初中數(shù)學(xué)幾何壓軸題組卷

絕密★啟用前初中數(shù)學(xué)幾何壓軸題組卷試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時(shí)間：100分鐘；命題人：xxx題號(hào)一二三總分得分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評(píng)卷人得分一．選擇題（共3小題）1．如圖，在凸四邊形ABCD中，AB的長為2，P是邊AB的中點(diǎn)，若∠DAB=∠ABC=∠PDC=90°，則四邊形ABCD的面積的最小值是（）A．4 B．3 C． D．2+2 2．北京奧運(yùn)會(huì)金牌創(chuàng)造性地將白玉圓環(huán)嵌在其中（如圖），這一設(shè)計(jì)不僅是對(duì)獲勝者的禮贊，也形象地詮釋了中華民族自古以來以“玉”比“德”的價(jià)值觀．若白玉圓環(huán)面積與整個(gè)金牌面積的比值為k，則下列各數(shù)與k最接近的是（）A． B． C． D． 3．在等邊△ABC所在平面上的直線m滿足的條件是：等邊△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)到直線m的距離只取2個(gè)值，其中一個(gè)值是另一個(gè)值的2倍，這樣的直線m的條數(shù)是（）A．16 B．18 C．24 D．27 第Ⅱ卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第Ⅱ卷的文字說明評(píng)卷人得分二．填空題（共6小題）4．5個(gè)正方形如圖擺放在同一直線上，線段BQ經(jīng)過點(diǎn)E、H、N，記△RCE、△GEH、△MHN、△PNQ的面積分別為S1，S2，S3，S4，已知S1+S3=17，則S2+S4=．5．設(shè)A0，A1，…，An﹣1依次是面積為整數(shù)的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)，考慮由連續(xù)的若干個(gè)頂點(diǎn)連成的凸多邊形，如四邊形A3A4A5A6、七邊形An﹣2An﹣1A0A1A2A3A4等，如果所有這樣的凸多邊形的面積之和是231，那么n的最大值是，此時(shí)正n邊形的面積是．6．已知Rt△ABC和Rt△A′C′D中，AC=A′C′，A′D=1，∠B=∠D=90°，∠C+∠C′=60°，BC=2，則這兩個(gè)三角形的面積和為．7．設(shè)a，b，c為銳角△ABC的三邊長，為ha，hb，hc對(duì)應(yīng)邊上的高，則U=的取值范圍是．8．如圖已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于O，若S△AOB=4，S△COD=9，則四邊形ABCD的面積的最小值為．9．四邊形ABCD的四邊長為AB=，BC=，CD=，DA=，一條對(duì)角線BD=，其中m，n為常數(shù)，且0＜m＜7，0＜n＜5，那么四邊形的面積為．評(píng)卷人得分三．解答題（共2小題）10．如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線．（1）三角形有條面積等分線，平行四邊形有條面積等分線；（2）如圖①所示，在矩形中剪去一個(gè)小正方形，請(qǐng)畫出這個(gè)圖形的一條面積等分線；（3）如圖②，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，過點(diǎn)A畫出四邊形ABCD的面積等分線，并寫出理由．11．如圖1，點(diǎn)P是△ABD中AD邊上一點(diǎn)，當(dāng)P為AD中點(diǎn)時(shí)，則有S△ABP=S△ABD，如圖2，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)，探究：（1）當(dāng)AP=AD時(shí)，如圖3，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關(guān)系？寫出求解過程；（2）當(dāng)AP=AD時(shí)，探究S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；（3）一般地，當(dāng)AP=AD（n表示正整數(shù)）時(shí)，探究S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；（4）當(dāng)AP=AD（0≤≤1）時(shí)，直接寫出S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關(guān)系．初中數(shù)學(xué)幾何壓軸題組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共3小題）1．