專題02勾股定理的逆定理重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（8大題型15道拓展培優(yōu)）

專題02勾股定理的逆定理重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（8大題型+15道拓展培優(yōu)）【題型目錄】題型一判斷三邊是否構(gòu)成直角三角形題型二圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)題型三在網(wǎng)格中判斷直角三角形題型四利用勾股定理的逆定理求解題型五利用勾股定理的逆定理證明題型六勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用題型七勾股定理逆定理的拓展問(wèn)題題型八勾股定理逆定理的綜合運(yùn)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.知識(shí)點(diǎn)2：勾股數(shù)像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：①滿足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)【經(jīng)典例題一判斷三邊是否構(gòu)成直角三角形】【例1】（2024上·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，則是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【分析】本題主要考查了非負(fù)性、勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握非負(fù)數(shù)的和為0，每一個(gè)非負(fù)數(shù)均為0是解題的關(guān)鍵．由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，然后得到a、b、c的值，再根據(jù)勾股定理逆定理即可解答．【詳解】解：∵，∴，解得：，∵，且，∴為等腰直角三角形．故選：A．【變式訓(xùn)練】1、（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？计谥校┫铝杏扇龡l線段構(gòu)成的三角形：①如果；②；③如果；④（為大于1的整數(shù)），其中能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】B【分析】判斷一組數(shù)能否成為直角三角形：①是否有一個(gè)角是直角；②是否滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方．將題目中的各題一一作出判斷即可．解題的關(guān)鍵是熟知直角三角形的判斷方法.【詳解】①∵,,∴,則,故能構(gòu)成直角三角形，符合題意；②∵,,故能構(gòu)成直角三角形，符合題意；③∵,∴最大角,故不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；④∵,且m為大于1的整數(shù),∴則∴,則最長(zhǎng)邊為a∴故能構(gòu)成直角三角形，符合題意；綜上所述,①②④正確.故選：B2．（2022上·四川成都·八年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┰谥校膶?duì)邊分別為a、b﹑c，下列條件中：①；②；③；④．能判斷是符合條件的直角三角形的有個(gè)．【答案】3【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形內(nèi)角和定理，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：①由題意知，，則是符合條件的直角三角形，符合題意；②由題意知，，則是直角三角形，但不是符合的條件形，故不符合題意；③由題意知，則是符合條件的直角三角形，符合題意；④由題意知，則是符合條件的直角三角形，符合題意；即符合要求的只有3個(gè)，故答案為：3．3．（2023上·江蘇連云港·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）先閱讀一段文字，再回答下列問(wèn)題：已知平面內(nèi)兩個(gè)點(diǎn)分別為，，其兩點(diǎn)間距離公式為．例如：點(diǎn)和)的距離為．同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于軸或平行于軸時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式可簡(jiǎn)化成：或．(1)已知、兩點(diǎn)在平行于軸的直線上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則、兩點(diǎn)的距離為；(2)線段平行于軸，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是；(3)已知個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，請(qǐng)判斷此三角形的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或(3)等腰直角三角形，見(jiàn)解析【分析】此題考查了兩點(diǎn)間的距離公式；（1）根據(jù)平行于軸的直線橫坐標(biāo)相同，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出、兩點(diǎn)的距離即可；（2）根據(jù)平行于軸的直線坐標(biāo)軸相同，由的長(zhǎng)，以及的坐標(biāo)，確定出的坐標(biāo)即可；（3）利用兩點(diǎn)間的距離公式求出三邊長(zhǎng)，即可作出判斷．【詳解】（1）解：設(shè)，，則；故答案為：；（2）解：設(shè)，，，，解得：或，則或；故答案為：或；（3）解：，，，，，，，且，則為等腰直角三角形．【經(jīng)典例題二圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】【例2】（2023下·浙江臺(tái)州·八年級(jí)?？计谥校┰谌鐖D所示的的方格圖中，點(diǎn)A和點(diǎn)B均為圖中格點(diǎn)．點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，滿足為以為斜邊的直角三角形．這樣的點(diǎn)C有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)和直角三角形的判定找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可．【詳解】解：如圖，滿足條件的點(diǎn)C共有4個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進(jìn)行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·陜西榆林·八年級(jí)榆林市第一中學(xué)分校校考階段練習(xí)）下列敘述中，正確的是A．直角三角形中，兩條邊的平方和等于第三邊的平方B．