第17講拋體運動（講義）

第17講拋體運動目錄復習目標網絡構建考點一平拋運動的規(guī)律【夯基·必備基礎知識梳理】知識點1平拋運動的基本規(guī)律知識點2平拋運動的兩個重要推論【提升·必考題型歸納】考向1平拋運動基本規(guī)律的應用考向2平拋運動的兩個重要推論的應用考點二落點有約束條件的平拋運動【夯基·必備基礎知識梳理】知識點1平拋運動與斜面相結合的規(guī)律知識點2平拋運動與圓面相結合的規(guī)律知識點3平拋運動與豎直面相結合的規(guī)律【提升·必考題型歸納】考向1平拋運動與斜面相結合考向2平拋運動與圓面相結合考向3平拋運動與豎直面相結合考點三平拋運動的臨界問題【夯基·必備基礎知識梳理】知識點平拋運動臨界問題的基本規(guī)律【提升·必考題型歸納】考向平拋運動在球類問題中的臨界問題考點四類平拋運動和斜拋運動【夯基·必備基礎知識梳理】知識點1類平拋運動的基本規(guī)律知識點2斜拋運動的基本規(guī)律【提升·必考題型歸納】考向1類平拋運動考向2斜拋運動真題感悟掌握平拋運動的規(guī)律，能夠利用規(guī)律處理與平拋運動有關的各類問題。掌握斜拋運動的規(guī)律并會應用?？键c要求考題統(tǒng)計考情分析（1）平拋運動的規(guī)律（2）斜拋運動的規(guī)律2023年全國甲卷第1題2023年6月浙江卷第3題2023年湖南卷第2題高考對拋體運動的考查較為頻繁，而且大多聯系實際生活，題目的形式較為多樣，有選擇題也有計算題，并且近幾年出現了三維空間的拋體運動考題，對學生的空間建構能力要求很高?？键c一平拋運動的規(guī)律知識點1平拋運動的基本規(guī)律1．定義：以一定的初速度沿水平方向拋出的物體只在重力作用下的運動。2．性質：平拋運動是加速度為g的勻變速曲線運動，其運動軌跡是拋物線。3．平拋運動的條件：(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。4．研究方法：平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。5．基本規(guī)律(如圖所示)(1)速度關系(2)位移關系(3)軌跡方程：y＝eq\f(g,2v02)x2。6．四個基本規(guī)律飛行時間由t＝eq\r(\f(2h,g))知，時間取決于下落高度h，與初速度v0無關水平射程x＝v0eq\r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素無關落地速度v＝eq\r(vx2＋vy2)＝eq\r(v02＋2gh)，落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關速度改變量任意相等時間間隔Δt內的速度改變量Δv＝gΔt相同，方向恒為豎直向下，如圖所示知識點2平拋運動的兩個重要推論1.做平拋(或類平拋)運動的物體在任意時刻任一位置處，設其速度方向與水平方向的夾角為α，位移方向與水平方向的夾角為θ，則tanα＝2tanθ。2.做平拋(或類平拋)運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖中A點為OB的中點?？枷?平拋運動基本規(guī)律的應用1．投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，《禮記傳》中提到：“投壺，射之細也．宴飲有射以樂賓，以習容而講藝也．”如圖所示，甲、乙兩人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壺中時與水平面的夾角分別為53°和37°；已知兩支箭質量相同，忽略空氣阻力、箭長，壺口大小等因素的影響，下列說法正確的是（，，，）（）A．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，甲所投箭的初速度比乙的大B．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，乙所投的箭在空中運動時間比甲的長C．