新教材北師大版高中數(shù)學選擇性必修第一冊全冊各章節(jié)知識點考點重點難點解題規(guī)律歸納總結(jié)

北師大版高中數(shù)學選擇性必修第一冊知識點第一章直線與圓 -2-1直線與直線的方程 -2-2圓與圓的方程 -29-第二章圓錐曲線 -46-1橢圓 -46-2雙曲線 -55-3拋物線 -63-4直線與圓錐曲線的位置關系 -72-第三章空間向量與立體幾何 -77-1空間直角坐標系 -77-2空間向量與向量運算 -85-3空間向量基本定理及向量的直角坐標運算 -98-4向量在立體幾何中的應用 -107-5數(shù)學探究活動(一)：正方體截面探究 -127-第四章數(shù)學建模活動（三） -130-第五章計數(shù)原理 -134-1計數(shù)原理 -134-2排列 -139-3組合 -144-4二項式定理 -148-第六章概率 -157-1隨機事件的條件概率 -157-2離散型隨機變量及其分布列 -165-3離散型隨機變量的均值與方差 -172-4二項分布與超幾何分布 -180-5正態(tài)分布 -186-第七章統(tǒng)計案例 -190-1一元線性回歸 -190-2成對數(shù)據(jù)的線性相關性 -194-3獨立性檢驗 -199-第一章直線與圓1直線與直線的方程1.1一次函數(shù)的圖象與直線的方程1.2直線的傾斜角、斜率及其關系1．直線的傾斜角定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線l首次重合時所成的角，稱為直線l的傾斜角．規(guī)定：當直線l和x軸平行或重合時，它的傾斜角為0．范圍：傾斜角α的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))．2．直線的斜率(1)直線過不同兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．(2)直線的斜率表示直線的傾斜程度．3．直線的斜率與傾斜角、方向向量的關系(1)從函數(shù)角度看，k是α的函數(shù)，其中k＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中α≠\f(π,2)))，圖象如圖所示．當α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，斜率k≥0，且k隨傾斜角α的增大而增大；當α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，斜率k＜0，且k隨傾斜角α的增大而增大；當α＝eq\f(π,2)時，直線l與x軸垂直，此時直線l的斜率不存在．(2)如圖，在直線l上任取兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由平面向量的知識可知，向量eq\o(P1P2,\s\up8(→))是直線l的方向向量，它的坐標是(x2－x1，y2－y1)，直線的傾斜角α、斜率k、方向向量eq\o(P1P2,\s\up8(→))分別從不同角度刻畫一條直線相對于平面直角坐標系中x軸的傾斜程度．它們之間的關系是k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝tanα(其中x1≠x2)．若k是直線l的斜率，則v＝(1，k)是它的一個方向向量；若直線l的一個方向向量的坐標為(x，y)，其中x≠0，則它的斜率k＝eq\f(y,x)．任意一條直線都有傾斜角和斜率嗎？若存在，唯一嗎？[提示]直線都有傾斜角且唯一，但并不是所有的直線都有斜率．當傾斜角是eq\f(π,2)時，直線的斜率不存在，此時，直線垂直于x軸；當傾斜角不是eq\f(π,2)時，直線的斜率存在且唯一．疑難問題類型1直線的傾斜角【例1】求圖中各直線的傾斜角．(1)(2)(3)[解](1)如圖(1)，可知∠OAB為直線l1的傾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直線l1的傾斜角為60°．(1)(2)(3)(2)如圖(2)，可知∠xAB為直線l2的傾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直線l2的傾斜角為135°．(3)如圖(3)，可知∠OAC為直線l3的傾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直線l3的傾斜角為150°．求直線的傾斜角的兩點注意1直線傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π)).2當直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0；當直線與x軸垂直時，傾斜角為eq\f(π,2).類型2直線的斜率【例2】(1)已知兩條直線的傾斜角分別為60°，135°，求這兩條直線的斜率；(2)已知A(3，2)，B(－4，1)，求直線AB的斜率；(3)已知直線l的一個方向向量是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，1))，求該直線的斜率．(4)求經(jīng)過兩點A(2，3)，B(m，4)的直線的斜率．[解](1)直線的斜率分別為k1＝tan60°＝eq\r(3)，k2＝tan135°＝－1．(2)直線AB的斜率kAB＝eq\f(1－2,－4－3)＝eq\f(1,7)．(3)直線l的斜率k＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)．(4)當m＝2時，直線AB的斜率不存在；當m≠2時，直線AB的斜率為kAB＝eq\f(4－3,m－2)＝eq\f(1,m－2)．求直線斜率的三種方法1已知直線的傾斜角αα≠90°時，可利用斜率與傾斜角的關系，即k＝tanα求得；2已知直線上兩點的坐標時，可利用直線斜率的定義求.要注意，其前提條件是x1≠x2，若x1＝x2時，直線斜率不存在；3已知直線的方向向量v＝(m，n)時，可利用k＝eq\f(n,m)來求，但要注意，當m＝0時，直線的斜率不存在.類型3直線的傾斜角、斜率的應用三點共線問題【例3】如果三點A(2，1)，B(－2，m)，C(6，8)在同一條直線上，求m的值．[解]kAB＝eq\f(m－1,－2－2)＝eq\f(1－m,4)，kAC＝eq\f(8－1,6－2)＝eq\f(7,4)，∵A，B，C三點共線，∴kAB＝kAC，即eq\f(1－m,4)＝eq\f(7,4)，∴m＝－6．斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的.任意兩點所確定的直線的方向不變，即同一直線上任何不同的兩點所確定的斜率相等，這正是利用斜率相等可證點共線的原因.數(shù)形結(jié)合法求傾斜角或斜率范圍【例4】直線l過點P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，eq\r(3))為端點的線段有公共點，求直線l的斜率和傾斜角的范圍．[解]如圖所示．∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°．直線與線段有交點求斜率問題，常用數(shù)形結(jié)合思想求解，先確定臨界位置直線的斜率，再讓直線從一個臨界位置轉(zhuǎn)動到另一個臨界位置，并考察斜率的變化規(guī)律，最后確定是取“中間”，還是取“兩邊”.歸納總結(jié)1．直線的斜率與傾斜角是刻畫直線位置的兩個基本量，決定了這條直線相對于x軸的傾斜程度．2．傾斜角是90°的直線沒有斜率，傾斜角不是90°的直線都有斜率，即直線的傾斜角不為90°時，斜率公式才成立．3．斜率公式是以后研究直線方程的基礎，需熟記并會靈活運用．1.3直線的方程第1課時直線方程的點斜式1．直線l的方程如果一條直線l上的每一點的坐標都是一個方程的解，并且以這個方程的解為坐標的點都在直線l上，那么這個方程稱為直線l的方程．2．直線的點斜式方程和斜截式方程名稱點斜式斜截式已知條件點P(x0，y0)和斜率k斜率k和直線在y軸上的截距b圖示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b適用范圍斜率存在3．直線l在y軸上的截距定義：直線l與y軸交點(0，b)的縱坐標b叫作直線l在y軸上的截距．(1)斜截式方程應用的前提是什么？(2)縱截距一定是距離嗎？[提示](1)直線的斜率存在．(2)縱截距不一定是距離，它是直線與y軸交點的縱坐標，可取一切實數(shù)．疑難問題類型1直線方程的點斜式【例1】根據(jù)條件寫出下列直線的方程，并畫出圖形．(1)經(jīng)過點A(－1，4)，斜率k＝－3；(2)經(jīng)過坐標原點，傾斜角為45°；(3)經(jīng)過點B(3，－5)，傾斜角為90°；(4)經(jīng)過點C(2，8)，D(－3，－2)．[解](1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1．如圖(1)所示．(2)k＝tan45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x．如圖(2)所示．(1)(2)(3)斜率k不存在，∴直線方程為x＝3．如圖(3)所示．