2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)9-1直線與圓習(xí)題

9.1直線與圓

基礎(chǔ)篇固本夯基

考點(diǎn)一直線的方程

1.(2021陜西寶雞重點(diǎn)高中第七次質(zhì)檢,2)設(shè)m∈R,則"m=-3”是“直線L:mx+3y=2-m與

l∕x+(m+2)y=l平行”的()

?.充分但不必要條件

B.必要但不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

2.(2022屆山西懷仁一中月考,3)直線XSina-y+2=0的傾斜角的取值范圍是()

A.[0,n]L[θ,?]u[v?π)

c?[0?τ]D?[0IT]U(TIΠ)

答案B

3.(2022屆南京一中期中，6)已知a>0,b>0,直線l√x+(a-4)y+l=0,lz:bx+y-2=0,且11±12,則

家的最小值為()

24

A?2B.46D.-

答案D

4.(2021黑龍江齊齊哈爾八中月考,6)已知點(diǎn)(-1,2)和俘，0)在直線kaχ-y+l=0(aW0)的同

側(cè),則直線1的傾斜角的取值范圍為()

√÷-÷)B.(*)U”

?-(v-v)D.缺書

答案D

5.(2022屆江西景德鎮(zhèn)一中10月月考,9)己知函數(shù)f(x)=asinωχ+bcosωχ(ω>0),若直線

x=x°是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，且tanaχ0=3,則點(diǎn)(a,b)所在的直線方程為()

A.x+3y=0B.x_3y=0C.3χ-y=0D.3x+y=0

答案B

6.(2021四川內(nèi)江二診,9)已知過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線1與圓C:(χ-2)2+(y-l)2=10相交于A,B兩點(diǎn),

當(dāng)aABC面積最大時(shí),直線1的方程為()

A.2χ-y+2=0

B.2χ-y+2=0或2x+y-2=0

C.x=0

D.x=0或2x+y-2=0

答案A

7.(2021陜西渭南一中模擬，14)過(guò)點(diǎn)P(3,2)的直線1分別與直線χ-3y+10=0,2χ-y-8=0交于

Λ,B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)為P,則直線1的方程為.

答案2x+y-8=0

8.(2022屆江西10月大聯(lián)考，15)已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,2),且與直線l∕2x+y+m=0平

ab

行,則a+b=.若這兩條平行線之間的距離為遙,且k不經(jīng)過(guò)第一象限,則

答案6;1

考點(diǎn)二圓的方程

1.(2020北京,5,4分)已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為

()

A.4B.5C.6D.7

答案A

2.(2021吉林第三次調(diào)研,5)若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4χ-3y=0和X軸都

相切,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

Λ.(χ-3)*12+3(y-l)2=lB.(χ-2)2+(y-3)2=l

C.(χ-2)2+(y-l)2=lD.(χ-3)'+(y-2)2=l答案C

3.(2022屆河南開學(xué)考,7)己知圓C與傾斜角為等的直線相切于點(diǎn)N(3,-8),且與曲線

O

(χ-l)2+y5相外切,則圓C的方程為()

A.(χ-4)2+yM和x2+(y+2√3)2=12

B.(x+4)2+y2=4和x2+(y+2√3)2=12

C.(x+4)2+yMx2+(y-4√3)2=36

D.(χ-4)2+y2=4和x2+(y+4√3)2=36

2

答案D

4.(2022屆陜西榆林第十中學(xué)月考,11)已知M(3,4)是半徑為1的動(dòng)圓C上一點(diǎn),P為圓

0ιxz+y2=l上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線,切點(diǎn)分別為A,B,則當(dāng)IABl取最大值時(shí),ΔPAB的外

接圓的方程為()

Λ.x2+y2-3χ-4y-6=0B.x2+y2-3χ-4y+6=0

C.x2+y2-3x-4y-0D.x2+y2-4x_3y=0

答案A

5.(2021廣西玉林、柳州重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考,9)己知拋物線C:x?=4y的準(zhǔn)線為1,記1與y軸交于

點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作直線1。與拋物線C相切,切點(diǎn)為N,則以MN為直徑的圓的方程為()

A.(x+l)W=4或(X-I)2+y2=4

B.(x+l)”=16或(xT)2+y2=16

C.(x+h+y2=2或(X-I)Z+六2

D.(x+l)2+y2=8或(XT)*』

答案C

6.(2022屆江西貴溪實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考，13)已知直線AB的方程為4χ-3y-l=0,圓C的圓心坐標(biāo)為

(-1,0),直線AB與圓C相切，則圓C的方程為.