若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲投壺位置距壺的水平距離比乙大D．若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲所射箭落入壺口時速度比乙小【答案】D【詳解】根據題意，設位移與水平方向的夾角為，速度與水平方向的夾角為，由平拋運動規(guī)律有AB．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，則有由可得可知，甲所投的箭在空中運動時間長，由可知，甲所投箭的初速度較小，故AB錯誤；CD．若箭在豎直方向下落的高度相等，則箭在空中運動時間相等，且有則甲所投箭的初速度較小，由可知，甲、乙所射箭落入壺口時豎直速度相等，則由可得，甲所射箭落入壺口時速度比乙小，故C錯誤，D正確。故選D。2．如圖所示，剛性圓柱形容器，上端開口，容器內側高，內徑，現有一剛性小球（視為質點）從容器上端內邊緣沿直徑以的初速度水平拋出，小球恰好可以擊中容器底部中心位置。已知重力加速度，忽略空氣阻力，小球與容器內壁碰撞視為彈性碰撞，則小球的初速度可能是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據平拋運動的分析可知，豎直方向有解得而根據題意，水平方向有（）解得因此的可能值為、、、、、故選B。考向2平拋運動的兩個重要推論的應用3．如圖所示，為一半徑為R的圓弧，圓心位置O，一小球從與圓心等高的任意點沿半徑方向水平拋出，恰好垂直落在面上的Q點，且速度與水平方向夾角為，則小球拋出后的水平距離為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖所示，小球恰好垂直落在面上的Q點，作速度的反向延長線，交于O點，由平拋運動的推論可知，速度反向延長線交水平位移的中點，故滿足結合圓的幾何關系可得聯立可解得，D正確。故選D。4．跳臺滑雪是一項勇敢者的運動，某運動員從跳臺A處沿水平方向飛出，在斜面AB上的B處著陸，斜面AB與水平方向夾角為且足夠長，不計空氣阻力，下列說法正確的是（）

A．運動員在空中相同時間內的速度變化相同 B．運動員在斜面上的落點到A點的距離與初速度成正比C．運動員落在B處的速度與水平方向夾角 D．運動員的質量越大，落點離A越遠【答案】A【詳解】A．運動員在空中只受重力，加速度恒定，單位時間內速度變化相同，A正確；B．落點到A的距離利用平拋規(guī)律；；；得；所以運動員在斜面上的落點到A點的距離與初速度的平方成正比，故B錯誤；C．速度與水平方向夾角的正切值是，C錯誤；D．落點與質量無關，D錯誤。故選A?？键c二落點有約束條件的平拋運動知識點1平拋運動與斜面相結合的規(guī)律1.與斜面相關的幾種的平拋運動圖示方法基本規(guī)律運動時間分解速度，構建速度的矢量三角形水平vx＝v0豎直vy＝gt合速度v＝eq\r(vx2＋vy2)由tanθ＝eq\f(v0,vy)＝eq\f(v0,gt)得t＝eq\f(v0,gtanθ)分解位移，構建位移的矢量三角形水平x＝v0t豎直y＝eq\f(1,2)gt2合位移x合＝eq\r(x2＋y2)由tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)得t＝eq\f(2v0tanθ,g)在運動起點同時分解v0、g由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得t＝eq\f(v0tanθ,g)，d＝eq\f(v02sinθtanθ,2g)分解平行于斜面的速度v由vy＝gt得t＝eq\f(v0tanθ,g)2.