2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識(shí)點(diǎn)分類）作圖基本作圖

作圖基本作圖47．（2023?湘潭）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以小于AC長為半徑作弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N；②分別以M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑作弧，在∠BAC內(nèi)兩弧交于點(diǎn)O；③作射線AO，交BC于點(diǎn)D．若點(diǎn)D到AB的距離為1，則CD的長為1【答案】1．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD＝點(diǎn)D到AB的距離＝1．【解答】解：由作圖知AD平分∠BAC，∵∠C＝90°，點(diǎn)D到AB的距離為1，∴CD＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖－基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的尺規(guī)作圖及角平分線的性質(zhì)．作圖基本作圖41．（2023?鄂州）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊BC上的一點(diǎn)，且AE＝AD．（1）尺規(guī)作圖（請(qǐng)用2B鉛筆）：作∠DAE的平分線AF，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接DF．（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）試判斷四邊形AEFD的形狀，并說明理由．【答案】（1）作圖見解答．（2）證明見解答．【分析】（1）按作角的平分線步驟作圖即可；（2）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形進(jìn)行判斷即可．【解答】解：（1）如圖所示；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BF，∴∠DAF＝∠AFC，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠FAE，∴∠FAE＝∠AFC，∴EA＝EF，∵AE＝AD，∴AD＝EF，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AE＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖－復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了矩形的性質(zhì)．作圖基本作圖46．（2023?長春）如圖，用直尺和圓規(guī)作∠MAN的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE【答案】B【分析】利用基本作圖得到AF平分∠MAN，則根據(jù)角平分線的畫法可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷．【解答】解：角平分線的作法如下：①以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作弧，分別交AM、AN于點(diǎn)D、E；②分別以點(diǎn)D、E為圓心，DF長為半徑作弧，兩弧在∠MAN內(nèi)相交于點(diǎn)F；③作射線AF，AF即為∠MAN的平分線．根據(jù)角平分線的作法可知，AD＝AE，DF＝EF，根據(jù)等腰三角形的三線合一可知AF⊥DE，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用直尺和圓規(guī)作角平分線的方法，掌握畫法是解題的關(guān)鍵．作圖基本作圖41．（2023?達(dá)州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC=21（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)P（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）所作圖形中，求△ABP的面積．?【考點(diǎn)】作圖基本作圖；角平分線的性質(zhì)；勾股定理．【分析】（1）根據(jù)角平分線的作法，即可畫出圖形；（2）由勾股定理求出AC，由角平分線的性質(zhì)得到PC＝PD，根據(jù)三角形的面積公式求出PD，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示：AP即為所求；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC=21∴AC=A過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，∵AP是∠BAC的角平分線，∴PD＝PC，∵△ABC的面積為＝△ACP的面積+△ABP的面積，∴12AC?PC+12AB?PD=1∴2PD+5PD＝221，解得PD=2∴△ABP的面積=12AB?PD【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了基本作圖，角平分線定理，勾股定理，作出輔助線根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PC＝PD是解本題的關(guān)鍵．作圖基本作圖42．（2023?南充）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠CAB的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，畫射線AP與BC交于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為EA．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE C．AD＝53 D．CD：BD＝3：5【考點(diǎn)】作圖基本作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理．【分析】由基本作圖可判斷A；根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷B；由三角形的面積公式求出CD再根據(jù)勾股定理求出AD，可判斷C；求出BD的長可判斷D．【解答】解：由作圖可得，AP平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，故選項(xiàng)A不符合題意；∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，故選項(xiàng)B不符合題意；在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，∴BC=A∵△ABC的面積為＝△ACD的面積+△ABD的面積，∴12AC?CD+12AB?DE=1∴6?CD+10CD＝6×8，解得CD＝3，∴AD=AC2+CD∵BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，∴CD：BD＝3：5，故選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖、角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)，即角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．