湖南省長沙市某五校聯(lián)考2023-2024學年九年級上學期月考數(shù)學試題

2023-2024-1學期初三年級

數(shù)學試卷

考試時間：12月14日周四下午14：10-16：10（120分鐘）

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本大題共10小題，共30分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.-2的相反數(shù)是（）

1

A.2B.-2D.一一

2

2.月球沿著一定的軌道圍繞地球運動，它的半長軸約為385000千米，這個數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法精確到萬位表示,

應記為千米.（）

A.3.85xl05B.3.9xl05C.38.5xl04D.0.39xl06

3.下列各數(shù)中的無理數(shù)是（）

r-22

A.V4B.萬C.OD.——

7

4.從正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形中任選一個，選中的恰好既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的

概率是（）

11

A.-B..

44

5.用反證法證明“若。》=0,則0,6中至少有一個為0”時，第一步應假設（）

A.a=0,b=OB.awO,bw0C.aw0,b=0D.a=0,Z?wO

6.下列命題中，假命題是（）

A.平行四邊形的對角線相等B.正方形的對角線互相垂直平分

C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.有一個角為90。的平行四邊形是矩形

7.如圖，在扇形AO6中，。為弧A8上的點，連接AZ）并延長與08的延長線交于點C,若CD=Q4,

NO=69。，則NA的度數(shù)為（）

A.35°B.52.5°C.70°D.74°

8.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A,8的坐標分別為（-3,1）,（—1,4）.以點。為位似中心，在原點的另

一側按2：1的相似比將△Q4B縮小，則點A的對應點A的坐標是（）

A.（-3,1）B（-I，]]C.（3,-l）D.

9.如圖，AB是。。的直徑，C￡＞與〈。的相切，與AB的延長線相交于點C,若NC=26。，那么44為（）

10.《孫子算經》是中國古代重要的數(shù)學著作，成書大約在一千五百年前，其中一道題，原文是：“今三人共車，

兩車空；二人共車，九人步.問人與車各幾何？”意思是：現(xiàn)有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛

車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行.問人與車各多少？設有x人，y輛車，可列方程組為（）

一二y+2

3

A.〈

x八

—+9=y

12J

XC

—=y+2

3

x-9_

—9二y

〔2

第n卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共6小題，共18分）

11.一個不透明的袋中裝有3個紅球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別.現(xiàn)隨機從袋中摸出一個球，這個

球是白球的概率是.

12.若在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

13.平面直角坐標系中，點4（2,3）關于x軸的對稱點坐標為.

14.如圖，以點。為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線交于點A,再以點4為圓心，AO長為半徑畫弧,

與前弧交于點畫出射線03,則NAO3的度數(shù).

0AM

15.如圖所示，點B是反比例函數(shù)丁=4圖象上的一點，過點8作x軸的垂線，垂足為A,連接03,若ZVLOB

x

的面積是4,則反比例函數(shù)的解析式是.

16.如圖，正方形A3CD的邊長為4,點E是正方形外一動點，且點E在CD的右側，ZAED=45°,P為AB

的中點，當E運動時，線段。石的最大值為.

三、解答題（解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題6分）

計算：-32-|-2|+(-l)10°-

18.（本小題6分）

先化簡，再求值:,其中a=2023.

19.（本小題6分）

某學校要開展校園文化藝術節(jié)活動，為了合理編排節(jié)目，對學生最喜愛的歌曲、舞蹈、小品、相聲四類節(jié)目進

行了一次隨機抽樣調查（每名學生必須選擇且只能選擇一類），并將調查結果繪制成如下不完整統(tǒng)計圖.

學生最喜愛節(jié)目的人數(shù)學童喜愛節(jié)目的3

扇形統(tǒng)計圖

請你根據(jù)圖中信息，回答下列問題:

(1)本次共調查了名學生.

(2)補全條形統(tǒng)計圖(標注頻數(shù)).

(3)九年一班和九年二班各有2名學生擅長舞蹈，學校準備從這4名學生中隨機抽取2名學生參加舞蹈節(jié)目

的編排，那么抽取的2名學生恰好來自同一個班級的概率是多少？

20.(本小題8分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊上一點,NEAB=NEBC.

(1)求證：AABE~ABEC；

(2)若BE=2,求CD-CE的值.

