2023年高考數(shù)學(xué)適應(yīng)試題及答案

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z+zi=2,則z+i的模為

A.1B.2C.5D.加

2.已知集合2=回2、＞4},5={xeZ|log2x＜3},則?力)08=

A.(0,2)B.(0,2].C.{1,2}D.(1,2]

3.在AOC中，”/＞巴'是“sin/」”的

62

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知函數(shù)/(x)=sin＜yx(。＞0)的圖象的一部分如圖1,則圖2中的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)是

1Y1X

A.y=fQx-RB-^=/(y--)、C.^=/(--1)KD.y=f(2x-l)

圖1圖2

5.在邊長(zhǎng)為2的正六邊形43CDM中，AC-BF=

A.6B.—6C.3D.一3

6.在聲學(xué)中，音量模型被定義為￡〃=20lg‘，其中人是音量(單位dB),0。是基準(zhǔn)聲壓，為2xl0-s

?Po

Pa,p是實(shí)際聲壓.人耳能聽到的最小音量稱為聽覺下限闕值.研究表明，人耳對(duì)于不同頻率的聲音有

不同的聽覺下限闕值(如圖3所示)，其中240Hz對(duì)應(yīng)的聽覺下限闕值為20dB,1000Hz對(duì)應(yīng)的聽覺下

限闕值為OdB,貝I下歹U結(jié)論正確的是

A.聽覺下限闕值隨聲音頻率的增大而減小

B.音量同為20dB的聲音，30~100Hz的低頻率聲音比1000?10000Hz的高頻率聲音更容易被聽到

C.240Hz的聽覺下限闕值的實(shí)際聲壓為0.002Pa

D.240Hz的聽覺下限闕值的實(shí)際聲壓是1000Hz的聽覺下限闕值實(shí)際聲壓的10倍

7,若實(shí)數(shù)a，b,。滿足6。+。=1116+6=八+。=51111,則。，b,c的大小關(guān)系為

A.a<c<bB,a<b<cC.c<a<b下D.b<a<c

8.已知函數(shù)/(x)=sin8+gcos3x3>0)在區(qū)間修,』上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且/?)+/(力=0,

L62j62

則0的值可以是

A.6B.7C.8D.9,

二'多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分..在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的部分圖象如圖4所示，設(shè)函數(shù)g(x)=g2,則g(x)

e

A.在區(qū)間(a,6)上是減函數(shù)

B.在區(qū)間(a,6)上是增函數(shù)

C.在％=a時(shí)取極小值

D.在x=6時(shí)取極小值

圖4

10.已知a>0,b>0,a手b,且a+b=2,則

；

A.—1--->2B.-T+1T4-2*>2D.!og;?+log2Z>>2

aha2b2

11.若函數(shù)/(x)=sin(cos.v)i〃tanx在區(qū)間(0,nn)/2024個(gè)零點(diǎn)，則微數(shù)〃可以是

A.2022B.2023C.2024D.2025

12.已知定義在R上的函數(shù)丁=/(x)圖像上任上一點(diǎn)(大,刃均滿足/而*-0/=。而f-e-m，且

對(duì)任意xc(0,+8),都有/(工一馥22)+/。1n幼＜0恒成立，則下列說法正確的是

A./(x)=sinx-x2023B./(x)是奇函數(shù)C./(x)是增函數(shù)D.?>—

三'填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分

13.若直線y=x+a與曲線y=e*T-3+1相切，則。+6=_____.

14.杭州第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)，于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)浙江省

杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江/

潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽圖形六個(gè)元素組成(如圖5),

其中扇面造型突出反映了江南的人文意蘊(yùn).已知該扇面呈扇環(huán)的形狀，內(nèi)環(huán)和

19thAslanGames

外環(huán)均為圓周的一部分，若內(nèi)環(huán)弧長(zhǎng)是所在圓周長(zhǎng)的也內(nèi)環(huán)所在圓的半徑為1,Hangzhou2022

圖5

徑長(zhǎng)(內(nèi)環(huán)和外環(huán)所在圓的半徑之差)為1，則該扇面的面積為.

