湖南省長(zhǎng)沙市某五校聯(lián)考2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024-1學(xué)期初三年級(jí)

數(shù)學(xué)試卷

考試時(shí)間：12月14日周四下午14：10-16：10（120分鐘）

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本大題共10小題，共30分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.-2的相反數(shù)是（）

1

A.2B.-2D.一一

2

2.月球沿著一定的軌道圍繞地球運(yùn)動(dòng)，它的半長(zhǎng)軸約為385000千米，這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法精確到萬(wàn)位表示,

應(yīng)記為千米.（）

A.3.85xl05B.3.9xl05C.38.5xl04D.0.39xl06

3.下列各數(shù)中的無(wú)理數(shù)是（）

r-22

A.V4B.萬(wàn)C.OD.——

7

4.從正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形中任選一個(gè)，選中的恰好既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的

概率是（）

11

A.-B..

44

5.用反證法證明“若?！?0,則0,6中至少有一個(gè)為0”時(shí)，第一步應(yīng)假設(shè)（）

A.a=0,b=OB.awO,bw0C.aw0,b=0D.a=0,Z?wO

6.下列命題中，假命題是（）

A.平行四邊形的對(duì)角線相等B.正方形的對(duì)角線互相垂直平分

C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.有一個(gè)角為90。的平行四邊形是矩形

7.如圖，在扇形AO6中，。為弧A8上的點(diǎn)，連接AZ）并延長(zhǎng)與08的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C,若CD=Q4,

NO=69。，則NA的度數(shù)為（）

A.35°B.52.5°C.70°D.74°

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為（-3,1）,（—1,4）.以點(diǎn)。為位似中心，在原點(diǎn)的另

一側(cè)按2：1的相似比將△Q4B縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）

A.（-3,1）B（-I，]]C.（3,-l）D.

9.如圖，AB是。。的直徑，C￡＞與〈。的相切，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C,若NC=26。，那么44為（）

10.《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書大約在一千五百年前，其中一道題，原文是：“今三人共車，

兩車空；二人共車，九人步.問(wèn)人與車各幾何？”意思是：現(xiàn)有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛

車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行.問(wèn)人與車各多少？設(shè)有x人，y輛車，可列方程組為（）

一二y+2

3

A.〈

x八

—+9=y

12J

XC

—=y+2

3

x-9_

—9二y

〔2

第n卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共6小題，共18分）

11.一個(gè)不透明的袋中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別.現(xiàn)隨機(jī)從袋中摸出一個(gè)球，這個(gè)

球是白球的概率是.

12.若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

13.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4（2,3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為.

14.如圖，以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，與射線交于點(diǎn)A,再以點(diǎn)4為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫弧,

與前弧交于點(diǎn)畫出射線03,則NAO3的度數(shù).

0AM

15.如圖所示，點(diǎn)B是反比例函數(shù)丁=4圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8作x軸的垂線，垂足為A,連接03,若ZVLOB

x

的面積是4,則反比例函數(shù)的解析式是.

16.如圖，正方形A3CD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是正方形外一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)E在CD的右側(cè)，ZAED=45°,P為AB

的中點(diǎn)，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段。石的最大值為.

三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.（本小題6分）

計(jì)算：-32-|-2|+(-l)10°-

18.（本小題6分）

先化簡(jiǎn)，再求值:,其中a=2023.

19.（本小題6分）

某學(xué)校要開(kāi)展校園文化藝術(shù)節(jié)活動(dòng)，為了合理編排節(jié)目，對(duì)學(xué)生最喜愛(ài)的歌曲、舞蹈、小品、相聲四類節(jié)目進(jìn)

行了一次隨機(jī)抽樣調(diào)查（每名學(xué)生必須選擇且只能選擇一類），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整統(tǒng)計(jì)圖.

學(xué)生最喜愛(ài)節(jié)目的人數(shù)學(xué)童喜愛(ài)節(jié)目的3

扇形統(tǒng)計(jì)圖

請(qǐng)你根據(jù)圖中信息，回答下列問(wèn)題:

(1)本次共調(diào)查了名學(xué)生.

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖(標(biāo)注頻數(shù)).

(3)九年一班和九年二班各有2名學(xué)生擅長(zhǎng)舞蹈，學(xué)校準(zhǔn)備從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加舞蹈節(jié)目

的編排，那么抽取的2名學(xué)生恰好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的概率是多少？

20.(本小題8分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn),NEAB=NEBC.

(1)求證：AABE~ABEC；

(2)若BE=2,求CD-CE的值.

