2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識(shí)點(diǎn)分類）作圖復(fù)雜作圖

作圖復(fù)雜作圖42．（2023?蘭州）我國(guó)古代天文學(xué)確定方向的方法中蘊(yùn)藏了平行線的作圖法．如《淮南子天文訓(xùn)》中記載：“正朝夕：先樹(shù)一表東方：操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉．日直入，又樹(shù)一表于東方，因西方之表，以參望日方入北康，則定東方兩表之中與西方之表，則東西也．”如圖，用幾何語(yǔ)言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一定點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線與a平行．（1）以O(shè)為圓心，單位長(zhǎng)為半徑作圓，交直線a于點(diǎn)M，N；（2）分別在MO的延長(zhǎng)線及ON上取點(diǎn)A，B，使OA＝OB；（3）連接AB，取其中點(diǎn)C，過(guò)O，C兩點(diǎn)確定直線b，則直線a∥b．按以上作圖順序，若∠MNO＝35°，則∠AOC＝（）A．35° B．30° C．25° D．20°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：由作圖得：a∥b，∴∠CON＝∠MNO＝35°，∵OA＝OB，C平分AB，∴OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠CON＝35°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是截圖的關(guān)鍵．作圖復(fù)雜作圖38．（2023?連云港）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交邊AC于點(diǎn)D，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB．（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，交CE于點(diǎn)F；（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）（2）在（1）的條件下，求證：BD＝BF．【考點(diǎn)】作圖復(fù)雜作圖；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）過(guò)B作AB的垂線即為過(guò)點(diǎn)B的⊙O的切線；（2）由AB＝AC，AB∥CE，可得∠BCF＝∠ACB，而點(diǎn)D在以AB為直徑的圓上，BF為⊙O的切線，可得∠BDC＝∠BFC，即可證明△BCD≌△BCF，從而B(niǎo)D＝BF．【解答】（1）解：如圖：過(guò)B作BF⊥AB，交CE與F，直線BF即為所求直線；（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB∥CE，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠BCF＝∠ACB，∵點(diǎn)D在以AB為直徑的圓上，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，∵BF為⊙O的切線，∴∠ABF＝90°，∵AB∥CE，∴∠BFC+∠ABF＝180°，∴∠BFC＝90°，∴∠BDC＝∠BFC，在△BCD和△BCF中，∠BDC=∠BFC∠DCB=∠FCB∴△BCD≌△BCF（AAS），∴BD＝BF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圓的切線和全等三角形判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握基本作圖，能熟練運(yùn)用三角形全等的判定定理．作圖復(fù)雜作圖47．（2023?河北）綜合實(shí)踐課上，嘉嘉畫出△ABD，利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)C，使得四邊形ABCD為平行四邊形．（1）～（3）是其作圖過(guò)程．（1）作BD的垂直平分線交BD于點(diǎn)O；（2）連接AO，在AO的延長(zhǎng)線上截取OC＝AO；（3）連接DC，BC，則四邊形ABCD即為所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（）A．兩組對(duì)邊分別平行 B．兩組對(duì)邊分別相等 C．對(duì)角線互相平分 D．一組對(duì)邊平行且相等【答案】C【分析】根據(jù)：“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”證明．【解答】解：由作圖得：DO＝BO，AO＝CO，∴四邊形ABCD為平行四邊形，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．作圖復(fù)雜作圖45．（2023?天津）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等邊三角形ABC內(nèi)接于圓，且頂點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．（1）線段AB的長(zhǎng)為29；（2）若點(diǎn)D在圓上，AB與CD相交于點(diǎn)P，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)Q，使△CPQ為等邊三角形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)Q的位置是如何找到的（不要求證明）取AC，AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G；連接DB與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接HF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I，連接AI并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接CK并延長(zhǎng)與GB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求．．【答案】（1）29；（2）取AC，AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G；連接DB與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接HF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I，連接AI并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接CK并延長(zhǎng)與GB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求．【分析】（1）利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）AB=2故答案為：29；（2）如圖，點(diǎn)Q即為所求；方法：取AC，AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G；連接DB與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接HF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I，連接AI并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接CK并延長(zhǎng)與GB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求；理由：可以證明∠PCA＝∠QCB，∠CBQ＝∠CAP＝60°，∵AC＝CB，∴△ACP≌△BAQ（ASA），∴∠ACP＝∠BCQ，CP＝CQ，∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴△PCQ是等邊三角形．故答案為：取AC，AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G；連接DB與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接HF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I，連接AI并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接CK并延長(zhǎng)與GB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．作圖復(fù)雜作圖44．（2023?廣東）如圖，在?ABCD中，∠DAB＝30°．（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過(guò)點(diǎn)D作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)作圖；（2）6﹣23．【分析】（1）由基本作圖即可解決問(wèn)題；（2）由銳角的余弦求出AE的長(zhǎng)，即可得到BE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖E即為所求作的點(diǎn)；（2）∵cos∠DAB=AE∴AE＝AD?cos30°＝4×32=∴BE＝AB﹣AE＝6﹣23．