15.一只鐘表的時(shí)針。4與分針03長(zhǎng)度分別為3和4,設(shè)0點(diǎn)為0時(shí)刻，則AO45的面積S關(guān)于時(shí)間

/(單位：時(shí))的函數(shù)解析式為，一晝夜內(nèi)(即，e[0,24]時(shí))，S取得最大值的次數(shù)

為-?

16.如圖6,在四邊形中，AD=CD,BA4,ZADC=2ZABC=120°,則A48C面積的最大值

為.

圖6

四,解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

兀

17.(本小題滿分10分)已知/(x)=2sinxsin(x+g)

(1)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱中心；

r3-

(2)當(dāng)xe[0,a]時(shí)，/(x)的取值范圍為0,-,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.（本小題滿分12分）記A/WC的內(nèi)角3,C的對(duì)邊分別為“，兒或已知"八2海卜+高.

（1）求才的值；

⑵若”胡C的平分線與席交于點(diǎn)。，AD=26,求A/AC面積的最小優(yōu)

19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)/（x）=log°x-?。?。＞0且。，1）,

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

197

（2）若函數(shù)/（%）有最大值wlog。：-求實(shí)數(shù)。的值.

20.（本小題滿分12分）某城市平面示意圖為四邊形N3S（如圖7所示），其中A4CZ）內(nèi)的區(qū)域?yàn)榫?/p>

民區(qū)，MB。內(nèi)的區(qū)域?yàn)楣I(yè)區(qū)，為了生產(chǎn)和生活的方便，現(xiàn)需要在線段和線段2。上分別選一

處位置,分別記為點(diǎn)石和點(diǎn)R,修建一條貫穿兩塊區(qū)域的直線道路跖，線段所與線段4c交于點(diǎn)G,

EG段和G廠段修建道路每公里的費(fèi)用分別為10萬元和20萬元,

已知線段4G長(zhǎng)2公里，線段43和線段幺。長(zhǎng)均為6公里，

7t

ABLAC,ZCAD^~,設(shè)ZAEG=8.

6

（1）求修建道路的總費(fèi)用y（單位：萬元）與。的關(guān)系式（不

用求。的范圍）；

（2）求修建道路的總費(fèi)用y的最小值.

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)y（x）=e、+sinx-xsinx,xe[一肛0]

（1）求/（力的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若4左一/卜）＜0恒成立，求整數(shù)上的最大值.

22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)/（x）=g?-左（2+Inx）有三個(gè)極值點(diǎn)再，馬，工3,且玉＜/＜七?

XX

（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（2）若2是/（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，證明：一士一-＜-—匕

九3C

一、選擇題

題號(hào)123456789101112

答案DCBDBDACBCABCBCDBCD

三、填空題

13.114.n15.5=6sin—nt,44

6

選擇題與填空題詳解：

1.【答案】D

【解析】依題有2=捻=1一仃.5+1=1+2。模為遙，故選D.

2.【答案】C

【解析】?.?集合A={x|x>2},.?.gA={x|0<xW2},集合3={xeZ|0<xW8},

A(QA)AB={1,2},故選C.

3.【答案】B

【解析】在A48c中，若sinA>,，則2<A(包，“A>工”是“&<A<些"的必要不充

266666

分條件，故選B.

4.【答案】D

【解析】圖2在圖1的基礎(chǔ)上先進(jìn)行了平移變換，圖象向右平移了1個(gè)單位，得到y(tǒng)=/(x-l)的

圖象，再進(jìn)行伸縮變換，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?得到，=/(24-1)的圖象，故選D

5.【答案】B

【解析】衣?麗=衣?(麗+麗)=/?麗+0=-衣.而=一(|正『=一；.(26)2=-6,

故選B.

