2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識(shí)點(diǎn)分類）全等三角形的判定與性質(zhì)

全等三角形的判定與性質(zhì)33．（2023?通遼）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，交邊AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點(diǎn)A，D在PQ異側(cè)，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，點(diǎn)P需移動(dòng)1s．【答案】1．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到角與邊的等量關(guān)系，從而證明△BDP≌APQ，由此得到邊之間的關(guān)系，進(jìn)而求解．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P需移動(dòng)t秒，點(diǎn)D落在BC邊上，如圖所示．∵三角形PQD是等邊三角形，∴∠DPQ＝60°，∴∠BPD＝180°－∠APQ－∠DPQ＝180°－90°－60°＝30°，∴∠BDP＝180°－∠B－∠BPD＝180°－60°－30°＝90°．∠AQP＝180°－∠APQ－∠A＝180°－90°－60°＝30°．∵∠BDP＝∠APQ＝90°，DP＝PQ，∠BPD＝∠AQP＝30°，∴△BDP≌APQ（ASA）．∴BP＝AB－AP＝6－2t，BD＝AP＝2t，∵∠BPD＝30°，∴BD=12BP，即2t=1∴t＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的運(yùn)用．全等三角形的判定與性質(zhì)35．（2023?長(zhǎng)春）如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)，只要量出A'B'的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 D．兩點(diǎn)之間線段最短【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)得出OA＝OA'，OB＝OB'，根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，從而證得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，問(wèn)題得證．【解答】解：∵點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)，∴OA＝OA'，OB＝OB'，由對(duì)頂角相等得∠AOB＝∠A'OB'，在△AOB和△A'OB'中，OA=OA'∠AOB=∠A'OB'∴△AOB≌△A'OB'（SAS），∴AB＝A'B'，即只要量出A'B'的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，正確運(yùn)用三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．全等三角形的判定與性質(zhì)36．（2023?吉林）如圖，點(diǎn)C在線段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：AC＝DC．?【答案】證明過(guò)程見解析．【分析】由兩個(gè)三角形的全等判定ASA直接可判斷兩個(gè)三角形全等，得出結(jié)論．【解答】解：在△ABC和△DEC中，∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AC＝DC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定ASA，掌握ASA判定兩個(gè)三角形全等的方法是解題的關(guān)鍵．全等三角形的判定與性質(zhì)41．（2023?遂寧）如圖，以△ABC的邊AB、AC為腰分別向外作等腰直角△ABE、△ACD，連結(jié)ED、BD、EC，過(guò)點(diǎn)A的直線l分別交線段DE、BC于點(diǎn)M、N．以下說(shuō)法：①當(dāng)AB＝AC＝BC時(shí)，∠AED＝30°；②EC＝BD；③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，則DE＝23；④當(dāng)直線l⊥BC時(shí)，點(diǎn)M為線段DE的中點(diǎn)．正確的有①②④．（填序號(hào)）?【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形中位線定理．【分析】由AB＝AC＝BC，得∠BAC＝60°，因?yàn)锳E＝AB，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，所以AE＝AD，∠EAD＝120°，則∠AED＝∠ADE＝30°，可判斷①正確；由∠CAD＝∠BAE＝90°，推導(dǎo)出∠CAE＝∠DAB，可證明△CAE≌△DAB，得EC＝BD，可判斷②正確；設(shè)BD交AE于點(diǎn)G，交CE于點(diǎn)O，可證明∠EOB＝90°，則∠COD＝∠BOC＝∠DOE＝90°，可根據(jù)勾股定理推導(dǎo)出DE2+BC2＝BE2+CD2，可求得BE2＝AB2+AE2＝18，CD2＝AD2+AC2＝32，BC2＝36，則DE=14≠23，可判斷③錯(cuò)誤；當(dāng)直線l⊥BC時(shí)，作EF∥AD交直線l于點(diǎn)F，連接DF，可證明△EAF≌△ABC，則EF＝AC＝AD，所以四邊形ADFE是平行四邊形，則M為線段DE的中點(diǎn)，可判斷【解答】解：∵AB＝AC＝BC，∴∠BAC＝60°，∵AE＝AB，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴AE＝AD，∠EAD＝360﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，∴∠AED＝∠ADE=1故①正確；∵∠CAD＝∠BAE＝90°，∴∠CAE＝∠DAB＝90°+∠DAE，∴△CAE≌△DAB（SAS），∴EC＝BD，故②正確；如圖1，設(shè)BD交AE于點(diǎn)G，交CE于點(diǎn)O，∵∠AEC＝∠ABD，∠OGE＝∠AGB，∴∠AEC+∠OGE＝∠ABD+∠AGB＝90°，∴∠EOB＝90°，∴∠COD＝∠BOC＝∠DOE＝90°，∴DE2+BC2＝OD2+OE2+OB2+OC2＝BE2+