如果一個(gè)三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形C．中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則∠A=90oD．中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，若∠B=90o，則【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理及三角形對(duì)邊與對(duì)角的知識(shí)求解．【詳解】解：∵由勾股定理知，直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，而直角邊應(yīng)該都小于斜邊，所以直角三角形中，應(yīng)該是較小兩條邊的平方和等于第三邊的平方，∴A錯(cuò)誤；∵由勾股定理的逆定理可得：如果一個(gè)三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，∴B正確；∵，∴c為斜邊，c的對(duì)角∠C=90o，∴C錯(cuò)誤；∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，∠B=90o，∴b為斜邊，∴，D錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及其逆定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，注意勾股定理是“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，所以注意分清直角邊和斜邊及其所對(duì)角是解題關(guān)鍵．2．（2021上·江西九江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）【分析】因?yàn)辄c(diǎn)P、A、B在x軸上，所以P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC兩種情況進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P、A、B在x軸上，∴P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）．當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí)，①∠APC＝90°，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0，0）；②∠ACP＝90°時(shí)，如圖，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，，解得，m＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；當(dāng)△PBC為直角三角形時(shí)，①∠BPC＝90°，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0，0）；②∠BCP＝90°時(shí)，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）．綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0），（，0），（﹣2，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結(jié)合和分類討論思想．解題的關(guān)鍵是不重復(fù)不遺漏的進(jìn)行分類．3．（2023·浙江溫州·?？级＃┰谥苯亲鴺?biāo)系中，我們把橫縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)叫作整點(diǎn)，頂點(diǎn)都是整點(diǎn)的三角形稱為整點(diǎn)三角形．如圖，已知整點(diǎn)，，請(qǐng)?jiān)谒诘木W(wǎng)格區(qū)域（含邊界）畫出符合要求的整點(diǎn)三角形．(1)在圖1中畫一個(gè)．(2)在圖2中畫一個(gè)，使點(diǎn)Q的橫縱坐標(biāo)相等，且的面積等于3．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）分類討論分別為直角邊和斜邊時(shí)，共3種情況；（2）根據(jù)點(diǎn)Q的橫縱坐標(biāo)相等，可得點(diǎn)Q在第一象限的角平分線上，選擇合適的點(diǎn)即可；【詳解】（1）解：如圖，當(dāng)分別為直角邊和斜邊時(shí)，（2）解：如圖：點(diǎn)Q的橫縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)Q在直線上，根據(jù)割補(bǔ)法依次計(jì)算可得：點(diǎn)Q的位置如上圖．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定，割補(bǔ)法求面積，根據(jù)面積確定點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，直角坐標(biāo)系性質(zhì)的熟練運(yùn)用是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三在網(wǎng)格中判斷直角三角形】【例3】（2021上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的面積為10 B．C． D．點(diǎn)到直線的距離是2【答案】A【分析】求出，根據(jù)三角形的面積公式可以判斷A；根據(jù)勾股定理逆定理可以判斷B；根據(jù)勾股定理可以判斷C；根據(jù)三角形的面積結(jié)合點(diǎn)到直線的距離的意義可以判斷D．【詳解】解：，，，，，故B、C正確，不符合題意；，故A錯(cuò)誤，符合題意；設(shè)點(diǎn)到直線的距離是，，，，點(diǎn)到直線的距離是2，故D正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面積公式、點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021下·安徽亳州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在單位為1的正方形網(wǎng)格圖中有四條線段，從中任取三條線段所構(gòu)成的三角形中恰好是直角三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】由圖形和勾股定理可得四條線段的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理的逆定理，即可得到構(gòu)成直角三角形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：由圖可得：，，，，，，線段和可以構(gòu)成直角三角形，從中任取三條線段所構(gòu)成的三角形中恰好是直角三角形的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟練掌握勾股定理以及勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的網(wǎng)格中，線段的兩個(gè)端點(diǎn)均在格點(diǎn)（正方形的頂點(diǎn)）上．