2022-2023學(xué)年重慶市高一年級(jí)下冊(cè)冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年重慶市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

(含解析)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.己知復(fù)數(shù)z=3+i,則復(fù)數(shù)z＜l+i)4在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.Z8C中，。，8c是角/，民。的對(duì)邊，b=21J,c=2,0=30°,則此三角形有()

A.一個(gè)解B.2個(gè)解C.無解D.解的個(gè)

數(shù)不確定

3.下列幾組空間向量中，不能作為空間向量基底的是()

A.3=(1,0,0),6=(0,l,0),c=(0,0,1)

B.)=(1,1,0),5=(1,0,1)?=(0,1,1)

C.1=(1,1,2),5=(1,1,0),3=(1,0,1)

D.2=(1,1,1),5=(1,0,1)?=(1,2,1)

4.已知向量萬，B滿足=2,且忖=1,則向量方在向量B上的投影向量為()

A.1B.-1C.bD.-b

5.設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為匕、匕和匕，則()

A.匕＜匕＜匕B.匕＜匕＜匕C.匕＜匕＜匕D.

匕〈匕〈匕

6.如圖，直角梯形Z8CZ)中，AB=3CD,乙48c=30'，BC=4,梯形Z8CD繞NO

所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的外接球的表面積為()

112無

B.48兀C.128兀D.208兀

7.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)

的曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度

用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率

之和.則正八面體（八個(gè)面均為正三角形）的總曲率為（）

A.2兀B.4兀C.6兀D,8兀

8/8C中，a,b，，是角A,B，C的對(duì)邊，5小4。（。-6），其外接圓半徑R=2,

且4（si/Z-sin'B）=（百々-6卜in5,則（l+siiL4）（l-siiiB）=（）

532

A.1B.-C.-D.一

643

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.設(shè)/為直線，a,￡為兩個(gè)不同平面，則下列命題中正確的是（）

A.若///a,〃/夕，則a%

B,若a%,〃/a,則〃//

C.若則a//￡

D若La,貝i",夕

10.已知函數(shù)/（x）=sin（tyx+:'）（0〉。）在一兀,1'上單調(diào)，且函數(shù)y=/（x）圖像關(guān)于

點(diǎn)（一對(duì)稱，則（）

A.2兀是/（力的一個(gè)周期

B./（x）的圖像關(guān)于x=等對(duì)稱

C.將/（x）的圖像向右平移三個(gè)單位后對(duì)應(yīng)函數(shù)為偶函數(shù)

D.函數(shù)丁=/（，一卷在[0,可上有2個(gè)零點(diǎn)

11.Z8C中，a,b,c是角4,8,。的對(duì)邊，b2=a2+ac>則（）

A.若B=上,則Z=：

24

B,若/=',a=2,貝I]N8C的面積為

6

C.若/=烏,。=2,則角B的角平分線80=6

6

D.若力8C為銳角三角形，。=2,則邊長be（2五,20）

12.已知正方體力BCD-44GA的棱長為2,點(diǎn)E，E分別為面BB℃,CCA。的

中心，點(diǎn)G是44的中點(diǎn)，則（）

A.DEVBG

B.4F〃面BC|G

C.直線48與平面BGG所成角的余弦值為走

3

D.過點(diǎn)E且與直線OE垂直的平面截該正方體所得截面周長為JI+3店

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知正HB'C'為水平放置的Z8C的直觀圖，若08'=2,貝IN8C的面積為

14.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|+z=2+4i,則彳=.

7T

15.Z8C中4=5，D為邊BC上一點(diǎn)、,若2CD=AD=BD,則sinC=.

16.已知平面向量比B,3滿足同=歸一同=2,區(qū)—研=1,則Be的最大值為.

四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）.

17.已知向量a=（2,2）石=（-1,1）.

（1）若￡,（￡+2在），求實(shí)數(shù)人的值；

(2)若萬與B的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

18.如圖所示，在四棱錐尸一Z8CD中，四邊形力88為等腰梯形,

AB〃CD,AD=CD=2,AB=4,AC工PC.