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是掌握基本作圖，由銳角的余弦求出AE的長(zhǎng)．45．（2023?廣西）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°．（1）在斜邊AC上求作線段AO，使AO＝BC，連接OB；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）（2）若OB＝2，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）圖見(jiàn)解析；（2）AB=23【分析】（1）以A為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)O，則問(wèn)題可求解；（2）根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可得AC＝2BC，則有OC＝AO，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【解答】解：（1）所作線段AO如圖所示：（2）∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝2BC，∵AO＝BC，∴AC＝2AO，∴OC＝AO，即點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∵OB＝2，∴AC＝2OB＝4，∴BC＝2，∴AB=A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．作圖復(fù)雜作圖38．（2023?濱州）（1）已知線段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（請(qǐng)用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（請(qǐng)借助上一小題所作圖形，在完善的基礎(chǔ)上，寫出已知、求證與證明）【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）見(jiàn)解答．【分析】（1）先做直角，再截取做三角形；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明．【解答】解：（1）如圖：Rt△ABC即為所求；（2）已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，求證：CD=12證明：延長(zhǎng)CE到D，使得DE＝CE，∵CD是AB邊上的中線，∴BE＝AE，∴四邊形ACBD是平行四邊形，∴AB＝CD，∴CE=12CD=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．39．（2023?廣元）如圖，將邊長(zhǎng)為4的等邊三角形紙片沿邊BC上的高AD剪成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)平行四邊形．（1）畫出這個(gè)平行四邊形（畫出一種情況即可）；（2）根據(jù)（1）中所畫平行四邊形求出兩條對(duì)角線長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析過(guò)程；（2）如圖①，對(duì)角線AB的長(zhǎng)為4；如圖②，對(duì)角線AD＝23，BC＝27；如圖③，對(duì)角線BD＝2，AC＝217．【分析】（1）由平行四邊形的判定可得；（2）分三種情況討論，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）如圖①以AB為對(duì)角線，如圖②以AD為對(duì)角線，如圖③以BD為對(duì)角線；（2）∵AB＝AC＝BC＝4，AD⊥BC，∴BD＝DC＝2，∴AD＝23，如圖①所示：四邊形ACBD是矩形，則其對(duì)角線AB的長(zhǎng)為4；如圖②所示：AD＝23，連接BC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，則EC＝23，BE＝2BD＝4，∴BC＝27；如圖③所示：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CB，交CB延長(zhǎng)線于E，連接AC，∴BD＝2，由題意可得：AE＝2，EC＝2BE＝8，∴AC=AE2+EC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)雜作圖，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．40．（2023?陜西）如圖．已知角△ABC，∠B＝48°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在△ABC內(nèi)部求作一點(diǎn)P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見(jiàn)解答．【分析】先作∠ABC的平分線BD，再作BC的垂直平分線l，直線l交BD于P點(diǎn)，則P點(diǎn)滿足條件．【解答】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．作圖復(fù)雜作圖17．（2023?湖北）已知正六邊形ABCDEF，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法，用虛線表示作圖過(guò)程，實(shí)線表示作圖結(jié)果）．（1）在圖1中作出以BE為對(duì)角線的一個(gè)菱形BMEN；（2）在圖2中作出以BE為邊的一個(gè)菱形BEPQ．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）見(jiàn)解答．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和正六邊形的性質(zhì)作圖；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和正六邊形的性質(zhì)作圖．【解答】解：如圖：（1）菱形BMEN即為所求；（2）菱形BEPQ即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握菱形的性質(zhì)和正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．作圖復(fù)雜作圖44．（2023?綏化）已知：點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：如圖，過(guò)點(diǎn)P作出⊙O的兩條切線PE，PF，切點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)D在⊙O上（點(diǎn)D不與E，F(xiàn)兩點(diǎn)重合），且∠EPF＝30°，求∠EDF的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）75°或105°．【分析】（1）連接OP，作OP的垂直平分線得到OP的中點(diǎn)M，再以M點(diǎn)為圓心，MA為半徑作圓交⊙O于點(diǎn)E、F，則根據(jù)圓周角定理得到∠OEP＝∠OFP＝90°，從而可判斷PE，PF為⊙O的兩條切線；（2）連接OE、OF，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OEP＝∠OFP＝90°，則根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可計(jì)算出∠EOF＝150°，當(dāng)點(diǎn)D在優(yōu)弧EF上時(shí)，利用圓周角定理得到∠EDF＝75°，當(dāng)點(diǎn)D′在弧EF上時(shí)，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ED′F＝105°．【解答】解：（1）如圖，PE、PF為所作；（2）連接OE、OF，如圖，∵PE，PF為⊙O的兩條切線，∴OE⊥PE，OF⊥PF，∴∠OEP＝∠OFP＝90°，∴∠EOF＝180°﹣∠EPF＝180°﹣30°＝150°，當(dāng)點(diǎn)D在優(yōu)弧EF上時(shí)，∠EDF=12∠當(dāng)點(diǎn)D′在弧EF上時(shí)，∠ED′F＝180°﹣∠EDF＝180°﹣75°＝105°，綜上所述，∠EDF的度數(shù)為75°或105°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理和切線的判定與性質(zhì)．作圖復(fù)雜作圖48．（2023?赤峰）已知：如圖，點(diǎn)M在∠AOB的邊OA上．求作：射線MN，使MN∥OB，且點(diǎn)N在∠AOB的平分線上．作法：①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交射線OA，OB于點(diǎn)C，D．②分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于12CD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)P③畫射線OP．④以點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線OP于點(diǎn)N．⑤畫射線MN．射線MN即為所求．（1）用尺規(guī)作圖，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）根據(jù)以上作圖過(guò)程，完成下面的證明．證明：∵OP平分∠AOB，∴∠AON＝∠NOB．∵OM＝MN．∴∠AON＝∠ONM（等邊對(duì)等角）．（括號(hào)內(nèi)填寫推理依據(jù)）∴∠BON＝∠ONM．∴MN∥OB（