（1）線段的長(zhǎng)為；（2）若是直角三角形，則網(wǎng)格中滿足條件的格點(diǎn)C共有個(gè)．【答案】6/六【分析】（1）構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可；（2）根據(jù)直角三角形的概念，畫出圖形即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖，由勾股定理得，故答案為：；（2）解：如圖所示，共有6個(gè)，故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2024上·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．(1)在圖1中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為13的正方形．(2)在圖2中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)三邊為、、的三角形，并求出此三角形的面積是________．(3)在圖3中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)三邊長(zhǎng)均為無(wú)理數(shù)，且各邊都不相等的直角三角形．【答案】(1)圖見(jiàn)解析(2)圖見(jiàn)解析，(3)圖見(jiàn)解析【分析】本題考查勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，網(wǎng)格圖中判斷直角三角形．（1）根據(jù)題意，畫出一邊長(zhǎng)為的正方形即可；（2）根據(jù)題意，畫出三角形，割補(bǔ)法求三角形的面積即可；（3）根據(jù)題意畫出直角三角形即可．掌握勾股定理及其逆定理，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，正方形即為所求；由勾股定理得：正方形的邊長(zhǎng)為；（2）如圖，即為所求；由勾股定理得：；由圖可知：的面積為：．（3）如圖，即為所求；由勾股定理，得：，∴；∴為直角三角形．【經(jīng)典例題四利用勾股定理的逆定理求解】【例4】（2023上·浙江嘉興·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平方的非負(fù)性，算術(shù)平方根的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性，即可求出，從而可得出，即證明為直角三角形，且a，b為直角邊，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，解得：．∵，∴，∴為直角三角形，且a，b為直角邊，∴的面積為．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理逆定理．熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和勾股定理逆定理是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022上·浙江金華·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，連接，求解，證明，延長(zhǎng)至，使，連接，證明為等邊三角形，可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，∵，，，∴，∵，，∴，∴，延長(zhǎng)至，使，連接，而∴，而，∴為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴；故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的應(yīng)用，線段的垂直平分線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．2．（2023上·江蘇連云港·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，，．將沿射線折疊，使點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了翻折變換，勾股定理的逆定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)翻折的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，得到為直角三角形，設(shè)，則，再利用勾股定理得到答案．【詳解】解：由題意得：，兩點(diǎn)關(guān)于射線對(duì)稱，，為定值，要使周長(zhǎng)最小，即最小，如圖，當(dāng)點(diǎn)為與射線的交點(diǎn)時(shí)，周長(zhǎng)最小，，，，，，，為直角三角形，，，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，，故答案為：．3．（2024上·上海長(zhǎng)寧·八年級(jí)上海市延安初級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，在四邊形中，，，．(1)求證：：(2)如果平分，且，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)A作，垂足為E，先利用角平分線的性質(zhì)可得，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，最后利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的逐一條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴是直角三角形，∴，∴．（2）解：過(guò)點(diǎn)A作，垂足為E，，∵平分，，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的面積為：，∴的面積為．【經(jīng)典例題五利用勾股定理的逆定理證明】【例5】（2023下·遼寧營(yíng)口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）三角形的三邊長(zhǎng)分別為，且滿足等式，則此三角形是（