(1)證明：平面P8C：

⑵若PBLBC,PB=4百,求點(diǎn)。到平面P8C的距離.

271

19.在Z8C中，N4N8,NC對(duì)應(yīng)的邊分別為a,4c,Z=—,b=5,c=3,N8C的外接

3

圓。面積為S.

(1)求S的值；

(2)若點(diǎn)。在ZC上，且直線8。平分角/力8C,求線段8。的長度.

20.如圖所示，已知四邊形力BCD和四邊形都是矩形.平面Z8CQ工平面

ADEF,AD=3AF=3AB=3,M,N分別是對(duì)角線BD,AE上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且

BM=AN.

(1)求證：直線MN平面CDE；

(2)當(dāng)時(shí)，用向量法求平面/"N與平面夾角的余弦值.

2

21.如圖，在三棱臺(tái)Z8C-44G中側(cè)面8CC筋為等腰梯形，8c=8,5￡=。。=4,〃

為AG中點(diǎn).底面Z8C為等腰三角形，N8=ZC=5,。為8c的中點(diǎn).

(1)證明：平面Z8C人平面ZOM；

(2)記二面角N—8C—4的大小為夕

TT

①當(dāng)6=一時(shí)，求直線BB與平面AA.C.C所成角的正弦值.

6｝

TT7T

②當(dāng)時(shí)，求直線與平面44CC所成角的正弦的最大值.

22.在Z8C中，N4N8,NC對(duì)應(yīng)的邊分別為出仇c,

2sirt4sinfisinC=V3(sin2S+sin2C-sin?N)

(1)求A:

(2)奧古斯丁.路易斯.柯西(Augusti"LouisCauchy,1789年-1857年),法國著名數(shù)學(xué)家.

柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等

式、柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)在，在

(1)的條件下，若a=2,P是內(nèi)一點(diǎn)，過P作垂線，垂足分別為

瓦尸，借助于三維分式型柯西不等式：必,%,％e&+,江+且+&(1+.+>)當(dāng)

必為外乂+'2+%

且僅當(dāng)王=三=1時(shí)等號(hào)成立求T=博+噌1+ld￡l的最小值.

yy2乃|PQ||「可\PF\

答案解析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=3+i,則復(fù)數(shù)z<l+i)4在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【正確答案】C

【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)的幾何意義得結(jié)果.

【詳解】由z=3+i,則有

z-(l+i)4=(3+i)[(l+i)2]2=(3+i)(2i)2=(3+i)x(-4)=-12-4i,

所以復(fù)數(shù)z-(l+i)4在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-12,-4),在第三象限.

故選：C.

2.Z8C中，。，仇c是角4民。的對(duì)邊，b=2jJ,c=2,C=30",則此三角形有()

A.一個(gè)解B.2個(gè)解C.無解D.解的個(gè)

數(shù)不確定

【正確答案】B

【分析】利用正弦定理得sin8==——，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行判斷即可.

C

【詳解】???Z8C中，b=2y/3,c=2,C=30\

二根據(jù)正弦定理一^=」一，得.n_bsinC_28x，_6,

sinBsinCsin“==-=—

c22

?.?B為三角形的內(nèi)角,b>c,則有6=60°或8=120"，

二三角形的解有兩個(gè).

故選:B.

3.下列幾組空間向量中，不能作為空間向量基底的是()

A.3=(1,0,0),3=(0,1,0),3=(0,0,1)

B.a=(l,l,O),d=(l,O,l),c=(O,l,l)

C.石=(1,1,2)3=(1,1,0)1=。,0,1)

D.)=(1,1,1)3=(1,0,1)?=。,2,1)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,設(shè)(i,o,o)=4(o,i,o)+〃(o,o,i),無解，即萬,不共面，故可以作為

空間向量一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,設(shè)(1,1,0)=4。,0,1)+〃(0,1,1),無解，即河瓦云不共面，故可以作為空間向量

一個(gè)基底，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)(1,1,2)=/1(1,1,0)+〃(1,0,1),無解，即口5忑不共面，故可以作為空間向量

一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,設(shè)(1,1,1)=2(1,0,1)+〃(1,2,1),解得％=〃=；,所以zB忑共面，故不可以作

為空間向量一個(gè)基底，故D正確.