6.【答案】D

【解析】對(duì)于A,從圖像上看，聽覺下限闕值隨聲音頻率的增大有減小也有增大，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,從圖像上看，30?100Hz的低頻率聲音的聽覺下限闕值高于20dB,1000?10000Hz的高頻

率聲音的聽覺下限闕值低于20dB,高頻率聲音更容易被聽到，故B錯(cuò)誤:

對(duì)于C,240Hz對(duì)應(yīng)的聽覺下限闕值為20dB,令20=20炮二，所以

Po

-5

p=lOpo=lOx2xlO=0.0002Pa,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,1000Hz對(duì)應(yīng)的聽覺下限闕值為OdB,令201g3=。，解得p=〃o,所以240Hz的聽覺

Po

下限闕值的實(shí)際聲壓是1000Hz的聽覺下限闕值實(shí)際聲壓的10倍，故選D.

7.【答案】A

【解析】(方法一)由e"+a=sinl得，+a-sinl=0,令f(a)=e"+a-sin1,則易得了(a)在

R上單調(diào)遞增，/(0)=l-sin1>0=/(a),，a<0：由Inb+b=sinl得lnb+b-sinl=0,

令g(b)=lnb+b-sinl,則易得g(b)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，V^(1)=1-sinl>0,

g(g)=J-ln2-sinl<J-ln2-g=-ln2<0,二J<b<1；由正+c=sinl可得

>/c+c-sinl=0,h(c)=>/c+c-sin1,則易得〃(c)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，

V/z(0)=0-sinl<0,h(-)=^+l_sinl>^+l_^>0,...0<e<i

2222222

綜上，a<c<b,故選A.

(方法二)由e"+。=皿6+6=正+(?=5仙1可得0"=-a+sin\,\nb=-b+sin1,-7c=-c+sin1,

設(shè)f(x)=e*-(x+l),則=當(dāng)xe(-8,0)時(shí)/(x)<0,.../*)單調(diào)遞減,

當(dāng)XG(0,+8)時(shí)/'(x)>0,，/(x)單調(diào)遞增，.?.當(dāng)X=0時(shí)/(x)取得最小值0,，/(幻？。,

即e*之x+1,又x+1—5),+1>0,X+1>?-*?ex>'j~x

設(shè)g(x)=Inx-J7,則g'(x)=L---T==-~?當(dāng)xe(0,4)時(shí)

x2y/x2x

g'(x)>0?，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(4,+oo)時(shí)g'(x)<0,

.??8*)單調(diào)遞減，，當(dāng)％=4時(shí)8(外取得最大值21112-2,

2

V21n2-2<0,g(x)<0，即lnx<.綜上，ex>4x>lnx.a,b,c分別為直線

y=-x+sinl與函數(shù)y=e*,y=Inx,y=4圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

'/ex>>/x>Inx,a<c<b(如圖)，故選A.

8.【答案】C

【解析】設(shè)函數(shù)/(x)的周期為T,???/(x)=2sin(s+￡)在區(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，

3L62.

<g—J4J，解得3<049,又/(J)+/(g)=0,，(：,0)是/"(X)的對(duì)稱中心，

2262623

，管+?=k"'ZeZ，解得@=3%-LAcZ,??3<<v<9,，。=5或8,故選C.

9.【答案】BC

［解析］g")=/(幻。),由圖可得當(dāng)xG(a,b)時(shí)/(％)>/(x)，，g'(x)>。，，函數(shù)g(x)

eJ

單調(diào)遞增，選項(xiàng)B正確：且存在區(qū)間(c,a),當(dāng)xe(c,a)時(shí)((x)</(x),二g'(x)<0,.?.函數(shù)g(x)

單調(diào)遞減，g(x)在x="時(shí)取極小值，選項(xiàng)C正確;存在區(qū)間(b,d),當(dāng)xw(b,d)時(shí)/V)</(幻，

g'(x)<0,.?.函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，；.g(x)在x=b時(shí)取極大值，選項(xiàng)D錯(cuò)誤：故正確選項(xiàng)為

BC.

10.【答案】ABC

11a+b11、1_ba、1…Jbba、_〃

【解析】選項(xiàng)A,—i"—=------(z—I*—)=—(z24-----1—)>—(2+2.------)=2?選項(xiàng)A正確；

ab2ab2ab2、ab

1a~+b~(a+b)~—2ab42,,八/。+久2?.11

選項(xiàng)B,-------,'：n0<ab<()=1,..—>1,

a2b2a2b2ab-----------------------2-----------------ab

42

FT——>2,選項(xiàng)B正確：

a2b2ab

選項(xiàng)C,2"+2〃>2亞3=2亞力"=4>2,選項(xiàng)C正確：

選項(xiàng)D,Iog2“+log2力=log2(ab)<0，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故正確選項(xiàng)為ABC.