答案(x+l)2+y2=l

7.(2021江西鄱陽(yáng)一中調(diào)研，14)圓心在直線y=-2x上，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,T),與直線x+y=l相

切的圓C的方程是.答案(χ-l)2+(y+2)?

8.(2017課標(biāo)ΠI,20,12分)已知拋物線C:y2=2x,過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線1交C于A,B兩點(diǎn)，圓M是

以線段AB為直徑的圓.

(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)0在圓M上；

(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2),求直線1與圓M的方程.

解析⑴證明：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),1:x=my+2.

Am+

由,2ζ2'可得y^-2my-4=0,則y,y2=-4.

(,K=2x

I

又故

×ι=7>χ2=y,χ∣χz"y-4.

因此OA的斜率與OB的斜率之積為"?"=T,所以O(shè)AlOB.故坐標(biāo)原點(diǎn)0在圓M上.

xl×24

2

⑵由⑴可得丐+丫2=2叫x1+x2=m(y1+y2)+4=2m+4.

3

故圓心M的坐標(biāo)為(ι√+2,m),圓M的半徑r=√(層+2)2+層.由于圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2),因此

AP-BP=O,故(X「4)(x2-4)+(y∣+2)(%+2)=0,

-

即xlx24(XJ+X2)+yιy2÷2(yj÷y2)÷20=0.

-2

由(1)可得y∣y2=4,xlx2=4.所以2m-m-l=0,

解得m=1或m=-?

當(dāng)m=l時(shí),直線1的方程為χ-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為⑶1),圓M的半徑為√T5,圓M的方程為

(χ-3)2+(y-l)2=10.

當(dāng)m=f時(shí),直線1的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標(biāo)為(1-；),圓M的半徑為手,圓M的方程

為(司+6步S

考點(diǎn)三直線與圓的位置關(guān)系

1.(2020課標(biāo)∏,5,5分)若過(guò)點(diǎn)⑵1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2χ-y-3=0的距離

為()

Agβ,2√5C.至D.迪

5555

答案B

2.(2021四川宜賓二診,6)已知直線2y=√5x+m與圓￠4+63)2=6相交于A,B兩點(diǎn),若

∕ACB=120°,則實(shí)數(shù)m的值為()

A.3+佃或3-√6B.3+2√S或3-2√6

C.9或-3D.8或-2

答案A

3.(2021安徽宣城質(zhì)檢,9)已知M是拋物線C:y2=2px(p>0)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心

的圓M恰好經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F,若圓M與直線X=-I相切于點(diǎn)N,且AMFN的面積為10,則

圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(χ-4)2+(y-4)2=25

B.(χ-2)2+(y-2)2=9

C.(χ-4)2+(y-4)2=16

D.(χ-3)2+(y-3)2=16

答案A

4

4.(2020課標(biāo)I,11,5分)已知。M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線1:2x+y+2=0,P為1上的動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)

P作OM的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)IPMl?∣AB|最小時(shí),直線AB的方程為()

A.2χ-y-l=0B.2x+y-l=0

C.2χ-y+l=0D.2x+y+l=0

答案D

5.(2022屆甘肅蘭大附中月考，11)在平面直角坐標(biāo)系xθy中，已知點(diǎn)A(0,1),B(0,4),若直線

2χ-y+c=0上存在點(diǎn)P,使得PB=2PA,則實(shí)數(shù)C的取值范圍是()

A.(-√5,√5)B.[-√5,√5]

