探索規(guī)律問題-2023年中考數(shù)學知識點練習（江蘇）（解析版）

2023年中考數(shù)學【熱點?重點?難點】專練（江蘇專用）

重難點02探究規(guī)律問題

【命題趨勢】

探究規(guī)律型問題是中考數(shù)學中的常考問題，題目數(shù)量一般是一個題，各種題型都有可能出現(xiàn)，一般以

選擇題或者填空題中的壓軸題形式出現(xiàn)，主要命題方式有數(shù)式規(guī)律、圖形變化規(guī)律、點的坐標規(guī)律等?；?/p>

本解題思路：從簡單的、局部的、特殊的情形出發(fā)，通過分析、比較、提煉，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，進而歸納或

猜想出一般結論，最后驗證結論的正確性。探索規(guī)律題可以說是每年中考的必考題，預計2021年中考數(shù)學

中仍會作為選擇題或填空題的壓軸題來考察。所以掌握其基本的考試題型及解題技巧是非常有必要的。

【滿分技巧】

D從簡單的情況入手：

從簡單的情況入手：求出前三到四個結果，探究其規(guī)律，通過歸納猜想總結正確答案二.新定義型問題一

般與代數(shù)、坐標、函數(shù)知識結合較多，常見的命題背景有：楊輝三角、等差數(shù)列、連續(xù)n個數(shù)的立方和、

連續(xù)〃個數(shù)的平方和、階乘等。

2）關注問題中的不變量和變量：

在探究規(guī)律的問題中，一般都會存在變量和不變量（也就是常量），我們要多關注變量，看看這些變量

是如何變化的，仔細觀察變量的變化與序號（一般為〃）之間的關系，我們找到這個關系就找到了規(guī)律所在.

3）掌握一些數(shù)學思想方法

規(guī)探索律型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關數(shù)學對象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往

給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律.它體現(xiàn)了“特

殊到一般”的數(shù)學思想方法，考察了學生的分析、解決問題能力，觀察、聯(lián)想、歸納能力，以及探究能力和

創(chuàng)新能力.題型可涉及填空、選擇或解答.

【限時檢測】

A卷（真題過關卷）

一.選擇題（共6小題）

?.（2021?鎮(zhèn)江）如圖，小明在3X3的方格紙上寫了九個式子（其中的〃是正整數(shù)），每行的三個式子的和

自上而下分別記為A∣,A2,A3,每列的三個式子的和自左至右分別記為Bi,B2,B3,其中，值可以等于

789的是（）

2"+12"-32"+5

2"+72"-92"+11

2"-132”+152"+17

BlB]B3

A.AiB.BlC.A2D.生

【分析】把4,A2,Bi,&的式子表示出來，再結合值等于789,可求相應的〃的值，即可判斷.

【解答】解：由題意得：A∣=2"+l+2"+3+2"+5=789,

整理得：2n=260,

則?不是整數(shù)，故4的值不可以等于789；

A2=2"+7+2"+9+2"+l1=789,

整理得：2n=254,

則n不是整數(shù)，故4的值不可以等于789；

B1=2"+1+2"+7+2"+13=789,

整理得：2Π=256=28,

則〃是整數(shù)，故Bi的值可以等于789；

Bi=2π+5+2n+ll+2π+17=789,

整理得：2n=252,

則〃不是整數(shù)，故以的值不可以等于789；

故選：B.

2.（2022?泗洪縣二模）有一列數(shù)m,。2,。3,…，all,從第二個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于1與它前面那個

數(shù)的倒數(shù)的差，若?1=2,則?2022為（)

A.?B.2C.-1D.2022

2

【分析】分別求出“1=2,02=—,?3=-1>44=2,可得規(guī)律每3個數(shù)循環(huán)一次，則”2()22=43=2.

2

【解答】解：?.Zι=2,

.,.02=1--=—,

22

〃3=1-2=-1,

〃4=1+1=2,

.?.每3個數(shù)循環(huán)一次,

V2022÷3=674,

“2022=。3=-1，

故選：C.

3.（2021?江陰市校級模擬）正整數(shù)構成的數(shù)列0,42,……，an，……滿足：①數(shù)列遞增，即0<42<……

an<……；?an=an.\+an.2（〃》3）,則稱為“類斐波拉契數(shù)列”，例如：3,4,7,11,18,29,……，

則滿足紡=59的“類斐波拉契數(shù)列”有（）種.

A.1B.2C.3D.4

【分析】由題可發(fā)現(xiàn)數(shù)列存在al,=Ci,,∣+‰2（〃》3）的規(guī)律，滿足綺=59的“類斐波拉契數(shù)列”有多

少種.