故選：D

4.已知向量石，B滿足R+B)4=2,且W=1,則向量2在向量B上的投影向量為()

A.1B.—1C.bD.-b

【正確答案】C

【分析】由已知可求得展5=1，然后根據(jù)投影向量的公式，即可得出答案.

【詳解】因?yàn)殁?1,(a+b\b=a-b+b2=l,

所以展B=1，

a-bb1b-r

所以，向量2在向量B上的投影向量為百.耐二丁丁二。.

故選：C.

5.設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為匕、匕和匕，則（）

A.匕＜匕＜匕B.匕＜匕＜匕C.匕＜匕＜匕D.

匕＜3

【正確答案】B

【分析】設(shè)正方體棱長為。，正四面體棱長為6,球的半徑為R,面積為S.表示出3個(gè)幾何

體的表面積，得出a,b,衣,進(jìn)而求出體積的平方，比較體積的平方大小，然后得出答案.

【詳解】設(shè)正方體棱長為明正四面體棱長為b，球的半徑為A,面積為S.

,S

正方體表面積為S=6/,所以/=

6

所以，匕2=（叫2=（%3=短；

如圖，正四面體尸一/BC,。為ZC的中點(diǎn)，。為Z8C的中心，則尸。是尸-Z8C底

面/8C上的高.

則8Z）_LRC,AD=\b,所以BD=JAB2—AD?，

22

所以S“r=Lx4CxBD=Lxbx@b=?b?.

由2224

所以，正四面體P—/8C的表面積為S=4S，BC=?2,所以62=4$.

7.T.

又。為/8C的中心，所以80=±80=1b.

33

又根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可知尸80,

所以PO7PB2-BO2=逅6，

3

所以，%=（；xS

球的表面積為5=4兀7?2,所以斤=老，

4兀

所以,

因?yàn)椤敢籗3＞-Ls3＞」一$31$3_

>墨3

367114421621673_648

所以，y；＞W(wǎng)＞吟,

所以，匕〈匕〈匕.

故選：B.

6.如圖，直角梯形中，AB=3CD,NABC=30°，BC=4,梯形ABCD繞AD

所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的外接球的表面積為（）

B.48兀C.128兀D.208兀

【正確答案】D

【分析】由題意可知，旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺(tái)，可知外接球的球心一定在線段4?；?/p>

N0的延長線上.取圓臺(tái)的軸截面，分情況討論，作圖，分別根據(jù)幾何關(guān)系求出球的半徑，

即可得出答案.

【詳解】由題意可知，旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺(tái).

取圓臺(tái)的軸截面

由題意知，球心。一定在線段或力。的延長線上

圖1

如圖1,當(dāng)球心。在線段上時(shí).

過點(diǎn)C作CE工Z8于E點(diǎn)，則CE=BCsin30°=2，BE=BCcos3U=2密，

所以CD=退，AB=3y/3.

設(shè)球的半徑為R,OA^x(0<x<2),OD=2-x,

R2=OD2+CD2卜=1

則由勾股定理可得,

R2=OA2+AB2[R2^x2

整理可得x+5=0,解得x=-5（舍去）;

O

圖2

如圖2,當(dāng)球心。在。Z的延長線上時(shí).

過點(diǎn)C作于E點(diǎn)，則CE=BCsin30°=2，5E=5Ccos30°=2A/3.

所以CZ>=Ji，AB=3也.

設(shè)球的半徑為H,O/=x（x〉0）,則0D=x+2,

R2=OD2+CD2即ME+3

則由勾股定理可得,

R^O^+AB2

整理可得x-5=0,解得x=5.

所以,所=7?+3=52,

所以，圓臺(tái)外接球的表面積為4?；?=208兀.

故選：D.