(4)k＝eq\f(8－－2,2－－3)＝2，∴y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4．如圖(4)所示．(3)(4)求直線方程的點斜式的步驟類型2直線方程的斜截式【例2】求滿足下列條件的直線l的方程：(1)過點P(0，1)，斜率為2；(2)與直線y＝－x＋1在y軸上的截距相等，且過點Q(2，2)；(3)傾斜角為60°，與y軸的交點到坐標原點的距離為3．[解](1)y＝2x＋1．(2)由題意知，該直線過點(0，1)和Q(2，2)，故k＝eq\f(2－1,2－0)＝eq\f(1,2)，∴直線l的方程為y＝eq\f(1,2)x＋1．(3)∵直線的傾斜角為60°，∴其斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，∵直線與y軸的交點到原點的距離為3，∴直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3；∴所求直線方程為y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3．直線方程的斜截式求解策略1直線的斜截式方程是點斜式方程的特殊形式，其適用前提是直線的斜率存在，只要點斜式中的點在y軸上，就可以直接用斜截式表示.2直線的斜截式方程y＝kx＋b中只有兩個參數(shù)，因此要確定某直線，只需兩個獨立的條件.3利用直線的斜截式求方程時，如果已知斜率k，只需引入?yún)?shù)b；同理如果已知截距b，只需引入?yún)?shù)k.類型3直線過定點問題【例3】求證：不論m為何值時，直線l：y＝(m－1)x＋2m＋1恒過定點．[證明]法一：直線l的方程可化為y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直線l過定點(－2，3)．法二：直線l的方程可化為m(x＋2)－(x＋y－1)＝0．令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3.))∴無論m取何值，直線l總經(jīng)過點(－2，3)．本例兩種證法是證明直線過定點的基本方法，法一體現(xiàn)了點斜式的應用，法二體現(xiàn)了代數(shù)方法處理等式恒成立問題的基本思想.歸納總結(jié)直線方程的點斜式和斜截式的關系與使用條件第2課時直線方程的兩點式直線方程的一般式1．直線方程的兩點式與截距式兩點式截距式條件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2在x軸上截距a，在y軸上截距b其中ab≠0圖形方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍不表示垂直于坐標軸的直線不表示垂直于坐標軸的直線及過原點的直線1．直線的方程一定能用兩點式表示嗎？[提示]當直線與坐標軸垂直時，直線的方程不能用兩點式表示．2．直線方程的一般式(1)直線與二元一次方程的關系①在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都可以用一個關于x，y的二元一次方程表示．②每個關于x，y的二元一次方程都表示一條直線．(2)直線方程的一般式的定義我們把關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全為0)叫作直線方程的一般式，簡稱一般式．2．在直線方程的一般式Ax＋By＋C＝0中，為什么規(guī)定A，B不同時為0?[提示]當A，B同時為0時，方程Ax＋By＋C＝0表示的不是直線．疑難問題類型1直線方程的兩點式和截距式直線方程的兩點式【例1】已知△ABC三個頂點坐標A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三條邊所在的直線方程．[解]A，B兩點橫坐標相同，直線AB與x軸垂直，故其方程為x＝2．由直線方程的兩點式可得，AC的方程為eq\f(y－1,－1－1)＝eq\f(x－4,2－4)，即x－y－3＝0．同理可由直線方程的兩點式得，直線BC的方程為eq\f(y－2,1－2)＝eq\f(x－2,4－2)，即x＋2y－6＝0．∴三邊AB，AC，BC所在的直線方程分別為x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0．1當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件：兩點的連線不垂直于坐標軸，若滿足，則考慮用兩點式求方程.2一般用兩點式求直線方程時，由于減法的順序性，必須注意坐標的對應關系，即x2與y2是同一點坐標，而x1與y1是另一點坐標.直線方程的截距式【例2】求過點A(5，2)，且在坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程．[解]法一：當直線l在坐標軸上的截距均為0時，方程為y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0；當直線l在坐標軸上的截距不為0時，可設方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，即x－y＝a，又∵l過點A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3，∴l(xiāng)的方程為x－y－3＝0，綜上所述，直線l的方程是2x－5y＝0，或x－y－3＝0．法二：由題意知直線的斜率一定存在．設直線方程的點斜式為y－2＝k(x－5)，x＝0時，y＝2－5k，y＝0時，x＝5－eq\f(2,k)．根據(jù)題意得2－5k＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(2,k)))，解方程得k＝eq\f(2,5)或1．當k＝eq\f(2,5)時，直線方程為y－2＝eq\f(2,5)(x－5)，即2x－5y＝0；當k＝1時，直線方程為y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0．求解此類問題常用待定系數(shù)法，其求解步驟有兩步：1根據(jù)題中條件設出直線方程，如在x軸、y軸上的截距分別為a，ba≠0，b≠0的直線方程常設為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.2根據(jù)已知條件，尋找關于參數(shù)的方程組，解方程組，得參數(shù)的值.類型2直線方程的一般式【例3】設直線l的方程為(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0．(1)若直線l在x軸上的截距為－3，則m＝________；(2)若直線l的斜率為1，則m＝________．(1)－eq\f(5,3)(2)－2[(1)令y＝0，則x＝eq\f(2m－6,m2－2m－3)，∴eq\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，得m＝－eq\f(5,3)或m＝3．當m＝3時，m2－2m－3＝0，不合題意，舍去．∴m＝－eq\f(5,3)．(2)由題意知，2m2＋m－1≠0，即m≠－1且m≠eq\f(1,2)，由直線l化為斜截式方程，得y＝eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)x＋eq\f(6－2m,2m2＋m－1)，則eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2．]直線方程的幾種形式的轉(zhuǎn)化類型3直線方程的綜合應用【例4】已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0．(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；(2)為使直線l不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．[解](1)證明：法一：將直線方程變形為y＝ax＋eq\f(3－a,5)，當a>0時，直線一定經(jīng)過第一象限；當a＝0時，y＝eq\f(3,5)，直線顯然經(jīng)過第一象限；當a<0時，eq\f(3－a,5)>0，因此直線經(jīng)過第一象限．綜上可知，不論a為何值時，直線5ax－5y－a＋3＝0一定經(jīng)過第一象限．法二：將直線方程變形為y－eq\f(3,5)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,5)))，它表示經(jīng)過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，斜率為a的直線．∵點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))在第一象限，∴直線l必經(jīng)過第一象限．(2)如圖，直線OA的斜率k＝eq\f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3．∵直線l不經(jīng)過第二象限，∴直線l的斜率k≥3，∴a≥3，即a的取值范圍為{a|a≥3}．