【解答】解：滿足“5=59的“類斐波拉契數(shù)列”應滿足：①數(shù)列遞增，即。|<。2<。3<04<45；②如=

Cln-}+a∏-2（"23）,

故：①10,13,23,36,59；②7,15,22,37,59；③4,17,21,38,59；④1,19,20,39,59.

故選：D.

4.（2020?江都區(qū)三模）若XI=α+l（a#0且αW-1）,xi——--,乃=—-—，…，xn———-——，則X2（）2θ

I-Xl1-x2l-xn-l

等于（）

A.aB.?+1C.」D.-?

aa+1

【分析】根據題意對前面幾個數(shù)進行計算，發(fā)現(xiàn)結果每三個數(shù)一循環(huán)，由此得出規(guī)律，用2020除以4即

可得到是第幾個循環(huán)數(shù)，即可得到結果.

【解答】解：?.hι=α+l,

'.Xl=----1L1

l'xll-a-1a

1.?-1

l-χ21?Λa+1

a

11

X4=----=---;-=a+l=x↑

1-χ3l-?-

a+1

由上可知，Xi,X2,X3,…，X”，這列數(shù)依次按α+l,-X'?三個結果進行循環(huán)，

aa+1

V2020÷3=673???l,

?"?X2O2O=Xl=4+1>

故選：B.

5.（2022?丹陽市二模）某校為組織召開初三年級畢業(yè)典禮，需用“盆花將圓形主席臺圍繞一周進行裝扮.若

花有紅色和黃色兩種，擺放時要求與每盆花左右相鄰的兩盆花顏色不同.則，”的取值可能是（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【分析】由題意得花盆擺放的情況有：紅紅黃黃或黃黃紅紅，只有當，〃是4的倍數(shù)時滿足.

【解答】解：由題意得：花盆擺放的情況有：紅紅黃黃，或黃黃紅紅，

要滿足條件，，"只能是4的倍數(shù)，而只有2020是4的倍數(shù)，

故選:A.

6.（2022?邛江區(qū)二模）利用如圖1的二維碼可以進行身份識別.某校建立了一個身份識別系統(tǒng)，圖2是某

個學生的識別圖案，灰色小正方形表示1,白色小正方形表示0,將第一行數(shù)字從左到右依次記為α,b,

c,d,那么可以轉換為該生所在班級序號，其序號為“X23+bX22+cX21+dX2°,如圖2,第一行數(shù)字從

左到右依次為0,1,0,1,序號為0X23+1X22+OX2∣+1X20=5,表示該生為5班學生.表示10班學

生的識別圖案是（）

圖1圖2

A.B.

【分析】根據題中的規(guī)律分別計算出四個選項所表示的班級序號即可.

【解答】解:由題知，A選項班級序號為1X23+0X22+1X2∣+0X20=10,

B選項班級序號為0X23+l><22+lX2∣+0X2°=6,

C選項班級序號為1X23+OX22+OX2∣+1X2°=9,

D選項班級序號為0X23+1X2?+lX2∣+lX2°=7,

故選：A.

二.填空題（共10小題）

7.（2022?宿遷）按規(guī)律排列的單項式：X,-X3,/,》9,…，則第20個單項式是一產.

【分析】觀察指數(shù)規(guī)律與符號規(guī)律，進行解答便可.

【解答】解：根據前幾項可以得出規(guī)律，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，第"項的數(shù)為（-1）"+∣x∕"∣

則第20個單項式是（-1）2'×Λ-39=-X39,

故答案為：-/9.

8.（2021?揚州）將黑色圓點按如圖所示的規(guī)律進行排列：

??????????—

①②③④

圖中黑色圓點的個數(shù)依次為：1,3,6,10,…，將其中所有能被3整除的數(shù)按從小到大的順序重新排列

成一組新數(shù)據，則新數(shù)據中的第33個數(shù)為1275.

【分析】首先得到前〃個圖形中每個圖形中的黑色圓點的個數(shù)，得到第八個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為

n（n+lJ,再判斷其中能被3整除的數(shù)，得到每3個數(shù)中，都有2個能被3整除，再計算出第33個能

2

被3整除的數(shù)所在組，為原數(shù)列中第50個數(shù)，代入計算即可.

【解答】解：第①個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：1,

第②個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：（1+2）,2=3,

2

第③個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：（1+3）X3=6,

2

第④個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：（1+4）×4=]o,

2

第1個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為n（n+l）,

2

則這列數(shù)為1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,…,

其中每3個數(shù)中，都有2個能被3整除，

33÷2=16-1,

16X3+2=50,

則第33個被3整除的數(shù)為原數(shù)列中第50個數(shù)，即50×SI.=.,

2

故答案為：1275.