如圖，在凸四邊形ABCD中，AB的長為2，P是邊AB的中點(diǎn)，若∠DAB=∠ABC=∠PDC=90°，則四邊形ABCD的面積的最小值是（）A．4 B．3 C． D．2+2 【分析】設(shè)梯形上底為x，下底為y，則根據(jù)已知條件列出關(guān)于x，y的方程后即可用配方法解出答案．【解答】解：設(shè)梯形上底為x，下底為y，∵AB=2，P是邊AB的中點(diǎn)，∠PDC=90°，∴1+y2﹣（1+x2）=4+（y﹣x）2，解得：y=+x，梯形ABCD面積=×（x+y）×2=x+y=x+x+=2x+≥4=4，當(dāng)x=時(shí)，即x=1，y=3時(shí)，梯形ABCD面積取得最小值為4．故選：A．2．北京奧運(yùn)會(huì)金牌創(chuàng)造性地將白玉圓環(huán)嵌在其中（如圖），這一設(shè)計(jì)不僅是對(duì)獲勝者的禮贊，也形象地詮釋了中華民族自古以來以“玉”比“德”的價(jià)值觀．若白玉圓環(huán)面積與整個(gè)金牌面積的比值為k，則下列各數(shù)與k最接近的是（）A． B． C． D． 【分析】根據(jù)北京奧運(yùn)會(huì)金牌創(chuàng)造性地將白玉圓環(huán)嵌在其中，設(shè)計(jì)師將白玉圓環(huán)面積與整個(gè)金牌面積的比值為：得出答案即可．【解答】解：獎(jiǎng)牌正面采用國際奧委會(huì)規(guī)定的圖案，背面鑲嵌著取自中國古代龍紋玉璧造型的玉璧，背面正中的金屬圖形上鐫刻著北京奧運(yùn)會(huì)會(huì)徽，是中華文明與奧林匹克精神在北京奧運(yùn)會(huì)形象景觀工程中的又一次“中西合璧”，白玉圓環(huán)面積與整個(gè)金牌面積的比值為：．故選：B．3．在等邊△ABC所在平面上的直線m滿足的條件是：等邊△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)到直線m的距離只取2個(gè)值，其中一個(gè)值是另一個(gè)值的2倍，這樣的直線m的條數(shù)是（）A．16 B．18 C．24 D．27 【分析】根據(jù)已知可以分成兩類．第一類：過一邊的中點(diǎn)，其中過AB邊中點(diǎn)M的直線，即可得出滿足條件的條數(shù)，進(jìn)而得出過3條邊中點(diǎn)的直線條數(shù)，第二類：與一邊平行，這樣的直線也有12條，即可得出答案．【解答】解：可以分成兩類第一類：過一邊的中點(diǎn)，其中過AB邊中點(diǎn)M的直線，滿足條件的有4條，那么，這一類共有12條，第二類：與一邊平行，這樣的直線也有12條，兩類合計(jì)：12+12=24條．故選：C．二．填空題（共6小題）4．5個(gè)正方形如圖擺放在同一直線上，線段BQ經(jīng)過點(diǎn)E、H、N，記△RCE、△GEH、△MHN、△PNQ的面積分別為S1，S2，S3，S4，已知S1+S3=17，則S2+S4=68．【分析】由如圖5個(gè)正方形擺放在同一直線上，可得tan∠EBF=tan∠AEB==，∠GHE=∠MNH=∠PQN=∠EBF，然后設(shè)DR=a，則EF=BD=CD=CE=2a，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，即可得：MH=4a，MN=8a，PN=8a，PQ=16a，又由S1+S3=17，即可求得a2的值，繼而可求得S2+S4的值．【解答】解：∵四邊形ABDC與四邊形CDFE是正方形，∴BD=DF=EF，AE∥BF，∴∠EBF=∠AEB，∴tan∠EBF=tan∠AEB==，同理可得：∠GHE=∠MNH=∠PQN=∠EBF，設(shè)DR=a，則EF=BD=CD=CE=2a，∴CR=a，∵tan∠EBF==，∴FI=HI=GH=4a，∴GE=2a，同理可得：MH=4a，MN=8a，PN=8a，PQ=16a，∴S1+S3=×a×2a+×4a×8a=17，解得：a2=1，∴S2+S4=×2a×4a+×8a×16a=68a2=68．故答案為：68．5．設(shè)A0，A1，…，An﹣1依次是面積為整數(shù)的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)，考慮由連續(xù)的若干個(gè)頂點(diǎn)連成的凸多邊形，如四邊形A3A4A5A6、七邊形An﹣2An﹣1A0A1A2A3A4等，如果所有這樣的凸多邊形的面積之和是231，那么n的最大值是23，此時(shí)正n邊形的面積是1．【分析】先通過找規(guī)律找出P與n的關(guān)系式P=n2﹣n+1，再化為P=（n﹣）2+，由于n≥3，故P值越大，n取值越大．在凸多邊形面積之和為231時(shí)，由于正n邊形的面積為整數(shù)，故其面積取最小值1時(shí)，P值最大，從而得出關(guān)于n的方程求解即可．