作圖基本作圖48．（2023?成都）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)D為圓心，以AM長為半徑作弧，交DB于點(diǎn)M′；③以點(diǎn)M′為圓心，以MN長為半徑作弧，在∠BAC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N′；④過點(diǎn)N′作射線DN′交BC于點(diǎn)E．若△BDE與四邊形ACED的面積比為4：21，則BECE的值為23【考點(diǎn)】作圖基本作圖；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由作圖知∠A＝∠BDE，由平行線的性質(zhì)得到DE∥AC，證得△BDE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由作圖知，∠A＝∠BDE，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△BAC的面積：△BDE的面積＝（△BDE的面積+四邊形ACED的面積）：△BDE的面積＝1+四邊形ACED的面積：△BDE的面積＝1+21∴△BDC的面積：△BAC的面積＝（BEBC）2=∴BEBC∴BECE故答案為：23【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．49．（2023?眉山）如圖，△ABC中，AD是中線，分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，大于12AB長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線MN交AB于點(diǎn)E，連結(jié)CE交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG∥CE，交AB于點(diǎn)G，若DG＝2，則CF的長為8【考點(diǎn)】作圖基本作圖；相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】先判斷DG為△BCE的中位線，再根據(jù)三角形相似求解．【解答】解：由作圖得：MN垂直平分AB，∴AE＝BE=12∵DG∥CE，∴AD是中線，∴GB＝EG=12BE=∴GD為△BCE的中位線，∴CE＝2GD＝4，∵DG∥CE，∴△AEF∽△AGD，∴EFDG=AE解得：EF=4∴CF＝EC﹣EF＝4?4故答案為：83【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖，掌握三角形的中位線的性質(zhì)和三角形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．作圖基本作圖49．（2023?遂寧）如圖，?ABCD中，BD為對(duì)角線，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，若AD⊥BD，BD＝4，BC＝8，則AE的長為5【考點(diǎn)】作圖基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得到AD＝BC＝8，根據(jù)垂直的定義得到∠ADB＝90°，由作圖知，MN垂直平分AB，求得AF=12AB＝25，EF⊥【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝8，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB=AD2由作圖知，MN垂直平分AB，∴AF=12AB＝25，EF⊥∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABD，∴AFAD∴25∴AE＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．50．（2023?巴中）如圖，已知等邊△ABC，AD⊥BC，E為AB中點(diǎn)．以D為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交DE于點(diǎn)M，交DB于點(diǎn)N，分別以M、N為圓心，大于12MN為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線DP交AB于點(diǎn)G．過點(diǎn)E作EF∥BC交射線DP于點(diǎn)F，連接BF、AF（1）求證：四邊形BDEF是菱形．（2）若AC＝4，求△AFD的面積．【考點(diǎn)】作圖基本作圖；角平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理；菱形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到D是BC的中點(diǎn)，求得△BED是等邊三角形，得到BE＝BD＝DE，由作圖知，DF平分∠EDB，根據(jù)角平分線的定義得到∠EDF＝∠FDB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFD＝∠FDB，求得∠EFD＝∠RDF，推出四邊形BDEF是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AG⊥FD，F(xiàn)G＝GD，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵AD⊥BC，∴BD=12BC=∵E為AB中點(diǎn)．∴DE=1∴BD＝DE，∴△BED是等邊三角形，∴BE＝BD＝DE，由作圖知，DF平分∠EDB，∴∠EDF＝∠FDB，∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠FDB，∴∠EFD＝∠EDF，∴EF＝ED，∴EF∥BD，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∵DE＝BD，∴四邊形BDEF是菱形；（2）解：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，∵AC＝4，∴AD=AC?sin60°=4×32=∵四邊形BDEF是菱形，∴AG⊥FD，F(xiàn)G＝GD，在Rt△AGD中，∵∠BAD＝30°，∴DG=1∴FD=23∴S△AFD【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，角平分線的定義，菱形的判定，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．作圖基本作圖46．（2023?涼山州）如圖，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心，大于12AB為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，連接MN，直線MN與AC交于點(diǎn)D，連接BD，則∠DBCA．20° B．30° C．40° D．50°【考點(diǎn)】作圖基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】利用基本作圖得MN垂直平分AB，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD＝∠A＝40°，則計(jì)算出∠ABC＝∠C＝70°，然后計(jì)算∠ABC﹣∠ABD即可．【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣∠A）∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．