9.（2018?徐州）如圖，每個圖案均由邊長相等的黑、白兩色正方形按規(guī)律拼接而成，照此規(guī)律，第〃個圖

案中白色正方形比黑色正方形多（4〃+3）個.（用含〃的代數(shù)式表示）

【分析】利用給出的三個圖形尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)白色正方形個數(shù)=總的正方形個數(shù)-黑色正方形個數(shù)，而

黑色正方形個數(shù)第1個為1,第二個為2,由此尋找規(guī)律，總個數(shù)只要找到邊與黑色正方形個數(shù)之間關系

即可，依此類推，尋找規(guī)律.

【解答】解：方法一：

第1個圖形黑、白兩色正方形共3X3個，其中黑色1個，白色3X3-1個，

第2個圖形黑、白兩色正方形共3X5個，其中黑色2個，白色3X5-2個，

第3個圖形黑、白兩色正方形共3X7個，其中黑色3個，白色3X7-3個，

依此類推，

第〃個圖形黑、白兩色正方形共3X（2n+l）個，其中黑色〃個，白色3X（2n+l）-〃個，

即：白色正方形5〃+3個，黑色正方形”個,

故第n個圖案中白色正方形比黑色正方形多4”+3個，

方法二

第1個圖形白色正方形共8個，黑色1個，白色比黑色多7個，

第2個圖形比第1個圖形白色比黑色又多了4個，即白色比黑色多(7+4)個，

第3個圖形比第2個圖形白色比黑色又多了4個，即白色比黑色多(7+4X2)個，

類推，第〃個圖案中白色正方形比黑色正方形多［7+4(M-I)］個，即(4"+3)個，

故第“個圖案中白色正方形比黑色正方形多(4n+3)個.

10.(2021?儀征市一模)設°1、。2、03,…，42021是從-1,0,2這三個數(shù)中取值的一列數(shù)，若α∣+α2+43+…

+?2021=9,a12+α22+α32+,,,+?20212=51,貝Ua?i+ar'+a^+???+aιm?i~69.

【分析】設這一列數(shù)中有X個-1，y個2,根據已知列方程組得(-x+2y=9,解方程組可得X和y的值,

Ix÷4y=51

最后代入可得答案.

【解答】解：設這一列數(shù)中有X個-1,y個2,

*.*41+42+43+…+〃2021=9,a?2+tZ22÷6Z32+*,*÷^202J=51,

：.-χ+2y=9,(-1)2?x÷22?y=51,

.f-χ+2y=9

1x+4y=51

解得：H=",

Iy=IO

.".a13+α23+α33+,--+fl20213=x*(-1)3+J?23=-X+8y=-11+80=69.

故答案為：69.

11.(2021?寶應縣二模)設的，”2…斯都是正整數(shù)，其中m表示第一個數(shù)，“2表示第二個數(shù)，依此類推,

斯表示第〃個數(shù)(〃為正整數(shù))，已知。1=1,4斯=(斯+1-1)2-(an-1)2,則42=3,42021=4041.

22

【分析】先將4an-(αn+ι-1)-(??-1)>變形，結合?1=1,a?,ai，ɑ?......是一列正整數(shù)，得出

遞推公式%+1=所+2,進而可得斯=2w-1,將〃=2021代入即可求得答案.

22

【解答】解：?'αi=l,4απ=(αn+ι-1)-(α,l-1).a?,aι,ɑ?......是一列正整數(shù),

22

'.an-1>0,(外+1-1)2=(α,,-1)+4an-(a,,+l),

Cln+?~

??Cln+1=2,

?.Zι=l,

??=3,〃3=5,"4=7,。5=9,

??2〃-1,

.e?4∕202∣=2×2021-1=4041.

故答案為：3；4041.

12.(2021?常州二模)有2021個數(shù)排成一行，對于任意相鄰的三個數(shù)，都有中間的數(shù)等于前后兩數(shù)的和.若

第一個數(shù)是0,第二個數(shù)是1,則這2021個數(shù)的和是1.

【分析】根據題意和題目中的數(shù)據，可以寫出這列數(shù)的前幾個數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，然后

即可求得這2021個數(shù)的和.

【解答】解：由題意可得，

第一個數(shù)是0,第二個數(shù)是I,

則第三個數(shù)是1-0=1,

第四個數(shù)是1-1=0,

第五個數(shù)是O-I=-1,

第六個數(shù)是-I-O=-1,

第七個數(shù)是-I-(-1)=0,

第八個數(shù)是O-(-1)=1,

,*,,

由上可得，這列數(shù)依次以0,1,1,0,-1,-1循環(huán)出現(xiàn)，每六個數(shù)一個循環(huán)，

V2021÷6=336???5,

，這2021個數(shù)的和是:0+l+l÷0+(-1)+(-1)÷???+0+l+l÷0+(-1)

=[0+l+l+0+(-1)+(-1)]×336+[0+l+l+0÷(-1)]

=0X336+1

=0+1

=1,

故答案為：1.