含有一個參數(shù)的直線方程，一般表示無窮多條直線，稱為直線系.若這無窮多條直線過同一個點.則求該點時，將一般式方程變形為點斜式方程，便可求出該點的坐標.歸納總結(jié)1．截距式方程應用的注意事項(1)如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可．(2)選用截距式直線方程時，首先考慮直線是否過原點以及是否與兩坐標軸垂直．(3)要注意截距式直線方程的逆向應用．2．直線方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化為斜截式．一般式化斜截式的步驟：(1)移項，By＝－Ax－C；(2)當B≠0時，得y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)．3．在一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中，若A＝0，則y＝－eq\f(C,B)，它表示一條與y軸垂直的直線；若B＝0，則x＝－eq\f(C,A)，它表示一條與x軸垂直的直線．1.4兩條直線的平行與垂直1．兩條直線平行設兩條不重合的直線l1，l2，傾斜角分別為α1，α2，斜率存在時斜率分別為k1，k2．則對應關系如下：類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應關系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線斜率都不存在圖示1．(1)如圖，設直線l1與l2的傾斜角分別為α1與α2，斜率分別為k1與k2，若l1∥l2，則α1與α2之間有什么關系？k1與k2之間有什么關系？(2)對于兩條不重合的直線l1與l2，若k1＝k2，是否一定有l(wèi)1∥l2？為什么？[提示](1)若l1∥l2，α1與α2之間的關系為α1＝α2；對于k1與k2之間的關系，當α1＝α2≠90°時，k1＝k2，當α1＝α2＝90°時，k1與k2不存在．(2)一定有l(wèi)1∥l2．因為k1＝k2，所以tanα1＝tanα2，所以α1＝α2，所以l1∥l2．2．兩條直線垂直類型斜率存在其中一條斜率不存在前提條件|α2－α1|＝90°α1＝0°，α2＝90°對應關系l1⊥l2?k1·k2＝－1l1斜率為0，l2斜率不存在圖示2．(1)當兩條直線垂直時，它們的傾斜角有什么關系？(2)當兩條直線垂直時，它們的斜率之積一定是－1嗎？[提示](1)設兩直線的傾斜角分別為α1，α2，若兩直線垂直，則|α1－α2|＝90°．(2)不一定．若一條直線的斜率為0，則與其垂直的直線斜率不存在．疑難問題類型1兩直線平行、垂直的判定【例1】(1)已知兩條直線y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，則實數(shù)a＝________．(2)“ab＝4”是直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行的()A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件[思路點撥](1)利用k1·k2＝－1解題．(2)先求出兩直線平行的充要條件，再判斷．(1)－1(2)C[(1)由題意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，則a＝－1．(2)直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行的充要條件是－eq\f(2,a)＝－eq\f(b,2)且－eq\f(1,a)≠－1，即ab＝4且a≠1，則“ab＝4”是“直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分條件．]判斷兩條不重合直線是否平行的步驟類型2利用兩直線平行、垂直求直線方程【例2】已知點A(2，2)和直線l：3x＋4y－20＝0，求：(1)過點A和直線l平行的直線方程；(2)過點A和直線l垂直的直線方程．[思路點撥]利用兩條直線的位置關系，設出直線的方程，然后由另一條件確定直線方程．[解]法一：∵直線l的方程為3x＋4y－20＝0，∴kl＝－eq\f(3,4)．(1)設過點A與直線l平行的直線為l1，∵kl＝keq\s\do6(l1)，∴keq\s\do6(l1)＝－eq\f(3,4)．∴l(xiāng)1的方程為y－2＝－eq\f(3,4)(x－2)，即3x＋4y－14＝0．(2)設過點A與直線l垂直的直線為l2，∵kl·keq\s\do6(l2)＝－1，∴(－eq\f(3,4))·keq\s\do6(l2)＝－1，∴keq\s\do6(l2)＝eq\f(4,3)．∴l(xiāng)2的方程為y－2＝eq\f(4,3)(x－2)，即4x－3y－2＝0．法二：(1)設所求直線方程為3x＋4y＋C＝0，∵點(2，2)在直線上，∴3×2＋4×2＋C＝0，∴C＝－14．∴所求直線方程為3x＋4y－14＝0．(2)設所求直線方程為4x－3y＋λ＝0，∵點(2，2)在直線上，∴4×2－3×2＋λ＝0，∴λ＝－2，即所求直線方程為4x－3y－2＝0．1．根據(jù)兩直線的位置關系求出所求直線的斜率，點斜式求解，或利用待定系數(shù)法求解．2．直線方程的常用設法①過定點P(x0，y0)，可設點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)；②知斜率k，設斜截式y(tǒng)＝kx＋b；③與直線Ax＋By＋C＝0平行，設為Ax＋By＋m＝0；④與直線Ax＋By＋C＝0垂直，設為Bx－Ay＋n＝0．類型3兩條直線平行與垂直的綜合應用求直線方程中參數(shù)的值【例3】已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0．(1)若這兩條直線垂直，求k的值；(2)若這兩條直線平行，求k的值．[解](1)根據(jù)題意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝eq\f(5±\r(5),2)．∴若這兩條直線垂直，則k＝eq\f(5±\r(5),2)．(2)根據(jù)題意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5．經(jīng)檢驗，均符合題意．∴若這兩條直線平行，則k＝3或k＝5．1．利用斜率研究兩直線的平行和垂直關系時，要分斜率存在、不存在兩種情況進行討論．2．當直線是一般式方程時，也可利用以下結(jié)論研究兩直線的平行和垂直關系：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0．①l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．求點的坐標【例4】已知四邊形ABCD的頂點B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四邊形ABCD為直角梯形，求A點坐標．[解]①若∠A＝∠D＝90°，如圖(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．(1)②若∠A＝∠B＝90°，如圖(2)．(2)設A(a，b)，則kBC＝－3，kAD＝eq\f(b－2,a－1)，kAB＝eq\f(b＋1,a－6)．由AD∥BC?kAD＝kBC，即eq\f(b－2,a－1)＝－3；①由AB⊥BC?kAB·kBC＝－1，即eq\f(b＋1,a－6)·(－3)＝－1．②解①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝－\f(11,5)，))故Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，－\f(11,5)))．綜上所述，A點坐標為(1，－1)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，－\f(11,5)))．此類題目應用數(shù)形結(jié)合法求解較為方便、簡單.歸納總結(jié)1．兩直線平行或垂直的判定方法斜率直線斜率均不存在平行或重合一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行或重合積為－1垂直2．與直線y＝kx＋b平行的直線可設為y＝kx＋c(c≠b)；與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線可設為Ax＋By＋D＝0(D≠C)．3．設直線l1：y＝k1x＋b1，直線l2：y＝k2x＋b2．若l1⊥l2，則k1·k2＝－1；反之，若k1·k2＝－1，則l1⊥l2；已知兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．1.5兩條直線的交點坐標1．兩條直線的交點坐標幾何元素及關系代數(shù)表示點AA(a，b)直線ll：Ax＋By＋C＝0點A在直線l上Aa＋Bb＋C＝0直線l1與l2的交點是A方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a,y＝b))2．