CD2，∵AE＝AB＝3，AD＝AC＝4，BC＝6，∴BE2＝AB2+AE2＝32+32＝18，CD2＝AD2+AC2＝42+42＝32，BC2＝62＝36，∴DE=BE2故③錯(cuò)誤；當(dāng)直線l⊥BC時(shí)，如圖2，作EF∥AD交直線l于點(diǎn)F，連接DF，∵∠AEF+∠DAE＝180°，∠BAC+∠DAE＝180°，∴∠AEF＝∠BAC，∵∠ANB＝∠BAE＝90°，∴∠EAF＝∠ABC＝90°﹣∠BAN，∵EA＝AB，∴△EAF≌△ABC（ASA），∴EF＝AC＝AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴M為線段DE的中點(diǎn)，故④正確，故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等角的余角相等、等角的補(bǔ)角相等、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．42．（2023?宜賓）已知：如圖，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求證：∠B＝∠E．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由AF＝DC，得AC＝DF，由AB∥DE，得∠A＝∠D，即可證△ABC≌△DEF（SAS），故∠B＝∠E．【解答】證明：∵AF＝DC，∴AF+CF＝DC+CF，即AC＝DF，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠A=∠D∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形全等的判定定理．43．（2023?遂寧）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線l分別與AD、BC所在的直線相交于點(diǎn)E、F．（點(diǎn)E不與點(diǎn)D重合）（1）求證：△DOE≌△BOF；（2）當(dāng)直線l⊥BD時(shí)，連結(jié)BE、DF，試判斷四邊形EBFD的形狀，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．【分析】（1）由AD∥BC，得∠ODE＝∠OBF，而OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“ASA”證明△DOE≌△BOF；（2）由OD＝OB，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且l⊥BD，得DE＝BE，DF＝BF，由△DOE≌△BOF，得DE＝BF，則DE＝BE＝DF＝BF，所以四邊形EBFD是菱形．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，∵點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，∴OD＝OB，在△DOE和△BOF中，∠ODE=∠OBFOD=OB∴△DOE≌△BOF（ASA）．（2）解：四邊形EBFD是菱形，理由如下：∵OD＝OB，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且l⊥BD，∴直線l是線段BD的垂直平分線，∴DE＝BE，DF＝BF，∵△DOE≌△BOF，∴DE＝BF，∵DE＝BE＝DF＝BF，∴四邊形EBFD是菱形．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)，證明∠ODE＝∠OBF及直線l垂直平分線段BD是解題的關(guān)鍵．全等三角形的判定與性質(zhì)34．（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長(zhǎng)度為3．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【分析】先證明△ABE≌△CAF（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，進(jìn)一步可得EF的長(zhǎng)．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC∠ABE=∠FAC∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝CF，∵BE＝4，CF＝1，∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．全等三角形的判定與性質(zhì)38．（2023?蘇州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為△ABC的角平分線．以點(diǎn)A圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．（1）求證：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度數(shù)．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）由角平分線定義得出∠BAD＝∠CAD．由作圖知：AE＝AF．由SAS可證明△ADE≌△ADF；（2）由作圖知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADE＝70°，則可得出答案．【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD．由作圖知：AE＝AF．在△ADE和△ADF中，AE=AF∠BAD=∠CAD∴△ADE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝80°，AD為△ABC的角平分線，∴∠EAD=12∠由作圖知：AE＝AD．∴∠AED＝∠ADE，∴∠ADE=1∵AB＝AC，AD為△ABC的角平分線，∴AD⊥BC．∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．全等三角形的判定與性質(zhì)30．（2023?聊城）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．（1）求證：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4時(shí)，求△AED的面積．