13.(2021?天寧區(qū)校級模擬)已知(X+1)2021=0o+^lΛj÷Λ2Λ2÷?3X3+???+^2O21X2021?則42+CM+…+。2018+42020

=22020-1.

【分析】分別令X=1代入得ao+a1+a2+a3+?φ?+α2021，令X=-1代入得ao~a?-?-aι-的+…+〃202O-。2021，

令X=0,6/0=1；從而可以得出答案.

【解答】解：令X=1,6t()+6t]A?1+α2r2+?3X3+???÷^2()2kV2021=6t()+t71+6/2+^3+***+?2O21=22021;

令X=-1,4o+4"+α2χ2+43X3+…+θ202i?v2°2∣=ao-a?+a2^43+…+α2020-42021=0;

??Cl^+a1+α2÷^3+??,÷t∕2O21+ɑθ-a?+a2-a3+???+^2020-?2021

=2(。0+42+〃4…+42020)，

令X=O,αo=l;

Λa2÷tM÷β?*÷tZ2018÷^2020=22°2*÷2-?=22020-1,

故答案為:22Q2°-1.

14.(2022?鼓樓區(qū)校級三模)如圖，每個圖案均由相同大小的圓和正三角形按規(guī)律排列，依照此規(guī)律，第〃

個圖形中三角形的個數(shù)比圓的個數(shù)多(2/1)個.(由含〃的代數(shù)式表示)

△△△△△△

△OA?θ?θ?AOAQ?OA

△△△△△△

第1個第2個第3個

【分析】每個圖形可以看成是1個圓配3個正三角形，再額外加1個三角形，根據其規(guī)律，可求其值.

【解答】解：根據題意有，

第1個圖形，圓的個數(shù)為：I；正三角形的個數(shù)為：1X3+1；

第2個圖形，圓的個數(shù)為：2；正三角形的個數(shù)為：2X3+1；

第3個圖形，圓的個數(shù)為：3；正三角形的個數(shù)為：3×3+li

第〃個圖形，圓的個數(shù)為：〃；正三角形的個數(shù)為：n×3+l;

M×3+1-n—3n-n+?-2n+?,

.?.第〃個圖形中三角形的個數(shù)比圓的個數(shù)多(2n+l)個.

故答案為：(2n+l).

15?(2022?江陰市校級一模)如圖中，分別是由1個、2個、〃個正方形連接成的圖形，在圖1中，x=70°；

在圖2中，y=28°；通過以上計算，請寫出圖3中α+6+c+…+d=90°”.(用含"的式子表示)

【分析】根據圖形的變化規(guī)律歸納出有〃個小正方形時各夾角的度數(shù)和是90°〃即可.

【解答】解：連接各小正方形的對角線，如下圖：

圖1中，61°+119°+20°+x+45°X2=360°,

即20°+x=90°,

圖2中，61o+119o+31o+12Γ+y+45o×4=360o,

即31°+121o+y=180°=2×90o,

以此類推,a+b+c+-+d=n×90o=90on,

故答案為：90°n.

16.（2019?徐州二模）如圖所示，將形狀、大小完全相同的和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形.第1

幅圖形中“V的個數(shù)為G,第2幅圖形中“V的個數(shù)為“2,第3幅圖形中“；’的個數(shù)為“3,…，以此類

第！幅圖第:1幅圖第3幅圖第二幅圖

【分析】首先根據圖形中的個數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進而求出即可.

【解答】解：41=3=1X3,42=8=2X4,"3=15=3X5,?4=24=4X6,…，an=n(n+2)；

.1.1.1-一1_1,1,14-1

a?a2a3a101×32×43×510×12

二二-+'+…+」^+」-+」-+…+」—

1×33X59×112×44×610×12

「175

2641

故答案為：1ZΣ

264

三.解答題（共9小題）

17.(2021?江陰市校級模擬)已知一列數(shù)如下規(guī)律排列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,

其中第一項20,接下來

的兩項20,2*,再接下來的三象2°,2l,22,依此類推.

（1）第10個1是這列數(shù)的第幾項;

（2）該列數(shù)的第2018項為多少?