21.(本小題8分)

如圖，已知矩形。43c的兩邊OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，頂點3的坐標是(6,4),反比例函

數(shù)丁=幺(%>0)的圖象經過矩形對角線的交點E,且與邊交于點D

(1)求反比例函數(shù)的解析式與點。的坐標；

(2)求出△ODE的面積；

22.(本小題9分)

某商場銷售A、8兩種商品，每件進價均為20元.調查發(fā)現(xiàn)，如果售出4種20件，8種10件，銷售總額為840

元；如果售出A種10件，8種15件，銷售總額為660元.

(1)求A、8兩種商品的銷售單價；

(2)經市場調研，A種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；8種商

品的售價不變，A種商品售價不低于B種商品售價.設A種商品降價機元，如果A、8兩種商品銷售量相同，

求機取何值時，商場銷售A、8兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？

23.(本小題9分)

如圖，是。的直徑，C,。都是：O上的點，且A。平分NC43,過點D作AC的垂線交AC的延長

線于點E,交的延長線于點F.

(1)求證：即是,。的切線；

(2)若AB=13,AC=5,求CE的長.

24.(本小題10分)

如圖1,/與直線相離。，過圓心/作直線。的垂線，垂足為反，且交于P,。兩點(。在P,X之間).

我們把點尸稱為一/關于直線a的“遠點”，把PQ-PH的值稱為7關于直線a的“特征數(shù)”.

(1)如圖2,在平面直角坐標系xQy中，點的坐標為(0,4),半徑為1的O與兩坐標軸交于點A,B,C,

D.

①過點E作垂直于y軸的直線m,貝ljO關于直線m的“遠點”是點(填“A”，“8"，“C”或

O關于直線m的“特征數(shù)”為；

②若直線"的函數(shù)表達式為丁=氐+4,求O關于直線〃的“特征數(shù)”；

(2)在平面直角坐標系x0y中，直線/經過點膽(1,4),點尸是坐標平面內一點，以p為圓心，百為半徑作

O尸.若。尸與直線/相離，點N(-1,0)是:二，尸關于直線/的“遠點”，且ob關于直線/的“特征數(shù)”是6后，

直接寫出直線/的函數(shù)解析式.

25.(本小題10分)

3

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=—f9+bx+c與直線A3交于點A(0,—3),5(4,0).

-4

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)點尸是直線AB下方拋物線上一點，過點P作y軸的平行線，交于點E,過點P作AB的垂線，垂

足為點E求△尸所周長的最大值及此時點尸的坐標；

(3)在(2)中△尸砂取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移3個單位，點。為點P的對應

點，點N為原拋物線對稱軸上一點.在平移后拋物線上確定一點使得以點2,Q,M,N為頂點的四邊形是

平行四邊形，寫出所有符合條件的點M的坐標，并寫出求解點M的坐標的其中一種情況的過程.

答案和解析

l.A2.B3.B4.C5.B6.A7.D8.D9.C10.B

2

11.-12.x>813.(2,-3)14.60°\5.y=——16.2+20

x

17解：原式=—9—2+1

=—10.

6Z—1/-1

aa

a—1(〃+1)(〃—1)

aa

_a-la

a+1)

1

〃+l

11

將a=2023代入得:原式=

2023+12024

19.解:(1)50

(2)補全條形統(tǒng)計圖為：

學生最喜愛〒目的人數(shù)

統(tǒng)計圖

(3)畫樹狀圖為:

1122

個個GG

共有12種等可能的結果數(shù)，其中抽取的2名學生恰好來自同一個班級的結果數(shù)為4,所以抽取的2名學生恰

41

好來自同一個班級的概率=一=-.

123

20.(1)證明：：四邊形ABC。是平行四邊形,

/.AB//CD,

ZABE=NCEB,

又：NEAB=NEBC,

：.AABE~ABEC；

(2)解：四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=CD,

:AABE-ABEC,

.AB_BE

"BE-CE'

：.ABCE=BE2=22=4.

：.CDCE=4.

21.解：(1)連接03,則。、E、8三點共線.

的坐標是(6,4),E是矩形對角線的交點，

??.E的坐標是(3,2),

???左=3x2=6,

A

則函數(shù)的解析式是y=—.

x

當y=4時，x=即0的坐標是4

(2)VS^nRC=—BC-OC=—x6x4=12,SA=—OC-CD=—x4xl.5=3,

S/SB?E=；X(6—1.5)X(4—2)=4.5,

,,S4ODE=S4OBC-S^OCD—=12—3—4.5=4.5：

22.解：(1)設A種商品的銷售單價為。元，8種商品的銷售單價為6元,

20。+10^=840

由題意可得:

10。+15^=660

a=30

解得《

b=24’

答：A種商品的銷售單價為30元，B種商品的銷售單價為24元;

（2）設利潤為w元，

由題意可得：w=(30——20)(40+10/71)+(24-20)(40+10m)=—10?！?5)2+810,

VA種商品售價不低于B種商品售價,

30—/?>24,

解得m<6,

.,.當m=5時，w取得最大值，此時w=810,

答：機取5時，商場銷售A、B兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是810元.

