2023年山東省專(zhuān)升本考試高等數(shù)學(xué)Ⅰ試題和答案

山東省2023年普通高等教育專(zhuān)升本統(tǒng)一考試

高等數(shù)學(xué)(I)真題答案

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5道小題，每小題3分，共15分)

I.函數(shù)y=ln(3x-l)的定義域?yàn)?

2.下面屬于三階微分方程提()

A.x1y''-xy'+y=QB.x(y')'-2yy'+x=0

C./-3/=0Dx2dy+y3dx=0

3.x->0時(shí)以下不是無(wú)窮小量的是()

A.tanxB.sin2AC.ln(l+x)D.e'+I

4.已知/(x)在x=3可導(dǎo)，且!嗎"3-2?-/(3)=4,則/")=()

A.2B,-2C.4D-4

5.級(jí)數(shù)“收斂，則下列收斂的是()

rr=l

A.￡(-1)“B.￡,+，)

I“11〃)"1"I\nJ

二、填空題(本大題共5小題，每題3分，共15分)

6.極限(1+x)；=.

7.已知方=(-2,l,A),6=(4,5,1),且。上5,貝I]A=.

8.已知參數(shù)方程卜=，則立/=o=_____________.

j=arcsinrdx

9.已知//(/)力=x'+x2,則/(4)=.

10.二重積分J：必J'""’/(X/)砂+['方交換積分次序后為

三、解答題(本大題共8個(gè)小題，每小題6分，共48分)

11.求極限lim(ylx2+3x-x\.

\/

l-cosx_

12.求極限lim----r

x—0X’

13求不定積分J77dm

14.求過(guò)點(diǎn)幺(1,0,-4),8(3,1,-2)且與直線『=詈=|■平行的平面方程.

15.求二元函數(shù)二=Jy2+l+ln（x-y）的全微分.

16.求微分方程x3+xy=/+Inx滿足初始條件y\x=l=1的特解.

17.計(jì)算二重積分JJ—j===dxdy，式中D=',y|04y4Gx,1C/44,

18.求幕級(jí)數(shù)■三一的收斂域與與函數(shù).

”（）（〃+2）m

四、應(yīng)用題(本大題共2道小題，每小題7分，共14分)

19.求由直線x+y=2，曲線y=4與y軸圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而圍成旋轉(zhuǎn)體

的體積.

20.求函數(shù)/(x)=(2x-3)e*-x2+x的極值.

五、證明題(本大題共1道小題，每小題8分，共8分)

21.設(shè)函數(shù)/(x)在［0,1］連續(xù)，且f/(x>Zx=l

證明：

(1)對(duì)于任意整數(shù)〃N2,存在x°w(0,l),使得『/(x)公=L

(2)在(0,1)內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)J,",使得〃〃)+3/⑹=4⑹/(〃).

山東省2023年普通高等教育專(zhuān)升本統(tǒng)一考試

高等數(shù)學(xué)（I）真題答案

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5道小題，每小題3分，共15分）

1.函數(shù)y=ln（3x-l）的定義域?yàn)椋ˋ）

A.(g,+8B[-8'g

2.下面屬于三階微分方程提（C）

A.x2y"-xy'+y=0B.-^yy'+x-0

c.y-3/=oD.x2dy+y3dx=0

3.x->0時(shí)以下不是無(wú)窮小量的是（D）

A.tanxB.sin2xC,ln(l+x)D.e*+1

.已知（）在可導(dǎo)，且/（3）則，（）（）

4/xx=3匚；；h.=4,/3=B

A.2B.-2C,4D,-4

5.級(jí)數(shù)￡〃“收斂，則下列收斂的是（D）

n-\

AS（-i）ZC.￡WD.tk-±

n-\n=\\nJn-\w=l\〃

二、填空題（本大題共5小題，每題3分，共15分）

5

6.極限1叫（1+工產(chǎn)=/.

7.已知萬(wàn)=（一2,14），6=（4,5,1）,且萬(wàn)貝心=3.