）A．以為斜邊的直角三角形 B．以為斜邊的直角三角形C．以為斜邊的直角三角形 D．以為腰的等腰三角形【答案】B【分析】將等式進(jìn)行化簡(jiǎn)得出，再由勾股定理逆定理即可得出結(jié)論．【詳解】∵，∴，∴，則是以為斜邊的直角三角形，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式、勾股定理的逆定理，其中能正確化簡(jiǎn)等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，連接，則線段的最小值是（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】如圖，過(guò)作于，由題意知，最小，根據(jù)，可得是直角三角形，，根據(jù)，即，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，由題意知，最小，∵，，，∴，即，∴是直角三角形，，∵，∴，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，垂線段最短．解題的關(guān)鍵在于確定最小的線段．2．（2023下·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，中線，，則長(zhǎng)為．【答案】【分析】證明為直角三角形，，延長(zhǎng)延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，證明，可得，，，然后利用勾股定理即可解決問(wèn)題.【詳解】解：在中,，中線，，∴，∴∴，∴為直角三角形，∴，如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，，，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是得到．3．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖所示，A城與C城的直線距離為60公里，B城與C城的直線距離為80公里，A城與B城的直線距離為100公里．(1)現(xiàn)需要在A，B，C三座城市所圖成的三角形區(qū)域內(nèi)建造一個(gè)加油站．使得這個(gè)加油站到三座城市A，B，C的距離相等，則加油站點(diǎn)一定是三條______的交點(diǎn)；（請(qǐng)?jiān)谝韵逻x項(xiàng)中選出正確答案并將對(duì)應(yīng)選項(xiàng)序號(hào)填寫在橫線上：①中線②高線③角平分線④垂直平分線）(2)判斷形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)④(2)是直角三角形．理由詳見(jiàn)解析【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理．掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)解答即可．（2）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可．【詳解】（1）解：∵加油站P到三個(gè)城A、B、C的距離相等，∴，∴點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，同理，點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，∴P點(diǎn)應(yīng)設(shè)計(jì)在三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故答案為：④．（2）解：是直角三角形．理由：∵，，∴∴∴是直角三角形．【經(jīng)典例題六勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用】【例6】（2023下·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，學(xué)校在校園圍墻邊緣開(kāi)墾一塊四邊形菜地，測(cè)得，，，，且，這塊菜地的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再由勾股定理逆定理判斷的形狀，由三角形面積公式求得菜地的面積．【詳解】解：連接AC在中，，，，，在中，，，∴∴是直角三角形，且．∴∴這塊菜地的面積是故選：B【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）李伯伯家有一塊四邊形田地，其中，，，，，則這塊地的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理和三角形面積的應(yīng)用，連接，運(yùn)用勾股定理逆定理可證為直角三角形，可求出兩直角三角形的面積，此塊地的面積為兩個(gè)直角三角形的面積和．【詳解】解：連接，則在中，，，在中，，，，，（平方米），故答案為：C．2．（2023下·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谀┕P直的河流一側(cè)有一旅游地C，河邊有兩個(gè)漂流點(diǎn)A，B．其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個(gè)漂流點(diǎn)H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路，測(cè)得千米，千米，千米．則原路線千米．【答案】/【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理說(shuō)明是直角三角形且，設(shè)千米，則千米，最后在運(yùn)用勾股定理即可解答．【詳解】解：∵在中，，∴，∴是直角三角形且；設(shè)千米，則千米，在中，由已知得，由勾股定理得：，∴，解得x=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握勾股定理的逆定理和定理是解決本題的關(guān)鍵．3．（2024上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為貫徹《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見(jiàn)》的方針政策，幫助同學(xué)們更好地理解勞動(dòng)的價(jià)值與意義，培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)情感、勞動(dòng)能力和勞動(dòng)品質(zhì)，學(xué)校給八（1）班、八（2）班各分一塊三角形形狀的勞動(dòng)試驗(yàn)基地．(1)當(dāng)班主任測(cè)量出八（1）班試驗(yàn)基地的三邊長(zhǎng)分別為，，時(shí)，一邊的小明很快給出這塊試驗(yàn)基地的面積．你求出的面積為_(kāi)_____．(2)八（2）班的勞動(dòng)實(shí)踐基地的三邊長(zhǎng)分別為，，如圖），你能幫助他們求出面積嗎？【答案】(1)30(2)【分析】本題考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理的逆定理判斷該三角形為直角三角形，進(jìn)而求解即可；（2）過(guò)A作交于點(diǎn)D．設(shè)，則，利用勾股定理分別求得、、即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴該三角形為直角三角形，其中13為斜邊，∴這塊試驗(yàn)基地的面積為，故答案為：30；（2）解：過(guò)A作交于點(diǎn)D．設(shè)，則．在和由勾股定理得，解得，在中，由勾股定理得,∴．【經(jīng)典例題七勾股定理逆定理的拓展問(wèn)題】【例7】（2021上·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，的對(duì)邊分別記為下列結(jié)論中不正確的是（