與斜面相關平拋運動的處理方法(1)分解速度平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動,設平拋運動的初速度為v0,在空中運動時間為t,則平拋運動在水平方向的速度為vx=v0,在豎直方向的速度為vy=gt,合速度為v=vx2+vy(2)分解位移平拋運動在水平方向的位移為x=v0t,在豎直方向的位移為y=12gt2,對拋出點的位移(合位移)為s=x2+y(3)分解加速度平拋運動也不是一定要分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動,在有些問題中,過拋出點建立適當的直角坐標系,把重力加速度g正交分解為gx、gy,把初速度v0正交分解為vx、vy,然后分別在x、y方向列方程求解,可以簡化解題過程,化難為易。知識點2平拋運動與圓面相結合的規(guī)律三種常見情景：1.如圖甲所示，小球從半圓弧左邊沿平拋，落到半圓內的不同位置。由半徑和幾何關系制約時間t：h＝eq\f(1,2)gt2，R±eq\r(R2－h(huán)2)＝v0t，聯立兩方程可求t。2.如圖乙所示，小球恰好沿B點的切線方向進入圓軌道，此時半徑OB垂直于速度方向，圓心角α與速度的偏向角相等。3.如圖丙所示，小球恰好從圓柱體Q點沿切線飛過，此時半徑OQ垂直于速度方向，圓心角θ與速度的偏向角相等。知識點3平拋運動與豎直面相結合的規(guī)律1.從同一點斜拋物體，能垂直打在同一豎直面的不同高度處，可用逆向思維法思考，認為物體在不同高度平拋均落在同一點。2.無論是從同一點平拋，落在同一豎直面上的不同高度處，還是從同一點斜拋，垂直落在同一豎直面的不同高度處，因高度不同，則運動時間不同，又物體水平位移相同，故平拋的初速度不同?？枷?平拋運動與斜面相結合1．如圖所示，物體在傾角為θ、足夠長的斜面上做平拋運動，最終落在斜面上，從拋出到第一次落到斜面上的過程，下列說法正確的是（）A．物體在空中運動的時間與初速度成正比B．落到斜面上時，速度方向與水平面的夾角隨初速度的增大而增大C．拋出點和落點之間的距離與初速度成正比D．物體在空中運動過程中，離斜面的最遠距離與初速度成正比【答案】A【詳解】A．依題意，初速度不同的小球均落在斜面上，則具有共同的位移偏向角，根據平拋運動規(guī)律有得物體在空中運動的時間與初速度成正比，A正確；B．落到斜面上時，速度與水平方向夾角滿足則落到斜面上時速度方向與斜面夾角與初速度無關，B錯誤；C．拋出點與落點間距離，拋出點和落點之間的距離與初速度的平方成正比，C錯誤；D．當小球在運動過程中速度方向與斜面平行時，小球離斜面的距離最大，把小球初速度及重力加速度分解在平行斜面與垂直斜面方向上，可得小球離斜面的最大距離為則物體在空中運動過程中，離斜面的最遠距離與初速度的平方成正比，D錯誤。故選A。2．如圖在同一豎直平面內將兩個完全相同的小球從不同的位置沿水平方向拋出，拋出點分別為A點和B點（圖中未畫出），初速度分別為和，并且，經過一段時間的運動后，兩個小球同時垂直落到斜面上的同一個位置O點，不計空氣阻力，則（??）A．AO連線與水平方向的夾角一定和BO連線與水平方向的夾角不相同B．兩個小球落到斜面上時的動能可能相同C．AO連線與水平方向的夾角一定與斜面的傾角相同D．兩個小球的運動時間一定不同【答案】D【詳解】A．兩小球垂直落入斜面，速度的偏轉角相同，由平拋運動的規(guī)律可知，速度偏轉角的正切值是位移偏轉角的正切值的兩倍，所以AO連線與水平方向的夾角一定和BO連線與水平方向的夾角相同，A錯誤；BD．當小球落到斜面上時，將小球的速度進行分解，由幾何關系可得由平拋運動的規(guī)律解得由題目可知所以；小球的末動能所以故B錯誤，D正確；C．設AO連線與水平方向的夾角為，由平拋運動的規(guī)律聯立求解可得故C錯誤。故選D?？枷?平拋運動與圓面相結合3．如圖示，半圓軌道固定在水平面上，一小球（小球可視為質點）從半圓軌道上B點沿切線斜向左上方拋出，到達半圓軌道左端A點正上方某處小球的速度剛好水平，O為半圓軌道圓心，半圓軌道半徑為R，OB與水平方向的夾角為，重力加速度為g，不計空氣阻力，則小球在A點正上方的水平速度為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】小球雖說是做斜拋運動，由于到達半圓軌道左端A點正上方某處小球的速度剛好水平，所以逆向看是小球從一半圓軌道左端A點正上方某處開始做平拋運動，運動過程中恰好與半圓軌道相切于B點，這樣就可以用平拋運動規(guī)律求解。