方程組的解的組數(shù)與兩直線的位置關系方程組的解交點個數(shù)直線的位置關系無解0個平行有唯一解1個相交有無數(shù)組解無數(shù)個重合方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一一組解的充要條件是什么？[提示]A1B2－A2B1≠0．疑難問題類型1兩直線的交點問題【例1】判斷下列各對直線的位置關系．如果相交，求出交點坐標．(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0．[解](1)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,3x＋3y－10＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝\f(5,3).))所以l1與l2相交，交點坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(5,3)))．(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y＋4＝0，①,6x－2y－1＝0，②))①×2－②得9＝0，矛盾，方程組無解，所以兩直線無公共點，又9≠0，所以l1∥l2．(3)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0，①,6x＋8y－10＝0，②))①×2得6x＋8y－10＝0，因此，①和②可以化成同一個方程，有無數(shù)組解，故①和②表示同一條直線，所以l1與l2重合．方程組解的個數(shù)與兩直線的位置關系.一般地，若方程組有一解，則兩直線相交；若方程組無解，則兩直線平行；若方程組有無數(shù)多組解，則兩直線重合.這體現(xiàn)了“以形助數(shù)，以數(shù)釋形”的數(shù)形結(jié)合思想.類型2由交點求直線方程【例2】求經(jīng)過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x－y－1＝0平行的直線l的方程．[思路點撥]思路一求出兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點坐標，由平行關系得到l的斜率，利用點斜式方程求解；思路二利用過兩直線的交點的直線系方程求解．[解]法一：由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0,x＋y＋2＝0))，得兩直線交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(7,5)))，∵直線l和直線3x－y－1＝0平行，∴直線l的斜率k＝3，∴根據(jù)點斜式有y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)))＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))))．即所求直線方程為15x－5y＋2＝0．法二：∵直線l過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點，∴可設直線l的方程為：2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0．∵直線l與直線3x－y－1＝0平行，∴eq\f(λ＋2,3)＝eq\f(λ－3,－1)≠eq\f(2λ－3,－1)，解得λ＝eq\f(7,4)．從而所求直線方程為15x－5y＋2＝0．1．本題法一是基本方法，求解交點坐標和斜率是解題關鍵．2．經(jīng)過兩直線交點的直線系方程①與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程為Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；②與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程為Bx－Ay＋C′＝0；③過兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2為參數(shù))．當λ1＝1，λ2＝0時，方程即為直線l1；當λ1＝0，λ2＝1時，方程即為直線l2．類型3直線過定點問題[探究問題]1．不論k取什么值，直線y＝kx＋2恒過定點，試求出此定點．[提示]由直線的方程可知當x＝0時，y＝2，此時與k的取值無關．故直線恒過點(0，2)．2．不論m取什么值，直線y－2＝m(x＋3)恒過定點．求出此定點．[提示]由直線方程可知當x＝－3時，y＝2，與m的取值無關，故直線恒過定點(－3，2)．【例3】求證：無論k取何值時，直線l：(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必過定點，并求出該定點坐標．[思路點撥]法一：eq\x(令k＝0，k＝1)→eq\x(解方程組求交點)→eq\x(驗證交點總在直線上)法二：eq\x(化直線方程為點斜式)→eq\x(令k＝1或k≠1)→eq\x(得定點)法三：eq\x(變形方程，提取參數(shù))→eq\x(列方程組)→eq\x(解方程組求出定點)[證明]法一：令k＝1，得到直線l1：x＝1，令k＝0，得到直線l2：x＋y＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,x＋y＝0))，得l1與l2交點M(1，－1)，把M(1，－1)的坐標代入方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立，∴無論k取何值時，直線(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必過定點，且定點為M(1，－1)．法二：由已知直線l的方程得(k＋1)x＝(k－1)y＋2k，整理可得y＋1＝eq\f(k＋1,k－1)(x－1)(k≠1)，因此當k≠1時，直線l必過定點M(1，－1)；當k＝1時，原直線l的方程為x＝1，也過點M(1，－1)．綜上所述，不論k取任何實數(shù)值時，直線l必過定點M(1，－1)．法三：方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0可化為k(x－y－2)＋(x＋y)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0,x＋y＝0))，可得點eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－1))．顯然eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－1))，使方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立，∴無論k取任何實數(shù)值時，直線l必過定點M(1，－1)．1．法一是特殊到一般的轉(zhuǎn)化，法二是利用點斜式方程的特點，法三是利用直線系．2．處理動直線過定點問題的常用的方法：(1)將直線方程化為點斜式；(2)從特殊入手，先求其中兩條直線的交點，再驗證動直線恒過交點；(3)從“恒成立”入手，將動直線方程看作對參數(shù)恒成立，即將原方程化為f(x，y)＋mg(x，y)＝0的形式，欲使此式成立與m的取值無關，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，y＝0，,gx，y＝0.))由此方程組求得定點坐標．類型4對稱問題【例4】△ABC的一個內(nèi)角的平分線所在的直線方程是y＝2x，若A，B兩點的坐標分別為A(－4，2)，B(3，1)，則點C的坐標為________．(2，4)[把A，B兩點的坐標分別代入y＝2x知，點A，B都不在直線y＝2x上，∴直線y＝2x是∠C的平分線所在的直線．設點A(－4，2)關于直線y＝2x的對稱點為A′(a，b)，則kAA′＝eq\f(b－2,a＋4)，線段AA′的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－4,2)，\f(b＋2,2)))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－2,a＋4)×2＝－1，,\f(b＋2,2)＝2×\f(a－4,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－2，))即A′(4，－2)．∵直線y＝2x是∠C的平分線所在的直線，∴A′在直線BC上，∴直線BC的方程為eq\f(y＋2,1＋2)＝eq\f(x－4,3－4)，即3x＋y－10＝0．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,3x＋y－10＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))∴點C的坐標為(2，4)．]有關對稱問題的兩種主要類型1中心對稱：①點Px，y關于Oa，b的對稱點P′x′，y′滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x,y′＝2b－y.))