）A．如果那么是直角三角形B．如果，那么是直角三角形C．如果，那么是直角三角形D．如果，那么是直角三角形【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【詳解】選項(xiàng)A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B中如果a2＝b2+c2，那么△ABC是直角三角形，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C=75°，沒(méi)有直角，不是直角三角形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D中如果a：b：c＝3：4：5，滿足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，選項(xiàng)正確；故選：C【點(diǎn)睛】考查直角三角形的判定，學(xué)生熟練掌握勾股定理逆定理是本題解題的關(guān)鍵，并結(jié)合直角三角形的定義解出此題．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)偃師市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．在直角三角形中，已知兩邊長(zhǎng)為3和4，則第三邊長(zhǎng)為5B．三角形為直角三角形，三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，則滿足a2b2＝c2C．以任意三個(gè)連續(xù)自然數(shù)為三邊長(zhǎng)都能構(gòu)成直角三角形D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，則△ABC為直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形的判定進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解：A、應(yīng)為“直角三角形中，已知兩直角邊的邊長(zhǎng)為3和4，則斜邊的邊長(zhǎng)為5”，故不符合題意；B、應(yīng)為“三角形是直角三角形，三角形的直角邊分別為b，c，斜邊為a，則滿足a2=b2+c2，即a2b2=c2”，故不符合題意；C、比如：邊長(zhǎng)分別為3，4，5，有32+42=25=52，能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；D、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出三個(gè)角分別為15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和判定，注意在敘述命題時(shí)要敘述準(zhǔn)確．2．（2021上·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列內(nèi)容：設(shè)，，是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且最大，我們可以利用，，之間的關(guān)系來(lái)判斷這個(gè)三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，則最長(zhǎng)邊是，，故由③可知該三角形是銳角三角形．（1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，則該三角形是；（2）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，且這個(gè)三角形是直角三角形，則的值為；（3）帶一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，，，其中是最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，則該三角形是三角形．【答案】銳角三角形或鈍角【分析】（1）直接利用定義結(jié)合三角形三邊得出答案；（2）直接利用勾股定理得出x的值；（3）直接利用已知結(jié)合三邊關(guān)系得出答案．【詳解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，∴三角形是銳角三角形，故答案為：銳角三角形；（2）∵這個(gè)三角形是直角三角形，當(dāng)x為斜邊，∴52+122=x2，∴x=13，當(dāng)12是斜邊，則52+x2=122，解得：x=，綜上所述：x=13或．故答案為：13或；（3）∵a2b2c2=x2+3z2x+y22y+=(x)2+(y1)2+3z2+＞0，∴a2＞b2+c2，∴該三角形是鈍角三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正確進(jìn)行相關(guān)計(jì)算是解題關(guān)鍵．3．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)丹陽(yáng)市第八中學(xué)校考期中）【問(wèn)題初探】勾股定理神奇而美妙，它的證法多種多樣，在學(xué)習(xí)了教材中介紹的拼圖證法以后，小華突發(fā)靈感，給出了如圖①的拼圖：兩個(gè)全等的直角三角板和直角三角板，頂點(diǎn)F在邊上，頂點(diǎn)C、D重合，連接．設(shè)交于點(diǎn)G．，，，．請(qǐng)你回答以下問(wèn)題：（1）與的位置關(guān)系為_(kāi)_____．（2）填空：______（用含c的代數(shù)式表示）．（3）請(qǐng)嘗試?yán)么藞D形證明勾股定理．【問(wèn)題再探】平移直角三角板，使得頂點(diǎn)B、D重合，這就是大家熟悉的“K型圖”，如圖②，此時(shí)三角形是一個(gè)等腰直角三角形．請(qǐng)你利用以上信息解決以下問(wèn)題：已知直線及點(diǎn)P，作等腰直角，使得點(diǎn)A、B分別在直線a、b上且．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）【問(wèn)題拓展】請(qǐng)你利用以上信息解決以下問(wèn)題：已知中，，，，則的面積______．【答案】問(wèn)題初探：（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析；問(wèn)題再探：見(jiàn)解析；問(wèn)題拓展：9【分析】本題是四邊形的綜合題，考查了勾股定理的證明，三角形的面積的計(jì)算，全等三角形的性質(zhì)．問(wèn)題初探：（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)垂直的定義得到；（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的面積和梯形的面積公式用兩種方法求得四邊形的面積，于是得到結(jié)論．問(wèn)題再探：如圖，過(guò)點(diǎn)P作直線于點(diǎn)F交直線a于點(diǎn)E，截取，，連接即可；問(wèn)題拓展：過(guò)點(diǎn)B作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，證明，得，根據(jù)勾股定理得，然后代入三角形面積公式即可解決問(wèn)題．【詳解】解：?jiǎn)栴}初探：（1）；證明：，，，，，，，故答案為：；,（2）∵，，故答案為：；,（3）證明：∵四邊形的面積，∴四邊形的面積，∴，即．