隨機(jī)變量的分布列、期望與方差-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義與練習(xí)（新高考）原卷版

考點(diǎn)27隨機(jī)變量的分布列、期望與方差(核心考點(diǎn)講與練)

［考點(diǎn)考環(huán)

離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)

(1)離散型隨機(jī)變量的分布列：若離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為汨，X2,…，必，…，x”,X取每一個

值x,?(∕=l,2,…，A)的概率為PI,pi,???.p,?則表

??.???

X?XiXiXn

PPiA???P，???Pn

稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或稱為離散型隨機(jī)變量才的分布列

(2)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：

①R?2O(f=l,2,3,…，〃)；②。∣+αH-----Fp,,=l;

③尸(x∕WxWx)=R+p,?+ι-∣----FPJ.

二.常見離散型隨機(jī)變量的分布列

(1)二點(diǎn)分布：如果隨機(jī)變量1的分布列為

X1O

PPQ

其中O<K1,g=l-p,則稱離散型隨機(jī)變量才服從參數(shù)為°的二點(diǎn)分布.

(2)超凡何分布：設(shè)有總數(shù)為A'件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取〃件(〃wa,這〃件中

∩u)∩n-m

^P(OW辰/,

所含這類物品件數(shù)才是一個離散型隨機(jī)變量,當(dāng)X=/時(shí)的概率為P(X=而=/為〃和"中

較小的一個)，稱離散型隨機(jī)變量小的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為MM,〃的超

幾何分布.

≡.離散型隨機(jī)變量的期望與方差

1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

定義：一般地，設(shè)一個離散型隨機(jī)變量X所有可能的取的值是大，W，…，X,，這些值對應(yīng)的概率是化，

P2,…，pn,則E(X)=玉目+々2++xnpn,叫做這個離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望).

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個離散型隨機(jī)變量的平均取值水平.

2.離散型隨機(jī)變量的方差

一般地，設(shè)一個離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是芭，%xn,這些值對應(yīng)的概率是R,p2,--

222

p,l,則O(X)=(xl-E(X))pl+(x2-E(x))p2++(xn-E(x))pll叫做這個離散型隨機(jī)變量X的方差.

離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對于期望的平均波動的大小(離散程度).

O(X)的算術(shù)平方根而后叫做離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個衡量離散型隨機(jī)變量波動大小的

量.

3.X為隨機(jī)變量，4"為常數(shù)，則E(aX+b)="E(X)+6,D("X+6)=42D(X);

4.典型分布的期望與方差：

⑴二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X的期望取值為p,在n次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散

型隨機(jī)變量X的期望取值為中.

⑵二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為"和A的二項(xiàng)分布，則E(X)="p,D(x)=npq(q=l-p).

⑶超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布，

則黑

E(X)=D(X)=

N2(N-I)

1.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用

(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個概率值均為非負(fù)值.

(2)若X為隨機(jī)變量，則2X+1仍然為隨機(jī)變量，求其分布列時(shí)可先求出相應(yīng)的隨機(jī)變量的值，再根據(jù)對應(yīng)

的概率寫出分布列.

2.求離散型隨機(jī)變量。的均值與方差的步驟

①理解^的意義，寫出《可能的全部取值；

②求j取每個值的概率；

③寫出的分布列；

④由均值的定義求E(J;

⑤由方差的定義求D(ξ).

3.均值與方差的實(shí)際應(yīng)用

(I)O(X)表示隨機(jī)變量X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；

反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(R附近，統(tǒng)計(jì)中常用J∕)T)來描述X的分散程度.

(2)隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的程度，它們從

整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值

相同，再用方差來決定.

離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

1.（2021山西省長治市第二中學(xué)高三檢測）已知隨機(jī)變量X的概率分布列如下:

X-10123

P0.1a0.10.30.3

則P(O≤X<3)=.

2.（2021海南省華中師范大學(xué)瓊中附屬中學(xué)高三檢測）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為

P（X=k）=λk（Z=I,2,3,4）,則；I的值為（）

A.10B.—C.-10D.---

1010

3

3.（2021浙江省杭州市八校聯(lián)盟高三聯(lián)考）已知隨機(jī)變量自的分布列如下圖所示，若pC≤χ）=-,則實(shí)

數(shù)X的取值范圍是.

-2023

j_??

Pa

444

里^離散型隨機(jī)變量的均值與方差的計(jì)算

1.（多選題）（2021重慶市南開中學(xué)高三上10月月考）投資甲，乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表

1和表2所示.