②直線關于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關于點的對稱問題來解決.2軸對稱：①點Aa，b關于直線Ax＋By＋C＝0B≠0的對稱點A′m，n，,則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))②直線關于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關于直線的對稱問題來解決.歸納總結(jié)1．解含有參數(shù)的直線過定點問題，將含有一個參數(shù)的二元一次方程常整理為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ為常數(shù))形式，可通過eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))求解定點．2．方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等價條件是A1B2－A2B1≠0，亦即兩條直線相交的等價條件是A1B2－A2B1≠0，直線A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線(不含l2)．1.6平面直角坐標系中的距離公式1．兩點間的距離公式(1)平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)．(2)兩點間距離的特殊情況①原點O(0，0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2)．②當P1P2∥x軸時，|P1P2|＝|x2－x1|．③當P1P2∥y軸時，|P1P2|＝|y2－y1|．1．如何推導平面上的兩點間的距離公式？[提示]因為兩點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所以eq\o(P1P2,\s\up8(→))＝eq(x2－x1，y2－y1)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(P1P2,\s\up8(→))))＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)，即|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)．2．點到直線的距離公式(1)概念：過一點向直線作垂線，則該點與垂足之間的距離，就是該點到直線的距離．(2)公式：點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．2．在使用點到直線距離公式時，對直線方程有什么要求？[提示]要求直線的方程應化為一般式．3．兩條平行直線間的距離公式(1)概念：夾在兩條平行直線間的公垂線段的長度就是兩條平行直線間的距離．(2)公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))(其中A、B不全為0，且C1≠C2)．3．在應用兩條平行線間的距離公式時，對直線方程有什么要求？[提示]兩條平行直線的方程都是一般式，且x，y對應的系數(shù)應分別相等．疑難問題類型1兩點間的距離公式【例1】已知△ABC三頂點坐標分別為A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，試判斷△ABC的形狀．[解]法一：∵|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝2eq\r(13)，|BC|＝eq\r(1－32＋7＋32)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－－3)＝－eq\f(2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB．又|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|．∴△ABC是等腰直角三角形．1．判斷三角形的形狀，要采用數(shù)形結(jié)合的方法，大致明確三角形的形狀，以確定證明的方向．2．在分析三角形的形狀時，要從兩方面考慮：一是要考慮角的特征，主要考察是否為直角或等角；二是要考慮三角形的長度特征，主要考察邊是否相等或是否滿足勾股定理的逆定理．類型2點到直線(或平行直線間)的距離公式【例2】若O(0，0)，A(4，－1)兩點到直線ax＋a2y＋6＝0的距離相等，則實數(shù)a＝________．[思路點撥]由點到直線的距離公式列出等式求a．－2或4或6[由題意，得eq\f(6,\r(a2＋a4))＝eq\f(|4a－a2＋6|,\r(a2＋a4))，即4a－a2＋6＝±6，解之得a＝0或－2或4或6．檢驗得a＝0不合題意，所以a＝－2或4或6．]1．用點到直線的距離公式時，直線方程要化為一般式．2．求解兩平行直線的距離問題也可以在其中一條直線上任取一點，再求這一點到另一直線的距離．類型3解析法證明幾何問題【例3】已知四邊形ABCD為矩形，M是任一點．求證：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．[思路點撥]建立坐標系，設出點的坐標，代入已知化簡即可．[證明]分別以AB、AD所在直線為x軸，y軸建立直角坐標系(如圖)，設M(x，y)，B(a，0)，C(a，b)，則D(0，b)，又A(0，0)．則|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2．∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．1．解析法證明幾何問題的步驟：(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，用坐標表示幾何條件；(2)進行有關的代數(shù)運算；(3)把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何關系．2．坐標法證明幾何問題，如果題目中沒有坐標系，則需要先建立坐標系．建立坐標系的原則是：盡量利用圖形中的對稱關系．歸納總結(jié)1．兩點間距離公式與兩點的先后順序無關，即公式可以寫成|P1P2|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)．2．應用點到直線的距離公式時，若給出的方程不是一般式，則應先把方程化為一般式，再利用公式求距離．3．利用解析(坐標)法來解決幾何問題，其解題思路幾何問題eq\o(→,\s\up17(坐標系))代數(shù)問題↑↓幾何結(jié)論→代數(shù)結(jié)論2圓與圓的方程2.1圓的標準方程1．圓的標準方程圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，b))，半徑是r的圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2．特別地，當圓心在坐標原點時，圓的方程為x2＋y2＝r2．確定圓的幾何要素是什么？[提示]確定圓的幾何要素有兩個，即圓心的位置與半徑的大小．2．圓x2＋y2＝r2eq(r>0)的簡單幾何性質(zhì)(1)范圍eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))≤r，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))≤r．(2)對稱性圓x2＋y2＝r2既是軸對稱圖形，過原點的任意一條直線都是它的對稱軸，又是中心對稱圖形，其對稱中心是坐標原點．3．點與圓的位置關系圓的標準方程為C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2eq(r>0)，設所給點為點Peq(x0，y0)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PC))＝d，則判斷方法幾何法代數(shù)法d<r?點P在圓C內(nèi)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?點P在圓C內(nèi)d＝r?點P在圓C上(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點P在圓C上d>r?點P在圓C外(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?點P在圓C外疑難問題類型1求圓的標準方程【例1】求過點A(1，－1)，B(－1，1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程．[解]法一：設所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，,a＋b－2＝0，))解此方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r2＝4.))