問(wèn)題再探：解：如圖，即為所求；問(wèn)題拓展：解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，，是等腰直角三角形，，，，，，，是等腰直角三角形，，，在和中，，，，，，，，，的面積．故答案為：9．【經(jīng)典例題八勾股定理逆定理的綜合運(yùn)用】【例8】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)湖南師大附中?？计谥校┒x：a，b，c為正整數(shù)，若，則稱c為“完美勾股數(shù)”，a，b為c的“伴侶勾股數(shù)”．如，則13是“完美勾股數(shù)”，5，12是13的“伴侶勾股數(shù)”．(1)數(shù)10________“完美勾股數(shù)”（填“是”或“不是”）；(2)已知的三邊a，b，c滿足．求證：c是“完美勾股數(shù)”．(3)已知m，且，，，，c為“完美勾股數(shù)”，a，b為c的“伴侶勾股數(shù)”．多項(xiàng)式有一個(gè)因式，求該多項(xiàng)式的另一個(gè)因式．【答案】(1)是(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查了勾股數(shù)和新定義的綜合應(yīng)用．（1）根據(jù)完美勾股數(shù)的定義可得答案；（3）利用完全平方公式證明即可；（3）由勾股定理可得m，n的關(guān)系式，將m，n的關(guān)系式代入，根據(jù)多項(xiàng)式有一個(gè)因式，求解即可．【詳解】（1）解：，數(shù)10是“完美勾股數(shù)”，故答案為：是；（2）證明：，，是“完美勾股數(shù)”；（3）解：由題意得：，，，，，，又，，即，，有一個(gè)因式為，，∴另一個(gè)因式為．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，設(shè)為最長(zhǎng)邊，當(dāng)時(shí)，是直角三角形；當(dāng)時(shí)，利用代數(shù)式和的大小關(guān)系，探究的形狀（按角分類）．(1)當(dāng)三邊分別為6、8、9時(shí)，為_(kāi)_______三角形；當(dāng)三邊分別為6、8、11時(shí)，為_(kāi)_______三角形；(2)猜想：當(dāng)________時(shí)，為銳角三角形；當(dāng)________時(shí)，為鈍角三角形；（填“>”或“<”或“=”）(3)判斷：當(dāng)時(shí)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的取值為_(kāi)_______；當(dāng)為銳角三角形時(shí)，則的取值范圍________；當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，則的取值范圍________．【答案】(1)銳角；鈍角(2)(3)①；②；③【分析】本題主要考查勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．（1）當(dāng)兩直角邊為6、8時(shí)，利用勾股定理可得斜邊的長(zhǎng)度，當(dāng)三角形最長(zhǎng)的邊小于所求邊為銳角三角形，反之為鈍角三角形；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；（3）當(dāng)為直角三角形時(shí)，可求出，再根據(jù)勾股定理的逆定理求出下面情況的取值范圍．【詳解】（1）解：當(dāng)兩直角邊為6、8時(shí)，斜邊當(dāng)三邊分別為6、8、9時(shí)，為銳角三角形當(dāng)三邊分別為6、8、11時(shí)，為鈍角三角形（2）解：由勾股定理逆定理可得，當(dāng)時(shí)，為銳角三角形；當(dāng)時(shí)，為鈍角三角形；（3）解：當(dāng)為直角三角形時(shí)，；當(dāng)為銳角三角形時(shí)，，；當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，，則的取值范圍為，兩邊之和大于第三邊，．2．（2023上·河北衡水·八年級(jí)?？计谥校┕垂啥ɡ硎且粋€(gè)基本的幾何定理，盡在我國(guó)西漢時(shí)期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”，這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”．如：等等都是勾股數(shù)．【探究1】（1）如果是一組勾股數(shù)，即滿足，則為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)．如；是一組勾股數(shù)，則___也是一組勾股數(shù)；（2）另外利用一些構(gòu)成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就曾提出公式為正整數(shù)）是一組勾股數(shù)，證明滿足以上公式的是一組勾股數(shù)；（3）值得自豪的是，世界上第一次給出的勾股數(shù)公式，收集在我國(guó)的《九章算術(shù)》中，書中提到：當(dāng)，為正整數(shù)，時(shí)，構(gòu)成一組勾股數(shù)；請(qǐng)根據(jù)這一結(jié)論直接寫出一組符合條件的勾股數(shù)___．【探究2】觀察；…，可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從起就沒(méi)有間斷過(guò)，并且勾為時(shí)股，弦；勾為時(shí)，股，弦；請(qǐng)仿照上面兩組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）如果勾為7，則股____；弦____；（2）如果用且為奇數(shù))表示勾，請(qǐng)用含有的式子表示股和弦，則股___；弦___；（3）觀察；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從起也沒(méi)有間斷過(guò)．_；請(qǐng)你直接用為偶數(shù)且）的代數(shù)式表示直角三角形的另一條直角邊_；和弦的長(zhǎng)__．【答案】探究1（1）6，8，10；（2）詳見(jiàn)解析；（3）；探究2（1）,；（2），；（3）①80，②，弦【分析】探究1：（1）根據(jù)勾股定理，令k＝2即可求解（答案不唯一）；（2）根據(jù)完全平方公式求出、根據(jù)勾股定理逆定理即可求證；（3）根據(jù)勾股定理逆定理計(jì)算，證明結(jié)論，根據(jù)題意寫出勾股數(shù)；探究2：（1）根據(jù)規(guī)律即求解；（2）如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時(shí)，則股＝，弦＝；（3）根據(jù)規(guī)律可得股比弦小2，根據(jù)規(guī)律可得，如果是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，為偶數(shù)且)，根據(jù)所給3組數(shù)據(jù)找出規(guī)律即可得結(jié)論．