2024年初中升學(xué)考試專(zhuān)題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(按知識(shí)點(diǎn)分類(lèi))一次函數(shù)綜合題_第1頁(yè)
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一次函數(shù)綜合題27.(2023?黑龍江)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形AOCB的邊OC在x軸上,∠AOC=60°,OC的長(zhǎng)是一元二次方程x2-4x-12=0的根,過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn),交對(duì)角線(xiàn)OB于點(diǎn)D,直線(xiàn)AD分別交x軸和y軸于點(diǎn)F和點(diǎn)E,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)F以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿FE向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng).兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)求直線(xiàn)AD的解析式;(2)連接MN,求△MDN的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式;(3)點(diǎn)N在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q,使得以A,C,N,Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.【答案】(1)y=?3(2)S=3(3)存在,點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(32,【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OC于H,解方程可得OC=6,然后解直角三角形求出CD、OH和AH的長(zhǎng),得到點(diǎn)A、D的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出解析式即可;(2)首先證明△EOD是等邊三角形,求出DO=DF=43,然后分情況討論:①當(dāng)點(diǎn)N在DF上,即0≤t≤23時(shí),過(guò)點(diǎn)M作NP⊥OB于P,②當(dāng)點(diǎn)M在DE上,即23<t≤43時(shí),過(guò)點(diǎn)M作NT⊥OB于T,分別解直角三角形求出NP和NT(3)分情況討論:①當(dāng)AN是直角邊時(shí),則CN⊥EF,過(guò)點(diǎn)M作NK⊥CF于K,首先求出CN,然后解直角三角形求出CK和NK,再利用平移的性質(zhì)得出點(diǎn)Q的坐標(biāo);②當(dāng)AN是對(duì)角線(xiàn)時(shí),則∠ACN=90°,過(guò)點(diǎn)M作NL⊥CF于L,證明∠NCF=∠NFC,可得CL=FL=3,然后解直角三角形求出NL,再利用平移的性質(zhì)得出點(diǎn)Q的坐標(biāo).【解答】(1)解:解方程x2-4x-12=0得:x1=6,x2=-2,∴OC=6,∵四邊形AOCB是菱形,∠AOC=60°,∴OA=OC=6,∠BOC=12∠∴CD=OC?tan30°=6×33=∴D(6,23),過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OC于H,∵∠AOH=60°,∴OH=12OA=3,AH=OA?sin60°=6×3∴A(3,33),設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為y=kx+b(k≠0),代入A(3,33),D(6,23)得:3k+b=33解得:k=?3∴直線(xiàn)AD的解析式為y=?3(2)解:由(1)知在Rt△COD中,CD=23,∠DOC∴OD=2CD=43,∠EOD=90°-∠DOC∵直線(xiàn)y=?33x+43與∴OE=43∴OE=OD,∴△EOD是等邊三角形,∴∠OED=∠EDO=∠BDF=60°,ED=OD=43∴∠OFE=30°=∠DOF,∴DO=DF=43①當(dāng)點(diǎn)N在DF上,即0≤t≤23由題意得:DM=OD?OM=43?t,過(guò)點(diǎn)N作NP⊥OB于P,則NP=DN×sin∠PDN=DN×sin60°=(43?2t)×32=∴S=12DM×NP=12(43?2t)×(6?3t)=3②當(dāng)點(diǎn)N在DE上,即23由題意得:DM=OD-OM=3?t,DN=2t-4過(guò)點(diǎn)N作NT⊥OB于T,則NT=DN?sin∠NDT=DN?sin60°=(2t-43)×3∴S=1綜上,S=3(3)解:存在,分情況討論:①如圖,當(dāng)AN是直角邊時(shí),則CN⊥EF,過(guò)點(diǎn)N作NK⊥CF于K,∵∠NFC=30°,OE=43∴∠NCK=60°,OF=3∴CF=12-6=6,∴CN=1∴CK=CN×cos60°=3×12=32,NK∴將點(diǎn)N向左平移32個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移332∴將點(diǎn)A向左平移32個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