【解答】解：用找規(guī)律找出P與n的關(guān)系式不難發(fā)現(xiàn)，P與n有下表所列的關(guān)系n3456P1（0+1）=（3﹣3）×3÷2+13（2+1）=（4﹣3）×4÷2+16（5+1）=（5﹣3）×5÷2+110（6+3+1）=（6﹣3）×6÷2+1因此，P=（n﹣3）?n÷2+1，即P=n2﹣n+1．P=n2﹣n+1可以化為P=（n﹣）2+，由于n≥3，故P值越大，n取值越大．在凸多邊形面積之和為231時(shí)，由于正n邊形的面積為整數(shù)，故其面積取最小值1時(shí)，P值最大代入各值，得：231÷1=n2﹣n+1，整理得：n2﹣3n﹣460=0解得n=23或n=﹣20（不合題意，舍去）故n=23為最大值，此時(shí)正23邊形的面積為1．故答案為：23，1．6．已知Rt△ABC和Rt△A′C′D中，AC=A′C′，A′D=1，∠B=∠D=90°，∠C+∠C′=60°，BC=2，則這兩個(gè)三角形的面積和為．【分析】利用AC=A′C′把Rt△ABC和Rt△A′C′D中的AC與A′C′重合可得到如圖所示的四邊形ABCD，再延長CD與BA交于E，由∠BCE=60°得到∠E=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到EB=BC=2，可計(jì)算出S△EBC=×2×2=2；同樣S△ADE=×1×=，然后利用S四邊形ABCD=S△EBC﹣S△ADE進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：由于AC=A′C′，所以把Rt△ABC和Rt△A′C′D中的AC與A′C′重合可得到如圖所示的四邊形ABCD，∠B=∠ADC=90°，∵∠C+∠C′=60°，∴∠BCD=60°，CD與BA的延長線交于E點(diǎn)，如圖，在Rt△EBC中，BC=2，∠BCE=60°，∴∠E=30°，∴EB=BC=2，∴S△EBC=×2×2=2；在Rt△EAD中，∠E=30°，AD=1，∴AE=2，∴S△ADE=×1×=，∴S四邊形ABCD=S△EBC﹣S△ADE=2﹣，即原來兩個(gè)三角形的面積和為．故答案為：．7．設(shè)a，b，c為銳角△ABC的三邊長，為ha，hb，hc對(duì)應(yīng)邊上的高，則U=的取值范圍是＜U＜1．【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，則有ha+BD＞c，ha+DC＞b，2ha+a＞b+c，同理，2hb+b＞c+a，2hc+c＞a+b，2（ha+hb+hc）＞（a+b+c），又ha＜b，hb＜c，hc＜a，ha+hb+hc＜a+b+c，繼而即可求出答案．【解答】解：如下圖所示：∵h(yuǎn)a+BD＞c，ha+DC＞b，∴2ha+a＞b+c，同理，2hb+b＞c+a，2hc+c＞a+b，∴2（ha+hb+hc）＞（a+b+c），又ha＜b，hb＜c，hc＜a，∴ha+hb+hc＜a+b+c∴U＜1故＜U＜1．故答案為：＜U＜1，8．如圖已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于O，若S△AOB=4，S△COD=9，則四邊形ABCD的面積的最小值為25．【分析】先根據(jù)正弦定理及三角形的面積公式表示出△AOB及△COD的面積，再求出四邊形ABCD面積的表達(dá)式，根據(jù)均值公式即可得出其最小值．【解答】解：由題得：∵S△AOB==4，S△COD==9，∴=4，=9，∴×=4×9=36，即：=36，∴S四邊形ABCD=S△AOB+S△COD+S△AOD+S△BOC=13++≥13+2×=13+2=13+2×6=25，當(dāng)且僅當(dāng)：=時(shí)取等號(hào)．∴S△AOD=S△BOC=6時(shí)，∴四邊形ABCD的面積最小值為25．故答案為：25．9．四邊形ABCD的四邊長為AB=，BC=，CD=，DA=，一條對(duì)角線BD=，其中m，n為常數(shù)，且0＜m＜7，0＜n＜5，那么四邊形的面積為（mn﹣5m﹣4n+62）．【分析】作矩形A′B′C′D′，并且A′B′=7，B′C′=6；點(diǎn)A在A′B′上，AA′=4，點(diǎn)B在B′C′上，BB′=5，D在A′D′上，A′D=n，C在D′C上，D′C=m，作DE⊥B′C′于E點(diǎn)，則AB==，BC=，CD=，DA=，BD=，根據(jù)四邊形ABCD的面積=S矩形A′B′C′D′﹣S△A′AD﹣S△ABB′﹣S△C′CB﹣S△D′DC，利用矩形和三角形的面積公式即可計(jì)算出所求四邊形的面積．【解答】解：作矩形A′B′C′D′，并且A′B′=7，B′C′=6；點(diǎn)A在A′B′上，AA′=4，點(diǎn)B在B′C′上，BB′=5，D在A′D′上，A′D=n，C在D′C上，D′C=m，如圖，過D作DE⊥B′C′于E點(diǎn)，∴AB==，BC=，CD=，DA=，BD=，∴四邊形ABCD的面積=S矩形A′B′C′D′﹣S△A′AD﹣S△ABB′﹣S△C′CB﹣S△D′DC=7×6﹣×4×n﹣×3×5﹣×1×（7﹣m）﹣×m×（6﹣n）=（mn﹣5m﹣4n+62）．