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.投資股票甲的期望收益較小

B,投資股票乙的期望收益較小

C,投資股票甲比投資股票乙的風(fēng)險(xiǎn)高

D.投資股票乙比投資股票甲的風(fēng)險(xiǎn)高

3

2.（多選題）假定某射手每次射擊命中的概率為一，且只有一3發(fā)子彈.該射手一旦射中目標(biāo)，就停止射擊,

4

否則就一直射擊到子彈用完.設(shè)耗用子彈數(shù)為X,則（）

313

A.目標(biāo)被擊中的概率為一B.P（X=I）=W

324

C.石⑻琮87

D.D(X)

256

3.（2021浙江省浙南名校聯(lián)盟高三上第一次聯(lián)考）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:

X-101

Pab0.5

其中α＞（）∕＞。，則X的方差。（X）取值范圍是（）

均值與方差的實(shí)際應(yīng)用

L隨著經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，市場條件的成熟以及監(jiān)管機(jī)制的不斷完善，投資理財(cái)逐漸融入人們的生活.若A家

庭有資產(chǎn)IOO萬，他們的投資預(yù)期年收益率不低于20%,通過考察，有兩個投資方案供他們選擇：

甲方案：

年收益（萬元）-1530

概率（P）1—cia

乙方案:

年收益（萬元）-30050

?13

概率（P）

35

（1）如果A家庭投資甲方案，旦達(dá)到他們的投資預(yù)期年收益率，試求。的最小值;

（2）在（1）的條件下他們投資哪個方案較好？請說明理由；

（3）若年收益率不變，根據(jù)（2）中的選擇，那么他們至少需要多少年才會使資產(chǎn)翻一番？

注：上年度的收益和本金都作為下年度的投資本金，lg2≈0.3010,lg3≈0.4771.

2.（2021江蘇省南通市海安市高三上學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測）某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的5個球，其中3個黑

球和2個白球.從袋中隨機(jī)取出2個球，記取出白球的個數(shù)為X,

（1）求X>0的概率即P（X>0）

（2）求取出白球的數(shù)學(xué)期望E（X）和方差。（X）

1.（2021年全國新高考I卷）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A,8兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先

在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另

一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正

確得20分，否則得。分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類

問題的概率為0?8,能正確回答8類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答4類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

J經(jīng)典變式練）

一、單選題

1.（2022.貴州貴陽.二模（理））下列命題為真命題的是（）

A.若數(shù)據(jù)巧，巧，匕，…，尤“>的方差為3,則數(shù)據(jù)占+2,々+2,天+2,,與+2的方差為5；

B.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量X,y,其線性回歸方程為9=0?7x-w,若樣本點(diǎn)的中心為（m,l?2）,則實(shí)數(shù)

m的值是4；

C.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（〃Q2）,P（X>0）+P（X≥4）=l,則〃=2；

D.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布E（2X+1）=6,則〃=6.

二、多選題

2.（2022?湖南師大附中二模）如圖是一塊高爾頓板示意圖，在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯開

的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在

下落過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別

編號為0,1,2,3.........10,用X表示小球落入格子的號碼，則（）

A.尸(X=I)=P(X=9)=+B.P(X=I)=尸(X=9)=^!^

C.O(X)=5D.D(X)=3

3.(2022?江蘇?二模)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(4.p),其數(shù)學(xué)期望E(X)=2,隨機(jī)變量Y服從正態(tài)

分布N(P,4),且P(X=3)+P(y<α)al,則()

A.P=-B.P=-

42

13

C.P(Y>?-a]=-D.P(Y>?-a)=~

4.(2022?全國?模擬預(yù)測)計(jì)算機(jī)顯示的數(shù)字圖像是由一個個小像素點(diǎn)組合而成的.處理圖像時(shí)，常會通過

批量調(diào)整各像素點(diǎn)的亮度，間接調(diào)整圖像的對比度、飽和度等物理量，讓圖像更加美觀.特別地，當(dāng)圖像

像素點(diǎn)規(guī)模為1行〃+1列時(shí),設(shè)第，?列像素點(diǎn)的亮度為七，則該圖像對比度計(jì)算公式為q*∣='￡(*-4了.已

nJ=I

知某像素點(diǎn)規(guī)模為1行〃+1列的圖像第i列像素點(diǎn)的亮度x,e[0,91(i=l,2,…,〃+1),現(xiàn)對該圖像進(jìn)行調(diào)整，有2

種調(diào)整方案：①》=叫+?(α>0,6>0,i=l,2,…,n+l)；(2)zi=clg(xj+l)(c>0,/=1,2,--?,π+1),則()

A.使用方案①調(diào)整，當(dāng)6=9時(shí)，χ.>x,(∕=l,2,?-,n+l)

B.使用方案②調(diào)整，當(dāng)c=9時(shí)，?<xχ∕=l,2,--,w+l)

C.使用方案①調(diào)整，當(dāng)C⑻<G>J時(shí)，a>?

