于一點(diǎn)P.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C；求曲線C的方程；

【當(dāng)堂小結(jié)】

1、知識(shí)清單：

(1)橢圓，雙曲線，拋物線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)；

(2)直譯法，相關(guān)點(diǎn)法求解軌跡方程；

(3)定義法求解橢圓的軌跡方程；

2、易錯(cuò)點(diǎn)：通過(guò)定義，性質(zhì)進(jìn)行對(duì)應(yīng)的分析，找尋關(guān)系求解;

3、考查方法：數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；

4.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象.

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

1.在平面直角坐標(biāo)系X分中，已知/(-4,0),8(4,0),"是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，C,。分別為線段4M,8Λ∕的中點(diǎn),

a

且直線OC,。。的斜率之積是記〃的軌跡為E；求E的方程；

2.點(diǎn)P與定點(diǎn)尸(LO)的距離和它到定直線/：x=4的距離之比為1:2；求點(diǎn)P的軌跡方程;

3已知圓。：八八2與X軸交于A,B兩點(diǎn)’動(dòng)點(diǎn)P滿足直線”與直線BP的斜率之乘積為T求動(dòng)

點(diǎn)P的軌跡E的方程;

4.已知點(diǎn)/(2,√I),點(diǎn).-2,-√J),點(diǎn)M與y軸的距離記為d,且點(diǎn)M滿足：=記點(diǎn)M

的軌跡為曲線W；求曲線W的方程；

5.已知圓心在》軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,-4),且與X軸、V軸分別交于點(diǎn)8(x°,0),C(OJo)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

記點(diǎn)D(x0,y0)的軌跡為曲線「；求曲線「的方程；

6.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F⑵0)且與直線χ=-2相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線「；

求曲線「的方程；

7.設(shè)Λ/點(diǎn)為圓C:》2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)?/在X軸上的投影為N,動(dòng)點(diǎn)尸滿足希=百麗，動(dòng)點(diǎn)P的

軌跡為E;求E的方程；

8.線段的長(zhǎng)等于3,兩端點(diǎn)A,8分別在X軸和J軸上滑動(dòng)，點(diǎn)P在線段上，且辦=2晶，點(diǎn)P的

軌跡為曲線C；求曲線C的方程；

9.已知M(Xo,0),N(OJO)兩點(diǎn)分別在X軸和軸上運(yùn)動(dòng)，且IMM=1，若動(dòng)點(diǎn)G滿足詬=√∑西+麗,

動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為E；求E的方程;

10.已知P是X軸上的動(dòng)點(diǎn)（異于原點(diǎn)。），點(diǎn)。在圓。：χ2+∕=4上，且∣PQ∣=2.設(shè)線段P。的中點(diǎn)為"；

當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程.

11.已知：如圖，兩同心圓：f+∕=l和/+/=4.P為大圓上一動(dòng)點(diǎn)，

連結(jié)OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交小圓于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作X軸垂線TW（垂足為"），

再過(guò)點(diǎn)M作直線PH的垂線阪，垂足為。；當(dāng)點(diǎn)P在大圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求垂

足。的軌跡方程；

12.半圓O：/+/=l（yNO）的直徑的兩端點(diǎn)為/l（-?,0）,8。,0）,點(diǎn)尸在半圓。及直徑AB上運(yùn)動(dòng),若將點(diǎn)P的

縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到點(diǎn)。,記點(diǎn)。的軌跡為曲線C;求曲線C的方程;

13.已知點(diǎn)M是圓C:(x-2)2+/=∕s>2)與X軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓C的弦MN,并使弦MN的

中點(diǎn)恰好落在y軸上；求點(diǎn)N的軌跡E的方程；

14.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，點(diǎn)P是圓耳：(x+√iy+/=16上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)寫(6,0),線段Pg的垂直

平分線交Pa于。，記。點(diǎn)的軌跡為￡;