2024九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第6章圖形的相似綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)【含答案】

第6章綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)一、選擇題(每題3分，共24分)1．若2a＝3b，則a：b的值為()A．3：5B．2：5C．5：3D．3：22．【2023·宿遷青華中學(xué)調(diào)研試題】下列各組線段的長(zhǎng)度成比例的是()A．6cm，2cm，1cm，4cmB．4cm，5cm，6cm，7cmC．3cm，4cm，5cm，6cmD．6cm，3cm，8cm，4cm3．【母題：教材P54練習(xí)T1】如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，則DE的長(zhǎng)為()A．2B．3C．4D．eq\f(10,3)4．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，已知OB：OB′＝4：3，則△ABC與△A′B′C′的面積比為()A．2：3B．2：eq\r(3)C．4：3D．16：95．【2023·南充】如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退(保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上)，直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端，已知小菲的眼睛離地面的高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為()A．6.4mB．8mC．9.6mD．12.5m6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)A(6，3)，B(6，0)，以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為eq\f(1,3)，在第一象限內(nèi)把線段AB縮小后得到線段CD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A．(2，1)B．(2，0)C．(3，3)D．(3，1)7．【2022·巴中】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C為△AOB的OA邊上一點(diǎn)，AC：OC＝1：2，過點(diǎn)C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D.C，D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1，3，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為()A．4B．5C．6D．78．【2023·無錫錫山高級(jí)中學(xué)月考】如圖，在銳角三角形ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D.若BD＝1，AD＝4，則CD的長(zhǎng)為()A．eq\r(3)B．2C．eq\r(5)D．2.4二、填空題(每題3分，共30分)9．【2023·宿遷九年級(jí)統(tǒng)考期末】如圖，要使△ABC∽△ADE，還需要添加一個(gè)條件，你添加的條件是____________(只寫一種情況即可)．10．【母題：教材P42習(xí)題T1】在比例尺為1：1000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是24cm，則甲、乙兩地的實(shí)際距離為________km.11．【2023·南京外國(guó)語學(xué)校模擬】如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2BD，則eq\f(S△ADE,S△ABC)＝________.12．【2023·德州一模】如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若OA＝AD，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比是________．13．如圖，大小為4×4的正方形方格中，能作出與△ABC相似的格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)都在正方形的頂點(diǎn)上)，其中最小的面積是________．14．【母題：教材P47習(xí)題T1】某品牌新能源汽車為了打造更加精美的外觀，特意將汽車倒車鏡設(shè)計(jì)在整個(gè)車身黃金分割點(diǎn)的位置(如圖)，若車頭與倒車鏡的水平距離為1.58米，則該車車身總長(zhǎng)約為________米(黃金比取0.618，結(jié)果精確到0.01米)．15.《九章算術(shù)》中有一測(cè)井深的問題：今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四尺，問井深幾何？今譯為：如圖所示，有一口水井，井口直徑為5尺，現(xiàn)豎立一根5尺長(zhǎng)的木桿在井口，視線DC交井口AB于點(diǎn)E，BE的長(zhǎng)為4尺，則水面距井口距離為________尺．16.如圖，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．若點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，則經(jīng)過________s，△PBQ與△ABC相似．17．【2023·杭州二模】如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)F.點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，連接DE交AF于點(diǎn)G.若∠AED＝∠B，AG：GF＝2：1，則DE：BC＝________.18．【2023·連云港】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x<0)的圖像上，頂點(diǎn)B，C在第一象限，對(duì)角線AC∥x軸，交y軸于點(diǎn)D.若矩形OABC的面積是6，cos∠OAC＝eq\f(2,3)，則k＝________．三、解答題(19～25題每題8分，26題10分，共66分)19．【母題：教材P51練習(xí)T2】如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，試求出x及∠α的大小．20．【母題：教材P80習(xí)題T2】如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC的各邊放大為原來的2倍得到△A′B′C′.