7.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)

的曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度

用弧度制)，多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率

之和.則正八面體(八個(gè)面均為正三角形)的總曲率為()

B.4兀C.6兀D.871

【正確答案】B

【分析】利用正八面體的面積和減去六個(gè)頂點(diǎn)的曲率和可得結(jié)果.

【詳解】正八面體每個(gè)面均為等比三角形，且每個(gè)面的面角和為兀，該正面體共6個(gè)頂點(diǎn)，

因此，該正八面體的總曲率為6x2兀-8兀=4兀.

故選：B.

8.Z8C中，a,b,c是角A,B,C的對(duì)邊，SABC=^c(a-b),其外接圓半徑H=2,

且4(sin?4一sin*)=(VJa-"sin5,則(l+sin/i)(l-sin5)=()

532

A.1B.—C.-D.一

643

【正確答案】A

【分析】由己知可得a=J的，ab=4(a—b),進(jìn)而可得a,b,可求(l+sin/)(l—sin6).

【詳解】由正弦定理得‘^=—2—=—^=2火=4,即a=4sinZ,b=4sin8,

sinAsinBsinC

c-4sinC,

又4(siM4-sin?B)=(VJa-b)sinB，則16sin?J-16sin2B=(6a-6)4sin8，

則a?—〃=(百Q(mào)—,即得a二百b①,

因?yàn)镾ABC,貝U；QbsinC=^c(a-b),

則1abc=c(a-b),即=4(。-b)②,

4

結(jié)合①②解得6=如更D,a=4(V3-l).

則l+sin/=l+q=l+VJ—1=6,1-sin5=1--=1-1+昱=2,

4433

所以(1+sin4)(1—sin8)=1.

故選：A.

本題考查了正弦定理，重點(diǎn)考查了三角形的面積公式，屬中檔題.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)/為直線，a,￡為兩個(gè)不同平面，則下列命題中正確的是()

A.若〃/a,////?,則a〃尸

B.all(3,IHa,貝(]〃/

C.若/則。〃夕

D.若all(3,11a,貝!)/_L4

【正確答案】CD

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【詳解】若〃/氏〃/￡,則a與夕可能平行，可能相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若a//￡,〃/a,則///夕或/up,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若根據(jù)垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，則a〃尸，C選項(xiàng)正確；

若all/3,1La,一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則一定垂直與另一個(gè)，貝

D選項(xiàng)正確.

故選：CD.

10.己知函數(shù)/(x)=sinj6yx+3(0>0)在一無,弓上單調(diào)，且函數(shù)y=/(x)圖像關(guān)于

對(duì)稱，則(

A.2兀是/(x)的一個(gè)周期

/(x)的圖像關(guān)于X=個(gè)對(duì)稱

C.將/(x)的圖像向右平移。個(gè)單位后對(duì)應(yīng)函數(shù)為偶函數(shù)

Q

D.函數(shù)y=/(x)-伍在[0,可上有2個(gè)零點(diǎn)

【正確答案】BD

【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，先求出函數(shù)的解析式為/(x)=sin

從而可判斷其周期、軸對(duì)稱、變換后的解析式，即可判斷A,B,C；依題意求得函數(shù)y=/(x)

在[0,可上與y=K有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而即可判斷D.

【詳解】由函數(shù)/(x)=sin(8+二](0>0)在—兀,三上單調(diào)，則型2工+兀，得

7I6)12」202

0<a)<-.

3

又函數(shù)y=/(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(-=,()]對(duì)稱，則一絲+三=E,keZ,得。=-3人+L.

<3J362

所以&=g,即/(x)=sin[1+￡).

271.

-二4兀

故有/(X)的最小正周期為1,故A錯(cuò)誤；

2

又/[4]=sin[V+2]=sin==l為最大值，可得/*)的圖像關(guān)于x==對(duì)稱，故B正

7TY

將"X)的圖像向右平移§個(gè)單位后對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=sin],是一個(gè)奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤;

，則/(x)=sin

2663

又sin」,sin型="，且且＜2

<1，

6232210

99

所以函數(shù)y=/（x）在［0,可上與歹=歷有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y=/（x）-正在［0,可上有2

個(gè)零點(diǎn)，故D正確.