【答案】（1）證明過(guò)程見解答；（2）43【分析】（1）利用AAS證明∴△ABE≌△ECD，即可證明結(jié)論；（2）先證明△AED為等邊三角形，可得AE＝AD＝ED＝4，過(guò)A點(diǎn)作AF⊥ED于F，利用等邊三角形的性質(zhì)可得EF＝2，再根據(jù)勾股定理求得AF的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式可求解．【解答】（1）證明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AED+∠CED，∴∠BAE＝∠CED，在△ABE和△ECD中，∠BAE=∠CED∠B=∠C∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA；（2）解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，∴△AED為等邊三角形，∴AE＝AD＝ED＝4，過(guò)A點(diǎn)作AF⊥ED于F，∴EF=12∴AF=A∴S△AED=12ED?AF【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)的綜合運(yùn)用，證明△ABE≌△ECD是解題的關(guān)鍵．31．（2023?福建）如圖，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求證：AB＝CD．【答案】見解析．【分析】根據(jù)角的和差求得∠AOB＝∠COD，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵∠AOD＝∠COB，∴∠AOD﹣∠BOD＝∠COB﹣∠BOD，即∠AOB＝∠COD．在△AOB和△COD中，OA=OC∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．全等三角形的判定與性質(zhì)26．（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，延長(zhǎng)EA至點(diǎn)D．使AD＝AC．在邊AC上截取AF＝AB，連接DF．求證：DF＝CB．【答案】見解析．【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得∠CAB的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】證明：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．∵AE⊥BC．∴∠AEC＝90°．∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，∴∠DAF＝∠CAB．在△DAF和△CAB中，AD=BC∠DAF=∠CAB∴△DAF≌△CAB（SAS）．∴DF＝CB．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．全等三角形的判定與性質(zhì)33．（2023?樂(lè)山）如圖，已知AB與CD相交于點(diǎn)O，AC∥BD，AO＝BO，求證：AC＝BD．?【答案】見解答過(guò)程．【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，利用AAS即可判定△AOC≌△BOD，從而得AC＝BD．【解答】證明：∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，在△AOC和△BOD中，∠C=∠D∠A=∠B∴△AOC≌△BOD（AAS），∴AC＝BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)并靈活運(yùn)用．全等三角形的判定與性質(zhì)37．（2023?濟(jì)寧）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D，E在邊BC上，若∠DAE＝30°，tan∠EAC=13，則BD＝3??【答案】3?3【分析】過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH＝30°，再根據(jù)∠BAD+∠EAC＝30°，可得∠DAH＝∠EAC，從而可得tan∠DAH＝tan∠EAC=13，利用銳角三角函數(shù)求得AH＝ABsin60°＝33，再由DHAH=DH【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，∴AH⊥BC，∴∠BAH=1∴∠BAD+∠DAH＝30°，∴∠DAE＝30°，∴∠BAD+∠EAC＝30°，∴∠DAH＝∠EAC，∴tan∠DAH＝tan∠EAC=1∵BH=12∵AH＝ABsin60°＝6×32=∴DHAH∴DH=3∴BD＝BH﹣DH＝3?3故答案為：3?3【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明∠DAH＝∠EAC是解題的關(guān)鍵．全等三角形的判定與性質(zhì)12．（2023?湖北）如圖，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，BE＞AE，連接DF交AE于點(diǎn)G，DE交AB于點(diǎn)H，連接CF．給出下面四個(gè)結(jié)論：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．【答案】①③④．【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠ABC＝∠DBE＝45°，可得出①正確；證明△BEA≌△DEF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AB＝DF，可得出③正確；由直角三角形的性質(zhì)可判斷②不正確；證明四邊形DFCA為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出DA＝CF，則可得出答案．【解答】解：∵△BAC，△DEB都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠DBE＝45°，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，∴∠EBC＝∠DBA，故①正確；∵△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∴BE＝DE，AE＝EF，∠BED＝∠AEF＝90°，∴∠BEA＝∠DEF，∴△BEA≌△DEF（SAS），∴AB＝DF，∠ABE＝∠EDF，∠BAE＝∠DFE．故③正確；∵∠BEH＝∠GEF＝90°，∴∠ABE+∠BHE＝90°，∠EGF+∠DFE＝90°，∵BE＞AE，∴