（3）求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該列數(shù)的前N項和為2的整數(shù)幕.（參考公式：l+q++/+…

n+1

l1-q

+q")="l-q(q≠D

∏+1(Q=1)

【分析】（1）根據第1個1是第1項，第2個1是第2項，第3個1是第4項，第4個1是第7項，…,

這個規(guī)律推算結果便可;

(2)根據“1,1,2,I,2,4,1,2,4,8,I,2,4,8,16,…”將其數(shù)列分組，使每組第一項均為

1,第一組：2°,第二組：2°,2l,第三組：2°,2∣,22,…，第k組：2°,2l,22,--2k',由此得到

此數(shù)列前n項和計算即可：

（3）由題意求得數(shù)列的每一項，及前〃項和S"=2"+ι-2-〃，及項數(shù)，山題意可知：2"+∣為2的整數(shù)累,

只需將-2-〃消去即可求得N的值.

【解答】解：（1）由題意可知,

第1個1是第1項,

第2個1是第1+1=2項,

第3個1是第1+2+1=4項,

第4個1是第1+2+3+1=7項,

由此規(guī)律可知：第由個1是第1+2+3+…+9+1=46項，

故第10個1是第46項；

(2)將其數(shù)列分組，使每組第一項均為1,

第一組：2°,

第二組：2°,2l,

第三組：2°,2l,22,

第無組:2°,2',22,■■■,2t^1,

共有項數(shù)為l+2+3+???+?=k^k+1.

2

當《=63時，63X(63+1)=2016,

則2018項應該為第64組的第二項，

.?.該列數(shù)的第2018項為2；

(3)由題意得，前〃組的和為：S=2o+2'+22+,???,+2",=2"+,-n-2

2"+ι為2的整數(shù)基，只需將-2-"消去即可.

第〃+1組為：1,2,4,8,…，2"

二前"+1組的和為：2rt+2-n-3

,只需要再加上第〃+2組的前兩項即可消除，此時共有項數(shù)：l+2+3+???+"+"+l+2=(n+1)(n+2)

2Z

?.?∕V>100,Λ令(n+I)Jn+2)+2^∣00

心14,

由題意2+〃=2&+i-1,

可得〃的最小值為29,人的最小值為4,

,此時N=空2^+5=440

2

綜上所述，N的最小值為440.

18.(2022秋?祁江區(qū)期中)如圖，用灰白兩色正方形瓷磚鋪設地面.

(1)第1個圖案用了4塊灰色的案用,第2個圖案用了塊灰色的瓷磚，第3個圖案用了_8

塊灰色的寬磚；

(2)第1個圖案用了5塊白色的瓷磚，第2個圖案用了8塊白色的瓷磚，第3個圖案用了11

塊白色的瓷磚；

(3)第〃個圖案中灰色瓷磚和白色瓷磚共用了多少塊？

踴*"

第1個圖案第2個圖案第3個圖案

【分析】(I)根據所給的圖案進行求解即可；

(2)根據所給的圖案進行求解即可;

(3)不難看出每增加個圖案，則灰色瓷磚增加2塊，白色瓷磚增加3塊，據此可求解.

【解答】解：(1)由題意得：第1個圖案用了4塊灰色的瓷磚，第2個圖案用了6塊灰色的瓷磚，第3

個圖案用了8塊灰色的瓷磚；

故答案為：4>6>8：

(2)第1個圖案用了5塊白色的瓷磚，第2個圖案用了8塊白色的瓷磚，第3個圖案用了11塊白色的

瓷磚：

故答案為：5,8,11；

(3)由題意得：第〃個圖案中灰色瓷枝的數(shù)量為：4+2(〃-1)=(2n+2)塊，

第〃個圖案中白色瓷磚的數(shù)量為：5+3(〃-1)=(3n+2)塊，

則一共所用的瓷磚為：2"+2+3"+2=(5n+4)塊.

答：第”個圖案中灰色瓷磚和白色瓷磚共用了(5n+4)塊.

19.(2022秋?常州期中)某長方形人行道由相同的灰色正方形地石專與相同的白色直角三角形地磚排列而成，

如圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列.

【觀察思考】

如圖2,當正方形地磚只有.1塊時，直角三角形地磚有6塊；如圖3,當正方形地磚有2塊時，直角三角

形地磚有8塊，……以此類推.

【規(guī)律總結】

(1)若人行道上每增加1塊正方形地磚，則直角三角形地磚增加2塊;

(2)若一條這樣的人行道一共有n為正整數(shù))塊正方形地磚，則直角三角形地磚的塊數(shù)是2〃+4

(用含有〃的代數(shù)式表示).

【問題解決】

(3)現(xiàn)有2021塊直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求直角三角形地磚剩余最少，則需

要正方形地磚多少塊？剩余直角三角形地磚多少塊？

……

圖1圖2圖3

【分析】(I)觀察圖形規(guī)律，即可得其值；

(2)觀察圖形規(guī)律，可以把圖形看成是每塊正方形地磚配兩塊直角三角形地磚，再額外加4塊直角三角

形地質，進而可得出其表達式；

(3)當使用的正方形地磚數(shù)量最多時.，剩余直角三角形地能最少，只需求出”的最大值即可.