8.已知參數(shù)方程卜='+",則@/=0=_____1______.

y=arcsin/dx2

9.已知//⑴力=/+/,貝|/（4）=8.

交換積分次序后為

f(ry沖.

三、解答題(本大題共8個(gè)小題，每小題6分，共48分)

11.求極限lim(Jx?+3x-x).

XT+8\/

..3x].33

lim/---=lim]——二—

i&+3x+x…1+-+12

1-COSJccc-

12.求極限lim二-COSJ

x->0x2

ei-cosx_，e1-C0SJsinj+sinj

解：hm-------C-0-S-A-=hm---------------

XT。XXT。2x

1-8SX1\-COSX1

=lim-------sinx=lim--------sinx=1

XTO2XXT02X

13.求不定積分f-——Xdx.

Jx2+10x+26

解：f----------dx-\----5----dx-[---------d(x+5)=arctan(x+5)+C

W+iOx+26Jl+(x+5)2Jl+(x+5)2V；I)

14.求過(guò)點(diǎn)/(LO,-4),8(3,1,-2)且與直線三士=絲2=三平行的平面方程.

解：方二(2,1,2),平面的法向量萬(wàn)二刀、(3,—1,2)=(4,2,—5)

所以平面方程為：4(x-l)+2y-5(c+4)=0

即4x+2y-51-24=0.

15.求二元函數(shù)二=，"+1+皿、-田的全微分.

16.求微分方程x2j'+xy=/+Inx滿足初始條件1的特解.

解：方程中了+孫=/+lnx可變形為=1-

XX

所以通解為y=e仆（C++用e"屋

1、

即歹"c+—+

2

7

又因?yàn)橐?=；,所以c+；=；,所以c=o

所以歹」y+Hln^）2

八22J

17.計(jì)算二重積分JJ/”,dxdy,式中Z)=^x,j|O<j<V3x,l<x2+y2<41.

D'x~+y，

解：

W-^^dxdy=R「八、…我

4乒了JoLJ,，J

17r-

r29SindcosOdrd0=—\3sinOcos3d3

」3」。

7

8

8丫〃+2

18.求累級(jí)數(shù)、的收斂域與與函數(shù).

氣（〃+2）〃!

解:

|乜W=hm,%("型=J±

imnlim=0

〃f8a〃(x)〃-8(〃+3)(〃+])!xw->oon_|_1

丫〃+2

所以的收斂域?yàn)椋ㄒ弧恪悖?8）

〃=o（〃+2）〃！

令S(x)=￡―巨+工+上―

n=0("+2)〃！23-1!4-2!5-3!

234(23、

g、l“\XXX.XXX

所以S'(x)=x+—+---------+???=%1+—+—+—+???=xex

1!2!3!I1!2!3!J

5(x)=￡xexdx=￡xdex=xex-ex+1.

四、應(yīng)用題(本大題共2道小題，每小題7分，共14分)

19.求由直線x+y=2,曲線y=&與歹軸圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而圍成旋轉(zhuǎn)體

的體積.

X4-V=2、

.由廠得交點(diǎn)(1,1)

y=ylx

所以旋轉(zhuǎn)體的體積為：匕=可［(2-"-丫辦

=-x］dx=;r《［4-5x+x1dx=;r4x—1-J<2+

20.求函數(shù)/(x)=(2x-3)e*--+x的極值.

令廣(x)=(2x-1乂"-1)=0,得駐點(diǎn)x=°和x=；

/〃(x)=(2x+l)e、-2

(；)=2/_2=2/_2〉0

r(o)=-i<o,

所以極大值為/(0)=3,極小值為/(；)=-2/+；=-24+；

五、證明題(本大題共1道小題，每小題8分，共8分)

21.設(shè)函數(shù)〃x)在［0』連續(xù)，且￡/(x*x=l

證明：(1)對(duì)于任意整數(shù)〃22,存在/e(0,l),使得=：

(2)在(0,1)內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)使得/(〃)+3/仔