2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識(shí)點(diǎn)分類）反比例函數(shù)綜合題

反比例函數(shù)綜合題14．（2023?連云港）【問題情境建構(gòu)函數(shù)】（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，M是CD的中點(diǎn)，AE⊥BM，垂足為E．設(shè)BC＝x，AE＝y(tǒng)，試用含x的代數(shù)式表示y．【由數(shù)想形新知初探】（2）在上述表達(dá)式中，y與x成函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖2所示．若x取任意實(shí)數(shù)，此時(shí)的函數(shù)圖象是否具有對(duì)稱性？若有，請(qǐng)說明理由，并在圖2上補(bǔ)全函數(shù)圖象．【數(shù)形結(jié)合深度探究】（3）在“x取任意實(shí)數(shù)”的條件下，對(duì)上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值y隨x的增大而增大；②函數(shù)值y的取值范圍是﹣42＜y＜42；③存在一條直線與該函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)；④在圖象上存在四點(diǎn)A、B、C、D，使得四邊形ABCD是平行四邊形．其中正確的是①④【抽象回歸拓展總結(jié)】（4）若將（1）中的“AB＝4”改成“AB＝2k”，此時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是y=2kxx2+k2x2+k【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）證得Rt△ABE∽R(shí)t△BMC，得出ABBM=AEBC，由題意CM=12CD=12AB＝2，利用勾股定理求得，BM=（2）把P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q（﹣a，﹣b）代入解析式也成立，即可證明函數(shù)圖象是否具有對(duì)稱性；（3）觀察圖象即可判斷；（4）分析函數(shù)的解析式即可得出函數(shù)的性質(zhì)．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC＝∠BCM＝90°，∴∠ABE+∠MBC＝90°，∵AE⊥BM，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠AEB＝∠BCM，∠MBC＝∠BAE，∴Rt△ABE∽R(shí)t△BMC，∴ABBM∵AB＝4，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，∴CM=12CD=在Rt△BMC中，BM=B∴4x∴y=4xx2（2）x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱理由如下：若P（a，b）為圖象上任意一點(diǎn)，則b=4a∴設(shè)P（a，b）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，則Q（﹣a，﹣b），∵當(dāng)x＝﹣a時(shí)，y=4(?a)∴Q（﹣a，﹣b）也在函數(shù)y=4x∴當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)y=4x（3）觀察圖象，①函數(shù)值y隨x的增大而增大；故正確，②函數(shù)值y的取值范圍是﹣4＜y＜4；故錯(cuò)誤，③存在一條直線與該函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)；故錯(cuò)誤，④在圖象上存在四點(diǎn)A、B、C、D，使得四邊形ABCD是平行四邊形，故正確．故答案為：①④；（4）y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=2kxx2+k當(dāng)k≠0，x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，有如下相關(guān)性質(zhì)：當(dāng)k＞0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三象限，函數(shù)值y隨x的增大而增大，y的取值范圍為﹣2k＜y＜2k；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象經(jīng)過第二、四象限，函數(shù)值y隨x的增大而減小，y的哦值范圍為水2k＜y＜﹣2k；函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)；函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；故答案為：y=2kxx2+k【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．15．（2023?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝kx+2與x，y軸分別相交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)y=mx（x＞0）的圖象相交于點(diǎn)C，已知OA＝1，點(diǎn)（1）求k，m的值；（2）平行于y軸的動(dòng)直線與l和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)D，E，若以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）根據(jù)題意求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出k，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出m；（2）分2n+2?12n=2、2n【解答】解：（1）∵OA＝1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），則﹣k+2＝0，解得：k＝2，∴直線l的解析式為y＝2x+2，∵點(diǎn)C在直線l上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2×2+2＝6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，6），∴m＝2×6＝12；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，2n+2），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，12n∴DE＝|2n+2?12∵OB∥DE，∴當(dāng)OB＝DE時(shí)，以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∵直線y＝2x+2與y軸交于點(diǎn)B，∴OB＝2，∴|2n+2?12當(dāng)2n+2?12n=2時(shí)，n1=6，此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，26+當(dāng)2n+2?12n=?2時(shí)，n1=7?