C.(-2√5,2√5)D.[-2√5,2√5]

答案D

6.(2022屆江西月考,1西已知點(diǎn)A(0,2),B(l,1),且點(diǎn)P在圓C:(χ-2)%yz=4上,C為圓心，則

下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

AIPAl+1PBI的最小值為方

B.當(dāng)/PAB最大時(shí)，ΔAPB的面積為2

ClPAHPC的最大值為22

D.IIPAl-IPBll的最大值為近

答案B

7.(2019浙江，12,6分)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),半徑長(zhǎng)是r.若直線2χ-y+3=0與圓C相

切于點(diǎn)A(-2,T),則m=,r=_.

答案-2;,

8.(2021湘豫名校3月聯(lián)考,16)已知過(guò)點(diǎn)A(2,2)作直線AB,AC與圓x2+(y-2)2=l相切,且交拋

物線χ2=2y于B,C兩點(diǎn),則直線BC的方程為.

答案6x+3y+4=0

考點(diǎn)四圓與圓的位置關(guān)系

1.(2020合肥廬巢六校聯(lián)盟期中，8)兩圓x2+y2+4χ-4y=0與x2+y2+2χ-12=0的公共弦長(zhǎng)等于

()

A.4B.2√3C,3√2?),4√2

答案D

5

22

2.(2022屆云南玉溪月考,8)已知圓O1:x+y-ax=0(a<0)截直線x+y=O所得線段的長(zhǎng)度是2√2,

則圓0,與圓Oz：(x-2)2+y2=4的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

答案C

3.(2022屆四川巴中月考,8)已知點(diǎn)A屆0)和圓0:x2+y2=l,動(dòng)點(diǎn)P在圓0上,點(diǎn)Q滿足Q=聞,

記動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C,則曲線C與圓0的位置關(guān)系為()

A.相交B.相離C.內(nèi)切D.外切

答案C

綜合篇知能轉(zhuǎn)換

考法一對(duì)稱問(wèn)題的處理方法

1.(2020鄭州二模,4)圓(x+2)今(y-12)2=4關(guān)于直線χ-y+8=0對(duì)稱的圓的方程為()

A.(x+3)2+(y+2)M

B.(x+4)2+(y-6)2=4

C.(χ-4)2+(y-6)M

D.(x+6)2+(y+4)2=4

答案C

2.(2021豫西南五校3月聯(lián)考,14)已知點(diǎn)P(2,1)在圓C:x2+y2+aχ-2y+b=0上,點(diǎn)P關(guān)于直線

x+y-l=O的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上，則圓C的半徑為.

答案2

3.(2022屆廣西桂林全州第二中學(xué)月考，16)已知P是圓Cιx2+yMχ-2√5y+8=0上一動(dòng)點(diǎn),P關(guān)

于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M,關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為N,則IMNl的取值范圍是.

答案[2√2,4√2]

考法二圓的切線問(wèn)題

1.(2020課標(biāo)ΠI,10,5分)若直線1與曲線y=Q和圓X?+/=都相切，則1的方程為()

A.y=2x+lB.y=2x+∣

C.y?+lD.YZ?∣X+∣

答案D

6

2.(2022屆廣州四校聯(lián)考,8)已知點(diǎn)Q在圓E:(x+3)2+(y-4)2=4上,橢圓(a>b>0)的右

焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在橢圓C上,且圓E上的所有點(diǎn)均在橢圓C外,若IPQHPFl的最小值為2√5-6,

且橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓E的直徑長(zhǎng)相等,過(guò)點(diǎn)F作圓E的切線，則切線斜率為()

A.±2B.半C.芍漁D.+√3

答案B

3.(2022屆全國(guó)月考,⑵已知橢圓C:1+^=l(a>b>0)的焦距為4,過(guò)C上一點(diǎn)P作圓x2+y2=l

的兩條切線,切點(diǎn)分別是A,B,若弦長(zhǎng)IABI的最大值為乎,則C的離心率為()

A?B立C處D-

八.3h?3J3υ-3

答案D

4.(2022屆陜西西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)月考，13)已知過(guò)點(diǎn)P(2,2)且與兩坐標(biāo)軸都有交點(diǎn)的

直線1與圓(xT)2+y2=l相切，則直線1的方程為.