【詳解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；·（2）證明：，，滿足以上公式的是一組勾股數(shù)；（3）∵＝∴滿足以上公式的是一組勾股數(shù)；當(dāng)時(shí)，，∴構(gòu)成一組勾股數(shù)．(答案不唯一）探究2：（1）依據(jù)規(guī)律可得，如果勾為，則股，弦，（2）如果勾用，且為奇數(shù)）表示時(shí)，則股，弦（3）①b＝80．②根據(jù)規(guī)律可得，如果是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，為偶數(shù)且)，則另一條直角邊弦【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股數(shù)的定義、勾股定理及其逆定理，數(shù)字類規(guī)律問(wèn)題，掌握完全平方公式、滿足的三個(gè)正整數(shù)均為勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)校考期中）我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．（1）下列四邊形是勾股四邊形的有．（填序號(hào)）①長(zhǎng)方形；②平行四邊形；③正方形；（2）如圖1，已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）O（0，0），A（0，4），B（3，0），請(qǐng)你直接寫出所有以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA、OB為勾股邊且有對(duì)角線相等的勾股四邊形OAMB的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)____________（3）如圖2，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接AD、DC，已知∠DCB＝30°．求證：四邊形ABCD是勾股四邊形．【答案】（1）①③；（2）（3，4）或（4，3）；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)定義和勾股四邊形的性質(zhì)，有矩形或正方形或直角梯形滿足題意；（2）OM＝AB知以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的M共兩個(gè)，分別得出答案；（3）連接CE，證明△BCE是等邊三角形，△DCE是直角三角形，繼而可證明四邊形ABCD是勾股四邊形．【詳解】（1）學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱：矩形，正方形故答案為：①③；（2）如圖1所示：M（3，4）或（4，3）；故答案為（3，4）或（4，3）；（3）證明：如圖2，連接CE，由旋轉(zhuǎn)得：△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE，∵∠CBE＝60，∴△CBE為等邊三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°，∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝30°+60°＝90°，∴DC2+EC2＝DE2，∴DC2+BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合題，主要考查了勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．【拓展培優(yōu)】1．（2024上·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知中，所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別是，根據(jù)下列條件不能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及勾股定理逆定理等知識(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及勾股定理逆定理分析判斷即可求出答案．【詳解】解：A.由題意，，∴是銳角三角形，本選項(xiàng)符合題意．B.∵，，∴，∴是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意．C.∵，∴，∴，∴是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意．D.∵，∴，∴，∴是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．2．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？计谥校┫铝杏扇龡l線段構(gòu)成的三角形：①如果；②；③如果；④（為大于1的整數(shù)），其中能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】B【分析】判斷一組數(shù)能否成為直角三角形：①是否有一個(gè)角是直角；②是否滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方．將題目中的各題一一作出判斷即可．解題的關(guān)鍵是熟知直角三角形的判斷方法.【詳解】①∵,,∴,則,故能構(gòu)成直角三角形，符合題意；②∵,,故能構(gòu)成直角三角形，符合題意；③∵,∴最大角,故不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；④∵,且m為大于1的整數(shù),∴則∴,則最長(zhǎng)邊為a∴故能構(gòu)成直角三角形，符合題意；綜上所述,①②④正確.故選：B3．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．的面積為5 D．點(diǎn)A到的距離是1.5【答案】D【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，利用網(wǎng)格圖計(jì)算三角形的面積，點(diǎn)到直線的距離．熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理及其逆定理判定A，利用勾股定理求出長(zhǎng)可判定B；利用網(wǎng)格圖計(jì)算三角形的面積可判定C；利用面積公式求出邊的高，即可利用點(diǎn)到直線的距離判定D．【詳解】解：A、，，，，，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；B、∵，∴，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；C、，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；D、點(diǎn)A到的距離，本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．4．（2023上·上海徐匯·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，且，下列結(jié)論中：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）A．② B．①② C．①④ D．