移332∵A(3,33∴Q(32,3②如圖,當(dāng)AN是對(duì)角線(xiàn)時(shí),則∠ACN=90°,過(guò)點(diǎn)N作NL⊥CF于L,∵OA=OC,∠AOC=60°,∴△AOC是等邊三角形,∴∠ACO=60°,∴∠NCF=180°-60°-90°=30°=∠NFC,∴CL=FL=12∴NL=CL?tan30°=3×3∴將點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)N,∴將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)Q,∵A(3,33∴Q(6,43);∴存在一點(diǎn)Q,使得以A,C,N,Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(32,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程,菱形的性質(zhì),解直角三角形,待定系數(shù)法的應(yīng)用,等邊三角形的判定和性質(zhì),含30°直角三角形的性質(zhì),二次函數(shù)的應(yīng)用,矩形的判定和性質(zhì)以及平移的性質(zhì)等知識(shí),靈活運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn),作出合適的輔助線(xiàn),熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.一次函數(shù)綜合題19.(2023?河北)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)計(jì)了點(diǎn)的兩種移動(dòng)方式:從點(diǎn)(x,y)移動(dòng)到點(diǎn)(x+2,y+1)稱(chēng)為一次甲方式;從點(diǎn)(x,y)移動(dòng)到點(diǎn)(x+1,y+2)稱(chēng)為一次乙方式.例點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)2次:若都按甲方式,最終移動(dòng)到點(diǎn)M(4,2);若都按乙方式,最終移動(dòng)到點(diǎn)N(2,4);若按1次甲方式和1次乙方式,最終移動(dòng)到點(diǎn)E(3,3).(1)設(shè)直線(xiàn)l1經(jīng)過(guò)上例中的點(diǎn)M、N,求l1的解析式,并直接寫(xiě)出將l1向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度得到的直線(xiàn)l2的解析式;(2)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)10次,每次移動(dòng)按甲方式或乙方式,最終移動(dòng)到點(diǎn)Q(x,y).其中,按甲方式移動(dòng)了m次.①用含m的式子分別表示x,y;②請(qǐng)說(shuō)明:無(wú)論m怎樣變化,點(diǎn)Q都在一條確定的直線(xiàn)上.設(shè)這條直線(xiàn)為l3,在圖中直接畫(huà)出l3的圖象;(3)在(1)和(2)中的直線(xiàn)l1,l2,l3上分別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B,C,橫坐標(biāo)依次為a,b,c,若A,B,C三點(diǎn)始終在一條直線(xiàn)上,直接寫(xiě)出此時(shí)a,b,c之間的關(guān)系式.【答案】(1)直線(xiàn)l1的解析式為y=﹣x+6;直線(xiàn)l2的解析式為y=﹣x+15;(2)①x=m+10,y=20﹣m;②直線(xiàn)l3的解析式為y=﹣x+30;圖象見(jiàn)解析過(guò)程;(3)a,b,c之間的關(guān)系式為5a+3c=8b.【分析】(1)由待定系數(shù)法可求直線(xiàn)l1的解析式;由平移的性質(zhì)可求直線(xiàn)l2的解析式;(2)①由題意可得:點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)m次后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2m,m),再得出點(diǎn)(2m,m),按照乙方式移動(dòng)(10﹣m)次后得到的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),即得結(jié)果;②由①的結(jié)果可得直線(xiàn)l3的解析式,進(jìn)而可畫(huà)出函數(shù)圖象;(3)由題意可得點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo),由待定系數(shù)法可求直線(xiàn)AB的解析式,即可求解.