此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7?1，27綜上所述：以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，26+2）或（7?1，2【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．反比例函數(shù)綜合題14．（2023?眉山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），與反比例函數(shù)y=mx在第四象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C（6，（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)kx+b＞mx時(shí)，直接寫出（3）在雙曲線y=mx上是否存在點(diǎn)P，使△ABP是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．【分析】（1）將A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b，求得一次函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可；（2）將一次函數(shù)與反比例函數(shù)聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)果；（3）過點(diǎn)A作AE⊥BC交y軸于點(diǎn)E，證明△AOB∽△EOA得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，在求出直線AE的表達(dá)式，與反比例函數(shù)聯(lián)立方程組即可．【解答】（1）將A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：4k+b=0b=2解得：k=?1∴一次函數(shù)表達(dá)式為：y=?12將C（6，a）代入得：y=?1∴C（6，﹣1），將C（6，﹣1）代入y=mx得：∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=?6（2）設(shè)一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第二象限交于點(diǎn)D，聯(lián)立y=?1解得：x=?2y=3或x=6∴D（﹣2，3），∴由圖象可知：當(dāng)x＜﹣2或0＜x＜6時(shí)，kx+b＞m（3）存在，理由：過點(diǎn)A作AE⊥BC交y軸于點(diǎn)E，∵∠BAO+∠EAO＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，∴∠BAO＝∠AEO，∵∠AOB＝∠EOA＝90°，∴△AOB∽△EOA，∴OBOA∴24∴OE＝8，∴E（0，﹣8），設(shè)直線AE的表達(dá)式為：y＝ax+b，將（4，0），（0，﹣8）代入得：4a+b=0b=?8解得：a=2b=?8∴直線AE的表達(dá)式為：y＝2x﹣8，聯(lián)立：y=2x?8y=?解得：x=1y=?6或x=3∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，﹣6）或（3，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，考查的有待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)表達(dá)式，相似三角形的判定及性質(zhì)．15．（2023?涼山州）閱讀理解題：閱讀材料：如圖1，四邊形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，記∠BAE為α、∠FAD為β，若tanα=12，則tanβ證明：設(shè)BE＝k，∵tanα=1∴AB＝2k，易證△AEB≌△EFC（AAS）．∴EC＝2k，CF＝k，∴FD＝k，AD＝3k，∴tanβ=DF若α+β＝45°時(shí)，當(dāng)tanα=12，則tanβ同理：若α+β＝45°時(shí)，當(dāng)tanα=13，則tanβ根據(jù)上述材料，完成下列問題：如圖2，直線y＝3x﹣9與反比例函數(shù)y=mx（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B．將直線AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的直線與y軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN⊥y軸于點(diǎn)N，已知（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）直接寫出tan∠BAM、tan∠NAE的值；（3）求直線AE的解析式．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．【分析】（1）設(shè)A（t，3t﹣9），由OA＝5，得t2+（3t﹣9）2＝52，可解得A（4，3），再用待定系數(shù)法得反比例函數(shù)的解析式為y=12x（（2）求出B（3，0），由A（4，3），得AM＝3，BM＝OM﹣OB＝1，即知tan∠BAM=BMAM=13，而∠BAE＝45°，故∠BAM+∠（3）由tan∠NAE=12，A（4，3），得NE＝2，從而E（0，1），再用待定系數(shù)法得直線AE解析式為y=【解答】解：（1）設(shè)A（t，3t﹣9），∴OM＝t，AM＝3t﹣9，∵OA＝5，∴t2+（3t﹣9）2＝52，解得t＝4或t＝1.4，∴A（4，3）或（1.4，﹣4.8）（此時(shí)A在第四象限，不符合題意，舍去），把A（4，3）代入y=mx（3=m解得m＝12，∴反比例函數(shù)的解析式為y=12x（（2）在y＝3x﹣9中，令y＝0得0＝3x﹣9，解得x＝3，∴B（3，0），∴OB＝3，由（1）知A（4，3），∴OM＝4，AM＝3，∴BM＝OM﹣OB＝4﹣3＝1，∴tan∠BAM=BM∵∠ANO＝∠NOM＝∠OMA＝90°，∴∠MAN＝90°，∵∠BAE＝45°，∴∠BAM+∠NAE＝45°，由若α+β＝45°時(shí)，當(dāng)tanα=13，則tanβtan∠NAE=1（3）由（2）知tan∠NAE=1∴NEAN∵A（4，3），∴AN＝4，ON＝3，∴NE4∴NE＝2，∴OE＝ON﹣NE＝3﹣2＝1，∴E（0，1），設(shè)直線AE解析式為y＝kx+b，把A（4，3），E（0，1）代入得：4k+b=3b=1解得k=1∴直線AE解析式為y=12【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂閱讀材料，掌握待定系數(shù)法．