故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4．法二：由已知可得線段AB的中點坐標為(0，0)，kAB＝eq\f(1－－1,－1－1)＝－1，所以弦AB的垂直平分線的斜率為k＝1，所以AB的垂直平分線的方程為y－0＝1·(x－0)，即y＝x．則圓心是直線y＝x與x＋y－2＝0的交點，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即圓心為(1，1)，圓的半徑為eq\r(1－12＋[1－－1]2)＝2，故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4．確定圓的標準方程的方法：一是待定系數(shù)法，如法一，建立關于a，b，r的方程組，進而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標和半徑，如法二.一般地，在解決有關圓的問題時，有時利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡捷.類型2點與圓的位置關系【例2】判斷點P(2，0)與圓(x－2)2＋(y＋1)2＝3的位置關系．[思路點撥]解答本題可以利用點P(2，0)到圓心的距離與半徑比較大小，也可直接代入(x－2)2＋(y＋1)2與3比較大?。甗解]法一：∵P(2，0)與圓心(2，－1)的距離d＝eq\r(2－22＋[0－－1]2)＝1，圓的半徑r＝eq\r(3)，∴d＜r，∴點P在圓的內(nèi)部．法二：∵點P(2，0)滿足(2－2)2＋(0＋1)2＝1＜3，∴點P在圓的內(nèi)部．判斷點Px0，y0與圓x－a2＋y－b2＝r2的位置關系有幾何法與代數(shù)法兩種.對于幾何法，主要是利用點與圓心的距離與半徑比較大??；對于代數(shù)法，主要是把點的坐標直接代入圓的標準方程，具體判斷方法如下：①當x0－a2＋y0－b2＜r2時，點在圓內(nèi)；②當x0－a2＋y0－b2＝r2時，點在圓上；③當x0－a2＋y0－b2＞r2時，點在圓外.類型3與圓有關的最值問題[探究問題]1．怎樣求圓外一點到圓的最大距離和最小距離？[提示]先求出該點到圓心的距離，再加上或減去圓的半徑，即可得距離的最大值和最小值．2．若點P(x，y)是圓C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上的任一點，如何求點P到直線x－y＝0的距離的最大值和最小值？[提示]可先求出圓心(2，－2)到直線x－y＝0的距離，再將該距離加上或減去圓的半徑1，即可得距離的最大值和最小值．【例3】已知x和y滿足(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)，試求x2＋y2的最值．[思路點撥]首先觀察x、y滿足的條件，其次觀察所求式子的幾何意義，求出其最值．[解]由題意知x2＋y2表示圓上的點到坐標原點距離的平方，顯然當圓上的點與坐標原點的距離取最大值和最小值時，其平方也相應取得最大值和最小值．因為原點O(0，0)到圓心C(－1，0)的距離d＝1，所以圓上的點到坐標原點的最大距離為1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，最小距離為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)．因此x2＋y2的最大值和最小值分別為eq\f(9,4)和eq\f(1,4)．1．本例條件不變，試求eq\f(y,x)的取值范圍．[解]設k＝eq\f(y,x)，變形為k＝eq\f(y－0,x－0)，此式表示圓上一點(x，y)與點(0，0)連線的斜率，由k＝eq\f(y,x)，可得y＝kx，此直線與圓有公共點，圓心到直線的距離d≤r，即eq\f(|－k|,\r(k2＋1))≤eq\f(1,2)，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)．即eq\f(y,x)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))．2．本例條件不變，試求x＋y的最值．[解]令y＋x＝b并將其變形為y＝－x＋b，問題轉(zhuǎn)化為斜率為－1的直線在經(jīng)過圓上的點時在y軸上的截距的最值．當直線和圓相切時，在y軸上的截距取得最大值和最小值，此時有eq\f(|－1－b|,\r(2))＝eq\f(1,2)，解得b＝±eq\f(\r(2),2)－1，即最大值為eq\f(\r(2),2)－1，最小值為－eq\f(\r(2),2)－1．3．本例條件不變，試求eq\f(\o(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2y－6))),\r(5))的最值．[解]eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2y－6)),\r(5))表示圓(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)上的點到直線x＋2y－6＝0的距離，又圓心C(－1，0)到直線x＋2y－6＝0的距離d＝eq\f(\o(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1＋2×0－6))),\r(5))＝eq\f(7\r(5),5)，所以，其最大值為eq\f(7\r(5),5)＋eq\f(1,2)，最小值為eq\f(7\r(5),5)－eq\f(1,2)．處理與圓有關的最值問題，應充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解.與圓有關的最值問題，常見的有以下幾種類型：1形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；2形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；3形如x－a2＋y－b2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.4形如eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C)),\r(A2＋B2))形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定直線的距離的最值問題.歸納總結(jié)1．確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，即列出關于a，b，r的方程組求a，b，r．另外依據(jù)題意運用圓的幾何性質(zhì)解題可以化繁為簡，提高解題效率．2．討論點與圓的位置關系可以從代數(shù)特征(點的坐標是否滿足圓的方程)或幾何特征(點到圓心的距離與半徑的關系)去考慮，其中利用幾何特征較為直觀、快捷．3．與圓有關的最值問題，常借助于所求式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．2.2圓的一般方程圓的一般方程(1)圓的一般方程的概念當D2＋E2－4F＞0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程．(2)圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圓心和半徑圓C的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑長為eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)．(3)圓的方程在代數(shù)結(jié)構(gòu)上的特征對于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時，①x2，y2的系數(shù)相同，且不等于0，即A＝B≠0；②不含xy這樣的項，即C＝0．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0，則點M(x0，y0)與圓C的位置關系如何？為什么？[提示]點M在圓C內(nèi)，理由如下：由xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0得，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(D,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(E,2)))eq\s\up12(2)<eq\f(D2＋E2－4F,4)，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(D,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(E,2)))\s\up12(2))<eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)，即點M(x0，y0)到圓心C的距離小于圓的半徑，所以，點M在圓C內(nèi)．