【解答】解:(1)設(shè)l1的解析式為y=kx+b,由題意可得:4k+b=22k+b=4解得:k=?1b=6∴l(xiāng)1的解析式為y=﹣x+6,將l1向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度得到的直線(xiàn)l2的解析式為y=﹣x+15;(2)∵點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)了m次,點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)10次,∴點(diǎn)P按照乙方式移動(dòng)了(10﹣m)次,∴點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)m次后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2m,m),∴點(diǎn)(2m,m)按照乙方式移動(dòng)(10﹣m)次后得到的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2m+10﹣m=m+10,縱坐標(biāo)為m+2(10﹣m)=20﹣m,∴x=m+10,y=20﹣m;②∵x+y=m+10+20﹣m=30,∴直線(xiàn)l3的解析式為y=﹣x+30;函數(shù)圖象如圖所示:(3)∵點(diǎn)A,B,C,橫坐標(biāo)依次為a,b,c,∴點(diǎn)A(a,﹣a+6),點(diǎn)B(b,﹣b+15),點(diǎn)C(c,﹣c+30),設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=mx+n,由題意可得:ma+n=?a+6mb+n=?b+15解得:m=?1+9∴直線(xiàn)AB的解析式為y=(﹣1+9b?a)x+6∵點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C三點(diǎn)始終在一條直線(xiàn)上,∴c(﹣1+9b?a)+6?∴5a+3c=8b,∴a,b,c之間的關(guān)系式為5a+3c=8b.【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題,考查了待定系數(shù)法,平移的性質(zhì),掌握平移的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.一次函數(shù)綜合題21.(2023?廣東)綜合運(yùn)用如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.如圖2,將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<45°),AB交直線(xiàn)y=x于點(diǎn)E,BC交y軸于點(diǎn)F.(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠COF為多少度時(shí),OE=OF;(直接寫(xiě)出結(jié)果,不要求寫(xiě)解答過(guò)程)(2)若點(diǎn)A(4,3),求FC的長(zhǎng);(3)如圖3,對(duì)角線(xiàn)AC交y軸于點(diǎn)M,交直線(xiàn)y=x于點(diǎn)N,連接FN.將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2.設(shè)S=S1﹣S2,AN=n,求S關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式.【答案】(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為22.5°時(shí),OE=OF;(2)FC的長(zhǎng)為154(3)S關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為S=1【分析】(1)如圖2中,當(dāng)OE=OF時(shí),得到Rt△AOE≌Rt△COF,利用全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可;(2)在圖2中,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G,利用三角形相似,可得結(jié)論;(3)過(guò)點(diǎn)N作直線(xiàn)PQ⊥BC于點(diǎn)P,交OA于點(diǎn)Q,利用四點(diǎn)共圓,得出三角形FON是等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,結(jié)合三角形全等的判定和性質(zhì)和三角形的面積公式解決問(wèn)題.【解答】解:(1)當(dāng)OE=OF時(shí),在Rt△AOE和Rt△COF中,OE=OFOA=OC∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL),∴∠AOE=∠COF(即∠AOE=旋轉(zhuǎn)角),∴2∠AOE=45°,∴∠COF=∠AOE=22.5°,∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為22.5°時(shí),OE=OF;(2)過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G,則有AG=3,OG=4,∴OA=O∵四邊形OABC是正方形,∴OC=OA=5,∠AOC=∠C=90°,又∵∠COF+∠FOA=90°,∠AOG+∠FOA=90°,∴∠COG=∠GOA,∴Rt△AOG∽R(shí)t△FOC,∴OCOG∴FC=OC?AG∴FC的長(zhǎng)為154(3)過(guò)點(diǎn)N作直線(xiàn)PQ⊥BC于點(diǎn)P,交OA于點(diǎn)Q,∵四邊形OABC是正方形,∴∠BCA=∠OCA=45°,BC∥OA,又∠FON=45°,∴∠FCN=∠FON=45°,∴F、C、O、N四點(diǎn)共圓,∴∠OFN=∠OCA=45°,∴∠OFN=∠FON=45°,∴△FON是等腰直角三角形,∴FN=NO,∠FNO=90°,∴∠FNP+∠ONQ=90°,又∵∠NOQ+∠ONQ=90°,∴∠NO

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