11.【答案】BCD

【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?若tanx=0,則x=A4伙eZ),

sin(cosx)#0,/.sin(cosx)+atanx0,女)伙eZ)不是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，.?.tanxwO,

.cr”、，sin(cosx)人，/、sin(cosx).,_，/、

sinz(cosxx)+atanx=0可化為---------=-a,令/i(x)=--------------,Vh(x+2TT)x=h(x),

tanxtan.r

3

，2）是6（x）的一個(gè)周期，=，〃（x）為奇函數(shù)，

_sin（cos（乃一x））sin（-cosx）-sin（cosx）sin（cosx）

又?:n（7r-x）=-----------------=-------------=-------------=-----------=n（x）,

tan（乃一x）-tanx-tanxtanx

7TTT

6（X）關(guān)于X=5對(duì)稱。當(dāng)XC（0,5）時(shí)，函數(shù)〃=cosx單調(diào)遞減，且〃￡（0,1）,而丁=5吊”在

〃€（0,1）時(shí)單調(diào)遞增，；.￥=411（851）在*6（0,5）時(shí)單調(diào)遞減，且y>0,又當(dāng)XG（0,g）時(shí)，

y=tanX單調(diào)遞增且恒大于0,一單調(diào)遞減且恒大于0,:.人（x）=包生吧^在（0二）單

tanxtanx2

調(diào)遞減，且當(dāng)xf0時(shí)，〃（x）T+oo,當(dāng)時(shí)，/i（x）f0,又???6（x）關(guān)于*=工對(duì)稱，.?.6（x）

22

在弓，乃）單調(diào)遞增，且當(dāng)X—，時(shí)，〃（X）fO,當(dāng)X->7T時(shí)，〃（x）f田.???〃（外為奇函數(shù),

.?.當(dāng)xe（-T,0）時(shí)〃（幻的圖像與工丘（0,7）時(shí)力（X）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.根據(jù)以上信息，可得函數(shù)

圖像如圖所示.

若一。>0,則〃（x）與〉=-。在。;r）有兩個(gè)交點(diǎn)，在（巴2））沒有交點(diǎn)，要滿足以幻在（0,〃］）有

2024個(gè)零點(diǎn)，則〃=2023或2024：若一。<0,則6"）與丫=一。在。外沒有交點(diǎn)，在（肛24）有

兩個(gè)交點(diǎn)，要滿足〃*）在（。,〃萬）有2024個(gè)零點(diǎn)，則〃=2024或2025；若一。=0,則沒有零點(diǎn).故

正確選項(xiàng)為BCD

12.【答案】BCD

【解析】由小皿一e8=eQ-y一"產(chǎn)可得一=e產(chǎn)_0一皿，設(shè)〃（刈=，，

4

貝—sinjOuH/g),?；y=e*在R上單調(diào)遞增，丫="”在7?上單調(diào)遞減，，〃(外在/?上單

20232023

調(diào)遞增，y—sinx=fO23,y=sinx+x,EP/(x)=sinx+x,選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

Vf(-x)=sin(-x)+(-x)2023=-sinx-x2023=-/(x),為奇函數(shù)，又

r(x)=cosx+2023戶巴當(dāng)時(shí)/'(%)之一1+2023>0,當(dāng)O<x<1時(shí)cosx>0,

f'(x)>0,.?.當(dāng)xe(0,+?)時(shí)/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，/(X)為奇函數(shù)，，當(dāng)XG(—8,O)

時(shí)，/*)也單調(diào)遞增，又/(O)=O,.../(x)在/?上單調(diào)遞增，，由f(x—ae2i)+/(x[nx)<0

可得/(xlnx)<-f(x-ae2x-')=f(ae2x-'-x),：.xlnx<ae?--x對(duì)任意xe?！?恒成立，

下面用兩種方法解決這個(gè)恒成立的問題.