疑難問題類型1圓的一般方程的概念【例1】(1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圓，則實數(shù)k的取值范圍是()A．R B．(－∞，1)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是________，半徑是________．(1)B(2)(－2，－4)5[(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得，(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圓，則5－5k>0，解得k<1．故實數(shù)k的取值范圍是(－∞，1)．故選B．(2)由題可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2．當a＝－1時，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0表示圓，故圓心為(－2，－4)，半徑為5．當a＝2時，方程不表示圓．]當且僅當D2＋E2－4F＞0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，其圓心為點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).類型2求圓的一般方程【例2】已知△ABC的三個頂點為A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、外心坐標和外接圓半徑．[解]法一：設△ABC的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋16＋D＋4E＋F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－23，))∴△ABC的外接圓方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25．∴外心坐標為(1，－1)，外接圓半徑為5．法二：∵kAB＝eq\f(4－3,1＋2)＝eq\f(1,3)，kAC＝eq\f(4＋5,1－4)＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC．∴△ABC是以角A為直角的直角三角形，∴外心是線段BC的中點，坐標為(1，－1)，r＝eq\f(1,2)|BC|＝5．∴外接圓方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25．∴外心坐標為(1，－1)，外接圓半徑為5．待定系數(shù)法求圓的方程的解題策1如果已知條件與圓心坐標、半徑有關，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.2如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).類型3與圓有關的軌跡方程問題[探究問題]已知動點M到點A(4，0)的距離等于點M到點B(1，0)的距離的2倍．1．求點M的軌跡方程？[提示]設M(x，y)，由題意有eq\r((x－4)2＋y2)＝2eq\r((x－1)2＋y2)，整理得點M的軌跡方程為x2＋y2＝14．2．點M的軌跡是什么？[提示]點M的軌跡是以坐標原點為圓心，2為半徑的圓．3．求△MAB的面積的最大值．[提示]因為△MAB的面積為eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(yM))＝eq\f(1,2)×3eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(yM))≤eq\f(3,2)×2＝3，所以△MAB的面積的最大值為3．【例3】點A(2，0)是圓x2＋y2＝4上的定點，點B(1，1)是圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點．(1)求線段AP的中點M的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ的中點N的軌跡方程．[解](1)設線段AP的中點為M(x，y)，由中點公式得點P坐標為P(2x－2，2y)．∵點P在圓x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故線段AP的中點M的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1．(2)設線段PQ的中點為N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|．設O為坐標原點，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故線段PQ的中點N的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0．求軌跡方程的一般步驟：1建立適當坐標系，設出動點M的坐標x，y；2列出點M滿足條件的集合；3用坐標表示上述條件，列出方程；4將上述方程化簡；5證明化簡后的以方程的解為坐標的點都是軌跡上的點.歸納總結(jié)1．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，來源于圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．在應用時，注意它們之間的相互轉(zhuǎn)化及表示圓的條件．2．圓的方程可用待定系數(shù)法來確定，在設方程時，要根據(jù)實際情況，設出方程，以便簡化解題過程．3．能夠求出簡單的曲線的軌跡方程，并掌握求軌跡方程的一般步驟．2.3直線與圓的位置關系直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系及判斷位置關系相交相切相離判斷方法幾何法：設圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0用“代數(shù)法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關系各有什么特點？[提示]用“代數(shù)法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關系，是從不同的方面、不同的思路來判斷的．“幾何法”側(cè)重于“形”，很好地結(jié)合了圖形的幾何性質(zhì)；“代數(shù)法”側(cè)重于“數(shù)”，它傾向于“坐標”與“方程”．疑難問題類型1直線與圓位置關系的判斷【例1】已知直線l的方程mx－y－m－1＝0，圓C的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．當m為何值時，直線l與圓C：有兩個公共點；只有一個公共點；沒有公共點．[解]法一：將直線代入圓的方程化簡整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0．∵Δ＝4m(3m＋4)，∴當Δ>0時，即m>0或m<－eq\f(4,3)時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；當Δ＝0時，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；當Δ<0時，即－eq\f(4,3)<m<0，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點．法二：圓C的方程可化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，則圓心為C(2，1)，半徑r＝2．圓心C(2，1)到直線mx－y－m－1＝0的距離d＝eq\f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq\f(|m－2|,\r(1＋m2))．當d<2時，即m>0或m<－eq\f(4,3)時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；當d＝2時，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；當d>2時，即－eq\f(4,3)<m<0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點．判斷直線與圓的位置關系常見的方法：1幾何法：利用圓心到直線的距離d與圓的半徑r的關系判斷.2代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判別式Δ與0的大小關系判斷.上述方法中，最常用的是幾何法.類型2直線與圓相切問題【例2】(1)過點P(2，3)且與圓(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直線的方程是________．(2)由直線y＝x＋1上任一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則該切線長的最小值為()A．1B．2eq\r(2)C．eq\r(7)D．