(1)在圖中第一象限內(nèi)畫出符合要求的△A′B′C′(不要求寫畫法)；(2)計(jì)算△A′B′C′的面積．21．【2023·南京師范大學(xué)附屬中學(xué)月考】如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的高，且eq\f(AD,CD)＝eq\f(CD,BD).(1)求證：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的大?。?2．如圖，已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD沿直線AO折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．(1)求證：eq\f(OC,PD)＝eq\f(OP,AP)；(2)若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長(zhǎng)．23.黨的二十大報(bào)告提出要“全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興”，這是對(duì)黨的十九大報(bào)告所提出的“實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”的進(jìn)一步發(fā)展，彰顯出新時(shí)代新征程在工農(nóng)城鄉(xiāng)關(guān)系布局上的深遠(yuǎn)謀劃，為不斷推進(jìn)鄉(xiāng)村振興、加快農(nóng)村現(xiàn)代化進(jìn)程指明了方向．某市為了加快城鄉(xiāng)發(fā)展，保障市民出行方便，在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算該橋AF的長(zhǎng)．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C，分別在AB，AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，E，使得DE∥BC.經(jīng)測(cè)量，BC＝120米，DE＝210米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋AF的長(zhǎng)度．24．【2023·紹興】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E.(1)若∠EAC＝25°，求∠ACD的度數(shù)；(2)若OB＝2，BD＝1，求CE的長(zhǎng)．25．【2022·鎮(zhèn)江】如圖，一次函數(shù)y＝2x＋b與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖像交于點(diǎn)A(1，4)，與y軸交于點(diǎn)B.(1)k＝________，b＝________；(2)連接并延長(zhǎng)AO，與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖像交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在y軸上，若以點(diǎn)O，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．26.(1)如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點(diǎn)G，求證：△ADE∽△DCF.【問題解決】(2)如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)H，使CH＝DE，連接DH，求證：∠ADF＝∠H.【類比遷移】(3)如圖③，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的長(zhǎng)．

答案一、1．D2．D3．D4．D【點(diǎn)撥】∵△A′B′C′是△ABC以點(diǎn)O為位似中心經(jīng)過位似變換得到的三角形，∴△ABC∽△A′B′C′，BC∥B′C′.∴△OBC∽△OB′C′.∴eq\f(OB,OB′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(4,3).∴△ABC與△A′B′C′的相似比為4：3.∴△ABC與△A′B′C′的面積比為16：9.5．B【點(diǎn)撥】如圖，易知△ABC∽△EDC，∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(BC,CD)，∴eq\f(1.6,DE)＝eq\f(2,10)，解得DE＝8m.6．A【點(diǎn)撥】由題意可知△OCD和△OAB是相似圖形，并且相似比為eq\f(1,3)，點(diǎn)A和點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)A的橫坐標(biāo)為6，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，又因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3，所以點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，1)．7．C【點(diǎn)撥】根據(jù)CD∥OB得出△ACD∽△AOB.進(jìn)而得到eq\f(AC,AO)＝eq\f(CD,OB)，根據(jù)AC：OC＝1：2，得出eq\f(AC,AO)＝eq\f(1,3)，根據(jù)C，D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1，3，得出CD＝2.進(jìn)而得到OB＝6，即可得出答案．8．D【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，則∠AEC＝∠BEC＝90°.∵∠BAC＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝CE.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠BEC＝90°.∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(BD,BE).∵BD＝1，AD＝4，∴AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\r(17).∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(BC,BE)＝eq\r(17).設(shè)BE＝x，則BC＝eq\r(17)x，∴CE＝eq\r(BC2－BE2)＝4x，∴AE＝4x.∵AE＋BE＝AB，∴4x＋x＝eq\r(17)，解得x＝eq\f(\r(17),5).∴BC＝eq\r(17)x＝eq\f(17,5).∴CD＝BC－BD＝2.4.二、9．∠D＝∠B(答案不唯一)10．24011．eq\f(4,9)12．