23.

證明：連接OD.

:AELEF于點E,

：.NE=90°,

AD平分NC4B,

AZEAD=ZDAF,

:OA=OD,

：.ZDAF=ZADO,

ZEAD=ZADO,

：.AE//DO.

：.ZE=ZODF=90°,即ODLEF于點。，且OZ>是半徑,

EF是(。的切線.

解：連接3C交O。于點G

???川是（。的直徑，

ZACB=90°.

NE=NODE=90。,

四邊形ECGD是矩形.

/.CE=DG,NOGB=90°,即8,5c于點G.

在RtZkABC中，

VAB=13,AC=5,,

：.BC=y/AB2-AC~=12.

VOGLBC,OZ）是：O的半徑，

CG=GB

：.CG=BG=-BC=~x12=6,

22

在RtzXBOG中，

113

*.*OB=■—AB=—，BG=6,

22

OG=yJOB2-GB-=-,

2

135

DG=OD-OG=---------=4,

22

：.EC=DG=4.

24.解：⑴①D；10；

②如圖，過點。作OH，直線w于H,交C。于。，P.

x

廠(46)

設直線丁=氐+4交x軸于歹--,0,交y軸于E(0,4),

、3,

4百

：.OE=4,OF=^~

3

：.ZFEO=30°,

：.OH=-OE=2,

2

：.PH=OH+OP=3,

。關于直線”的“特征數(shù)”=PQPH=2x3=6.

129

(2)y=——x-\或y=-x+5.

(2)過N作直線/的垂線，垂足為S,與。尸的另一個交點為凡如圖:

設S(m,n),

..?點N(-1,0)是；，尸關于直線/的“遠點”,

:.S、R、F、N共線,

???「產關于直線的“特征數(shù)”是6面,

:.NRNS=6a,即2"NS=6?,

NS=372,

(加+1)2+/=(3回2①，

VM(1,4),N(-1,0),

'MN?=(1+1)2+(4-0)2=20,

在RtZXMSN中，

222

SM=MN-NS=20-(3回2=2

(吁1)2+(“—4)2=2②,

由①②可解得《

n二一

”(2,3)或匕三

當S(2,3)時，設直線/的函數(shù)解析式為丁=阮+。,

2k+b-3

將S(2,3),"(1,4)代入得：，

k+b=4

直線I解析式為y=—x+5,

’221

(220(221、--k'+b'=—

當S-不不時，設直線/的函數(shù)解析式為y=〃x+。'，將S-不彳，”(1,4)代入得：55

左'+"=4

k'=—

解得

一129

直線I解析式為y——%+—,

129

綜上所述，直線/解析式為y=—1+5或丁=——x+—.

25.解：(1)分別把點A(0,—3),3(4,0),

3c=—3

代入y=—Y9+/?x+。得：＜

12+4Z?+c=0

c=-3

解得：＜9，

b二——

[4

3Q

所以拋物線的解析式為y=—必一一x—3；

(2)A(0,-3),6(4,0)

OA=3,OB=4,AB=5,

3

直線AB的解析式為：y=—x—3,

4

、幾J3293/3Q

設：P\—m——m-3,E\

I44JI4

33

/.PE=——nr+3m=——(m-2)2+3,

44

當m=2時，PE最大為3,

軸，PF±AB,

AZPEF=ZOAB,/PFE=ZAOB,

：.APEF~ABAO,

?cP」F

??~4PEF一_/?

AB

CNEF口,

所以當PE最大為3時，△PEF的周長最大為三,

此時P〔2,—g

3g3r3丫75

(3)y=-x2--x-3=-x--,將該拋物線沿水平方向向左平移3個單位,

444^2)16

則平移后的解析式為y=|(x+3—g]-1|=jx2+|x-3,Q1—1,—g1,

設M(機，y),A^|—,nj,y=—m2+—m-3,

m-1=4+—

7

當M2為對角線時，由平行四邊形對角線中點坐標相同可得：J9

y---二n

I2

1QQQ

可得加=一，則丁=一