余弦定理 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

余弦定理

武廣高鐵的路線規(guī)劃要經(jīng)過(guò)一座小山丘，就需要挖隧道，從而涉及到一個(gè)問(wèn)題，就是要測(cè)量出山腳的長(zhǎng)度.而兩山腳之間的距離是沒(méi)有辦法直接測(cè)量的，那要怎樣才能知道山腳的長(zhǎng)度呢？導(dǎo)入：ABC500m120°300mbac=？

如圖6.4-8，在△ABC中，三個(gè)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c怎樣用a、b和C表示c？圖6.4-8設(shè)那么所以①把幾何元素用向量表示：②進(jìn)行恰當(dāng)?shù)南蛄窟\(yùn)算：③向量式化成幾何式：同理可得余弦定理三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即余弦定理的推論思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關(guān)系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系．這兩個(gè)定理之間有什么關(guān)系？余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例．在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，則cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，即勾股定理.

一般地，三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫解三角形.思考：利用余弦定理及其推論可以解決什么問(wèn)題？已知兩邊及其夾角求第三邊（SAS型）已知三邊求任意一個(gè)角（SSS型）

解：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA∵a＞0

例題：在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小.∵a>c>b∴A為最大角.由余弦定理的推論，得又∵0°<A<180°∴A＝120°∴最大角A為120°.大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角跟蹤訓(xùn)練1

已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝

，則c＝

.2例2：

在△ABC中，a=7，b=8，銳角C滿足

求B(精確到1°).解：且C為銳角，由余弦定理，得利用計(jì)算器，可得B≈98°.在△ABC中，已知b＝

，c＝

，B＝30°，求a的值.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，思考：利用余弦定理可以解決SSA型的問(wèn)題嗎？3由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得5＝22＋b2－2×2bcosA，余弦定理——判斷三角形的形狀

在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，試判斷該三角形的形狀.例題由acosB＋acosC＝b＋c并結(jié)合余弦定理，整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.因?yàn)閎＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.先化邊為角，或者化角為邊在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，則△ABC一定是A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等邊三角形跟蹤訓(xùn)練3√在△ABC中，因?yàn)锳＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－