21.(本小題8分)

如圖，已知矩形。43c的兩邊OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)3的坐標(biāo)是(6,4),反比例函

數(shù)丁=幺(%>0)的圖象經(jīng)過(guò)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)E,且與邊交于點(diǎn)D

(1)求反比例函數(shù)的解析式與點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)求出△ODE的面積；

22.(本小題9分)

某商場(chǎng)銷售A、8兩種商品，每件進(jìn)價(jià)均為20元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出4種20件，8種10件，銷售總額為840

元；如果售出A種10件，8種15件，銷售總額為660元.

(1)求A、8兩種商品的銷售單價(jià)；

(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，A種商品按原售價(jià)銷售，可售出40件，原售價(jià)每降價(jià)1元，銷售量可增加10件；8種商

品的售價(jià)不變，A種商品售價(jià)不低于B種商品售價(jià).設(shè)A種商品降價(jià)機(jī)元，如果A、8兩種商品銷售量相同，

求機(jī)取何值時(shí)，商場(chǎng)銷售A、8兩種商品可獲得總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

23.(本小題9分)

如圖，是。的直徑，C,。都是：O上的點(diǎn)，且A。平分NC43,過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：即是,。的切線；

(2)若AB=13,AC=5,求CE的長(zhǎng).

24.(本小題10分)

如圖1,/與直線相離。，過(guò)圓心/作直線。的垂線，垂足為反，且交于P,。兩點(diǎn)(。在P,X之間).

我們把點(diǎn)尸稱為一/關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把PQ-PH的值稱為7關(guān)于直線a的“特征數(shù)”.

(1)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4),半徑為1的O與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A,B,C,

D.

①過(guò)點(diǎn)E作垂直于y軸的直線m,貝ljO關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)(填“A”，“8"，“C”或

O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為；

②若直線"的函數(shù)表達(dá)式為丁=氐+4,求O關(guān)于直線〃的“特征數(shù)”；

(2)在平面直角坐標(biāo)系x0y中，直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)膽(1,4),點(diǎn)尸是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以p為圓心，百為半徑作

O尸.若。尸與直線/相離，點(diǎn)N(-1,0)是:二，尸關(guān)于直線/的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，且ob關(guān)于直線/的“特征數(shù)”是6后，

直接寫出直線/的函數(shù)解析式.

25.(本小題10分)

3

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=—f9+bx+c與直線A3交于點(diǎn)A(0,—3),5(4,0).

-4

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)尸是直線AB下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線，垂

足為點(diǎn)E求△尸所周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)在(2)中△尸砂取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移3個(gè)單位，點(diǎn)。為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)，點(diǎn)N為原拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn).在平移后拋物線上確定一點(diǎn)使得以點(diǎn)2,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)M的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程.

答案和解析

l.A2.B3.B4.C5.B6.A7.D8.D9.C10.B

2

11.-12.x>813.(2,-3)14.60°\5.y=——16.2+20

x

17解：原式=—9—2+1

=—10.

6Z—1/-1

aa

a—1(〃+1)(〃—1)

aa

_a-la

a+1)

1

〃+l

11

將a=2023代入得:原式=

2023+12024

19.解:(1)50

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖為：

學(xué)生最喜愛(ài)〒目的人數(shù)

統(tǒng)計(jì)圖

(3)畫樹狀圖為:

1122

個(gè)個(gè)GG

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽取的2名學(xué)生恰好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的結(jié)果數(shù)為4,所以抽取的2名學(xué)生恰

41

好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的概率=一=-.

123

20.(1)證明：：四邊形ABC。是平行四邊形,

/.AB//CD,

ZABE=NCEB,

又：NEAB=NEBC,

：.AABE~ABEC；

(2)解：四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=CD,

:AABE-ABEC,

.AB_BE

"BE-CE'

：.ABCE=BE2=22=4.

：.CDCE=4.

21.解：(1)連接03,則。、E、8三點(diǎn)共線.

的坐標(biāo)是(6,4),E是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，

??.E的坐標(biāo)是(3,2),

???左=3x2=6,

A

則函數(shù)的解析式是y=—.

x

當(dāng)y=4時(shí)，x=即0的坐標(biāo)是4

(2)VS^nRC=—BC-OC=—x6x4=12,SA=—OC-CD=—x4xl.5=3,

S/SB?E=；X(6—1.5)X(4—2)=4.5,

,,S4ODE=S4OBC-S^OCD—=12—3—4.5=4.5：

22.解：(1)設(shè)A種商品的銷售單價(jià)為。元，8種商品的銷售單價(jià)為6元,

20。+10^=840

由題意可得:

10。+15^=660

a=30

解得《

b=24’

答：A種商品的銷售單價(jià)為30元，B種商品的銷售單價(jià)為24元;

（2）設(shè)利潤(rùn)為w元，

由題意可得：w=(30——20)(40+10/71)+(24-20)(40+10m)=—10?！?5)2+810,

VA種商品售價(jià)不低于B種商品售價(jià),

30—/?>24,

解得m<6,

.,.當(dāng)m=5時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w=810,

答：機(jī)取5時(shí)，商場(chǎng)銷售A、B兩種商品可獲得總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是810元.

