2023高考數(shù)學復習練8　等差數(shù)列與等比數(shù)列

板塊二數(shù)列

微專題8等差數(shù)列與等比數(shù)列

高考定位1.等差、等比數(shù)列的基本運算和性質的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題

形式出現(xiàn)；2.數(shù)列的通項也是高考熱點，難度中檔以下.

真題演練感悟高考練真題明方向

L（2022?全國乙卷）已知等比數(shù)列｛&”｝的前3項和為168,。2—G=42,則&6=（）

A.14B.12

C.6D.3

答案D

解析法一設等比數(shù)列｛0,,｝的首項為0,公比為q,

[a?q（1—?。?42,

卜1=96,

解得｛1所以Q6=α同5=3,故選D.

g，

法二設等比數(shù)列｛z｝的首項為αι,公比為4,

、aiq(1—qi)=42,

?1=96,

解得＜1所以"6="∣q5=3,故選D.

4=2，

2?(2021?全國甲卷)記S,為等比數(shù)列｛“”｝的前〃項和.若a=4,54=6,則S6=()

A.7B.8

C.9D.1O

答案A

解析法一因為S2=4,S4=6,且易知公比夕≠±1,所以由等比數(shù)列的前〃項

和公式，得

La↑(Ir2)

S2=;=a?(l+q)=4,

1—qn

<

d?(1—/)

54—]_q=a?(l+q)(1+^r2)=6,

兩式相除，德薩=?

f?i=4(2-√2),Pn=4(2+√2),

所以｛√2或｛蛆

S2〔夕一2，

d?(1—)

所以S6=1q=7.故選A.

i-q

法二易知S2,S4—S2,S6-S4構成等比數(shù)列，由等比中項得S2(S6-S4)=(S4-S)2,

即4(56—6)=22,所以S6=7.故選A.

3.(2022?新高考II卷)圖1是中國古代建筑中的舉架結構，Λ4,,BB',CC',DD，是

桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的

示意圖，其中。Oi,CC∣,BBι,A4∣是舉，ODi,DCι,CBι,BAI是相等的步，

相鄰桁的舉步之比分別為鋁=05等=%，*=k2,碧i=依.已知h,k2,k3

UU?Z√C1CniL)Λ?

成公差為01的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725,則依等于()

A.0.75

C.0.85D.0.9

答案D

解析設ODI=OG=CB=BAI=I,

則CC?=k?,BBι=k2,AAι=k3,

依題意，有fa—0.2=kι,ki—0.1=fo,

DDi+CCι+BBι+AAι

且麗不麗IF函不及T=0?725

.0.5+3fe~0.3

所以-----4--------=8725

故fa=0.9.

4.(2021.全國甲卷)已知數(shù)列｛z｝的各項為正數(shù)，記S〃為｛z｝的前〃項和，從下面

①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛z｝是等差數(shù)列；②數(shù)歹∣J｛√廄｝是等差數(shù)列；③"2=3m.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

解①③=>②.

已知｛Z｝是等差數(shù)列，42=30.

設數(shù)列｛&"｝的公差為d,則a2=3αι=αι+d,得d=2αι,

“…cnCn-1)

所以Sn~~TlCl1~∣l2d=n9Cl?.

因為數(shù)列｛&｝的各項均為正數(shù)，所以低=，而，

所以小—小n=(〃+IN^Lfr^i=G'1(常數(shù))，所以數(shù)列｛、國｝是等差數(shù)列.

①②,③.

已知｛z｝是等差數(shù)列，｛VM｝是等差數(shù)列.

設數(shù)列｛z｝的公差為d,

.n(n—1)1?.fd?

貝rτ!lJS∏=na?+------2-------df=17T^fd+(αι-］卜.

因為數(shù)列｛低｝是等差數(shù)列，

所以數(shù)列｛低｝的通項公式是關于n的一次函數(shù)，

d

-

2

所以a2=a?+d=3a?.