故選：BD.

11.48C中，a,b,c是角4民。的對(duì)邊，b2=a2+ac，則（）

A.若B=上,則Z=：

24

B.若工=',。=2,貝ij48c的面積為26

6

C.若4=囚,。=2,則角8的角平分線80=

6

D.若N3C為銳角三角形，”2,則邊長be（2"2ji）

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)題意并結(jié)合余弦定理〃=/+c2_2accos8可得a=c—2acos8,由正弦

定理以及三角恒等變換可得8=2N,即可判斷AB正確：由等面積SASCMSIO+S&CO

可知80=半，即C錯(cuò)誤；根據(jù)三角形形狀可得即可確定〃e（8,12）,

可解得be（2后,2JJ）,所以D正確.

【詳解】根據(jù)題意由〃=/+四，結(jié)合余弦定理/=/+/—2改cos8可得，

ac=c2-2accosB，又因?yàn)閏w0,所以。二c—2acosB；

利用正弦定理可得sinA=sinC-2sin^cos5,

再由sinC=sin（4+8）可得,sinZ=sin（/+B）-2sin4cosB,

即sin/=sinAcosB+cosAsinB-2sinAcosB,所以sin4=sin（5-J）；

又因?yàn)?8￡（0,兀），所以/=B—Z，即8=2Z；

對(duì)于A,若B=三,則Z=0='，故A正確；

224

兀兀

對(duì)于B,若/=—,〃=2,則8=24=一,由a=c—2acos6可得c=4,

63

所以N8C的面積為SaBcugacsinBuZjJ,即B正確；

對(duì)于C,如下圖所示：

由等面積可知S2ABC=S￡\ABD+SWCD,

jr7T

由選項(xiàng)B可得c=4,8=—,所以Z.ABD=/CBD=—,

36

即S"C=Lc.8D-sin工+!4-8。7出巴=2百，解得8。=士叵，所以C錯(cuò)誤;

26263

對(duì)于D,若力BC為銳角三角形,a=2,則可得c=a+2acosB=2+4cos5，

0<3

22

n

即《0<B<-,解得Be,所以cosBe

2

.cBn

0<n-B----<—

22

XZ>2=a2+ac=8+8cos5,所以從w（8,12）,因此6G（2也2道卜即D正確.

故選：ABD

12,已知正方體力BCD-44GA的棱長為2,點(diǎn)E,尸分別為面CGA。的

中心，點(diǎn)G是44的中點(diǎn)，則（）

A.DE1BG

B.//〃面8C。

C.直線48與平面8gG所成角的余弦值為且

3

D.過點(diǎn)E且與直線。E垂直的平面0,截該正方體所得截面周長為貶+36

【正確答案】ACD

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的性質(zhì)，利用DE.3G是否等于

零，即可判斷A；求出平面3C；G的法向量，與您是否垂直，即可判斷B：根據(jù)直線N5

與平面BGG所成的角的余弦值可先求出而與平面8GG的法向量的余弦值，再根據(jù)角的

關(guān)系求出所要求的結(jié)果，即可判斷C；做出過點(diǎn)尸且與直線垂直的平面1的截面圖，

根據(jù)幾何關(guān)系即可求出其周長，即可計(jì)算出D.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。DC,所在直線分別為x,y，z軸，建立坐標(biāo)系,

如圖所示，

則。(0,0,0),￡(1,2,1),5(2,2,0),G(2,l,2),Z(2,0,0),尸(0,1,1),C,(0,2,2),

G(2,l,2),

___uuia_____

對(duì)于A,由OE=(1,2,1),8G=(0,-1,2)，則。E-8G=lx0+2x(-l)+lx2=0,所以

歷，豆4，故A正確；

對(duì)于B,設(shè)平面8GG的法向量為7=(項(xiàng),M，zJ,

UUU.UULUUUUl

由8G=(一2,0,2),BG=(0T2)，//二(—2,1,1)，

[BC[?元=0f—2x.+2z]—0_

則〈___即〈cc,令Z]=1,則玉=1,y=2,則萬=(1,2,1),

[BG-n^O[一乂+2馬=0

又N尸?萬=(-2)xl+lx2+lxl=1w0,所以4F與平面SC。不平行，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)直線與平面BGG所成的角為a,