①③④【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，四邊形內(nèi)角和定理，先根據(jù)勾股定理得到，進(jìn)而證明，推出是直角三角形，且，由四邊形內(nèi)角和定理得到，再由得到，據(jù)此可判斷①②④；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法得到，即可判斷③．【詳解】解：如圖所示，連接，∵在中，，，，∴，∵，，∴，∴，∴是直角三角形，且，故①正確；∴，故②正確；，故④錯(cuò)誤；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法得到，故③錯(cuò)誤；故選B．5．（2022上·四川南充·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，且，則四邊形的面積是（）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，再根據(jù)四邊形的面積等于，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，在中，，，，∴，∵，，∴，∴，∴四邊形的面積是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023上·福建福州·八年級(jí)福建省福州第十九中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正方形網(wǎng)格，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的度數(shù)為．【答案】/45度【分析】取格點(diǎn)E，連接、，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，證明為直角三角形，，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，即可求出結(jié)果．【詳解】解：取格點(diǎn)E，連接、，如圖所示：根據(jù)格點(diǎn)特點(diǎn)可知，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴為直角三角形，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和網(wǎng)格問(wèn)題，勾股定理逆定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟記勾股定理和逆定理．7．（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）已知一個(gè)等腰的底邊的長(zhǎng)為厘米，腰上有一點(diǎn)，使得厘米，厘米，那么等腰的腰長(zhǎng)為厘米．【答案】/【分析】本題考查勾股定理及其勾股定理的逆定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)，利用勾股定理列方程是解題關(guān)鍵.首先判定，然后利用勾股定理列方程計(jì)算求解.【詳解】解：如圖，由題意可得，，即，∴∴，設(shè)個(gè)等腰的腰長(zhǎng)為厘米，在中，，解得.故答案為：.8．（2024上·北京石景山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，．平分．則（1）°；（2）點(diǎn)到的距離為．【答案】【分析】（1）本題根據(jù)勾股定理逆定理得出為等腰直角三角形，即可求解．（2）本題過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)證明，再根據(jù)角平分線性質(zhì)得到，設(shè)，則，，最后結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：，，滿足，，即為等腰直角三角形，，故答案為：．（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，，，，平分，且，，設(shè)，則，，，有，整理得，解得（舍去），，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理逆定理、等腰直角三角形性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵在于利用勾股定理逆定理判斷三角形為直角三角形和利用勾股定理求線段長(zhǎng)．9．（2023上·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)是某景點(diǎn)所在位置，游客可以在游客觀光車站或處乘車前往，且，因道路施工，點(diǎn)到點(diǎn)段現(xiàn)暫時(shí)封閉，為方便出行，在這條路上的處修建了一個(gè)臨時(shí)車站，由處亦可直達(dá)處，若．則路線的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解答本題的關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理逆定理判斷是直角三角形，再根據(jù)勾股定理計(jì)算求解．【詳解】解：是直角三角形．理由如下：，，，，，，，是直角三角形；，設(shè)，則，由勾股定理得：，即，解得，．故答案為：．10．（2023上·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是一個(gè)提供床底收納支持的氣壓伸縮桿，除了是完全固定的鋼架外，，，屬于位置可變的定長(zhǎng)鋼架．如圖1所示，，，，伸縮桿的兩端分別固定在，兩邊上，其中，．當(dāng)伸縮桿打開(kāi)最大時(shí)，如圖2所示，成，此時(shí)，則可變定長(zhǎng)鋼架的長(zhǎng)度為．當(dāng)伸縮桿完全收攏時(shí)，，則此時(shí)床高（與之間的距離）為．【答案】812【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，平行線間的距離，理解題意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．當(dāng)伸縮桿打開(kāi)最大時(shí)，先證明是直角三角形，由勾股定理，得，即可由求得長(zhǎng)；當(dāng)伸縮桿完全收攏時(shí)，，過(guò)點(diǎn)C作于H，過(guò)點(diǎn)D作于F，由平行線間的距離，可得，，，再由勾股定理，得，即，即可求得，即可由求解．【詳解】解：如圖2，∵，，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵成，∴是直角三角形，由勾股定理，得∴；當(dāng)伸縮桿完全收攏時(shí)，，過(guò)點(diǎn)C作于H，過(guò)點(diǎn)D作于F，如圖，∵，于H，過(guò)點(diǎn)D作于F，∴，，∴，∴由勾股定理，得∴∴∴故答案為：8；12．11．（2024上·海南儋州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為了強(qiáng)化實(shí)踐育人，有效開(kāi)展勞動(dòng)教育和綜合實(shí)踐活動(dòng)，我市某中學(xué)現(xiàn)有一塊四邊形的空