1：213．eq\f(1,2)【點(diǎn)撥】△ABC的邊長(zhǎng)分別為eq\r(5)，5，eq\r(10)，作一個(gè)邊長(zhǎng)為1，eq\r(5)，eq\r(2)的三角形即可．如圖，△CFE即為所求，面積為eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2).14．4.14【點(diǎn)撥】設(shè)該車車身總長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意得汽車倒車鏡到車尾的水平距離為0.618x米，∴x－0.618x≈1.58，解得x≈4.14，即該車車身總長(zhǎng)約為4.14米．15．eq\f(5,4)【點(diǎn)撥】∵AB＝5尺，BE＝4尺，∴AE＝1尺．∵AC∥BD，∴△ACE∽△BDE.∴eq\f(AC,BD)＝eq\f(AE,BE).∴eq\f(AC,5)＝eq\f(1,4)，解得AC＝eq\f(5,4)尺．16．2或5【點(diǎn)撥】設(shè)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，根據(jù)題意，AP＝tcm，BQ＝2tcm，則BP＝(10－t)cm.當(dāng)△PBQ∽△ABC時(shí)，則eq\f(BP,AB)＝eq\f(BQ,BC)，即eq\f(10－t,10)＝eq\f(2t,20)，解得t＝5.當(dāng)△QBP∽△ABC時(shí)，則eq\f(BP,BC)＝eq\f(BQ,AB)，即eq\f(10－t,20)＝eq\f(2t,10)，解得t＝2.綜上，當(dāng)經(jīng)過2或5s時(shí)，△PBQ與△ABC相似．17．2：3【點(diǎn)撥】∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB.∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AB).∵AF是∠BAC的平分線，∴∠BAF＝∠CAF.∵∠AED＝∠B，∴△AGE∽△AFB，∴eq\f(AG,AF)＝eq\f(AE,AB)，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AG,AF).∵AG：GF＝2：1，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AG,AG＋GF)＝eq\f(2,2＋1)＝eq\f(2,3)，即DE:BC＝2：3.18．－eq\f(8,3)【點(diǎn)撥】如圖，作AE⊥x軸于點(diǎn)E.∵矩形OABC的面積是6，∴△AOC的面積是3，∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝eq\f(2,3)，∴eq\f(OA,AC)＝eq\f(2,3).∵對(duì)角線AC∥x軸，∴∠AOE＝∠OAC.∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，∴eq\f(S△OEA,S△AOC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OA,AC)))eq\s\up12(2)，∴eq\f(S△OEA,3)＝eq\f(4,9).∵S△OEA＝eq\f(1,2)|k|，k<0，∴k＝－eq\f(8,3).故答案為－eq\f(8,3).三、19．【解】∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∴∠H＝∠D＝95°.∴∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∴eq\f(BC,FG)＝eq\f(AB,EF)，即eq\f(x,7)＝eq\f(12,6)，解得x＝14.20．【解】(1)如圖．△A′B′C′為畫出的符合要求的圖形．(2)S△A′B′C′＝4×4－eq\f(1,2)×2×2－eq\f(1,2)×2×4－eq\f(1,2)×2×4＝6.21．(1)【證明】∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.∵eq\f(AD,CD)＝eq\f(CD,BD)，∴△ACD∽△CBD.(2)【解】∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD.在△ACD中，∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.22．(1)【證明】∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折疊的性質(zhì)可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD＋∠OPC＝90°.又∠POC＋∠OPC＝180°－∠C＝90°，∴∠APD＝∠POC.又∠D＝∠C＝90°，∴△OCP∽△PDA，∴eq\f(OC,PD)＝eq\f(OP,AP).(2)【解】由(1)易得eq\f(OP,PA)＝eq\f(PC,AD).∵OP與PA的比為1：2，∴PC＝eq\f(1,2)AD＝4.設(shè)AB＝x，易知DC＝x，AP＝x，DP＝x－4，在Rt△APD中，AP2＝AD2＋PD2，即x2＝82＋(x－4)2，解得x＝10，即AB＝10.23．【解】如圖，設(shè)AF與DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，則AG⊥DG，F(xiàn)G＝60米，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴eq\f(BC,DE)＝eq\f(AF,AG)，即eq\f(120,210)＝eq\f(AF,AF＋60)，解得AF＝80米．答：橋AF的長(zhǎng)度為80米．24．【解】(1)∵AE⊥CD于點(diǎn)E，∴∠AEC＝90°.∴∠ACD＝∠E＋∠EAC＝90°＋25°＝115°.(2)∵CD是⊙O的切線，∴半徑OC⊥DE.∴∠OCD＝90°.∵OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB＋BD＝3，OA＝OC＝OB＝2.∴CD＝eq\r(OD2－OC2)＝eq\r(5).∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE.∴eq\f(CD,CE)＝eq\f(OD,OA).∴eq\f(\r(5),CE)＝eq\f(3,2).∴CE＝eq\f(2\r(5),3).25．【解】(1)4；2(2)易知點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(－1，－4)．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2x＋2＝2，∴點(diǎn)B(0，2)，∴OB＝2.易知AO＝CO＝eq\r(12＋42)＝eq\r(17).當(dāng)點(diǎn)D落在y軸的正半軸上時(shí)，∠COD>∠ABO，∴△CO