又方=(0,2,0)，結(jié)合選項(xiàng)B得sina=cos(]—a)ABn4

所以

珂同2x迎

cosa=Vl-sin2a=—>故C正確;

3

對(duì)于D,結(jié)合C選項(xiàng)得元=瓦，則。平面8GG,

取4〃，的中點(diǎn)為X,T,叫=CP=4U=g,

由幾何關(guān)系可知，WX〃NU,WV//TU,則股組成一個(gè)平面,

由BG〃TU、BC.//TX,TU,7X均在平面股內(nèi),

則。平面即過點(diǎn)尸且與直線OE垂直的平面a,截該正方體所得截面如圖

所示平面WXTUV,

則截面映7UP的周長為

WX+XT+TU+UV+VW1+V22+1+V22+1=375+72

故D正確.

故選：ACD.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于難題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知正為水平放置的18c的直觀圖，若H8'=2,貝I48c的面積為

【正確答案】2瓜

【分析】求出正H6'C'的面積，再利用直觀圖與原圖形面積間的關(guān)系計(jì)算作答.

【詳解】依題意，正/'"C’的面積S,”,=L/'8'2sin^="x22=G，

ABC234

因?yàn)橹庇^圖與原圖形的面積比為也，

4

所以ABC的面積SABC=2-725j.sr.=2瓜.

故

14.已知復(fù)數(shù)z滿足目+z=2+4i,則彳=.

【正確答案】一3—4i

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共粗復(fù)數(shù)的定義，即可求解

【詳解】設(shè)2=。+加（。力wR）,

V|z|+z=2+4i,

...777^+a+bi=2+4i，即於丁+”2,解得｛tJ

則有z=-3+4i,z=-3-4i.

故答案為.-3-47

15.力8c中/=:，。為邊上一點(diǎn)，若2CD=AD=BD,則sinC=.

【正確答案】1

【分析】設(shè)=0,四，有6,//8=」一。，在中,

I3）33

由正弦定理求出6,得到/C,可求sinC.

【詳解】如圖所示,

設(shè)=由4。=80,則乙4BD=6,

jr27r

所以N/DC=26,ZDAC=--0,ZACD=--0,

33

4DDC

在ZCZ）中，由正弦定理可得.（2兀.（兀小,

I3）U）

因?yàn)?。=2cZ),所以sin[q—6)=2sin1-6)

即GcosB-sin。=—^cose+'sine，整理得tan6=—即。=工，

2236

/r2兀2兀兀兀.

ZC=----6=------=—,sinC=1.

3362

故1

16.已知平面向量癡忑滿足同=歸一4=2,則譏己的最大值為.

【正確答案】12

【分析】根據(jù)向量加減法的幾何意義作出圖形，觀察|可和同以及兩個(gè)向量夾角的變化，判

斷Be取最大值的位置.

【詳解】設(shè)方=無礪=很，玩=5,則瓦^=萬一瓦第=萬一了

由同=歸一.=2,|方—司=1,則網(wǎng)=2,8點(diǎn)在以/為圓心2為半徑的圓周上，C點(diǎn)在以

A為圓心1為半徑的圓周上，如圖所示，

b-c^\dB\^OC\cos(OB,OC),由圖可知，當(dāng)46,C三點(diǎn)共線，在如圖所示的位置,

|而|有最大值4,|瓦|有最大值3,此時(shí)cos(方，反)取最大值1,

所以B々的最大值為12.

故12.

四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）.

17.已知向量Q=（2,2）,B=（—1,左）.

