銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)）-中考復(fù)習(xí)講義及練習(xí)（解析版）

第四部分三角形

專題16銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（5大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一特殊角的三角函數(shù)值及其計(jì)算

核心考點(diǎn)二由三角函數(shù)值求銳角

核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)三銳角三角函數(shù)的增減性

核心考點(diǎn)四解直角三角形及其應(yīng)用

核心考點(diǎn)五三角函數(shù)的綜合

新題速遞

核心考點(diǎn)一特殊角的三角函數(shù)值及其運(yùn)算

H（2021.貴州黔東南.統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABe。中，若將AB繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60。，使點(diǎn)B落在點(diǎn)夕的位置，連接89，過(guò)點(diǎn)。作。交BB'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則5E的長(zhǎng)為

24

A.垂）—1B.2-^3—2C.--73D.—?/?

【答案】A

【分析】利用已知條件求得NCBF=N以加=30。,設(shè)"=x,將。F,FC,3尸都表示出含有X的代數(shù)式，利用

tanZTOC的函數(shù)值求得X,繼而求得BZ的值

設(shè)BE,CD交于點(diǎn)F,

由題意：AB=AB,,ZBABf=60°

.??.?A88'是等邊上角形

???ZABBr=60°

?「四邊形ABC。為正方形

?..ZABC=NC=90。

???ZCBF=90o-60o=30o,

DELBff

:.ZE=90°

又?./DFE=/CFB

二NEDF=NCBF=30。

I5LEF=X

EFEF

WDF==2EF=2x

則sinΛEDF~~

2

FC=DC-DF=I-Ix

FC

BF=-----------=2FC=4-4x

SinZCBF

BE=BF+EF=4-3x

B,E=BE-Bff=4-3x-2=2-3x

?小口FC√3

tan/CBF=----=——

BC3

2-2X乖I

23

解得：X=1—

3

∕ξ

.?.BzE=2-3×(l-?-)=√3-l

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的銳角三角函

數(shù)值，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義及特殊三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

例2∣.(2022?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題)定義一種運(yùn)算；sin(α+∕7)=SinaCOs/?+COSaSin夕，

sin(a-/7)=sinacosβ-cosasin/7,例如：當(dāng)a=45。，夕=30。時(shí)，sin(45o+30o)=

立速他xL="+6,則SinI5。的值為.

22224

［答案］"］巨

4

【分析】根據(jù)sin(α-/?)=SinaeOS尸-COSaSin/代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：sinl5o=sin(45o-30o)

=Sin45o∞s30°-cos45osin30o

夜

=一X√-3/21

22——×—

22

而√Σ

=-

τ一4

√Σ

√6一

4

故答案為：漁二也

【點(diǎn)睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數(shù)值的計(jì)算，掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

≡⑵22?山東濰坊,中考真題）⑴在計(jì)算6W::茅去）。時(shí)，小亮的計(jì)算過(guò)程如下:

4—(-I)H)+∣-61+33

：√3tan30o-√64×(-2)^2+(-2)°

4-(-1)-6+27

^√^×√3-4×22+0

4+1-6+27

__3-16

小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計(jì)算有誤，幫助小亮找出了3個(gè)錯(cuò)誤.請(qǐng)你找出其他錯(cuò)誤，參照①?③的格式寫(xiě)在橫線上,

并依次標(biāo)注序號(hào)：

Φ-22=4:②（-D">=-1;③|-6|=-6；

請(qǐng)寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程.

3x

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：f-?--?]-f~n,其中X是方程V-2x—3=0的根.

<x-3X）χ-÷6x+9

【答案】⑴④tan30。=立；⑤（分2=!，⑥（一2）。=1；28；（2）,?

34x+32

【分析】（I）根據(jù)乘方、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)累、零指數(shù)塞的法則計(jì)算即

可;

⑵先把括號(hào)內(nèi)通分，接著約分得到原式=，，然后利用因式分解法解方程N(yùn)z-3=0得到x∕=3,x2=-l,

則利用分式有意義的條件把4-1代入計(jì)算即可.

【詳解】(1)其他錯(cuò)誤，有：④tan30。=也：⑤(心產(chǎn)=；,@(-2)0=1,

正確的計(jì)算過(guò)程：

—22-(-1尸+1-61+寸

√3tan30°-√64×(-2)^2+(-2)°

-4—1+6+27

∕τ?/?z1111

√3×-------4×-+1

34

—4—1+6÷27

―_1-1+1

=28；

、(2

/C2IA2X-3X

lkx-3AJX+6%+9

_2Λ-X+3X(X-3)

x(x-3)(x+3)2

x+3x(x-3)

X(X-3)(X+3)2

1

x+3'

VΛ*2-2X-3=0,

.*.(x-3)(x+l)=0,

Λ-3=0或x+l=0,

.*.x∕=3,X2=-l,

Vx=3分式?jīng)]有意義，

U的值為-1,

當(dāng)X=-I時(shí)，原式=="J.