3(1)x＝2或y＝3(2)C[(1)易知點P(2，3)在圓外，當直線的斜率不存在時，直線方程為x＝2，符合要求；當直線的斜率存在時，可設直線的方程為y－3＝k(x－2)，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，得d＝eq\f(|k－1|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝0，所以直線的方程為x＝2或y＝3．(2)由題意得，圓心(3，0)到直線y＝x＋1的距離d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(2))＝2eq\r(2)，圓的半徑為1，故切線長的最小值為eq\r(d2－r2)＝eq\r(8－1)＝eq\r(7)．]過圓外一點作圓的切線一定有兩條.其求法有兩種：1幾何法：設切線方程為y－y0＝kx－x0，由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，進而求出切線方程.2代數(shù)法：設切線方程為y－y0＝kx－x0，代入圓的方程，得一個關于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切線方程即可求出.提醒：設直線的方程時，要檢驗直線x＝x0是否是圓的切線.類型3弦長問題[探究問題]已知直線l：y＝kx＋b與圓O：x2＋y2＝r2相交于A，B兩點，思考下列問題：1．若弦AB的長記為l，弦心距為d，試寫出l，d，r之間的關系式．[提示]l＝2eq\r(r2－d2)．2．設A(x1，y1)，B(x2，y2)．試求x1＋x2與x1x2并求弦AB的長．[提示]由y＝kx＋b與x2＋y2＝r2消去y得，eq(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－r2＝0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得，x1＋x2＝－eq\f(2kb,1＋k2)，x1x2＝eq\f(b2－r2,1＋k2)，又|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(x1－x22＋kx1－kx22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)．所以，|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2kb,1＋k2)))\s\up12(2)－\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2－r2)),1＋k2))．【例3】求直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長．[思路點撥]本題可以利用弦心距，半弦長和半徑構(gòu)成的直角三角形求解；也可以聯(lián)立解方程組，求出交點坐標，利用兩點間的距離公式求解．[解]法一：圓C：x2＋y2－2y－4＝0可化為x2＋(y－1)2＝5，其圓心坐標為(0，1)，半徑r＝eq\r(5)．點(0，1)到直線l的距離為d＝eq\f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12))＝eq\f(\r(10),2)，弦長l＝2eq\r(r2－d2)＝eq\r(10)，所以截得的弦長為eq\r(10)．法二：設直線l與圓C交于A、B兩點．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))得交點A(1，3)，B(2，0)，所以弦AB的長為|AB|＝eq\r(2－12＋0－32)＝eq\r(10)．1．若本例改為“過點(2，0)的直線被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長為eq\r(10)，求該直線方程”，又如何求解．[解]由例題知，圓心C(0，1)，半徑r＝eq\r(5)，又弦長為eq\r(10)．所以圓心到直線的距離d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))\s\up12(2))＝eq\r(5－\f(5,2))＝eq\f(\r(10),2)．又直線過點(2，0)，知直線斜率一定存在．可設直線斜率為k，則直線方程為y＝k(x－2)，所以d＝eq\f(|－1－2k|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(10),2)，解得k＝－3或k＝eq\f(1,3)，所以直線方程為y＝－3(x－2)或y＝eq\f(1,3)(x－2)，即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0．2．本例若改為“求過點M(1，2)且被圓C：x2＋y2－2y－4＝0所截弦長最短時，直線的方程”，又如何求解？[解]由例題知圓心C(0，1)，圓的標準方程為x2＋(y－1)2＝5．因為12＋(2－1)2<5，故點M(1，2)在圓內(nèi)．則當CM與直線垂直時弦長最短，又kCM＝1，所以所求直線的斜率為－1，又過點M(1，2)，所以直線方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．3．本例若改為“已知直線l：x－eq\r(3)y－a＝0與圓C：(x－3)2＋(y＋eq\r(3))2＝4交于點M，N，點P在圓C上，且∠MPN＝eq\f(π,3)，求a的值”，又如何求解？[解]因為圓的半徑是r＝2，圓心坐標是C(3，－eq\r(3))，∠MPN＝eq\f(π,3)，且P在圓C上，所以∠MCN＝eq\f(2π,3)，則|MN|＝2eq\r(3)．又點C到直線l的距離d＝eq\f(|3＋3－a|,\r(1＋3))＝eq\f(|a－6|,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MN)),2)))eq\s\up12(2)＋d2＝r2，所以(eq\r(3))2＋eq\f(a－62,4)＝4，解得a＝4或8．求弦長的兩種方法1由于半徑長r、弦心距d、弦長l的一半構(gòu)成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2)＝r2求解，這是常用解法.2聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關于x或y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系得到兩交點橫坐標或縱坐標之間的關系，代入兩點間距離公式求解.此解法很煩瑣，一般不用.歸納總結(jié)1．判斷直線與圓位置關系的途徑主要有兩個：一是圓心到直線的距離與圓的半徑進行大小比較；二是直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)．兩者相比較，前者較形象、直觀，便于運算．2．與圓有關的弦長、切線問題常利用幾何法求解，但注意驗證所求直線的斜率不存在的情形，避免漏解．2.4圓與圓的位置關系圓與圓位置關系的判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1、r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下：位置關系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1、r2的關系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝r1－r20＜d＜|r1－r2|(2)代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進行判斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))eq\o(→,\s\up17(消元))一元二次方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交，,Δ＝0?內(nèi)切或外切，,Δ＜0?外離或內(nèi)含.))將兩個相交圓的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相減，可得一直線方程，這條直線方程具有什么樣的特殊性？[提示]兩圓相減得一直線方程，它經(jīng)過兩圓的公共點．疑難問題類型1圓與圓的位置關系的判斷【例1】當實數(shù)k為何值時，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外離？[思路點撥]利用兩圓的半徑分別為r1、r2，與兩圓的圓心距為d之間的關系求解．[解]將兩圓的一般方程化為標準方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．圓C1的圓心為C1(－2，3)，半徑長r1＝1；圓C2的圓心為C2(1，7)，半徑長r2＝eq\r(50－k)(k＜50)，從而|C1C2|＝eq\r(－2－12＋3－72)＝5．當1＋eq\r(50－k)＝5，