D.使用方案②調(diào)整,當(dāng)%=空二D(i=l,2,…,〃+1),CWInIO時(shí),C<C

nMM

5.(2022?江蘇南京?模擬預(yù)測)下列命題中，正確的命題的序號為()

A.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(”,川，若E(X)=30,D(X)=20,則p=；

B.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差恒不變

C.設(shè)隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(0,l),若PC>1)=。，則P(-l<J≤O)=g-p

D.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,X~8(10,0.8),則當(dāng)X=8時(shí)概率最大

6.(2022?福建?模擬預(yù)測)在某獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件AB相互獨(dú)立，且在一次實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率

為P，事件8發(fā)生的概率為1-P，其中Pe(O』).若進(jìn)行〃次實(shí)驗(yàn)，記事件A發(fā)生的次數(shù)為X,事件B發(fā)生

的次數(shù)為y,事件A8發(fā)生的次數(shù)為Z.則下列說法正確的是()

A.E(X)=E(K)B.O(X)=Zxy)

C.E(Z)=D(X)D./?-D(Z)=D(X)D(K)

三、填空題

7.(2022?山東日照?模擬預(yù)測)一個箱子中裝有形狀完全相同的5個白球和"("eN?)個黑球，現(xiàn)從中有放回

的摸取4次，每次都是隨機(jī)摸取一球，設(shè)摸得白球個數(shù)為X,若。(X)=I,則E(X)=.

四、雙空題

8.(2020?浙江?模擬預(yù)測)某研究機(jī)構(gòu)采用實(shí)時(shí)熒光RrPCR檢測2019新型冠狀病毒(2019-"COV).現(xiàn)有

一組病例樣本檢測中發(fā)現(xiàn)有份呈陰性和2份呈陽性，若從其中任取2份恰好有一份呈陽性的概率是

；,則"=;該組病例樣本檢測呈陽性的病例數(shù)的方差是.

9.(2022.浙江紹興.模擬預(yù)測)從0,1,2,3,4五個數(shù)字中任取四個組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，且前三

位(千百十位)中的偶數(shù)個數(shù)記為隨機(jī)變量X,則P(X=3)=,E(X)=.

五、解答題

10.(2022?福建三明?模擬預(yù)測)2021年，中國新能源汽車銷售火爆，A省相關(guān)部門調(diào)查了該省2021年1月

份至10月份的新能源汽車銷量情況，得到一組樣本數(shù)據(jù)(玉，y,?)α=ι,2,…，10),其中Xi表示第，個

月，y：表示第i個月A省新能源汽車的銷量(單位：萬輛)，由樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可知，y與X具有線性相關(guān)

關(guān)系，并將這10個月的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面一些統(tǒng)計(jì)量的值：

IO1010

χ∑Λ

7∑,yi∑χ;

/=1i=lt=l

1.589.138515

(1)建立y關(guān)于X的線性回歸方程，并估計(jì)A省12月份新能源汽車的銷量；

(2)為鼓勵新能源汽車銷售商積極參與調(diào)查，A省汽車行業(yè)協(xié)會針對新能源汽車銷售商開展抽獎活動，所有

費(fèi)用由某新能源汽車廠商贊助.獎項(xiàng)共設(shè)一、二、三等獎三個獎項(xiàng)，其中一等獎、二等獎、三等獎分別獎

勵2萬元、1萬元、5千元，抽中一等獎、二等獎、三等獎的概率分別為1,?現(xiàn)有甲、乙兩家汽車

銷售商參加了抽獎活動，假設(shè)他們是否中獎相互獨(dú)立，求這兩家汽車銷售商所獲獎金總額X(單位：萬元)

的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：對于一組數(shù)據(jù)(%,V,),(M2,V2),(%,V?),其回歸直線0=G+6”的斜率和截距的最小二乘

?uivj-nuv

估計(jì)分別為￡=『,a=v-βu.

Σu0r-nu-2

11.(2021?四川南充.一模(理))在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)防疫

物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng).某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩

質(zhì)量，質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：[ιoo,ιιo),

[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到如下頻率分布直方圖.

頻率/組距

0.04...........................

0.03...................................

0.02...........................................

0.005............-1.........1

Z一IiOI；oi?喘加&版?t指標(biāo)值

(1)規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指

標(biāo)值不低于130的為一級口罩.現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8個口罩，再從中抽取3個，

記其中一級口罩個數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

⑵在2021年“雙十一”期間，某網(wǎng)絡(luò)購物平臺推出該型號口罩訂單“秒殺”搶購活動，甲，乙兩人分別在A、8

兩店參加一次搶購活動.假定甲、乙兩人在4、B兩店搶購成功的概率分別為P∣,P2.記甲、乙兩人搶購

成功的總次數(shù)為匕求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望E(Y).