②③=①.

已知數(shù)列｛低｝是等差數(shù)列，02=30,

所以Si=Gi,S2=αι+α2=4αι.

設數(shù)列｛低｝的公差為4d>0,

1

貝卜氐一y/^=y∕^^ι-y∣~^τ=d,得aι=d9

所以次∣=4+(/2—1)J=nd,

22

所以S11=nd,

=22

所以“22時，anSn—Sn-1=n<fi—(n—l')<fi=2cPn—<fi,

22

對〃=1也適合，所以an=2dπ~d,

所以a∏+ι—。"=2心(〃+1)一法一(2法〃一心)=24(常數(shù))，

所以數(shù)列｛z｝是等差數(shù)列.

熱點聚焦分類突破研熱點析考向

熱點一等差數(shù)列'等比數(shù)列的基本公式

I核心歸納

1.等差數(shù)列的通項公式：α,ι=αι+(〃-l)d;

n

2.等比數(shù)列的通項公式：an=a?-q^'.

3.等差數(shù)列的求和公式：

n(αι+α,ι)n(n—1)

Sn=2=net1I2d；

4.等比數(shù)列的求和公式：

m(1一夕")-1一出詞

—q=-q,q,

｛net?q=1.

9

例1(1)已知等比數(shù)列｛為｝的各項均為正數(shù)，且竽，詈，G成等差數(shù)列，則鬻氏

等于()

A.9B.6

C.3D.1

(2)(2022?全國乙卷)記S,為等差數(shù)列｛z｝的前n項和.若2S3=3S2+6,則公差d=

(3)已知｛α,,｝是遞減的等比數(shù)歹∣J,且42=2,α∣+α3=5,則｛a”｝的通項公式為

a?aι+aιas÷???+anan?ι(n∈N*)=.

答案(I)A(2)2(3)Z=(O("∈N*)y×L群］

解析⑴設公比為《，由當，號,。2成等差數(shù)列，

可得苧+z=竽,

所以粵?+αιq=號

則q2-2q—3=0,

解得4=一1（舍去）或q=3.

6~。2（）+。19a?^q1+a?ιq1?C

所以?=?=q=9.

418十防7。18十。17

(2)由2S3=3S+6,

可得2(0+。2+。3)=3(。1+〃2)+6,

化簡得2。3=。1+。2+6,

即2(αι+24)=2αι+d+6,

解得d=2.

(3)設等比數(shù)列｛z｝的公比為q,

由。2=2,αι+α3=5,

嘮2+2q=5,

解得I=/或4=2,

又｛“”｝是遞減的等比數(shù)列，

所以q=T，所以Z=SxQ)=:

所以ClnCln+1-^∏~3'^n~2-^r?n~^,

則α1α2+α2α3T-----?-anan+?是首項為8,

公比為(的等比數(shù)列的前〃項和,

8×

故a?aι^?-a2a3-?-----F‰czn∣ι=

規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量問題的求解策略

(1)抓住基本量：首項⑶、公差d或公比g.

(2)熟悉一些結構特征，如前〃項和為Sa=。/?+加3,人是常數(shù))形式的數(shù)列為等差

數(shù)列，通項公式為α"=p?g"-∣S,q≠0)形式的數(shù)列為等比數(shù)列.

訓練1(1)(2022.濰坊三模)已知等差數(shù)列｛m｝的前〃項和為S”，若S7-S6=24,?3

=8,則數(shù)列｛“"｝的公差d=()

A.2B.4

C.6D.8

(2)已知等比數(shù)列｛z｝的前〃項和為S”αι+α3=3O,54=90,設為=l0g2(%?),則

數(shù)列｛為｝的前15項和為()

A.16B.80

C.120D.150

⑶(2022.成都診斷)程大位是我國明代偉大的數(shù)學家，在他所著的《算法統(tǒng)宗》中

有一道“竹筒容米”題：家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均平；下頭三節(jié)三升九，

上梢四節(jié)貯三升；惟有中間二節(jié)竹，要將米數(shù)次第盛；若是先生能算法，教君只

算到天明.用你所學的數(shù)學知識求得中間二節(jié)的容積和為()

A.2.1升B.2.6升

C.2.7升D.2.9升

答案(I)B(2)C(3)A

解析(1)設等差數(shù)列｛z｝的首項為出，

公差為d,則a∏=a?+(n-l)d9

而O7=S7-S6=24,又43=8,

/.。7—Q3=αι+6d-(。1+2t∕)=4d=16,

解得d=4,故選B.

(2)設等比數(shù)列｛m｝的公比為q,

則S4=αι+。2+。3+。4=(。1+。3)(1+夕)=90,

又m+α3=。ι(l+q2)=30,

解得“ι=6,q=2,

所以z=mq"∣=3?2",

則｛6｝為等差數(shù)列，

所以數(shù)列｛瓦｝的前15項和

15(?ι+?ιs)15X(1+15)

=120.故選C.

Tl5=22

(3)設從下到上每節(jié)竹容積構成數(shù)列｛z｝,易知｛z｝為等差數(shù)列,

設其公差為d,

則αι+α2+α3=3.9,46+m+α8+α9=3,

(a1+α3)×3(.aβ^?^ag)×4

即-----?---------=3.9,----------?---------=3,

所以αi+43=2.6,Λ6+<29=1.5,

即2α∣+2d=2.6,2aι+13√=1.5,

解得ɑι=1.4,d=—0.1,

所以?4=1.1,?5=1,

所以04+α5=2.L故選A.

熱點二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質

I核心歸納

1.通項性質:若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,左∈N*),則對于等差數(shù)列，有am

+an=ap+aq=2ak,對于等比數(shù)列，有aman=apaq=ai.

2.前〃項和的性質(加，"∈N*):

對于等差數(shù)列有S”，Sim-Sm,S3”,—S2,”，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有S”,S2m

-Sm,S3m—S2,”，…成等比數(shù)列(夕=—1且〃2為偶數(shù)情況除外).

例2(1)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列伍”｝中，。3=2—√Lα5=√2+l,則aia5+2a2aβ

+。3。7=()

A.lB.9

C.5√2+7D.3√2+9

(2)(2022.寶雞二模)設等比數(shù)列｛詞的前〃項和為S,若*3,則%=()

7

A.2B.β

8

e,?D.3

(3)(2022?韶關一模)設的為等差數(shù)列｛z｝的前〃項和,。6+。7=1,則S∣2=；

若?7<0,則使得不等式S,,<0成立的最小整數(shù)〃=.

答案(I)B(2)B(3)613

解析(1)由等比數(shù)列的性質可得：

0145+2(/246+4347=*+2。3公+本=(。3+。5)2=(2—啦+啦+1)2=9,故選B.

(2)因為等比數(shù)列｛z｝的前“項和為S,

3=3,即Se=353,

J3

則S3,SLS3,S9—S6成等比數(shù)列,

Sβ-S3Sg-Se

1,

S3^S6-S3

故45I3=S9-S6,

故S9=753,故H

(3)根據(jù)題意，｛?。秊榈炔顢?shù)列,

若46+α7=1,

,,.Cai+?13)×13

若m<0,則Si3=^——5---------=13G<O,

則使不等式S,,<O成立的最小整數(shù)?=13.

規(guī)律方法等差、等比數(shù)列性質問題的求解策略

(1)抓住項與項之間的關系及項與序號之間的關系，從這些特點入手選擇恰當?shù)男?/p>

質進行求解.

(2)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質，如單調性、周期性等，可利用

函數(shù)的性質解題.