故答案為（mn﹣5m﹣4n+62）．三．解答題（共2小題）10．如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線．（1）三角形有無數(shù)條面積等分線，平行四邊形有無數(shù)條面積等分線；（2）如圖①所示，在矩形中剪去一個(gè)小正方形，請(qǐng)畫出這個(gè)圖形的一條面積等分線；（3）如圖②，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，過點(diǎn)A畫出四邊形ABCD的面積等分線，并寫出理由．【分析】（1）讀懂面積等分線的定義，得出三角形的面積等分線；平行四邊形的一條對(duì)角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線；（2）由（1）知，矩形的一條對(duì)角線所在的直線就是矩形的一條面積等分線；（3）能．過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E，連接AE．根據(jù)“△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等”推知S△ABC=S△AEC；然后由“割補(bǔ)法”可以求得S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．【解答】解：（1）在△ABC中，做BC的中線AD，在這BC上任意取一點(diǎn)E，并將其與頂點(diǎn)A相連，過中點(diǎn)D做它的平行線，交AC與點(diǎn)F，連接EF，即是△ABC的面積等分線．因?yàn)檫B接EF，設(shè)EF與AD交于點(diǎn)O，作中線后，△ABD與△ACD的面積相等，即S四邊形ABEO+S△EOD=S△AFO+S四邊形FODC．作平行線后，連接EF，設(shè)EF與AD交于點(diǎn)O，則△AOF與△EOD面積相等，那么S四邊形ABEO+S△AFO=S△EOD+S四邊形FODC，即S四邊形ABEF=S△EFC，因此直線EF將△ABC分成了面積相等的兩部分，是三角形的面積等分線．因此，按這樣的做法，可以作無數(shù)條三角形的面積等分線；對(duì)于平行四邊形應(yīng)該有無數(shù)條，只要過兩條對(duì)角線的交點(diǎn)的直線都可以把平行四邊形的面積分成2個(gè)相等的部分；故答案是：無數(shù)；無數(shù)；（2）如圖①所示：連接2個(gè)矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)的直線即把這個(gè)圖形分成2個(gè)相等的部分．即OO′為這個(gè)圖形的一條面積等分線；（3）如圖②所示．能，過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E，連接AE．∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，∴有S△ABC=S△AEC，∴S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；∵S△ACD＞S△ABC，所以面積等分線必與CD相交，取DE中點(diǎn)F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線．11．如圖1，點(diǎn)P是△ABD中AD邊上一點(diǎn)，當(dāng)P為AD中點(diǎn)時(shí)，則有S△ABP=S△ABD，如圖2，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)，探究：（1）當(dāng)AP=AD時(shí)，如圖3，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關(guān)系？寫出求解過程；（2）當(dāng)AP=AD時(shí)，探究S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；（3）一般地，當(dāng)AP=AD（n表示正整數(shù)）時(shí)，探究S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；（4）當(dāng)AP=AD（0≤≤1）時(shí)，直接寫出S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，得出△CDP和△CDA的高相等，進(jìn)而得出S△PBC=S四邊形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP