13.4最短路徑問(wèn)題解析版

13.4最短路徑問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)管理瞄準(zhǔn)目標(biāo)，牢記要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)管理歸類探究夯實(shí)雙基，穩(wěn)中求進(jìn)歸類探究題型一：垂線段最短【例題1】（2022·甘肅天水·八年級(jí)期末）如圖所示，有三條道路圍成，其中，一個(gè)人從處出發(fā)沿著行走了，到達(dá)處，恰為的平分線，則此時(shí)這個(gè)人到的最短距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】據(jù)角平分線上一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，知此人此時(shí)到AB的最短距離即D到AB的距離，而D到AB的距離等于CD，而CD=BC-BD即得答案．【詳解】解：如下圖，過(guò)D作DE⊥AB于E，則此時(shí)此人到AB的最短距離即是DE的長(zhǎng)．∵AD平分∠CAB，AC⊥BC∴DE=CD=BC-BD=1000-700=300（米）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)定理和“垂線段最短”．其關(guān)鍵是運(yùn)用角平分線上一點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出CD等于D到AB的距離．變式訓(xùn)練【變式1-1】（2022·廣西玉林·八年級(jí)期末）如圖，∠AOB＝60°，P是∠AOB角平分線上一點(diǎn)，PD⊥AO，垂足為D，點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)，且DM＝4，如果點(diǎn)C是射線OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC的最小值是（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和垂線段最短得到結(jié)果．【詳解】∵P是∠AOB角平分線線上一點(diǎn)，且∠AOB＝∴∠AOP＝∠AOB＝

∵PD⊥OA，M是OP的中點(diǎn)，DM＝4∴OP＝2DM＝8∴PD＝OP＝4∵C點(diǎn)是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)∴當(dāng)PC丄OB時(shí)，PC的值最小此時(shí)PC＝PD＝4∴PC的最小值為4故選C【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，.熟記性質(zhì)并做出輔助線構(gòu)造直角三角形是集體的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·福建·漳州三中七年級(jí)期中）如圖，河道的同側(cè)有、兩地，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道，從地把河水引向、兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．【詳解】解：依據(jù)垂線段最短，以及兩點(diǎn)之間，線段最短，可得最節(jié)省材料的是：故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線段最短的運(yùn)用，實(shí)際問(wèn)題中涉及線路最短問(wèn)題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)中去選擇．題型二：將軍飲馬問(wèn)題【例題2】（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）某市計(jì)劃在公路旁修建一個(gè)飛機(jī)場(chǎng)M，現(xiàn)有如下四種方案，則機(jī)場(chǎng)M到A，B兩個(gè)城市之間的距離之和最短的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】用對(duì)稱的性質(zhì)，通過(guò)等線段代換，將所求路線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離．【詳解】作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線l于M，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知選項(xiàng)B機(jī)場(chǎng)M到A，B兩個(gè)城市之間的距離之和最短．故選B【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這類問(wèn)題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，由于所給條件的不同，解決方法和策略上有所差別．變式訓(xùn)練【變式2-1】（2022·天津河?xùn)|·八年級(jí)期末）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則MC+MD的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，∴MC+MD的最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱——最短路線問(wèn)題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2013·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）【答案】D【詳解】解：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B′點(diǎn)，連接AB′，交y軸于點(diǎn)C′，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小，∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），∴B′點(diǎn)坐標(biāo)為：（-3，0），則OB′=3，過(guò)點(diǎn)A作AE垂直x軸，則AE=4，OE=1，則B′E=4，即B′E=AE，∴∠EB′A=∠B′AE，∵C′O∥AE，∴∠B′C′O=∠B′AE，∴∠B′C′O=∠EB′A，∴B′O=C′O=3，∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（0，3），此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最?。蔬xD．【變式2-3】（2022·新疆·塔城市教育局八年級(jí)期末）如圖，CD是△ABC的角平分線，△ABC的面積為12，BC長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF的最小值是_____．【答案】4【分析】作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由是的角平分線，得到點(diǎn)一定在上，過(guò)作于，交于，則此時(shí)，的值最小，的最小值，過(guò)作于，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形的面積即可得到結(jié)論．【詳解】解：作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，是的角平分線，點(diǎn)一定在上，過(guò)作于，交于，則此時(shí)，的值最小，的最小值，過(guò)作于，的面積為12，長(zhǎng)為6，，垂直平分，，，，的最小值是4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確的作出對(duì)稱點(diǎn)和利用垂直平分線的性質(zhì)證明的最小值為三角形某一邊上的高線．題型三：將軍飲馬問(wèn)題角中應(yīng)用【例題3】（2022·廣東汕頭·八年級(jí)期末）如圖，若∠AOB=44°，為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M在OA上，點(diǎn)N在OB上，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，∠MPN的度數(shù)為(

)A．82° B．84° C．88° D．92°【答案】D【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)、，連接交OA于M，交OB于N，的周長(zhǎng)的最小值為長(zhǎng)度，然后依據(jù)等腰等腰中，，即可得出，代入求解即可．【詳解】解：如圖所示：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)、，連接交OA于M，交OB于N，∴，，，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，∴的周長(zhǎng)的最小值為長(zhǎng)度，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，∴等腰中，，∴，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式3-1】（2022·河南駐馬店·八年級(jí)期末）如圖，M為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，E、F分別是射線OA、OB上一點(diǎn)，當(dāng)MEF周長(zhǎng)最小時(shí)，若∠OME＝40°，則∠AOB＝_____．【答案】50°##50度【分析】分別作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接,當(dāng)分別為與的交點(diǎn)時(shí)，MEF周長(zhǎng)最小，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求得．【詳解】分別作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接,當(dāng)分別為與的交點(diǎn)時(shí)，MEF周長(zhǎng)最小，連接，,，，，對(duì)稱，，，∠OME＝40°，，，．故答案為：50°【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，軸對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱求線段和最短，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·福建南平·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】80°##80度【分析】作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接交CD于，交BC于，此時(shí)周長(zhǎng)最小，利用整體思想得出，從而得到答案．【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接交CD于，交BC于，此時(shí)周長(zhǎng)最小，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱，最短路徑問(wèn)題，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，運(yùn)用整體思想是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M、N分別是OB、OA邊上的點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm時(shí)，則∠AOB=____________．【答案】30°##30度【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)D、C，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對(duì)稱的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OC，∠COB=∠POB；PN=CN，OP=OD，∠DOA=∠POA，得出∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果．【詳解】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)D、C，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA，∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD=5，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路線問(wèn)題、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，證明△OCD是等邊三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2022·四川自貢·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A在中，點(diǎn)B、C分別在邊OM、ON上．請(qǐng)畫(huà)出，使的周長(zhǎng)最?。ㄕ?qǐng)保留作圖痕跡）．【答案】見(jiàn)解析【分析】分別作出點(diǎn)A關(guān)于OM，ON兩條射線的對(duì)稱點(diǎn)，連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的線段與OM，ON的交點(diǎn)即為所確定的點(diǎn)．【詳解】①分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″；②連接A′、A″，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，連接AB、AC、BC，則△ABC即為所求．【點(diǎn)睛】此題主要考查了作圖?復(fù)雜作圖，軸對(duì)稱?最短路徑問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是理解要求周長(zhǎng)最小問(wèn)題可歸結(jié)為求線段最短問(wèn)題，通常是作已知點(diǎn)關(guān)于所求點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)．題型四：畫(huà)最短路徑【例題4】（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作圖．(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1（點(diǎn)A、B、C分別對(duì)應(yīng)A1、B1、C1）；(2)△A1B1C1的面積＝；(3)若M（x，y）是△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出這點(diǎn)在△A1B1C1內(nèi)部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M1的坐標(biāo)；(4)請(qǐng)?jiān)趛軸上找出一點(diǎn)P，滿足線段AP＋B1P的值最小，并寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2(3)（x，-y）(4)點(diǎn)P見(jiàn)解析，（0，2）【分析】（1）直接利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案；（2）利用割補(bǔ)法進(jìn)行計(jì)算，即可得到△A1B1C1的面積；（3）根據(jù)點(diǎn)M和M1關(guān)于x軸對(duì)稱可得結(jié)果；（4）直接利用軸對(duì)稱求最短路線的方法得出答案．【小題1】解：如圖所示：△A1B1C1點(diǎn)即為所求；【小題2】△A1B1C1的面積==2；【小題3】由題意可得：M1的坐標(biāo)為（x，-y）；【小題4】如圖所示：點(diǎn)P即為所求，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱變換，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．變式訓(xùn)練【變式4-1】（2022·云南玉溪·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC中的三個(gè)頂點(diǎn)都落在小正方形的頂點(diǎn)處.(1)畫(huà)出與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1；(2)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為；(3)在x軸上找一個(gè)點(diǎn)P，使PB+PC最?。ú粚?xiě)作法，保留作圖痕跡）.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；（2）根據(jù)點(diǎn)的位置寫(xiě)出坐標(biāo)即可；（3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．（1）、解：如圖，△A1B1C1即為所求；（2）解：由（1）可知；（3）解：如圖，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，屬于中考常考題型．【變式4-2】（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）如圖，方格紙中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為的正方形，四邊形的頂點(diǎn)與點(diǎn)都是格點(diǎn)．(1)作四邊形關(guān)于直線對(duì)稱的四邊形．(2)求四邊形的面積：______．(3)若在直線上有一點(diǎn)使得最小點(diǎn)位置如圖所示，連接，請(qǐng)求出此時(shí)的______．【答案】(1)圖見(jiàn)解析．(2)．(3)．【分析】根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．將所求四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)小三角形的面積之和，求解即可．過(guò)作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，此時(shí)最小，進(jìn)而可得出答案．（1）如圖，四邊形即為所求．（2）．故答案為：．（3）過(guò)作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，此時(shí)最小，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查作圖軸對(duì)稱變換、三角形的面積公式、軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·河南三門(mén)峽·八年級(jí)期末）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣4，﹣2），B（﹣1，﹣1），C（﹣1，﹣4）．(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1；(2)在x軸上作出一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小（保留作圖痕跡）【答案】(1)見(jiàn)解析．(2)見(jiàn)解析【分析】（1）直接利用關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（2）利用軸對(duì)稱求最短路線的方法得出點(diǎn)P的位置．（1）解：A1（4，﹣2），B1（1，﹣1），C1（1，﹣4）．

如圖所示：△A1B1C1，即為所求；（2）解：如圖所示：點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱變換以及利用軸對(duì)稱求最短路線，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．題型五：造橋選址問(wèn)題【例題5】（2019·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）已知村莊A和B分別在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN(假定河的兩岸彼此平行，且橋與河岸互相垂直)，下列示意圖中，橋的建造位置能使從村莊A經(jīng)橋過(guò)河到村莊B的路程最短的是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】如圖作AI∥MN，且AI=MN，連接BI，由兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的距離最短，所以AM∥BN.【詳解】解：如圖，作AI∥MN，且AI=MN，連接BI，∴四邊形AMNI為平行四邊形，∴AM∥BN，此時(shí)從A點(diǎn)到B點(diǎn)距離最短.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路徑的問(wèn)題，運(yùn)用到了兩點(diǎn)之間線段最短，平行四邊形等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).變式訓(xùn)練【變式5-1】（2020·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在一條河的兩岸有兩個(gè)村莊，現(xiàn)在要在河上建一座小橋，橋的方向與河岸垂直，設(shè)河的寬度不變，試問(wèn)：橋建在何處，才能使從A到B的距離最短？保留作圖痕跡并說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)A、B兩點(diǎn)在河兩側(cè)，橋的方向與河岸垂直，由此關(guān)鍵在于使AP+BD最短，利用平行四邊形法則即可．【詳解】如圖，作垂直于河岸，使等于河寬，連接，與河岸相交于P，作，交于點(diǎn)D，則且．連接，利用平行四邊形的性質(zhì)可知．根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知最短，即從A到B，路徑最短，故橋應(yīng)建在處．【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱---最短路徑問(wèn)題，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，但許多實(shí)際問(wèn)題沒(méi)這么簡(jiǎn)單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題．【變式5-2】（2019·浙江·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，直線表示一條河的兩岸，且現(xiàn)在要在這條河上建一座橋，橋的長(zhǎng)度等于河寬度且橋與河岸垂直．使村莊經(jīng)橋過(guò)河到村莊現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學(xué)在圖2設(shè)計(jì)兩種：小明：作，交于點(diǎn)，點(diǎn)．在處建橋．路徑是．小紅：作，交于點(diǎn)，點(diǎn)；把平移至BE，連AE，交于，作于．在處建橋．路徑是．（1）在圖2中，問(wèn)：小明、小紅誰(shuí)設(shè)計(jì)的路徑長(zhǎng)較短？再用平移等知識(shí)說(shuō)明理由．（2）假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計(jì)在處實(shí)施建造了，上游還有一座舊橋，早上10點(diǎn)某小船從舊橋下到新橋下，到達(dá)后立即返回，在兩橋之間不停地來(lái)回行駛，船的航行方向和水流方向與橋保持垂直船在靜水每小時(shí)14千米，水流每小時(shí)2千米，第二天早上6點(diǎn)時(shí)小明發(fā)現(xiàn)船在兩橋之間（未到兩橋）且離舊橋40千米處行駛求這兩橋之間的距離．【答案】（1）小紅設(shè)計(jì)的路徑更短一些，原因見(jiàn)解析；（2）兩橋之間的距離為千米或千米或千米；【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，連接，可得出，，將小明和小紅的總路徑分別用線段的和表示出來(lái)，相同的路徑長(zhǎng)度去掉，最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可判斷出誰(shuí)設(shè)計(jì)的路徑更短；（2）分兩種情況，一種是從舊橋到新橋時(shí)距離舊橋40千米，另一種是從新橋到舊橋時(shí)距離40千米；兩種情況都可以設(shè)小船完整來(lái)回了次，兩橋之間的距離為，根據(jù)舊橋在上游，新橋在下游，可求出一來(lái)一回所需要的時(shí)間，再根據(jù)小船從出發(fā)到小明發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)了20小時(shí)可列出方程，根據(jù)實(shí)際情況分析即可得出答案.【詳解】解：（1）小紅設(shè)計(jì)的路徑更短一些；理由如下：連接CE，∵，且，∴為平行四邊形，可得，小紅走的路線是：，小明走的路線是：，∵在三角形中，，,所以小明的路線比小紅的要長(zhǎng)，即：小紅設(shè)計(jì)的路徑更短一些；（2）設(shè)小船一共走了次完整的來(lái)回，兩橋之間距離為千米，由題可得順流所需時(shí)間為，逆流所需要的時(shí)間是，所以一個(gè)完整來(lái)回所需時(shí)間為，次完整的來(lái)回所需時(shí)間為：；∵小船早上點(diǎn)出發(fā)，第二天早上點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，∴小船行駛了小時(shí)；①若小明發(fā)現(xiàn)小船時(shí)，船是從舊橋到新橋的，則依題意可得：，化簡(jiǎn)可得：，∵為整數(shù)，且，∴，即：兩橋之間的距離為千米；②若小明發(fā)現(xiàn)小船時(shí)，船是從新橋到舊橋的，則依題意可得：，化簡(jiǎn)可得：，∵為整數(shù)，且，∴，或；即：兩橋之間的距離為千米或千米；綜上可得：兩橋之間的距離為千米或千米或千米；【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)以及路程問(wèn)題中的行船問(wèn)題，第二問(wèn)比較不太好想，因?yàn)橛袃蓚€(gè)未知數(shù)，想到兩個(gè)未知數(shù)有各自的取值限制為解題關(guān)鍵，做題時(shí)理解上游這個(gè)條件其實(shí)是為了說(shuō)明什么時(shí)候是順?biāo)旭?