-1÷32

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元二次方程一因式分解法，分式的化簡(jiǎn)求值.也考查了特殊角的三

角函數(shù)值、立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)累、零指數(shù)幕.

厚命題西破

知識(shí)點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值

1.圖表記憶

a

三角函數(shù)圖形記憶

30o45°60°

j_√2√3

sina

2^2-^2-

cosa√3√2?60^^1Γ?∕2

2^2^21

I_______M

√31

tana如1√3

^3^

2.規(guī)律記憶

30°,45°,60°角的正弦值的分母都是2,分子依次為1,√2,√3；

30°,45°,60°角的余弦值分別是60°,45°,30°角的正弦值。

,四由硼國(guó)

【變式1］（2022?湖南邵陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AB>BC,以點(diǎn)A為圓心、AB

長(zhǎng)為半徑的弧BE與。C相交于點(diǎn)E,點(diǎn)E為力C的中點(diǎn)，則由BC、CE和弧BE圍成的陰影部分圖形的面

積是（）

DEc

AB

A.e?/?——B.8Λ∕3——C.6下>-3πD.84一3乃

【答案】A

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出"=CZ>AE=4,NADC=90。，結(jié)合中點(diǎn)及特殊角的三角函數(shù)值與勾股定理得

22o

出NoAE=30。，AD=y∣AE-DE≈2√3>ZBAE=60,結(jié)合圖形得出S9ia5=S矩形ABCD-SADE-S扇形ASE，d弋入

求解即可.

【詳解】解：??,四邊形43Co為矩形,

o

.?AB=CD=AE=4fZADC=90

TE為CD中點(diǎn),

ΛCE=DE=2,

在RtAADE中，

.小yDE1

sinZDAE=---=—,

AE2

o22

：.ZDAE=30,AD=yjAE-DE=2y∕3^

；?NBAE=60。,

S陰影=S矩形A88ADE~S扇形

,CfIfAL60^×42

=AB?AD——ADDE---------

2360

=4χ26-Lχ26χ2-迎

23

=66-竺，

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形的性質(zhì)，特殊角的三角形函數(shù)值，勾股定理，求不規(guī)則圖形的面積等，理解題

意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【變式2】（2022.河南洛陽(yáng)?統(tǒng)考二模）如圖1,在「ABC中，NABC=60°,點(diǎn)。是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P

從ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿A→Bf。的路徑以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D線段OP的長(zhǎng)度

），隨時(shí)間X變化的關(guān)系圖象如圖2所示，點(diǎn)N是曲線部分的最低點(diǎn)，則ASC的面積為（）

圖1

16√3

A.4B.4√3C.8

3

【答案】D

【分析】由函數(shù)圖象可知4莊4,當(dāng)QP"LAB時(shí)，AP=2石,此時(shí)有DP長(zhǎng)的最小值，山勾股定理可以求出

DP的長(zhǎng)度，進(jìn)而結(jié)合/8=60。求得8P,即可求出AABO的面積，然后利用點(diǎn)。是BC邊上的中點(diǎn)，得到

S`BC=2SAABD?

【詳解】解：過(guò)。作。尸，43于尸

由函數(shù)圖像可得，ΛD=4,當(dāng)OPLAB時(shí)，AP=26,此時(shí)有。戶長(zhǎng)的最小值,

?'?DP=√AD2-AP2=742-(2√3)2=2

,.?ZABC=60°

???四磊吟=竿

???AB=AP+BP=-

3

ln4n1c8百8√3

?*?S=-DPAB=-×2×-1-=^-

abd2233

Y點(diǎn)。是BC邊上的中點(diǎn),

16√3

??SABC=2S=

λko3

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短、勾股定理、特殊角度的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是通過(guò)函數(shù)圖象得到當(dāng)

Z)P_L4B時(shí),AP=2y/3.

【變式3］（2020?四川自貢??？家荒＃┰?ABC中，若SinA-4+（；-CoSB）=0,/A,—5都是銳角,

則_ABC是_____三角形.

【答案】等邊

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出NA和/B,繼而可判斷JRC的形狀.

【詳解】解：VSinA-^+（g-c。SB）=0,

?*?sinA——=O,^?-eosθj=0>

/??

??sinA=—,CoSB=一,

22

NA=60°,N8=60°,

.?.一ABC是等邊三角形.

故答案為：等邊.

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷，解題關(guān)鍵是熟記特殊角的三

角函數(shù)值.