【解答】解：(1)根據題意可得，

每增加1塊正方形地磚，則直角三角形地磚增加2塊.

故答案為：2；

(2)根據題意可得，

直角三角形地磚的塊數(shù)是2/7+4.

故答案為：2/7+4；

(3)根據題意可得，

2n+4=2021,解得：〃=&Ui_=i(χ)8.5,

2

???”為整數(shù)，

Λ?=1008,

當n=1008時，2"+4=2X1008+4=2020,

2021-2020=1,

.?.需要正方形地磚1008塊，剩余直角二角形地磚1塊.

20.(2022秋?鹽都區(qū)月考)閱讀理解：我們知道團的幾何意義是：在數(shù)軸上數(shù)X對應的點與原點的距離，

也就是說，W表示在數(shù)軸上數(shù)X與數(shù)0對應點之間的距離，這個結論可以推廣為：團-X2∣表示在數(shù)軸上

數(shù)內，X2對應點之間的距離.舉例：數(shù)軸上表示數(shù)。和-1的兩點A和8之間的距離是AB=Ia-(-1)

∣=∣a+l∣.

問題探究：參考閱讀材料，解答下列問題.

(1)求數(shù)軸上表示2和-3的兩點之間的距離；

（2）若數(shù)軸上表示數(shù)4的點位于-3與5之間，求∣α+3∣+∣α-5|的值:

（3）當I。-l∣+∣α-2∣取最小值時，相應的數(shù)”的取值范圍是lWαW2；

（4）求Ia-Il+∣n-2?+?a-3］的最小值是2.

實際應用：

（5）問題：某一直線沿街一側有2023戶居民（相鄰兩戶居民間隔相同），每戶按序標記為：Aι,A2,A3,

Λ4,A5.…A2023,某餐飲公司想為這2023戶居民提供早餐，決定在路旁建立一個快餐店P,點P選在緊

靠4。12居民家,才能使這2023戶居民到點P的距離總和最小.（填住戶標記字母）

拓展提升：

（6）若數(shù)a,b滿足Ia-II+∣α-3∣+∣b-4∣+步+5∣=11,求a+b的最小值為-4.

【分析】（1）由兩點間距離直接求解即可；

（2）根據絕對值的性質化簡絕對值，再計算便可；

（3）由題意兩點距離的意義進行解答；

（4）當“取2時代數(shù)式的值最小，據此計算便可；

（5）取最中間點便可；

（6）在α這1,ZJW-5范圍內，解方程Ia-Il+∣4-3|+3-4|+步+5∣=11便可.

【解答】解：（1）數(shù)軸上表示2與-3兩點之間的距離為∣2+3∣=5;

（2）V-3≤a≤5,

?*?∣6Z÷3∣÷∣6/-5∣=4+3+5--=8;

（3）Ia-II+∣α-2|表示數(shù)a的點與表示數(shù)1和2的點的距離之和，

當?位于1與2之間時，其距離之和最小，

：.\a-1|+|?-2|取最小值時一，相應的數(shù)a的取值范圍是l≤α≤2,

故答案為：l<α<2;

（4）當4=2時，Ia-II+∣0-2∣+∣α-3|取最小值為：1+0+1=2,

故答案為：2；

（5）點尸選在4OI2居民家.才能使這2023戶居民到點尸的距離總和最小，

故答案為：AIol2；

（6）V∣α-I∣+∣α-3∣+∣fc-4∣÷∣∕H-5∣=1I,

,當，WLOW-5時，1-α+3-α+4-b-5=11,

Λα+?=-4,

.?.若數(shù)a,b滿足Ia-l∣+∣0-3?+?b-4∣+∣?+5∣=?l,a+b的最小值為-4,

故答案為：-4.

21.(2022秋?秦淮區(qū)校級月考)圖①是由若干個小圓圈堆成的一個形如正三角形的圖案，最上面一層有一

個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共堆了〃層，將圖①倒置后與原圖拼成圖②所示的形狀，

這樣我們可以算出圖①中所有圓圈的個數(shù)為1+2+3+…+〃=n(n+l).

2

靠金?盤

..................................VA)..................................

笫湄8???8?-oo?∞-∞∞???∞

圖1圖2圖3圖4

如果圖①-④中各有11層.

(1)圖①中共有66個圓圈:

(2)我們自上而下，在圓圈中按圖④的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,4,…，則最底層最左邊

圓圈的數(shù)是56.

(3)我們自上而下，按圖④的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)-23,-22,-21,-20,求圖④所有圓圈中各

數(shù)的絕對值之和.

【分析】(1)根據圖形中圓圈的個數(shù)變化規(guī)律求解；

(2)11層時最底層最左邊這個圓圈中的數(shù)是第10層的最后一個數(shù)加I；

(3)由(1)得出圓圈的總個數(shù)，從而分析出23個負數(shù)后，又有多少個正數(shù).

【解答】解：(1)-×??×(11+1)=66,

2

故答案為：66；

(2)-1×IOX(10+1)=55,55+1=56,

2

故答案為：56；

(3)圖4中共有66個數(shù)，其中23個負數(shù)，1個0,42個正數(shù)，

所以圖4中所有圓圈中各數(shù)的和為：

I-23∣+∣-22∣+-+∣-l∣+0+l+2+-+42=

(l+2+3+???+23)+(1+2+3+-+42)

=276+903

=1179.

22.（2021秋?東臺市校級期末）研究下列算式，你會發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律?

φl3=l2:

(2)l3+23=32;

(3)l3+23+33=62;

Θl3+23+33+43=102;

(5)l3+23+33+43+53=152-

(1)根據以上算式的規(guī)律，請你寫出第⑥個算式；

(2)用含〃(〃為正整數(shù))的式子表示第〃個算式；

(3)請用上述規(guī)律計算：73+83+93+103.

【分析】(1)利用類比的方法得到第⑥個算式為r+23+33+43+53+63=212；

⑵同樣利用類比的方法得到第〃個算式為心23+3,43+…+小盧4仔；

(3)將73+83+93+...+IO3轉化為(l3+23+33+43+...+103)-(l3+23+33+43+...+63)后代入總結的規(guī)律求解

即可.

【解答】解：⑴①當〃=1時?，/=[2,即]3=[1><；+1)]2,

②"=2時，IJ*+23=32,即]3+23=[?X；彳+】)-]2,

③〃=3時，尸+23+33=62,即]3+23+§3=廬二_孝生2,

?n=40>bl3+23+33+43=102,BPl?+23+3?+?3=2,

33332333332

⑤〃=5時，1+2?+4+5=15,BPI+2+3+4+5=盧Xi5±"],

333333x6+122

.?.當〃=6時，1+2+3+4+5+6=Lθ^2^]=21>

故第⑥個算式為l3+23+33+43+53+63=212;

(2)根據(1)中的規(guī)律可得第〃個式子為：]3+23+33+43+...+n3=[rι×；+1)12；

(3)73+83+93+103

=(l3+23+33+43+...+103)-(l3+23+33+43+...+63)

_10×(10+1)-26×￠6+1)]2

Γ---------2---------]l-[r―2]

=552-212

=(55-21)X(55+21)

=34×76

=2584.

23?（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）［實際問題］

某商場在“十一國慶”期間為了鼓勵消費，設計了抽獎活動，方案如下：根據不同的消費金額，每次抽

獎時可以從100張面值分別為1元、2元、3元、……、100元的獎券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取2

張、3張、4張、……等若干張獎券，獎券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額.某顧客獲得了一次抽取5張獎

券的機會，小明想知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額？

［問題建模J

從1,2,3,……，〃（〃為整數(shù)，且"26）這〃個整數(shù)中任取5個整數(shù)，這5個整數(shù)之和共有多少種不

同的結果？

［模型探究］

我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，從中找出解決問題的方法.從1,2,3這3

個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有多少種不同的結果？

所取的2個整數(shù)1,21,32,3

2個整數(shù)之和345

如表①，所取的2個整數(shù)之和可以為3,4,5,也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3,最大是5,

所以共有3種不同的結果.

（1）從1,2,3,4,5這5個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有7種不同的結果.

（2）從1,2,3,……，為整數(shù)，且”26）這〃個整數(shù)中任取3個整數(shù)，這3個整數(shù)之和共有（3〃

-8）種不同的結果.

（3）歸納結論：從1,2,3,……,〃（〃為整數(shù)，且"N6）這〃個整數(shù)中任取5個整數(shù)，這5個整數(shù)

之和共有（5〃-24）種不同的結果.

［問題解決J

從100張面值分別為1元、2元、3元、……、100元的獎券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取5張獎券，

共有476種不同的優(yōu)惠金額.

［問題拓展］

從3,4,5,……，〃（"為整數(shù)，且〃26）這"-2個整數(shù)中任取5個整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和

共有121種不同的結果，求”的值.（寫出解答過程）

【分析】（I）根據整數(shù)的總個數(shù)”，與任取的。個整數(shù)，分別計算這“個整數(shù)之和的最大值、最小值,

進而得出共有多少種不同結果情況，然后延伸到一般情況.

(2)根據整數(shù)的總個數(shù)小與任取的“個整數(shù)，分別計算這“個整數(shù)之和的最大值、最小值，進而得出

共有多少種不同結果情況，然后延伸到一般情況.