訓練2(1)(2022?長沙三模)在等比數(shù)列｛如｝中,。7,01是方程/+5光+2=0的兩根，

2+啦

B.~y∣2

2

C.√2D.T或巾

⑵(2022.聊城檢測)設*是等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和，若會=之則翁=()

?o??16

?-u

DI

(3)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛z｝,。6,3。5,m成等差數(shù)列，若｛z｝中存在兩

14

項斯“而，使得4卬為其等比中項，則的最小值為()

A.4B.9

C.∣D.∣

答案(I)B(2)A(3)D

解析(1)在等比數(shù)列｛z｝中ci7,aw是方程X2+5Λ+2=0的兩根,

則aιΛ~a??=—5,∕7?απ=2,

。9=-y∣2,

4349〃15

則

G5G13

(2)因為數(shù)列｛小｝為等差數(shù)列,

所以S4,58-S4,S12-S8,Sl6—S12成等差數(shù)列.因為俏=看,

J8?

所以設§4=2%,Ss=5k,k≠O,

貝l]Si~S4=3k,

可知S12—§8=4&,516—512=5?,

所以Si2=9Z,Si6=14Z,

gt|、ISs5k5

所以S6-1411中

(3)因為。6,3公，。7成等差數(shù)列，

所以2義3。5=。6+〃7.

又｛z｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，

設其首項為αι,公比為q,

所以6αιg4=αιg5+αιq6,

所以q2+q-6=O,

解得＜7=2或q=—3(舍去)，

又4aι為alll,an的等比中項，

所以(4αι

所以16ai=av2m~i?a??2n~l=ai?2m+n~2=24×ai,

所以m+“-2=4,即m÷zz=6,

所以『沁"碣+9）

=如為>4>%+2√?K

當且僅當細n

m'

即〃2=2,〃=4時，等號成立,

所以專1+：4的最小值為宗3

故選D.

熱點三等差數(shù)列'等比數(shù)列的判斷與證明

I核心歸納

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義法^-Cln-Cbl=d?！?1，?

-Cl-n=^(∕≠0)

通項法+(〃-l)dCln=CL?'Cfx?

中項法2。?=Cln-1+Cln+1(λZ22)Cln~~Cln-?Cln+1(∏2,Cln0)

2n

前n項和法Sn=aft+bn（a,。為常數(shù)）Sn=kq-k(k≠Q,q≠0,1)

證明數(shù)列為等差（比）數(shù)列一般使用定義法.

例3（2021?全國乙卷）設S”為數(shù)列｛小｝的前刀項和,d為數(shù)列｛S｝的前幾項積,已

21

知不+

3〃7Dn=2.

（1）證明:數(shù)列｛瓦｝是等差數(shù)列；

（2）求｛α,,｝的通項公式.

⑴證明因為兒是數(shù)列｛S｝的前〃項積，

所以〃22時，S=普

On-?

X21-2bn-?1

代7b入第+瓦;=2可rz0付，萬一+以=2,

整理可得24T+1=2兒，

即?,,-∕j,,-1=∣(∕1≥2).

2133

又而+了=而=2,所以歷=5，

故｛瓦｝是以京3為首項，視1為公差的等差數(shù)列.

31+222

--則-

(2)解由(1)可知,2+■22S+2=2

〃+2

所以Sn=

∕ι+1'

3

當n=?時，aι=Sι=y

、,〃+2π+11

=-

當時，Cln-Sn—Sn-I∣-=-7~^∣.

〃十1n∏(九十1)λ

f31

5,〃=晨

故a∏=y

I--n--(-〃--+-1-)-n'2

易錯提醒an+?=a∏q和忌=。-14"+1(〃22)都是數(shù)列為等比數(shù)列的必要不充分條

件，判定時還要看各項是否為零.

訓練3已知數(shù)列｛<‰｝的前〃項和為S”,?2=6,Sn=∣‰+1+1.

⑴證明：數(shù)列｛SL1｝為等比數(shù)列，并求出S"；

求數(shù)列的前n項和Tn.