因小球運動過程中恰好與半圓軌道相切于B點，則速度與水平方向的夾角為，設位移與水平方向的夾角為，則因為則豎直位移而所以解得故選A。4．如圖，豎直平面內有一段圓弧MN，小球從圓心O處水平拋出。若初速度為va，將落在圓弧上的a點；若初速度為vb，將落在圓弧上的b點。已知Oa、Ob與豎直方向的夾角分別為α、β，不計空氣阻力,則()A．= B．= C．= D．=【答案】D【詳解】小球水平拋出，其做平拋運動,由平拋運動規(guī)律求解。若落到a點，則有；；；得若落到b點，則有；；；得則故選D。考向3平拋運動與豎直面相結5．如圖所示，一演員表演飛刀絕技，由O點先后拋出完全相同的3把飛刀，分別依次垂直打在豎直木板M、N、P三點上。假設不考慮飛刀的轉動，并可將其視為質點，已知O、M、N、P四點距離水平地面高度分別為h、4h、3h、2h，以下說法正確的是（

）A．3把飛刀在擊中木板時速度相同B．到達M、N、P三點的飛行時間之比為C．3把飛刀從拋出至分別到達M、N、P三點的過程中，重力的平均功率之比為D．設到達M、N、P三點的飛刀，初速度與水平方向夾角分別為、、，則有【答案】C【詳解】A．將飛刀的運動逆過來看成是一種平拋運動，三把刀在擊中板時的速度大小即為平拋運動的初速度大小，運動時間為初速度為由圖看出，三把刀飛行的高度不同，運動時間不同，水平位移大小相等，所以平拋運動的初速度大小不等，即打在木板上的速度大小不等，故A錯誤；B．豎直方向上逆過來看做自由落體運動，運動時間為則得三次飛行時間之比為故B錯誤；C．根據，3把飛刀從拋出至分別到達M、N、P三點的過程中，重力之比為，根據結合B選項可知重力的平均功率之比為，故C錯誤；D．設任一飛刀拋出的初速度與水平方向夾角分別為θ，則則得但故D錯誤。故選C。6．如圖所示，某同學從O點對準前方的一塊豎直放置的擋板將小球水平拋出，O與A在同一高度，小球的水平初速度分別為、，不計空氣阻力，小球打在擋板上的位置分別是B、C，且AB=BC，則為（）A．2∶1 B． C． D．【答案】B【詳解】不計空氣阻力，小球在空中做平拋運動，由平拋運動規(guī)律，聯立得所以又因為所以故選B。考點三平拋運動的臨界問題知識點平拋運動臨界問題的基本規(guī)律1．平拋運動中臨界問題的兩種常見情形(1)物體的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物體的速度方向恰好達到某一方向。2．解題技巧：在題中找出有關臨界問題的關鍵字，如“恰好不出界”“剛好飛過壕溝”“速度方向恰好與斜面平行”“速度方向與圓周相切”等，然后利用平拋運動對應的位移規(guī)律或速度規(guī)律進行解題。3.典型規(guī)律擦網壓線既擦網又壓線由得：由得：由和得：考向平拋運動在球類問題中的臨界問題1．如圖所示，一網球運動員用球拍先后將兩只球從O點水平擊出，第一只球落在本方場地A處彈起來剛好擦網而過，落在對方場地B處。第二只球直接擦網而過，也落在B處。球與地面的碰撞是彈性碰撞，且空氣阻力不計。若O點離地面的高度為h，則網的高度為（）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據題意，設網的高度為，到網的距離為，點與點間的水平距離為，由于球與地面的碰撞是彈性碰撞，則由對稱性可知由平拋運動規(guī)律有；解得設第一次的初速度為，小球從有從點彈起后，由網頂到最高點可得設第二次的初速度為，從可得從點到網頂有聯立解得，故選B。2．如圖所示為一乒乓球臺的縱截面，是臺面的兩個端點位置，是球網位置，D、E兩點滿足，且E、M、N在同一豎直線上。第一次在M點將球擊出，軌跡最高點恰好過球網最高點P，同時落到A點；第二次在N點將同一乒乓球水平擊出，軌跡同樣恰好過球網最高點P，同時落到D點。乒乓球可看做質點，不計空氣阻力作用，則兩次擊球位置到桌面的高度為（）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】設高為H，M點距離臺面的高度為，N點距離臺面的高度為，取M關于的對稱點Q，由幾何關系可知，Q的高度與M的高度相等，且Q點位于D點上方．