（1）若￡，R+2b）,求實(shí)數(shù)左的值；

（2）若。與B的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

【正確答案】（1）-1

（2）（-oo,-l）u（-l,l）

【分析】（1）根據(jù)題意求得1B=_2+2左，結(jié)合向量垂直的數(shù)量積的表示，列出方程，即

可求解；

（2）根據(jù)題意，利用￡3＜0且Z與B不共線，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積的運(yùn)算，即

可求解.

【小問1詳解】

解：由向量a=（2,2）萬=（一1,左），可得￡石=-2+2左，

因?yàn)閍_L（a+25）,可得a-（a+2b）=a+2a/=8—4+4左=0,解得左=—1.

【小問2詳解】

解：由（1）知，73=—2+2左＜0，解得左＜1，

又由向量々與B不共線，可得2x女工2x（—1）,解得左。一1,

所以實(shí)數(shù)人的取值范圍是（―8,-1）口（一1,1）

18.如圖所示，在四棱錐P—力88中，四邊形Z8CD為等腰梯形，

AB//CD,AD=CD=2,AB=4,AC1PC.

（1）證明：平面尸8C：

（2）若PBLBC,PB=4氏,求點(diǎn)。到平面P8C的距離.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）73

【分析】（1）由勾股定理證明所以NC18C,又4C_LPC,可證平面尸8C.

（2）由VD-PBC=VP-BCD，利用體積法求點(diǎn)D到平面PBC的距離.

【小問1詳解】

四邊形ABCD為等腰梯形，AB//CD,AD=CD=2,AB=4,

過點(diǎn)C作CE1Z8于E,如圖所示，

由余弦定理知么。2=/62+6。2—2工6?8。.?osNZ6C=16+4—8=12，

則NC2+6C2=482,所以zciBC,

又nCIPC,PC,8Cu平面「SC,PCcBC=C,

所以ZC_L平面尸8C.

【小問2詳解】

連接8。，如圖所示，

由（1）可知力平面PBC,4Cu平面/BCD,所以平面平面P8C,

平面Z8CZ>c平面PBC=BC,PBu平面P8C，PB1BC,尸8J_平面4SCZ）,

又CE=2sin60°=6，SBCD=-CE-CD-G,

所以^p-BCD=；XS38,尸6=；xGx4A/3=4,

在PBC中，由尸8L8C,得SPBC=；PB-BC=46

設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為d,則VD_PBC=；x4也d,

VD-PBC=VP-BCD-解得d=由,即點(diǎn)。到平面尸8c的距離為6?

271

19.在Z8C中，/4/5/。對(duì)應(yīng)的邊分別為。,“，,2=—力=5,。=3,Z8C的外接

3

圓。面積為S.

（1）求S的值;

（2）若點(diǎn)。在ZC上，且直線8。平分角/48C,求線段3。的長度.

49

【正確答案】（1）S=—兀

3

⑵皿（

7

【分析】（1）由余弦定理可求得。=7,再利用正弦定理計(jì)算可得外接圓半徑為&=耳’

即可求出S=—兀：

3

（2）利用角平分線定理可得=3,再由余弦定理計(jì)算可得80=地

22

【小問I詳解】

由Z=一,b=5,c=3,利用余弦定理可得

3

/=h2+c2-2bccos/=25+9-2x5x3x[-；)=49,所以。=7；

n1Q177

R——x----——x―=-=-=

因此力的外接圓。的半徑為2sin42正G，

T

,49

所以N8C的外接圓。的面積5=兀&2=一無

3

【小問2詳解】

如下圖所示：

AnAR3

由直線8。平分角NABC,利用角平分線定理可得——=—=—,

DCBC7

33

又b=AC=5,所以ZZ)=—ZC=—,

102

因此在△48。中，由余弦定理可得

Qa/1\ZTQ

BD2^AB2+AD2-2ABADCOSA=9+——2x3x-x——=一,

42{2)4

所以BD=K?,即線段的長度為亞

22

20.如圖所示，已知四邊形488和四邊形/DEF都是矩形.平面Z8CO1平面

ADEF,AD=3AF=3AB=3,M,N分別是對(duì)角線BD,NE上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且

BM=AN.