，什么時(shí)候是逆水行駛.【變式5-3】（2018·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，A．B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）【答案】見(jiàn)解析.【分析】雖然A、B兩點(diǎn)在河兩側(cè)，但連接AB的線段不垂直于河岸．關(guān)鍵在于使AM+BN最短，但AM與BN未連起來(lái)，要用線段公理就要想辦法使M與N重合起來(lái)，利用平行四邊形的特征可以實(shí)現(xiàn)這一目的．【詳解】如圖所示，【點(diǎn)睛】此題考查了作圖-應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖主要把簡(jiǎn)單作圖放入實(shí)際問(wèn)題中，首先要理解題意，弄清問(wèn)題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖.鏈接中考體驗(yàn)真題，中考奪冠鏈接中考【真題1】（貴州遵義·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（）．A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【分析】要使的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)G和點(diǎn)H，即可得出，，根據(jù)的內(nèi)角和為，可得出；再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為可知，，即，建立方程組，可得到的度數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線BC和直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G和H，連接GH，交BC、CD于點(diǎn)E、F，連接AE、AF，則此時(shí)△AEF的周長(zhǎng)最小，∵四邊形的內(nèi)角和為，∴，即①，由作圖可知：，，∵的內(nèi)角和為，∴②，方程①和②聯(lián)立方程組，解得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱變換、最短路線問(wèn)題，涉及到平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的內(nèi)角和定理、四邊形的內(nèi)角和及垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出E、F的位置是解題關(guān)鍵．滿分沖刺能力提升，突破自我滿分沖刺【拓展1】（2022·廣西·上思縣教育科學(xué)研究所八年級(jí)期末）如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱，D為線段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是_____．【答案】4【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，證明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出當(dāng)A、D、三點(diǎn)共線時(shí)，AD+CD最小，此時(shí)AD+CD=B+AB=4．【詳解】解：如圖，連接D，∵正△ABC的邊長(zhǎng)為2，△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱，∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，∴∠CB=60°，∴∠CB=∠B，∵BD=BD，∴△CBD≌△BD，∴CD=D，∴AD+CD=D+CD，∴當(dāng)A、D、三點(diǎn)共線時(shí)，AD+CD最小，此時(shí)AD+CD=B+AB=4，故答案為：4．．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，正確掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【拓展2】（2022·廣東佛山·七年級(jí)期末）直觀感知和操作確認(rèn)是發(fā)現(xiàn)幾何學(xué)習(xí)的重要方式，解決下列問(wèn)題．(1)問(wèn)題情境：如圖1，三個(gè)相同的三角尺拼成一個(gè)圖形，直接寫(xiě)出圖中的平行線；(2)問(wèn)題理解：如圖2，在三個(gè)相同的直角三角形拼成的一個(gè)圖形中，若點(diǎn)M是線段BC的三等分點(diǎn)（其中CM>BM），點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，畫(huà)出BP＋PM取得最小值時(shí)點(diǎn)P的位置，并說(shuō)明理由；(3)問(wèn)題運(yùn)用：如圖3，在三個(gè)相同的直角三角形拼成的一個(gè)圖形中，點(diǎn)M是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是線段CE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c為常數(shù)），求DP＋PM的最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理解答即可；（2）延長(zhǎng)BA至點(diǎn)Q，使AQ=BA，連接MQ交AC于一點(diǎn)即為點(diǎn)P；（3）延長(zhǎng)DE至點(diǎn)N，使EN=DE，連接AN，證得△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到，連接DP，NP，PM，過(guò)N作NH⊥DB于H，求出DP=NP，得到DP+PM=NP+PM，當(dāng)N、P、M三點(diǎn)共線，且NM⊥DB時(shí)DP+PM有最小值，最小值為NH的長(zhǎng)度，利用S△BDN