只看第一次從P點到A的平拋過程，可知P到Q的水平距離為P到A的水平距離的，則有P到Q的時間為P到A時間的，根據可知，P到Q的豎直運動的距離為P到A的，所以有解得同理，對第二次平拋運動有解得可得故選C?？键c四類平拋運動和斜拋運動知識點1類平拋運動的基本規(guī)律1.類平拋運動的受力特點:物體所受的合外力為恒力,且與初速度的方向垂直。2.類平拋運動的運動特點:在初速度v0方向上做勻速直線運動,在合外力方向上做初速度為零的勻加速直線運動,加速度a=F合3.類平拋運動的求解方法:(1)常規(guī)分解法:將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的勻加速直線運動。兩分運動彼此獨立,互不影響,且與合運動具有等時性。(2)特殊分解法:對于有些問題,可以過拋出點建立適當的直角坐標系,將加速度a分解為ax、ay,初速度v0分解為vx、vy,然后分別在x、y方向列方程求解。知識點2斜拋運動的基本規(guī)律處理方法水平豎直正交分解化曲為直最高點一分為二變平拋運動逆向處理將初速度和重力加速度沿斜面和垂直斜面分解基本規(guī)律水平速度：豎直速度：最高點：最高點：速度水平垂直斜面：沿著斜面：最高點：考向1類平拋運動1．如圖所示，一光滑寬闊的斜面，傾角為θ，高為h?，F有一小球在A處以水平速度v0射出，最后從B處離開斜面，下面說法中正確的是（）A．小球的運動軌跡為拋物線B．小球的加速度為gsinθC．小球到達B點的時的速度為D．小球到達B點時小球的水平位移為【答案】ABD【詳解】A．小球受重力和支持力兩個力作用，合力沿斜面向下，與初速度垂直，做類平拋運動，軌跡為拋物線。故A正確；B．根據牛頓第二定律知，小球的加速度故B正確；C．根據機械能守恒定律，則有解得故C錯誤；D．小球在沿斜面方向上的位移為，根據解得在水平方向上做勻速直線運動故D正確。故選ABD。2．如圖所示，在光滑的水平面內建立坐標，質量為m的小球以某一速度從O點出發(fā)后，受到一平行于y軸方向的恒力作用，恰好通過A點，已知小球通過A點的速度大小為，方向沿x軸正方向，且連線與軸的夾角為30°。則（）A．恒力的方向一定沿y軸負方向B．恒力在這一過程中所做的功為C．恒力在這一過程中的沖量大小為D．小球從O點出發(fā)時的動能為【答案】AD【詳解】A．小球受到恒力作用做勻變速曲線運動，利用逆向轉換方法，小球做類平拋運動。由此可判斷恒力方向一定沿y軸負方向，選項A正確；BD．由幾何關系可得所以小球經過坐標原點時，沿y軸方向的分速度沿x軸方向的速度仍為。小球從O點出發(fā)時的動能恒力在這一過程中所做的功為選項B錯誤，D正確；C．恒力在這一過程中的沖量大小選項C錯誤。故選AD?？枷?斜拋運動1．在某次運動會上籃球項目比賽中某運動員大秀三分球，使運動場上的觀眾激情高漲。設籃球以與水平面成夾角斜向上拋出，籃球落入籃筐時速度方向與水平方向夾角為，且與互余（已知，）。若拋出時籃球離籃筐中心的水平距離為，不計空氣阻力，籃球可視為質點。則拋出時籃球與籃筐中心的高度差h為（）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】設初始速度為，落入籃筐時速度為，籃球做斜拋運動，水平方向速度不變，有解得籃球運動總時間為t，在豎直方向設豎直向上為正方向，籃球在水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻變速直線運動，有解得故選C。2．如圖所示，某場比賽中籃球運動員在三分線外離地面高度h＝2.3m，與籃筐中心的水平距離L＝6.8m的位置將籃球拋出?；@球離手時的速度與水平方向夾角為45°，并恰好無擦碰地進入籃筐。已知籃筐離地面高H＝3.05m，重力加速度，忽略空氣阻力的影響，下列說法正確的是（）A．從離手到剛進入籃筐，籃球做的是勻變速曲線運動B．離手1.1s后籃球進入籃筐C．離手時，籃球的速度大小約為6.2m/sD．從離手到剛進入籃筐，籃球速度的改變量的大小為10m/s【答案】AB【詳解】A．從離手到剛進入籃筐，忽略空氣阻力的