【變式4］（2022?貴州銅仁?統(tǒng)考二模）如圖，將一個(gè)矩形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0（0,

0）,點(diǎn)B（2√5,2）.。是邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），過(guò)點(diǎn)。作。E〃OB交。C于點(diǎn)E.將該紙片沿。E

折疊，得點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)U當(dāng)點(diǎn)C落在08上時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

【分析】根據(jù)8點(diǎn)坐標(biāo)可求出A8、OB,得到AB=^O8,所以44。8=30。，ZBOC=60。，再利用折疊與

2

平行的性質(zhì)，證明△OEC是等邊三角形，OE=CZ）=1A8,然后可利用三角函數(shù)求出點(diǎn)C的坐標(biāo).

2

【詳解】；點(diǎn)5坐標(biāo)為（2君,2）,

.?.AB=2,OA=2>∣3,

：.OB=?p2+(2√3)2=4

AB=-OB

2

ZAOB=30o,NBOC=60°

?.?C'是C關(guān)于OE的對(duì)稱點(diǎn)

NCED=NCED,EC=EC

,.?DE//OB

：.NCED=NEoC'=60°

.?.ZOEC,=180o-2×60o=60o

...△?！闏是等邊三角形

二OE=EC=EC'=LAB=JXI=I

22

二C橫坐標(biāo)=1Xsin60°=—,縱坐標(biāo)=?Xsin30°=?

22

（7坐標(biāo)為?,?

\/

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形，熟練運(yùn)用特殊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

1β_

【變式5】.（2021?新疆烏魯木齊?校考三模）計(jì)算：（-5）-45+2COS30--H-√^I+（M02'-2021）°.

【答案】6

【分析】利用有理數(shù)的乘方法則，絕對(duì)值的意義，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)基的意義化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=（-；）-2+2x*-（G-I）+1

=4+√3-√3+l+l

=6

【點(diǎn)睛】本題主要考查J'實(shí)數(shù)的運(yùn)算，有理數(shù)的乘方法則，絕對(duì)值的意義，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)

事的意義，正確使用上述法則進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

核心考點(diǎn)二由三角函數(shù)值求銳角

甌（2021?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，A8=6,以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓與邊BC

相切于點(diǎn)。，與AC,AB分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)G,點(diǎn)尸是優(yōu)弧GE上一點(diǎn)，NCL>E=18。，則NGFE的度數(shù)是（）

A.50oB.480C.45oD.36°

【答案】B

【分析】連接AD，由切線性質(zhì)可得NAD8=/ACC=90。,根據(jù)48=2AD及銳角的三角函數(shù)可求得NBAZ）=60。,

易求得NAOE=72。，由Ao=AE可求得ND4E=36。，則NGAa96。，根據(jù)圓周角定理即可求得NGFE的度數(shù).

【詳解】解：連接A。，則AO=AG=3,

???3C與圓A相切于點(diǎn)D

JZADB=ZADC=90o,

An1

?Rt?ADBψ,AB=6則CoSNA40=-----=—,

fAB2

ZBAD=60o,

VZCDE=18o,

JNADE=90。-18o=72o,

'：AD=AEf

：./ADE=/AED=72°,

???ZDAE=I80°-2×72o=36o,

???ZGAC=36o+60o=96o,

，NGFE=T∕GAC=48°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查切線性質(zhì)、銳角的三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、圓周角定理，

熟練掌握切線性質(zhì)和圓周角定理，利用特殊角的三角函數(shù)值求得NBA￡>=60。是解答的關(guān)鍵.

甌.（2022?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCo中，AB=I,BC=2,以8為圓心，BC的長(zhǎng)為

半徑畫(huà)弧，交A。于點(diǎn)E?則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留兀）

BC

【答案】y

【分析】先根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值，求出4BE,進(jìn)而求出NEBC,再根據(jù)扇形的面積公式求解即

可.

【詳解】解：：矩形ABC。，

.?.ZA=ZABC=90。，

以8為圓心，BC的長(zhǎng)為半輕畫(huà)弧，交AD于點(diǎn)E,BC=I,

：,BE=BC=I，

在RtABE中，AB=?,

…LAB1

.?.cos/ABE=-----=一,

BE2

二ZABE=60。,

/.ZEBC=90°-60°=30°,

30π×22π

3603

故答案為:y.

【點(diǎn)睛】本題考查了由特殊角的三角函數(shù)值求角度數(shù)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，綜合掌握以上知

識(shí)點(diǎn)并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

甌（2021?山東莉澤?統(tǒng)考中考真題）在矩形ABC。中，BC=RJDTE,尸分別是邊AD、BC上的

動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF,連接EF,將矩形A8CO沿EF折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，點(diǎn)。落在點(diǎn)月處.

Sl

（1）如圖1,當(dāng)EW與線段BC交于點(diǎn)尸時(shí)，求證：PE=PF;

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在線段CS的延長(zhǎng)線上時(shí)，G"交AB于點(diǎn)M,求證：點(diǎn)M在線段E尸的垂直平分線上;

（3）當(dāng)A8=5時(shí)，在點(diǎn)E由點(diǎn)A移動(dòng)到AO中點(diǎn)的過(guò)程中，計(jì)算出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）等.

【分析】（1）分別根據(jù)平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)即可證得/OEr=∕EFB,NDEF=NHEF,由此等量

代換可得/HEF=NEFB,進(jìn)而可得PE=PF;

(2)連接PM,ME,MF,先證RsPHM卻t..PBM(HL),可得NEPM=NFPM,再證EPM絲aFPM

(SAS),由此即可得證；

(3)連接AC,交EF于點(diǎn)0,連接OG,先證明AEAOGAFCO(AAS),由此可得。C=^4C=5,進(jìn)而

根據(jù)折疊可得OG=OC=5,由此得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，再分別找到點(diǎn)G的起始點(diǎn)和終點(diǎn)便能求得

答案.

【詳解】(I)證明：Y在矩形ABC。中，

.?AD∕∕BC,AB=CO;

.,.NDEF=ZEFB,

Y折疊，

/.NDEF=NHEF,

：.NHEF=NEFB,

：.PE=PF-.

(2)證明：連接PM,ME,MF,

；在矩形ABCz）中，

：.AD=BC,/力=∕ABC=NPR4=90°,

又YAE=CF,

：.AD-AE^BC-CF,

即：DE=BF,

：折疊，

ΛDE=HE,ND=NEHM=NPHM=90°,

：.BF=HE,∕PBA=NPHM=90°,

又???由(1)得：PE=PF,

：,PE-HE=PF-BFf

即：PH=PB,

在Rt..PHM與RfAPBM中,

?PH=PB

[PM=PMf

：.RtΛPHM9Rt4PBM(HL),

：.ZEPM=ZFPM1

在eEPM與AFPM中，

PE=PF

<NEPM=NFPM,

PM=PM

：?、EPM心FPM(SAS),

LME=MF,

???點(diǎn)M在線段EF的垂直平分線上；

(3)解：如圖，連接AC,交EF于點(diǎn)、O,連接OG,

4*Q

,

'.AB=CD=59BC=√3CD,

?*?BC-5y∣3，

???在/?分48。中，AC=JAB2+BC?=10,

YADHBC,

,/EAO=NFCO,

在AEAo與IFCo中,

AE=CF

<ZEAO=ZFCOF

AAOE=ZCOF

-OAFCO(AAS),

.,.OA=OC=AC=5,

又Y折疊,

：?OG=OC=5,

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖所示，此時(shí)點(diǎn)F,點(diǎn)G均與點(diǎn)C重合,

???點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路線為以點(diǎn)O為圓心，5為半徑的圓弧，且圓心角為/80C,

BC

在ABC中，IanZBAC=——=G，

AB

ΛZBAC=60o,

YOA=OB=OC=OG,

.?.點(diǎn)A、B、CG在以點(diǎn)。為圓心，5為半徑的圓上,

ZBOC=2ZBAC=120°,

?ΛA∣∕^120o?τr?5104

?,8。的長(zhǎng)為=一

3

；?點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為亍.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、圓的相關(guān)概念及性質(zhì)，弧長(zhǎng)公

式的應(yīng)用，第（3）問(wèn)能夠發(fā)現(xiàn)。G=5是解決本題的關(guān)鍵.

.圖窩題筑

【變式1】（2022?山東濱州?統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為6的。。中，點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，點(diǎn)。是優(yōu)弧BC

c?州D-相

【答案】A

【分析】設(shè)8C與OA交于E點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)A是劣弧8C的中點(diǎn)，得到AC=A8,繼而得到NCOA=NAOB,根

據(jù)SinO=g,得出銳角/0=30。，再同一段弧其所對(duì)圓心角是其所對(duì)應(yīng)圓周角的兩倍，得到NCoA=2/〃,

NCoA=60。=NAoB,再得到NOe8=/。8。=30。，因?yàn)镹oEC=I80。-/。CB-/COA=90。，可知△0EC是直

角三角形，利用特殊角即可求出CE,再同理求出BE,即可求出8C.

【詳解】設(shè)BC與OA交于E點(diǎn)，

：點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn),

?>?AC=AB>

二圓心角NCoA=NA08,

sinD=-,

2

，銳角ND=30。,

Y同一段弧其所對(duì)圓心角是其所對(duì)應(yīng)圓周角的兩倍，即NCo4=2ND,

JZCOA=60o=ZAOB,

XVOC=OBi

：.NOCB=NOBe=3。。,

.?ZOEC=180o-ZOCB-ZCOA=90o,即^OEC是直角三角形，

o

V0C=6fZOCB=ZOBC=30f

.?.CE=*OC=3g，

同理可求出8E=3√L

.?BC=CE+EB=6>∣3，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、圓心角與圓周角的關(guān)系、解直角三角形等知識(shí).依據(jù)sin。=：得到ND=30。

再得到NCoA=2ND,/COA=60。=/AoB是解答本題的關(guān)鍵.

【變式2］（2022?山東?統(tǒng)考二模）如圖，己知在矩形48C。中，AB=1,BC=√L點(diǎn)尸是AD邊上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)3P,點(diǎn)C關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)為C∣,當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G也隨之運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)、D,則線段CG掃過(guò)的區(qū)域的面積是（）

42

【答案】B

【分析】先判斷出點(diǎn)Q在以8C為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，再判斷出點(diǎn)。在以8為圓心，BC為直徑的圓弧上運(yùn)

動(dòng)，找到當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)C/運(yùn)動(dòng)的位置，利用扇形的面積公式及三角形的面

積公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)BF與CC/相交于0,則N8QC=90。，

，當(dāng)點(diǎn)P在線段4。運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。在以8C為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng),

延長(zhǎng)CB到E,使BE=BC,連接EC,

VC.。關(guān)于PB對(duì)稱，

NECiC=NBQC=90。,

二點(diǎn)C/在以B為圓心，8C為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)E重合，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)尸重合，

：.ZPBC=30o,

∕F8P=NPBC=30。，CQ=-BC=-,BQ=^CQ=-,

222

二ZFBE=180o-30o-30°=120o,SBCF=BCCBQ=與弓=手，

線段CC,掃過(guò)的區(qū)域的面積是12°萬(wàn)X（右）IS”+坦

360BCF4

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)以及扇形面積公式等

知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3］（2021?貴州遵義?統(tǒng)考一模）在綜合實(shí)踐課上，某學(xué)習(xí)小組要測(cè)量塔的高度，在測(cè)量過(guò)程中，結(jié)

合圖形進(jìn)行了操作（如圖所示）.在塔AB前的平地上選擇一點(diǎn)C,測(cè)出塔頂?shù)难鼋菫?0。，從C點(diǎn)向塔底

8走80m到達(dá)。點(diǎn)，測(cè)出塔頂?shù)难鼋菫?5。，那么塔AB的高為m（計(jì)算結(jié)果精確到0.1m,參

考數(shù)據(jù):√2≈1.41?√3=1.73）.

【答案】109.2

ARAfi

【分析】在RmABD中，BD=--------，在RsABC中，BC=---------,再根據(jù)CD=BC-BD=SO即可

tanZADBtanZACB

求解.

【詳解】根據(jù)題意可知A8,8C,

在RfAAB。中,BD=———

tanZADB

在放△ABC中,BC二

tanZACB

VZADB=45o,ZACB=30o,

48AB

/.BD=BC==√3AB,

tanXADBtanNACB^tanZ30o

VCD=80,

ICD=BC-BD=y∕3AB-AB=80，

=40√3+40≈40×1.73+40=109.2(m),

故塔高109.2米,

故答案為：109.2.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解仰角的含義并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵.

【變式4】.（2022?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，連結(jié)AO,過(guò)點(diǎn)A

作ABIx軸于點(diǎn)8,AB=BOB=I,把ABO繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。后，得到.小瓦。，則點(diǎn)A的坐標(biāo)

為_(kāi)_____

【答案】(一2,0)

【分析】根據(jù)勾股定理可得OA,根據(jù)特殊三角比求出/408=6()。，可知AABO繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。后

OA的對(duì)應(yīng)邊04位于X軸上，繼而可得答案.

【詳解】解：：4?上X軸于點(diǎn)8,AB=BOB=X,

ARL

.*.tanZAOB=—=√3,OA=SB2+AB?=J%（可=2

OB

ZAQB=60°,

，把，ABO繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后?，得到如下圖,

OA=OA—2,

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),

故答案為：(-2,0)

【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)變換下坐標(biāo)與圖形的變化,解直角三角形得出OA的長(zhǎng)是解題的根本，根據(jù)AABO

繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。后OA的對(duì)應(yīng)邊04位于X軸上是解題的關(guān)鍵.

【變式5](2022?重慶?重慶八中?？寄M預(yù)測(cè))如圖，一艘漁船位于小島8的北偏東30。方向，距離小島20

千米的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15。的方向航行.

（1）漁船航行多遠(yuǎn)距離小島B最近（結(jié)果保留根號(hào)）？

（2）漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行10而千米到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島

8上的救援隊(duì)求救，問(wèn)救援隊(duì)從8處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少.（結(jié)

果精確到1千米，參考數(shù)據(jù)√Σ*1.41,6z1.73,2.45）

【答案】（I）ICK∕∑km;

（2）從B處沿南偏東45出發(fā)，最短行程20√Σkm?

【分析】（1）過(guò)8點(diǎn)作AC的垂線比＞交AC于點(diǎn)。，則A。為所求，根據(jù)已知條件得到乙BAD=45。即可

解答；

（2）根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值得到NC=30。，ZDBC=60°,從而求出BC的長(zhǎng)度，再求出NDBE的度

數(shù)，即可得到ZESC的度數(shù).