(2)[Cln)

(1)證明由Sn=^an+ι+l,

得Sn=2(5n+1—5n)+1,

即S,,U-1=3(5,1-1),

又G=6,.".Si=∣Λ2+1=4,Si—1=3≠0,

二數(shù)歹1HSL1｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列，即SLI=3%

n

ΛSn=3+l.

(2)解由(1)可得：S"=]<‰+ι+1=3"+1,

??Cln+1=2X3",

Λ^=2×3zz^1(n≥2),

又ɑι=4W2X3il=2,

-4,n=l,

-2X3"T,〃22,

[,〃=1，

an

?2X3"T'62,

：.當〃22時,

rn=?+?+?+-+?=4+2×1_1

4X3"一"

當H=1時T1=；也符合上式,

綜上，Tn—2-4X3"一＞

高分訓練對接高考重落實迎高考

一、基本技能練

1.已知等比數(shù)列｛α,｝滿足αι=2,43柒=4虎，則幻的值為()

A.lB.2

C.1或-1D.；

答案A

解析由題意得C13C15~c&-4癥,

又在等比數(shù)列中偶數(shù)項同號，

??。4=2。6,

'.q2=^,Λa3=a?q2=l,故選A.

2.設數(shù)列｛z｝是等差數(shù)列，S是數(shù)列｛而｝的前“項和，α3+α5=lθ,S5=15,則8

=()

A.18B.24

C.3OD.36

答案B

解析由等差數(shù)列的性質知的=與空=5,

▼α1+α5?.C

而Ss~2X5=5α3=15,則03=3,

等差數(shù)列｛?！ǎ墓頳=g-ci3=2,

所以Gl=03—24=—1,

6×(6—1)

貝l]Se6tz1+2^d~-6+30—24.

3.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形

石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增

加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊.向外每環(huán)依次也增加9塊.已

知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心

石）（）

A.3699塊B.3474塊

C.3402塊D.3339塊

答案C

解析設每一層有〃環(huán)，由題意可知，從內到外每環(huán)之間構成公差為d=9,首項

為“ι=9的等差數(shù)列.

由等差數(shù)列的性質知S,S2n-Sn,S3”一差"成等差數(shù)列,

且（S3,,—8〃）一⑸〃一S"）="",則9/=729,解得〃=9,

27×26U

則三層共有扇面形石板S3"=S7=27X9?÷—2-義9=3402(塊).

4.若等差數(shù)列｛m｝的前〃項和為S1,則“S2o22>O,S2o23<O"是"αι011α∣o12<O"的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析因為S2022>0,S2023<0,

匕匕2（。1+。2022）×2022

所以--------O------------->0,

（。1+。2023）×2023

2<0，

即+。2（）22=41（）11+。1012>0,M+。2023=2θl012<0,

所以0oιι>O,a?oi2<O,且a?oιι>∣“ι012∣,

所以“1oi?ɑioi2<O,充分性成立；

而當moιi6zιoi2<O時，a?oιι>O,a?o12<O或a?oιι<O,a?o12>O,

則S2022>0,S2023<0不一定成立.

故“S2022>0,S2O23VO”可以推出01IqlOI2<0”,

但“αιOIlaIoi2<O''不能推出"S2o22>O,S2o23<O,,,

所以uS2022>0,S2023V（Γ'是'3OllQl012<0”的充分不必要條件.故選B.

5?（多選）已知等比數(shù)列｛z｝的公比為9,且45=1,則下列選項正確的是（）

A.tZ3÷6Z7≥2B.〃4+?622

C.〃7—2〃6+1≥0D43—2.4—1≥0

答案AC

解析因為等比數(shù)列｛〃〃｝的公比為4,且45=1,

所以03=不,?4=7Cl6=q,47=q2,

qq

因為“3+α7=7+才22,

當且僅當才=1時等號成立，故A正確；

因為θ4+aβ=^+q,

當q<0時式子為負數(shù)，故B錯誤；

因為az—2熊+1=/—2q+1=（q—1）2≥0,故C正確；

2

因為G—2%—1=3一:一1=（1—1）—2,則43—2^4—120不成立，故D錯誤.

CIqW/

6.（多選）（2022.張家口質檢）已知數(shù)列｛z｝的前〃項和為S,下列說法正確的是（）

A.若S=∕+l,則｛&｝是等差數(shù)列

B.若S=3"-l,則｛α,,｝是等比數(shù)列

C若｛斯｝是等差數(shù)列,則S9=9θ5

D.若｛小｝是等比數(shù)列,且αι>O,4>0,則Sι?S3>總

答案BC

解析若S"="2+l,當〃22時，an=2n~?,αι=2不滿足的=2〃-1,故A錯

誤；

,,l

若的=3"—1,當〃22時，‰=Sn-S,1-i=2?3^,

由于αι=Sι=3'-1=2,

滿足z=2?3"∣,

所以小〃｝是等比數(shù)列,故B正確；

若心〃｝是等差數(shù)列,

?,9(α∣+fl9)?,,

則S9=2=9。5,故C正確a；

當(7=1時，SI?S3-^*=。汩+4+爐)一濟(1+q)2=—*g<O,故D錯誤，

綜上，選BC.

7.寫出一個公差為2,且前3項和小于第3項的等差數(shù)列a,.=.

答案2〃一4("6N*)(答案不唯一)

a?+α2+α3<α3,

解析依題意得，C

Id=2,

解得tzι<-1,

不妨令aι=-2,.,.an=2n—4.

8.(2022?荷澤模擬)已知數(shù)列｛0｝的前n項和是S”,且S*=2z一1,若z∈(0,2022),

則稱項Z為“和諧項”，則數(shù)列｛斯｝的所有“和諧項”的和為.

答案2047

解析當〃22時，a∏—Sn~SnI=2a∣ι—1—(2a∏-?—?)=2a∏—2a∏-1?

?.α"=2α,ι-ι,

又由“ι=Sι=2.ι-1,得αι=l,

.?.｛z｝是公比為2,首項為1的等比數(shù)列，

.?.α”=2"I

n

由an=2~'<2022,

得n-1≤10,即n≤11,

、1—211

，所求和為Sii=-;~=2047.

I—Z

2

9.已知數(shù)列｛α∣｝滿足αι=L(αn+‰+ι-l)=4anαπ-∣,且‰+ι>ɑπ(n∈N*),則數(shù)列

｛z｝的通項公式an=.

答案層

解析因為αι=l,α,ι+ι>α"因αι>O,

所以Nan+ι>或ι.

由(<Z"+CZ"+1-1)~—4cinUn+1得<‰+1+。"-1=2"?JClnCln*1,

所以(以八+1—yy=1,

所以??∕α"+Lg?I=1,

所以數(shù)列｛√Z｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，

所以［￡=〃，即

10.(2022?福州模擬)已知數(shù)列｛z｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，S,,為數(shù)列｛z｝的

前〃項和，若S2+α2=S3-3,則。4+3&2的最小值為.

答案18

解析由S2+α2=S3-??3得42=S3"-S2—3=43—3,

、3

所以αι^=α∣<72-3=>α∣=_>0≠><∕>l,

2-q

3"+Sg)3(/+3)

所以O4÷3<22=αι^3÷3αι^=

qqq-i

(<7-1)2+2Cq-1)+4

=3×---------------rj-------------

q-i

'4^

=3(q—l)+7+6

L4-1」

23X2yj(q-l)-?p+6=18,

4

當且僅當<?-1=—7,

即q=3時等號成立，故s+342的最小值為18.

11.設等比數(shù)列｛m｝滿足α∣+α2=4,?3—01=8.

⑴求｛m｝的通項公式；

(2)記S"為數(shù)列｛log3Q"｝的前〃項和.若Sm+Sm+1=Sm+3(m∈N*),求m.

解(1)設｛<‰｝的公比為<7，則z=αιq"I.