答案3χ-4y+2=0

5.(2020浙江，15,6分)已知直線y=kx+b(k>O)與圓x2+y2=l和圓(χ-4)2+y2=l均相切，則

k=,b=.

答案*當(dāng)

6.(2021四川天府名校診斷,15)直線1的傾斜角為銳角,且與圓Od+y』和圓Ad+(y-4)2=9

均相切,則直線1的斜率等于

答案√3

7.(2018課標(biāo)∏,19,12分)設(shè)拋物線CiyMx的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k(k>O)的直線1與C

交于AB兩點(diǎn)，IAB∣=8.

⑴求1的方程；

(2)求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

A

解析⑴由題意得F(1,0),1的方程為y=k(χ-l)(k〉0),設(shè)A(x“y,),B(x2,y2).由巴=I(XT)'

2222

得kx-(2k+4)x+k=0,Δ=16Y+16>0,故x,+x2=^≠.所以IABl=IAFI+1BFI=(x,+l)+(x2+l)=^.

由題設(shè)知*8,解得k=T(舍去)或k=l,因此1的方程為y=χ-l.

(2)由⑴得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(χ-3),即y=-χ+5.

7

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為Go,y0),則

中+16解得雷二或甯二二：

因此所求圓的方程為(x-3)?+(y-2)2=16或(XTl)?+(y+6)2=144.

8.(2021全國(guó)甲,20,12分)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在X軸上,直線1:x=l交C于

P,Q兩點(diǎn)，且OPLOQ?已知點(diǎn)M(2,0),且QM與1相切.

(1)求C,GM的方程；

⑵設(shè)Al,A2,Aj是C上的三個(gè)點(diǎn),直線A1A2,A島均與OM相切.判斷直線A人與OM的位置關(guān)系,

并說(shuō)明理由.

解析(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為∕=2px(p>0),則P,Q的坐標(biāo)為

(1,+y∕2p),VOPlOQ,：,7)P-磴l-2p=0,.?.pg,.?.拋物線C的方程為∕=x.

,/OM的圓心為(2,O),OM與直線x=l相切，；.OM的半徑為1,ΛΘM的方程為(χ-2T+y2=l.

(2)直線A2A3與G)M相切.理由如下:

設(shè)Ai(%,y0),A2(片,y1),A3必,y2),

：直線A島,AA均與G)M相切，

y0≠±l,y,≠±l,y2≠±l,

,整理,得

由A“&的坐標(biāo)可得直線A島的方程為y-y0=(X-/)X-(yo+y.)y+yoyl=θ.由于直線

A島與ΘM相切,

.?.M至值線A3的距離11,整理得(/τ)?片+2y°y∣+3-耳=0,①

同理可得，(/T)g+2yoy2+3M=O,②

觀察①②,得y1,y2是關(guān)于X的一元二次方程(耳T)χ2+2y°x+3-∕R的兩根,

’._2y

力+及一R0，

3_史°(*)同理,得直線A1Λ的方程為x-(y,+y2)y+y1y2=0,

則點(diǎn)M⑵。)到直線AA的距離d,Wg4把(*)代入得

i25-D+3∕∣_氏+11」疥1

d'=二L???直線A2A3與。M相切.

8

解后反思本題第（1）問(wèn)較為基礎(chǔ),熟練掌握拋物線和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)鍵;第（2）問(wèn)涉及的

條件較多,其中直線AAZ與圓相切，是最重要的一個(gè)條件，由此條件可求出直線A向的方程,進(jìn)

而直線A4,AA的方程就可同理求得,可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程,而由①②歸納出y,,小是方程

2

（^-l）x+2yox+3-^=O的兩根,則需要有較深的數(shù)學(xué)功底和知識(shí)儲(chǔ)備,需要同學(xué)們平時(shí)不斷積

累.