(3)根據整數(shù)的總個數(shù)”，與任取的。個整數(shù)，分別計算這。個整數(shù)之和的最大值、最小值，進而得出

共有多少種不同結果情況，然后延伸到一般情況.

【解答】解：(1)從1,2,3,4,5這5個整數(shù)中任取2個整數(shù)，

則這2個整數(shù)之和最小值為：1+2=3,最大值為：4+5=9,

則這2個整數(shù)之和共有9-3+I=7種不同情況，

故答案為：7；

(2)從1,2,3,……，n(〃為整數(shù)，且"26)這〃個整數(shù)中任取3個整數(shù)，

則這3個整數(shù)之和最小值為：1+2+3=6,最大值為：n-2+n-?+n=3n-3,

則這3個整數(shù)之和共有不同結果的種數(shù)為:3〃-3-6+1=(3n-8)種，

故答案為：(3n-8)；

(3)歸納總結：從1,2,3,……，〃(〃為整數(shù)，且〃26)這〃個整數(shù)中任取5個整數(shù)，

則這5個整數(shù)之和的最小值為：1+2+3+4+5=15,最大值為〃+(n-1)+(/;-2)+(n-3)+5-4)

=5n-10,

則這5個整數(shù)之和共有不同結果的種數(shù)為：5n-10-15+1=(5〃-24)種，

故答案為:(5?-24)；

問題解決：從100張面值分別為1元、2元、3元、……、100元的獎券中(面值為整數(shù))，一次任意抽

取5張獎券，

則這5張獎券的和的最小值為：1+2+3+4+5=15(元)，最大值為：100+99+98+97+96=490(元)，

則這5張獎券的和共有不同優(yōu)惠金額的種數(shù)為：490-15+1=476(種)，

故答案為：476；

問題拓展：從3,4,5,……,n(〃為整數(shù)，且這(〃-2)個整數(shù)中任取5個整數(shù)，

則這5個整數(shù)之和的最小值為：3+4+5+6+7=25,最大值為n+(n-1)+(/J-2)+(/J-3)+5-4)

=5n-10,

則這5個整數(shù)之和共有不同結果的種數(shù)為：5n-10-25+1=(5〃-34)種.

24.(2022秋?邛江區(qū)校級期中)［閱讀理解］

我們知道，］+2+3+??z=n(n+l),那么12+22+32+/結果等于多少呢？

2

在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1,即12,第2行兩個圓圈中數(shù)的和為2+2,即22,…；

第〃行八個圓圈中數(shù)的和n∏+…+n，即〃2,這樣，該三角形數(shù)陣中共有n（n+l）個圓圈,所有圓圈中

nφn2

數(shù)的和為l2+22+32+???rt2.

［規(guī)律探究］

將三角形數(shù)陣經兩次旋轉可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的

數(shù)（如第n-I行的第一個圓圈中的數(shù)分別為n-I,2,〃），發(fā)現(xiàn)每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為

由此可得，這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：3（l2+22+32+

n(n+l)(2n+l),因此，/+22+32+…”2：=n(n+l)(2n+l)

2.一一6-1

第審-……Cλ

第2行……GKD

第3行……Θ?κD

，/、、

/*、、

，?/*\*

//\\

第n—］行—--{θ-θ)……——

第n行-?-θ?2√..........'……ɑ?θ

222事的結果為_叫.

［解決問題］根據以上發(fā)現(xiàn)，計算1+2+3+

l+2+3+??

G)旋轉G

Lk

??盛二W

圖2

第1行

第2行

【分析】【規(guī)律探究】將同一位置圓圈中的數(shù)相加即可，所有圈中的數(shù)的和應等于同一位置圓圈中的數(shù)的

和乘以圓圈個數(shù)，據此可得，每個三角形數(shù)陣和即為三個三角形數(shù)陣和的』，從而得出答案；

3

?×2022×(2022+1)X(2×2022+l)

【解決問題】運用以上結論，將原式變形為?5--------------------------------------,化簡計算即可

y×2022×(2022+1)

得.

【解答】解：【規(guī)律探究】

由題意知，每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為1+2+〃=2〃+1,

由此可得，這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：

3(l2+22+32+???+n2)=(2n+l)×(l+2+3+???+n)=(2n+l)×nt'n+1,|,

2

因此，i2+22+32+...+,2=n(2n+l)(n+1)；

6

故答案為：2〃+1,n(n+l)(2n+l)n(n+l)(2n+l)；

26

【解決問題】

?×2022×(2022+1)×(2×2022+1)

原式=J--------------------------------------=A×(2022X2+1)=??-,

33

y×2022×(2022+1)