12.(2021.全國?模擬預(yù)測)《中華人民共和國老年人權(quán)益保障法》規(guī)定，老年人的年齡起點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)是60周歲.為

解決老年人打車難問題，許多公司均推出老年人一鍵叫車服務(wù).某公司為調(diào)查老年人對打車軟件的使用情

況，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了IOO位老年人，調(diào)查結(jié)果整理如下:

[60,65)[65,70)[70,75)[75,80]

年齡/歲80歲以上

使用過打車軟件人

4120Il51

數(shù)

未使用過打車軟件

13963

人數(shù)

(1)從該地區(qū)的老年人中隨機(jī)抽取1位,試估計(jì)該老年人的年齡在［65,75)且未使用過打車軟件的概率；

(2)從參與調(diào)查的年齡在［70,80］且使用過打車軟件的老年人中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)一步了解情況，用X表示這

2人中年齡在［75,80］的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望：

(3)為鼓勵老年人使用打車軟件,該公司擬對使用打車軟件的老年人贈送1張10元的代金券,若該地區(qū)有5000

位老年人，用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)該公司至少應(yīng)準(zhǔn)備多少張代金券.

13.(2022?湖南?長沙一中一模)2022年北京冬奧會的成功舉辦在全國又掀起了運(yùn)動的浪湖.墩墩和容融兩

個小朋友相約打羽毛球.已知兩人在每一局比賽中都不會出現(xiàn)平局，其中墩墩每局獲勝的概率均為

p(0<p<l).

(1)若兩人采用五局三勝制，則墩墩在第一局失利的情況下，反敗為勝的概率；

2

(2)若兩人采用三局兩勝制.且P=§，則比賽結(jié)束時(shí)，求墩墩獲勝局?jǐn)?shù)X的期望；

(3)五局三勝制和三局兩勝制，哪種賽制對墩墩獲得比賽勝利更有利？

14.（2022?山東泰安.三模）某商場為了促銷規(guī)定顧客購買滿500元商品即可抽獎，最多有3次抽獎機(jī)會.每

次抽中，可依次獲得10元，20元，30元獎金，若沒有抽中，不可繼續(xù)抽獎，顧客每次抽中后，可以選擇

帶走所有獎金，結(jié)束抽獎；也可選擇繼續(xù)抽獎，若沒有抽中，則連同前面所得獎金全部歸零，結(jié)束抽獎.小

明購買了500元商品并參與了抽獎活動，已知他每次抽中的概率依次為:，選擇繼續(xù)抽獎的概率均

為義，且每次是否抽中互不影響.

（1）求小明第一次抽中，但所得獎金歸零的概率；

（2）設(shè)小明所得獎金總數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

15.（2022?河南?模擬預(yù)測（理））受北京冬奧會的影響，更多人開始關(guān)注滑雪運(yùn)動，但由于室外滑雪場需要

特殊的氣候環(huán)境，為了滿足日益增長的消費(fèi)需求，國內(nèi)出現(xiàn)了越來越多的室內(nèi)滑雪場.某投資商抓住商機(jī)，

在某大學(xué)城附近開了一家室內(nèi)滑雪場.經(jīng)過6個季度的經(jīng)營，統(tǒng)計(jì)該室內(nèi)滑雪場的季利潤數(shù)據(jù)如下：

第X個季度123456

季利潤y（萬元）2.23.64.34.95.35.5

根據(jù)上面的數(shù)據(jù)得到的一些統(tǒng)計(jì)量如下:

666

∑?x?2

yUΣ",力Σ∏,

/=1/=I∣=1

4.30.5101.414.11.8

—?6

表中％=lg七,M=7∑M∕.

6∕=∣

(1)若用方程y=α+61gχ?jǐn)M合該室內(nèi)滑雪場的季利潤y與季度X的關(guān)系，試根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出該方程；

(2)利用(1)中得到的方程預(yù)測該室內(nèi)滑雪場從第幾個季度開始季利潤超過6.5萬元；

(3)從這6個季度的利潤中隨機(jī)抽取4個，記季利潤不低于4.5萬元的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

__

^jxiyi-nxy

附：線性回歸方程與=鼠+3中，?=j?-------,α=y-版.參考數(shù)據(jù)：IOWB*1.12

2-2

Σ；=1

16.(2022?福建南平?三模)南平市于2018年成功獲得2022年第十七屆福建省運(yùn)會承辦權(quán).為進(jìn)一步提升第

十七屆福建省運(yùn)會志愿者綜合素質(zhì)，提高志愿者服務(wù)能力，南平市啟動首批志愿者通識培訓(xùn)，并于培訓(xùn)后

對參訓(xùn)志愿者進(jìn)行了一次測試，通過隨機(jī)抽樣，得到100名參訓(xùn)志愿者的測試成績，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理得到如

圖所示的頻率分布直方圖.

(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次測試成績X近似于服從正態(tài)分布〃近似為這