(方法一)不等式xlnx<ae)i-x<=>a>+D,易證/之ex,二e?*N,當(dāng)且僅當(dāng)

e2x

x=1時(shí)取等號(hào)；又Ylnx+1Sx,工ex(lnx+l)Wev2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，，6、(呼+1)<1,

e2xe

.1

??a>一?

e

(方法二)-x>xlnxoae"T>Mlnx+l)oaJ*>ex(lnx+l),左右同乘以2x,則

a-2xe2'>ex2ln(ex)2,ae-2xe2x>(ex)2ln(ex)2,設(shè)A(x)=xex,則

aeh(2x)>/?(ln(ex)2)?Vln(ex)2=2(l+lnx)<2x>而6(x)=xe*在(0,+8)單調(diào)遞增，

??"(hXexBw/zQx),二%>1,二。>].綜上，正確選項(xiàng)為BCD.

e

13.【答案】1

【解析】由解得切點(diǎn)橫坐標(biāo)x=l,.?.切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2-加，切線方程為y=x-l+2-b,

/.a=\-b,a+b=1

14.【答案】n

【解析】設(shè)內(nèi)環(huán)半徑為r,外環(huán)半價(jià)為R，則尸1,R=rH=2,?.?內(nèi)環(huán)弧長(zhǎng)為所在圓周長(zhǎng)的：，.?.內(nèi)環(huán)

弧所對(duì)的圓心角a=號(hào)二扇面的面積S=1a/?2-^ar2=n.

15.【答案】S=6sin—?rr,44

5

TT

【解析】時(shí)針04旋轉(zhuǎn)的角速度為——rad/A；分針08旋轉(zhuǎn)的角速度為一/〃，二者的角速

6

度之差為一￡-（-2幻=業(yè)皿//人...在r時(shí)亥IJ,4408=也1-2女乃或4403=2乃—”1+2女萬，

6666

其中ZGZ,兩種情況均有S=Lx3x4xsinNAO8=6sin”;z7:函數(shù)S=6sinU%，的周期為

266

—6,且每個(gè)周期僅出現(xiàn)一次最大值，故最大值取得的次數(shù)為234=44.

119

H

16.【答案】3>/3

【解析】???ZADC=120°,AD=C￡),二ZAC0=NC40=3O°,?.?ZA￡)C+ZABC=18(r,二四邊

形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，.?.乙48。=30°,設(shè)N8A￡)=a,

則在ABA。中，由正弦定理可得/一=——-----???A8=4s】n(30+a),

sinasin(30+a)sina

在MC￡>中，ZBCD=180-a,ZBDC=a-30；

.4BC

sin(180-a)sin(a-30)

8c=4sm(a-30),用。的面積

sina

S=+M.|CB|.sin6(y=?4sin(30+a)4sm(a-3。)

24sinasina

3.212

-sma——cosa*2322

=464———地3sin6z-cosa_rr4sina-13（4一熹）

snrasin2a▼si,n2a

當(dāng)sin2a=1,即a=90時(shí)AABC的面積取最大值

四、解答題

17.【解析】(1)/(x)=2sinxsin(x+—)=2sinx(-sinx+—cosx)=sin(2x~—)+—…2分

32262

令2七2x-—<2k兀+gkeZ,解得k兀一瑩WxWk兀+g,keZ,

6

.?./(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為k兀-%,k兀+!(&eZ),.................................................4分

_63_

77kJTrrk7TIT

令2x—J=&九伏wZ),解得％=竺+二伏€2),.?./(x)的對(duì)稱中心為(竺+匚,；)，其中

62122122

k&Z..........................................................................................................................................6分

I〃3

(2)VxG[0,a],/.2x--e--92a--,V*/(x)的取值范圍為0—,???sin(2x-g)的

?*7

7T24

取值范圍為一三』>,'.2a--e—,解得ae的范圍是y

2J6|_26_3下

10分

18.【解析】⑴vfr+e=2asin(c+^j,

，由正弦定理得：sinB4-sinC=2sinAsin[c+^L

，6)A

/.sinB+sinC=2sinA——sinC+—cosC=>/3sinAsinC+sinAcosC,

I22)

**?sin(A+C)+sinC=>/3sinAsinC+sinAcosC，cosAsinC+sinC=-73sinAsinC，

又兀)，sinC#0?AcosA4-1=>/3sinA????V3sinA-cosA=l?即,^(人一彳1二萬，

/c\.7C17T57rI7TTt..7C..