23.

證明：連接OD.

:AELEF于點(diǎn)E,

：.NE=90°,

AD平分NC4B,

AZEAD=ZDAF,

:OA=OD,

：.ZDAF=ZADO,

ZEAD=ZADO,

：.AE//DO.

：.ZE=ZODF=90°,即ODLEF于點(diǎn)。，且OZ>是半徑,

EF是(。的切線.

解：連接3C交O。于點(diǎn)G

???川是（。的直徑，

ZACB=90°.

NE=NODE=90。,

四邊形ECGD是矩形.

/.CE=DG,NOGB=90°,即8,5c于點(diǎn)G.

在RtZkABC中，

VAB=13,AC=5,,

：.BC=y/AB2-AC~=12.

VOGLBC,OZ）是：O的半徑，

CG=GB

：.CG=BG=-BC=~x12=6,

22

在RtzXBOG中，

113

*.*OB=■—AB=—，BG=6,

22

OG=yJOB2-GB-=-,

2

135

DG=OD-OG=---------=4,

22

：.EC=DG=4.

24.解：⑴①D；10；

②如圖，過(guò)點(diǎn)。作OH，直線w于H,交C。于。，P.

x

廠(46)

設(shè)直線丁=氐+4交x軸于歹--,0,交y軸于E(0,4),

、3,

4百

：.OE=4,OF=^~

3

：.ZFEO=30°,

：.OH=-OE=2,

2

：.PH=OH+OP=3,

。關(guān)于直線”的“特征數(shù)”=PQPH=2x3=6.

129

(2)y=——x-\或y=-x+5.

(2)過(guò)N作直線/的垂線，垂足為S,與。尸的另一個(gè)交點(diǎn)為凡如圖:

設(shè)S(m,n),

..?點(diǎn)N(-1,0)是；，尸關(guān)于直線/的“遠(yuǎn)點(diǎn)”,

:.S、R、F、N共線,

???「產(chǎn)關(guān)于直線的“特征數(shù)”是6面,

:.NRNS=6a,即2"NS=6?,

NS=372,

(加+1)2+/=(3回2①，

VM(1,4),N(-1,0),

'MN?=(1+1)2+(4-0)2=20,

在RtZXMSN中，

222

SM=MN-NS=20-(3回2=2

(吁1)2+(“—4)2=2②,

由①②可解得《

n二一

”(2,3)或匕三

當(dāng)S(2,3)時(shí)，設(shè)直線/的函數(shù)解析式為丁=阮+。,

2k+b-3

將S(2,3),"(1,4)代入得：，

k+b=4

直線I解析式為y=—x+5,

’221

(220(221、--k'+b'=—

當(dāng)S-不不時(shí)，設(shè)直線/的函數(shù)解析式為y=〃x+。'，將S-不彳，”(1,4)代入得：55

左'+"=4

k'=—

解得

一129

直線I解析式為y——%+—,

129

綜上所述，直線/解析式為y=—1+5或丁=——x+—.

25.解：(1)分別把點(diǎn)A(0,—3),3(4,0),

3c=—3

代入y=—Y9+/?x+。得：＜

12+4Z?+c=0

c=-3

解得：＜9，

b二——

[4

3Q

所以拋物線的解析式為y=—必一一x—3；

(2)A(0,-3),6(4,0)

OA=3,OB=4,AB=5,

3

直線AB的解析式為：y=—x—3,

4

、幾J3293/3Q

設(shè)：P\—m——m-3,E\

I44JI4

33

/.PE=——nr+3m=——(m-2)2+3,

44

當(dāng)m=2時(shí)，PE最大為3,

軸，PF±AB,

AZPEF=ZOAB,/PFE=ZAOB,

：.APEF~ABAO,

?cP」F

??~4PEF一_/?

AB

CNEF口,

所以當(dāng)PE最大為3時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)最大為三,

此時(shí)P〔2,—g

3g3r3丫75

(3)y=-x2--x-3=-x--,將該拋物線沿水平方向向左平移3個(gè)單位,

444^2)16

則平移后的解析式為y=|(x+3—g]-1|=jx2+|x-3,Q1—1,—g1,

設(shè)M(機(jī)，y),A^|—,nj,y=—m2+—m-3,

m-1=4+—

7

當(dāng)M2為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：J9

y---二n

I2

1QQQ

可得加=一，則丁=一