考法三圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題

L（2022屆江西景德鎮(zhèn)一中10月月考,4）直線hmχ-y-5m+l=O（m∈R）被圓

N:x2+y2-10χ-2y+25=0截得的線段的長(zhǎng)是（）

Λ.1B.2C.4D.不確定

答案B

2.（2022屆貴陽(yáng)一中月考,9）若直線mχ-ny+3=0（m>0,n>0）被圓C:x2+y^+6χ-4y+5=0截得的弦長(zhǎng)

為4班,則%1的最小值為（）

mn

A.8-fB.乎C.8-4√3D.8+4毒答案B

3.（2021貴陽(yáng)適應(yīng)性測(cè)試一，10）過(guò)點(diǎn)M（-3,-3）且互相垂直的兩條直線與圓x2+y2+4y-21=0分

別交于A,B與C,D,若IABI=ICDI,則四邊形ACBD的面積等于（）

A.20B.30

C.401）.60

答案C

4.（2020天津，12,5分）已知直線χ-√3y+8=0和圓/+/=/60）相交于Λ,B兩點(diǎn).若IABl=6,

則r的值為.

答案5

考法四與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

1.（2022屆河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考,7）已知實(shí)數(shù)X,y滿足條件［（尸（y-2"≤1,則Zf的

（『廠1?0,尸2

最小值為（）

Λ.JB.2+√2ClD.3+√2

答案A

2.（2022屆陜西西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)月考,9）己知圓M:（χ-l）2÷（y-l）M,設(shè)P是直線

1:3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),PA是圓M的切線,A為切點(diǎn)，則以?聞的最小值為（）

9

Λ.√3B.√5C.3D.5

答案D

3.（2018課標(biāo)IΠ,6,5分）直線x+y+2=0分別與X軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓（χ-2）2+y?

上,則aABP面積的取值范圍是（）

Λ.[2,6]B.[4,8]

C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]

答案A

4.（2021河南安陽(yáng)二模,9）已知曲線y=√-Λ2+河-3與直線kχ-y+k-l=O有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則

實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

答案A

5.（2021四川南充二模,9）阿波羅尼斯（約公元前262—190年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)

到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k（k>O且k六1）的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面

內(nèi)兩定點(diǎn)?,B間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)P與A,B距離之比為近,當(dāng)P,A,B不共線時(shí)，ΔPΛB面積的

最大值是（）

A.2√2B.√2C.小D.γ

答案A

6.（2021云南第一次適應(yīng)性測(cè)試,9）已知OM的圓心在曲線y=（x>0）上,且OM與直線

X

2x+y+l=0相切，則OM的面積的最小值為（）

9JT

A.?-B.4πC.5πD.9π

5

答案C

7.（2017江蘇，13,5分）在平面直角坐標(biāo)系XOy中,A（-12,0）,B（0,6）,點(diǎn)P在圓0ιx2+y2=50上.

若⑸?9≤20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

答案[-5近，1]

8.（2022屆江西景德鎮(zhèn)一中月考，16）已知點(diǎn)P（2,0）,動(dòng)點(diǎn)Q滿足以PQ為直徑的圓與y軸相切,

過(guò)點(diǎn)P作直線x+（m-l）y+2m-5=0的垂線,垂足為R,則∣QP∣+QRl的最小值為.

10

9.(2022屆云南大理模擬，16)設(shè)mCR,直線1∣:mx-y-3m+l=0與直線l2:x+my-3m-l=0相交于點(diǎn)

P線段AB是圓C:(x+l)z+(y+l)z=4的一條動(dòng)弦,且IABI=2近,則同+麗的最小值

為.

答案2段

應(yīng)用篇知行合一

應(yīng)用一構(gòu)建直線、圓模型解決運(yùn)動(dòng)實(shí)踐問(wèn)題

1.(2021四川大學(xué)附中模擬,15)如圖，在直角梯形ABCDΦ,AB±AD,AD=DC=2,AB=6,動(dòng)