VAe(0,n),-,解得從=彳；...............................6分

6V66J663

(2)..NO平分ZBAC且4。=26，：.ZBAD=ZCAD=-,

6

由S4“=S+S“n,ai^-bcsinZBAC=-cADsm^BAD+-bADsinZCAD,

整理得。c=2(b+c)N4辰，則慶216,當(dāng)且僅當(dāng)b=c?時(shí)，等號(hào)成立,

故AABC面積的最小值為4石.......................................................12分

19.【解析】⑴f'(x)=———3/J-3,In

xlnax\na

V若0＜。＜1，則lna＜0,尸(幻＜0,.../(x)有單調(diào)遞減區(qū)間(0,+8)：

7

2'若則當(dāng)％e（0,簿=）時(shí)/'（%）＞0,，/（幻單調(diào)遞增，當(dāng)xe（d=，+°°）時(shí)

yJ3mayj3ma

八x）＜0,.?./（x）單調(diào)遞減，.?J（x）有單調(diào)遞增區(qū)間（0,金=）,和單調(diào)遞減區(qū)間（4=,內(nèi)）

V3lnaV31na

綜上，當(dāng)0＜。＜1時(shí)，/（X）有單調(diào)遞減區(qū)間（0,+8）,當(dāng)”＞1時(shí)，f（x）有單調(diào)遞增區(qū)間

(0,-7=!=),和單調(diào)遞減區(qū)間(金=,+8)......................................6分

V31naV3lna

(2)由(1)可知當(dāng)0<a<l時(shí)，/(x)沒有最大值，當(dāng)a>1時(shí)f(x)在區(qū)間(0,二=)上單調(diào)遞增，

yJ3\na

在區(qū)間(西高,2)上單調(diào)遞減，.../(x)的最大值為

3

=l°g“7r==-(w==)=~|bga(3Ina)-=-1Iog(,(3eIna),

V31naV3lnayJ3\na33Ina3

「公1,221,2?,八，、1?2,3a2

:最大值彳log“彳-7=wlog“^-y，/.--log(3eIna)=-log,/.3elna=-->

33333a3fl3H3a2

2e\na-a2=0?..................................................................................................9分

令Zz（a）=2elna—，，則/f（a）3-2a=*一才）,當(dāng)"（］,八）時(shí)〃'（。）＞。，

單調(diào)遞增，當(dāng)ae（J￡,+oo）時(shí)/（a）＜0,.?.0（a）單調(diào)遞減，.?.當(dāng)“=及時(shí)，力（。）取得最

大值0,，方程2elna-a2=。有且只有一個(gè)解綜上，。=五..................12分

20.【解析】(1)在RfAAEG中，AG=2,ZAEG=G,EG=---

sin。

在AAGF中，NGAF=上,：.AAFG=--0,

63

2GF

AGGF

由正弦定理可得一,BP/7C7t,

sinZAFGsinNGA產(chǎn)sin(——0)sin—

36

8

-------------.y=H——

sin(三一6)''sin(--6?)s,n^

20(*cos6-；sine+sine)

20sin(：-8)+sin6

2020

(2)由(1)可得y--------------------.1---.----c----.......

sin(--6>)sm9sin(--0)sin0cos。一;sin6).sin。

20(y-cos(9+^sin(9)20sin(6>+1)20sin(6>+1)

—sin20--sin2—sin2^--+-cos20-sin(2^+^)--

42444264

80sin(6>+1)80sin(6>+1)80sin(6>+y)

2sin2?9+1)-^-1-2cos2(<9+y)-l4sin2((9+1)-3

80

4sin(6H—)---------------10分

3sin(6>+y)

7t71

令，=sin(6+§),?.?6G(0,1)