FE

（1）求證：直線MN平面CDE；

（2）當(dāng)NN='NE時(shí)，用向量法求平面/MN與平面。MN夾角的余弦值.

2

【正確答案】（1）證明見解析

43746

322

【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)與判定定理結(jié)合條件直接證明即可;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解二面角夾角余弦值.

【小問1詳解】

過N作NGDE與4D交于G點(diǎn)、,連接MG,因?yàn)镹G<Z平面C￡）E,0Eu平面CAE,

所以NG平面CDE,因?yàn)镹GDE,所以型=世=也,

AEDEAD

因?yàn)锽M=NA,AE=BD,所以空="乙，所以MGABCD,

GDMD

因?yàn)镸G仁平面CDE,DCu平面CDE,所以A/G平面CDE,

因?yàn)镸GcNG=G,MGu平面腦VG,NGu平面MNG,

所以平面MNG平面CDE,因?yàn)锳/Nu平面MNG,所以直線MN平面CDE；

【小問2詳解】

因?yàn)槠矫鍭BCD1平面ADEF,平面ABCDc平面ADEF=AD，

又//u平面/DEF,AFLAD,所以_L平面/BCD,

則以/為原點(diǎn)，分別以48,AD,AF為x,nz軸建立空間直角坐標(biāo)，如圖,

2

+y=0

AM-n=O

設(shè)平面ZMN的法向量為〃=(x,y,z),則〈___，所以，

AN-n=OV+；z=0

令x=3,可得，乃=(3,—2,6),

——?1——?7

設(shè)平面MND的法向量為加=(〃,瓦c),DN=(0,-2,—),DM=(-,-2,0),

7777一八一a—ZD=U

DM?加=07

_.，所以廣?令Q=3,可得而=(3,1,6),

DN?市=0-26+-c=0

I3

9-2+36_43

所以cos而，亢

7?屈~7746

9-2+36435/46

所以平面/與平面夾角的余弦值.cos而，萬

7-V46-322

21.如圖，在三棱臺(tái)/8C-44G中側(cè)面8CC￡為等腰梯形，6C=8,6￡=CC1=4,〃

為4G中點(diǎn).底面48c為等腰三角形，Z8=ZC=5,O為8C的中點(diǎn).

B

（1）證明：平面ZBC工平面NOM；

（2）記二面角N—8c一4的大小為夕

TT

①當(dāng)6=一時(shí)，求直線BB與平面AA.C.C所成角的正弦值.

6｝

TT7T

②當(dāng)時(shí)，求直線與平面44CC所成角的正弦的最大值.

【正確答案】（1）證明見解析；

（2）①豆豆，②最大值為3

375

【分析】（1）由三棱臺(tái)N8C-44cl性質(zhì)及其邊長即可證明平面ZOM,利用面面

垂直的判定定理即可證明平面平面NOA1；

（2）①由題意可知,4W即為二面角4一5。一名的平面角，ZAOM=6,以。為坐標(biāo)

原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可得甌=（-2,2JJcos。,28sin。），平面的一個(gè)法

,?，-(.A百-4cose'TT

向量為〃=-3,4,-，把。=—代入可得直線BB1與平面Z4GC所成角的正弦

Isin。J6

3

值為啜②當(dāng)公盟時(shí),sina=-

1(V3-4COS^Y，利用。的范圍即可求

Vsin6

3

得直線8A與平面/4￡C所成角的正弦的最大值為一.

【小問1詳解】

因?yàn)镹8C為等腰三角形，0為8C的中點(diǎn)，所以8c_LZ。,

又因?yàn)閭?cè)面8CG用為等腰梯形，M為4G的中點(diǎn)，所以8C_LM0,

又/Oc〃O=O,A/O,ZOu平面ROM,

因此SC7,平面AOM,

8Cu平面為8C,所以平面Z8CJ.平面ZOA/

【小問2詳解】

在平面4OM內(nèi)，作ONL3,

由(1)中平面平面NOW,

且平面Z8Cc平面Z(9A/=O4,ONu平面40M,可得O