【詳解】（1）解：過(guò)B點(diǎn)作Ae的垂線5。交AC于點(diǎn)。，

；垂線段最短，AC上的。點(diǎn)距離B點(diǎn)最近，A/）即為所求，

由題意可知：ZBAF=30°,ZC4F=15o,

二NBAD=45。,A。=BD=ABxsin45。=20x￥=10&（km）,

.??漁船航行10√2km時(shí),距離小島B最近.

⑵解：在R皿中，tanNC=翳舒=冬

..NC=30。，ZDBC=60°,

=20√2(km),

BC=瑪

,.?ZABD=45o,ZABE=90°-30°=60°,

.-.ZDBE=15°,

.?.NEBC=ZDBC-ZDBE=45".

答：從8處沿南偏東45出發(fā)，最短行程20夜km.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問(wèn)題，結(jié)合航海中的實(shí)際問(wèn)題，將解直角三角形的相

關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)/數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想.

核心考點(diǎn)三銳角三角函數(shù)的增減性

O意題悠究

H（2020?湖南婁底?中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個(gè)杠桿,動(dòng)力臂Li=Lcosa,阻力臂L2=∕?cos∕7,

如果動(dòng)力F的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力變化情況是（）

A.越來(lái)越小B.不變C.越來(lái)越大D.無(wú)法確定

【答案】A

【分析】根據(jù)杠桿原理及coSa的值隨著α的減小而增大結(jié)合反比例函數(shù)的增減性即可求得答案.

【詳解】解：???動(dòng)力X動(dòng)力臂=阻力X阻力臂,

，當(dāng)阻力及阻力臂不變時(shí)，動(dòng)力X動(dòng)力臂為定值，且定值＞0,

動(dòng)力隨著動(dòng)力臂的增大而減小，

；杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)口的度數(shù)越來(lái)越小，此時(shí)CoSa的值越來(lái)越大，

乂動(dòng)力臂4=L?cosα,

.?.此時(shí)動(dòng)力臂也越來(lái)越大，

,此時(shí)的動(dòng)力越來(lái)越小，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了杠桿原理以及銳角三角函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解決本

題的關(guān)鍵.

雨（2022?陜西西安?交大附中分校?？既＃┤鐖D，在矩形ABCZ）中，。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E為AD

上一點(diǎn)，若AC=46OE=2,則A8的最大值為.

【答案】4

ABABOF

【分析】設(shè)ZAa=a'則NoHa‘根據(jù)Suk運(yùn)‘抽”而，根據(jù)正弦的增減性可得，當(dāng)。F

最大值，AB取得最大值，進(jìn)而即可求解.

【詳解】設(shè)NACB=α,則NO4E=a,

ABAB

則…SnIa=G=石

OF

過(guò)點(diǎn)OZ7LAZ),則Sina=-----

AO

OE=2,當(dāng)￡：點(diǎn)與尸點(diǎn)重合時(shí)，QF取得最大值，此時(shí)α最大，則Sina最大，即AB取得最大值,

2AB

此時(shí)韭=法，Aβ=4

?'?A8的最大值為4

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正弦的增減性，掌握三角函數(shù)的關(guān)系，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

甌（2021.浙江寧波.統(tǒng)考一模）如圖是某公園的一臺(tái)滑梯，滑梯著地點(diǎn)8與梯架之間的距離BC=4m.

RC

（1）現(xiàn)在某一時(shí)刻測(cè)得身高1.8m的小明爸爸在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為0.9m,滑梯最高處A在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為1m,

求滑梯的高AC；

（2）若規(guī)定滑梯的傾斜角（/A8C）不超過(guò)30。屬于安全范圍，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這架滑梯的傾斜角是否符

合安全要求？

【答案】（1）2米；（2）符合

【分析】（1）利用影長(zhǎng)物高成比例求解即可；

（2）先求出銳角三角函數(shù)值，再利用銳角三角函數(shù)值求出角的范圍即可.

【詳解】解：（1）竿=懸，

AC=2m,

答：滑梯高AC為2米；

（2）VAC=2m,BC=4m,

.*.tanZABC=-=-=-<-=tan300,

BC423

：正切值隨著角的增大函數(shù)值增大，

：.ZABC<30°,

這架滑梯的傾斜角符合安全要求.

【點(diǎn)睛】本題考查影長(zhǎng)物高成比例性質(zhì)，正切三角函數(shù)的定義，及正切函數(shù)的增減性，掌握影長(zhǎng)物高成比

例性質(zhì)，正切三角函數(shù)的定義，及正切函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵.