αι+αιg=4,αι=l,

由已知得,o解得C

a?q-a?=S,1夕=3.

所以｛&｝的通項公式為z=3"-∣("∈N*).

(2)由(1)知log3‰=w-1,

,,n(∏-1)*

e

故S1=------2------(〃N).

由Sm+Sm+l=Sm+3,

得m(m-1)+(機+l)m

=(〃?+3)(機+2),

即m2-5m-6=0.

解得"2=—1(舍去)或m=6.

12.(2022?新高考∏卷)已知｛“”｝是等差數(shù)列，｛兒｝是公比為2的等比數(shù)列，且S—

bl=a3-b3=b4—04.

(1)證明：a?=b?↑

⑵求集合｛《從=<‰+αι,1W機W500｝中元素的個數(shù).

⑴證明設等差數(shù)列｛z｝的公差為d,

由“2—岳=。3—九得a?+d~2b?=a?+2d~Ab?,即d=2b?,

由G—/?2=從一。4得a?+d~2b?=^>b?-｛a?+3,d),即a?=-5b?~2d,

將d=2bι代入,得αι=5從-2X24=歷，即α∣=Zη.

n

(2)解由(1)知"fj=αι+(α—l)d="ι+("-l)X2bι=(2z?—l)tz∣,bn=b??2],

由bk=ctm^?~a?,

得bi?2k~i=(2m-l)αι+αι,

由aι=b?≠O得2k~l=2m,

由題知lWmW500,所以2W2"W1000,所以Z=2,3,4,10,共9個數(shù)，

即集合｛M4=αm+.∣,l≤mW500｝=｛2,3,4,…，10｝中元素的個數(shù)為9.

二'創(chuàng)新拓展練

13.(多選)(2022?濟南質檢)在等比數(shù)列｛0｝中，公比為q,其前〃項積為A,并且

Q99-1

滿足αι>l,fl99?tzιoo-1>0,^<0,下列結論中正確的是()

au)o—1

A.O<<∕<1

B.499?mθL1<0

C.Tmo的值是7；中最大的

D.使Tf,>]成立的最大自然數(shù)〃值等于198

答案ABD

解析對于A,V099?^ιoo-1>0,

.?.冰q∣97>ι,.?.(αrq98)2.q>].

,.,6i∣>l,<7>0.

.*.β99>l>且Ql(X)Vl,

.?.O<q<l,故A正確;

對于B,Vα?=α99?αιoι,αιoo<l,

O<499?αiθl<l,

即tZ99?α∣oι—1<0,故B正確；

對于C,由于TlOO=799?ai00,

而O<πιoo<l,

故有TIOo<7?,故C錯誤；

對于D,Ti98=αι?fl2.........α∣98=(αι?α∣98)(α2?α197>…?(α99?moo)=(α99?αιoo)”>l,

Ti99=aι?a2.........ai99=(αι?αi99)?(α2?0∣98)???(α99?αιoι)?αιoo=(aιoo)'00<l,故D正確.故選

ABD.

14.(多選)(2022?石家莊模擬)已知數(shù)列｛&｝滿足41=10,?5=2,且小+2—2an+1+an

=0("∈N'則下列結論正確的是()

A.。?=12—2n

’30,H≤5,

B.∣6z11÷∣6z2∣+∣6z3∣+???+?atι?=)9

+5,n>5

CJzI的最小值為0

D.當且僅當〃=5時，a]+a2+a3-?-----h0〃取得最大值30

答案AC

解析由Cln+2—2?！?1+〃“=0,

可得Cln+2—Cln?1=Ctn-V1-Cln,

所以數(shù)列｛。〃｝是等差數(shù)列，設公差為乩

因為ClA=10,05=2,

。5—ClX

所以d=~—2,

5—1

所以a∏-10—2（〃-1）=12—2n,

故A正確；

當〃=6時，a∏=0,所以當n≤5時，a∏>0,

當n>5時,‰≤0,

所以