所以當(dāng)1=1,即。=^時(shí)〃取最大值1,取最小值80,此時(shí)Af=A/=26<6,所以修道路

6

總費(fèi)用的最小值為80萬元.(未檢驗(yàn)AE=AE=2ji<6扣1分)..............12分

21.【解析】(1)r(x)=e*-sinx-(x—l)cosx,

設(shè)〃(x)=e*-sinx-(x-l)cosx,則〃'(x)=e*-2cosx+(x-l)sinx

1°當(dāng)xef-；r,-/］時(shí)，：e*>0,-cosx>0,(x-l)sinx>0,〃'(x)>0,二函數(shù)/z(x)在［一乃,一］］上

單調(diào)遞增，即函數(shù)/'(力在［一心一自上單調(diào)遞增，?../'(r)=er-兀-1<0,/(-習(xí)=二+1>0,

.?.大06［—乃,一5使得八%)=0,當(dāng)xe卜",與］時(shí)，/V)<0,當(dāng)xe［x。,—自時(shí)，外外>0，

因此f(x)在［-兀,句上單調(diào)遞減，在際-會(huì)上單調(diào)遞增，.............................3分

9

2當(dāng)*€|-/,0］時(shí)，，”>0,-5畝工>0,-(1)(：05*>0,"，")>0,，函數(shù)1/'(》)在［-"］上單

調(diào)遞增。

綜上，在［一兀%］上單調(diào)遞減，/0)在K，0］上遞增.又?."(F)=eF>0J(0)=l>0,

71

2

fM</(-^)=e-1-1<0.A3^1e(-n,x0),x2e(xo,O),使得/(芭)=/(與)=0,.,.函數(shù)

〃x)在卜兀,0］上有兩個(gè)零

點(diǎn)6分

(2),.,"€[-7150]恒有41一”力40,，4%,“力,由⑴知，f(x)n.n=f(x0),

<b

A4A;</(x0)=e-(x0-l)sinx0,由/'(毛)=0得：=sinx0+(x0-l)cosx0,

f(x0)=e%-(x0-l)-sinx0=sinx0+(x0-l)cosx0-(x0-l)-sinx0

sinX。+-l)(cosXQ-sinx0)8分

令g(x)=sin*+(x-l)(cosx-sinx)(-7t<x<-—),則/i,(x)=(3-x)cosx-xsinx<0,

...函數(shù)g(x)在區(qū)間［r，T上單調(diào)遞減,=_2_5>_4,二〃/)>一4,

7

又??./(七)</一￡=”—下，.?.一1</5)<卜匕」二

I2844848

...整數(shù)&的最大值為-112分

(x-2\--k)

e'(x2-r

22.【解析】(1),,/、(x-2)(e-kx)X

/w=22

xxX

令r(x)=4，則/")=￡(『),當(dāng)xe(0,l)時(shí)/(幻<0,.?.「(%)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)

XX

xe(l,+oo)時(shí)r'(x)>0,二r(x)在區(qū)間。，+oo)上單調(diào)遞增，,r(x)有最小值*l)=e,且當(dāng)x->0

e2

時(shí)，r(x)f+oo,當(dāng)x->+oo時(shí)，r(x)->-H?,r(l)=e,r(2)=y

IU

1當(dāng)AWe時(shí)，--kNO,當(dāng)xe（0,2）時(shí)尸（x）＜0,.?./（x）在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減，當(dāng)

x

XG（2,+8）時(shí)尸（x）N0,.?./（X）在區(qū)間（2,*0）上單調(diào)遞增，.?.函數(shù)/（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)，不

滿足題意，舍去：

2當(dāng)e＜k＜土?xí)r，則^-一女=0有兩個(gè)根石，毛，且再＜毛＜2,當(dāng)xc（0,再）時(shí)/'（x）＜。，

2x

當(dāng)XW（X],X2）時(shí)f'（x）＞。，當(dāng)xe（&,2）時(shí)尸（x）＜0,當(dāng)1€。2，+00）時(shí)/（x）＞0,二/（x）在

區(qū)間（0,百）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（西,電）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（%,2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2,-8）上

單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)/（X）有三個(gè)極值點(diǎn)百