厚命題舊確

1.三角函數(shù)值的變化規(guī)律

①當(dāng)角度A在0?！?0°間變化時(shí)，正弦值和正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?/p>

②當(dāng)角度A在0。—90°間變化時(shí)，余弦值和余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?。

2級(jí)日頌鼠

【變式1］（2020?甘肅張掖?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若（）o<α<90。，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.SinC隨α的增大而增大B.CoSa隨a的減小而減小C.ta∏α隨α的增大而增大

D.OVSinaCl

【答案】B

【分析】如圖，作半徑為1的CaCZ）I.功，CQEF均為直徑，BHVOC,AGA.OC,A,B都在。上，利

用銳角三角函數(shù)的定義分析可得答案.

【詳解】解：如圖，作半徑為1的O,CDVEF,8,EF均為直徑，BHVOC,AGLOC,

AB都在I。上，

.?.OA=OB=1,

DfJ

IIIsinZBOH=——=BH,sinZAOG=——=AG,

OBOA

顯然，ZBOH<ZAOG,而W7<AG,

所以當(dāng)0。<1<90。時(shí)，Sina隨α的增大而增大，故A正確；

同理可得:

當(dāng)0。<?<90。時(shí)，cosα隨α的減小而增大，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)0。<=<90。時(shí)，tana隨α的增大而增大，故C正確；

當(dāng)a=ZAOG,當(dāng)點(diǎn)A逐漸向尸移動(dòng)，邊AG逐漸接近。4,

Δ∩

:.sina=sinZAOG=逐漸接近1.

OA

當(dāng)0。<夕<90。時(shí)，0<sina<l,故D正確；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角的正弦，余弦，正切的增減性，掌握利用輔助圓理解銳角三角函數(shù)的增減性是

解題的關(guān)鍵.

【變式2].（2022?上海??？寄M預(yù)測(cè)）如果銳角4的度數(shù)是25。，那么下列結(jié)論中正確的是（)

Ov?

A.0<sinA<—B.a0<cosAλ<—

22

C.<tanA<1D.1<cotA<?/?

3

【答案】A

【分析】根據(jù)“正弦值隨著角度的增大而增大''解答即可.

【詳解】解：V0o<25o<30o

.*.0<sin25」

2

/.0<sinA<?.

2

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角形的增減性，當(dāng)角度在0。~90。間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的增大（或

減?。┒龃螅ɑ驕p小）；②余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅虎壅兄惦S著角度的

增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?

【變式3]（2020?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考二模）在直角三角形ABC中，角C為直角,銳角A的余弦函數(shù)定義為,

寫(xiě)出sin70t?cos40o?COS50。的大小關(guān)系.

AC

【答案】COSA=——sin70o>cos40o>cos50°

AB

【分析】根據(jù)余弦的定義即可確定答案；根據(jù)sin7（）o=cos2（）。且正弦隨角度的增大而增大，余弦隨角度的增

大而減小即可確定大小關(guān)系.

【詳解】解：Y直角三角形ABC中，角C為直角

,??3C為斜邊，AC為直角邊且為NA的一邊

余弦的定義為COSiA=---；

?.?sin70*cos20。且正弦在銳角范圍內(nèi)隨角度的增大而增大，余弦在銳角范圍內(nèi)隨角度的增大而減小

.*.sin70o==cos200>cos400,cos40o>cos50°

，sin70o>cos40o>cos50°.

故答案為COSA=——，Sin700>cos400>cos500.

AB

【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)的定義和正弦、余弦函數(shù)的增減性，掌握正弦在銳角范圍內(nèi)為增函數(shù)

、余弦在銳角范圍內(nèi)為減函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.

【變式4］（2022?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0,3）,點(diǎn)。平分BC,BC=2√3,

點(diǎn)、E、。分別在84、C4上運(yùn)動(dòng)，且AE=CD,連接CE、BZ）交于點(diǎn)P,點(diǎn)尸（26,1）,連接PF,貝IJNPPC

度數(shù)的最大值為.

【分析】根據(jù)已知條件證明AAEC絲aCr>B,ZBPC=120°,求得點(diǎn)尸的軌跡，延長(zhǎng)FC交V軸于點(diǎn)Q,以

。為圓心，QC為半徑作圓，交y軸于點(diǎn)〃，連接而"，過(guò)點(diǎn)、QNLFP,交EP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接

OB,OB,OP,根據(jù)正弦的增減性判斷當(dāng)PF與。相切時(shí)候，ZPFC度數(shù)最大.

【詳解】?點(diǎn)A（0,3）,點(diǎn)。平分BC,βC=2√3,

OB=OC=?∣3，

AOlBC,

AB=AC,

在Rt40C中，AO=3,OC=y∣3,

tanAACO—――=,

OC√3

.?.ZACO=60°=ZSAC,

.?.ABC是等邊三角形，

AC—BC,

在AAEC與ACDB中，

AE=CD

,ZEAC=ZDCBF

[AC=BC

AEgCDB,

.λZACE=ZDBC,

ZACE+ZECB=60°.