反比例函數(shù)綜合題33．（2023?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+5與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=k象的一個(gè)交點(diǎn)為B（a，4），過點(diǎn)B作AB的垂線l．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)C在直線l上，且△ABC的面積為5，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）P是直線l上一點(diǎn)，連接PA，以P為位似中心畫△PDE，使它與△PAB位似，相似比為m．若點(diǎn)D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及m的值．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．【分析】（1）解方程得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，5），將B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，求得B（1，4），將B（1，4）代入y=kx得，求得反比例函數(shù)的表達(dá)式為y（2）設(shè)直線l與y軸交于M，直線y＝﹣x+5與x軸交于N，解方程得到N（S，0），求得OA＝ON＝5，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離的結(jié)論公式得到AB=(1?0)2+(4?5)2=2，求得M（0，3），待定系數(shù)法求得直線l的解析式為y＝4x+3，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，（3）解方程組求得E（﹣4，﹣1），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠PAB＝∠PDE，根據(jù)平行線的判定定理得到AB∥DE，求得直線DE的解析式為y＝﹣x﹣5，解方程組得到D（﹣1，﹣4），則直線AD的解析式為y＝9x+5，于是得到P（?14，【解答】解：（1）令x＝0，則y＝﹣x+5＝5，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，5），將B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，∴a＝1，∴B（1，4），將B（1，4）代入y=kx得，4解得k＝4，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=4（2）設(shè)直線l與y軸交于M，直線y＝﹣x+5與x軸交于N，令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，∴N（5，0），∴OA＝ON＝5，∵∠AON＝90°，∴∠OAN＝45°，∵A（0，5），B（1，4），∴AB=(1?0∵直線l是AB的垂線，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，∴AB=BM=2∴M（0，3），設(shè)直線l的解析式為y＝k1x+b1，將M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，k1解得k1∴直線l的解析式為y＝x+3，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，t+3），∵S△ABC=12AM?|xB﹣解得t＝﹣4或t＝6，當(dāng)t＝﹣4時(shí)，t+3＝﹣1，當(dāng)t＝6時(shí)，t+3＝9，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，9）或（﹣4，﹣1）；（3）∵位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在直線l上，不妨設(shè)為E點(diǎn)，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，將直線l與雙曲線的解析式聯(lián)立方程組y=4解得，x=1y=4或x=?4∴E（﹣4，﹣1），畫出圖形如圖所示，∵△PAB∽△PDE，∴∠PAB＝∠PDE，∴AB∥DE，∴直線AB與直線DE的一次項(xiàng)系數(shù)相等，設(shè)直線DE的解析式為y＝﹣x+b2，∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，∴b2＝﹣5，∴直線DE的解析式為y＝﹣x﹣5，∵點(diǎn)D在直線DE與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)，∴解方程組y=4xy=?x?5得，x=?1∴D（﹣1，﹣4），則直線AD的解析式為y＝9x+5，解方程組y=9x+5y=x+3得，x=?∴P（?14，∴BP=(?EP=[?∴m=EP【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．34．（2023?廣安）如圖，一次函數(shù)y＝kx+94（k為常數(shù)，k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=mx（m為常數(shù)，m≠0）的圖象在第一象限交于點(diǎn)A（1，n），與（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．（2）點(diǎn)P在x軸上，△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式，列出關(guān)于k、n的方程組，通過解方程組求得它們的值；然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求得m的值即可；（2）設(shè)P（a，0），利用兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理以及AP＝AB列出方程，借助于方程求解即可．【解答】解：（1）將A（1，n）、B（﹣3，0）分別代入一次函數(shù)y＝kx+9k+9解得k=