:.ZDBC+ZECB=ZACE+ZECB=60°,

.?.NBPC=120。，

延長(zhǎng)FC交y軸于點(diǎn)Q,以。為圓心，QC為半徑作圓，交y軸于點(diǎn)M,連接B以，過(guò)點(diǎn)Q作QNLEP,交

設(shè)直線FC的解析式為丁="+。,

L=正

解的一號(hào)

?=-l

β(0,-l).

:.tanZOβC==√3,

.?.NOQC=60°,

.?.NBQC=I20。，

?"?BC=240o,

ZBPC=UQo,

P?G。上,

設(shè)NCFP=a,貝IJSina=萼，

QF

QF為定值，Sina=黑隨著QN的增大而增大，即α最大時(shí)，QN最大,

當(dāng)QN=QM取得最大值，

此時(shí)PF與（O相切，

.?.￡=90。-NOQF=30。，

即NPFC度數(shù)的最大值為30。.

故答案為:30°.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，正弦的增減性，求得點(diǎn)P的軌跡是解

題的關(guān)鍵.

【變式5］（2022春?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知/ABC和射線Bo上一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)8不重合），

且點(diǎn)P到54、BC的距離為PE、PF.

（1）若NEBP=40。，NFBP=20°,PB=m,試比較PE、P尸的大?。?/p>

⑵若NEBP=4FBP=B,a,夕都是銳角，且&>￡.試判斷PE、P尸的大小，并給出證明.

【答案】（I）PE>PF

Q）PE>PF,理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，分別表示出尸E,「尸，進(jìn)而根據(jù)角度比較函數(shù)值的大小即可求解;

（2）同（D的方法，即可求解.

【詳解】（1）解：在Rt43PE中，sin∠zEBP=-=sin40o,

PE=BPSin400,

在Rt_BPF中，SinNTBP=葛=sin200,

PF=BP-sin20o,

又sin40°>sin200,

.?.PE>PF;

(2)解：由(1)得PE=8P?sinα,PF=BPSin0,

a>β,

.,.sina>sin∕?,

.?PE>PF.

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦的定義，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

核心考點(diǎn)四解直角三角形及其應(yīng)用

a意題超寬

H(2022.湖北黃石.統(tǒng)考中考真題)我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)：割之彌細(xì)，所失彌少，割

之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣"，即通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開(kāi)始，每

次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形......邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形

的周長(zhǎng)就越接近圓的周長(zhǎng).再根據(jù)“圓周率等于圓周長(zhǎng)與該圓直徑的比'’來(lái)計(jì)算圓周率.設(shè)圓的半徑為R,圖

1中圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)4=6R,則萬(wàn)=2=3.再利用圓的內(nèi)接正十二邊形來(lái)計(jì)算圓周率則圓周率約為

2A

()

A.12sinl5oB.12cosl5oC.12sin30oD.12cos30o

【答案】A

【分析】求出正十二邊形的中心角，利用十二邊形周長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】解：；十二邊形AaAz是正十二邊形，

??"4=等30。,

?.?OH_LAA于”，又OA=O4,

...NAoH=15°,

.?.圓內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)八=12X2RSinI5。=24RSinI5。,

π^≈-^-=12sin15°

2R

故選：A.

4HAl

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，求出正十二邊形的周長(zhǎng)是解題

的關(guān)鍵.

甌（2022.湖北黃石?統(tǒng)考中考真題）某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展無(wú)人機(jī)測(cè)旗桿的活動(dòng)：已知無(wú)人機(jī)的飛行高

度為30m,當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行至4處時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30。，繼續(xù)飛行20m到達(dá)8處，測(cè)得旗桿頂部

的俯角為60。，則旗桿的高度約為m.（參考數(shù)據(jù)：6=1.732,結(jié)果按四舍五八保留一位小數(shù)）

【答案】12.7

［分析］設(shè)旗桿底部為點(diǎn)C,頂部為點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE±AB,交直線AB于點(diǎn)E.設(shè)DE=xm,在RtABDE

DEX廠tan30。=DE=___Ξ___=3?

中，tan60。==!=*=百，進(jìn)而求得AE,在由△A。E中，.比-G-3,求得x,根

BEBE20+Δ-X

3

據(jù)CD=CE-QE可得出答案.

【詳解】解：設(shè)旗桿底部為點(diǎn)C,頂部為點(diǎn)D,延長(zhǎng)Co交直線AB于點(diǎn)E,依題意則OEJ_AB,

則CE=30m,A8=20m,NEAr>=30°,NEBQ=60°,

設(shè)DE=xm,

在Rt△BDEl∣1,tan60°=----=-----=?/?

BEBE

解得BE=正X

3

則AE=AB+BE=(20+^x)m,

.Q八。DEX6

在RoAQE中，AEy∣33>

20H-----X

3

解得X=IoGBl7.3m,

/.CD=CE-DE=12.7m.

故答案為：12.7.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

甌（