作圖基本作圖46．（2023?隨州）如圖，在?ABCD中，分別以B，D為圓心，大于12BD的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，過M，N兩點(diǎn)作直線交BD于點(diǎn)O，交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC【答案】D【分析】根據(jù)作圖可知：EF垂直平分BD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BO＝DO，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，AD∥BC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF＝DE，OE＝OF，故B，C正確；無法證明DE＝CD，故D錯(cuò)誤．【解答】解：根據(jù)作圖可知：EF垂直平分BD，∴BO＝DO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE，OE＝OF，故B，C正確；無法證明DE＝CD，故D錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，垂直平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，掌握菱形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．作圖基本作圖49．（2023?湖北）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于12EF長為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線BP，過點(diǎn)C作BP的垂線分別交BD，AD于點(diǎn)M，N，則A．10 B．11 C．23 【答案】A【分析】如圖，設(shè)BP交CD與點(diǎn)J，過點(diǎn)J作JK⊥BD于點(diǎn)K．首先利用相似三角形的性質(zhì)證明CN?BM＝12，再想辦法求出BM，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，設(shè)BP交CD與點(diǎn)J，過點(diǎn)J作JK⊥BD于點(diǎn)K．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠BCD＝90°，∵CN⊥BM，∴∠CMB＝∠CDN＝90°，∴∠CBM+∠BCM＝90°，∠BCM+∠DCN＝90°，∴∠CBM＝∠DCN，∴△BMC∽△CDN，∴BMCD∴BM?CN＝CD?CB＝3×4＝12，∵∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，∴BD=C由作圖可知BP平分∠CBD，∵JK⊥BD，JC⊥BC，∴JK＝JC，∵S△BCD＝S△BDJ+S△BCJ，∴12×3×4=12×5×∴JC＝KJ=4∴BJ=C∵cos∠CBJ=BM∴BM4∴BM=6∵CN?BM＝12，∴CN=10故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．作圖基本作圖36．（2023?永州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于12MN的定長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線BP交AC于點(diǎn)D，作DE⊥AB，垂足為A．BC＝BE B．CD＝DE C．BD＝AD D．BD一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心【答案】C【分析】由作圖知，BD平分∠ABC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD＝DE，BD一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，故B不符合題意，故D不符合題意；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC＝BE，故A不符合題意；無法證明BD＝AD，故C符合題意．【解答】解：由作圖知，BD平分∠ABC，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，BD一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，故B不符合題意，故D不符合題意；在Rt△BCD與Rt△BED中，CD=DEBD=BD∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE，故A不符合題意；無法證明BD＝AD，故C符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．37．（2023?荊州）如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)C在OB上，OC＝23，P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)．根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，點(diǎn)P到OA的距離為1．【答案】1【分析】由作圖知PE垂直平分OC，CO平分∠AOB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OE=12OC=12×23=3，∠PEO＝90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠POD＝∠AOC【解答】解：由作圖知PE垂直平分OC，PO平分∠AOB，∴OE=12OC=1∵∠AOB＝60°，∴∠POE＝∠AOP=1∴EP＝OE×tan30°=3∵CO平分∠AOB，∴點(diǎn)P到OA的距離＝PE＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了作圖﹣基本作圖．以及角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．38．（2023?岳陽）如圖，①在OA，OB上分別截取線段OD，OE，使OD＝OE；②分別以D，E為圓心，以大于12DE的長為半徑畫弧，在∠AOB內(nèi)兩弧交于點(diǎn)C；③作射線OC．若∠AOB＝60°，則∠AOC＝30【答案】30．【分析】直接根據(jù)角平分線的作法即可得出結(jié)論．【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分線，∴∠AOC=12∠AOB故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知角平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵．作圖基本作圖49．（2023?廣元）如圖，a∥b，直線l與直線a，b分別交于B，A兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線EF，分別交直線a，b于點(diǎn)C，D，連接AC，若∠CDA＝34°，則∠CAB的度數(shù)為56°【答案】56°．【分析】由作圖可知CD垂直平分線段AB，推出CA＝CB，再利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)求解．【解答】解：由作圖可知CD垂直平分線段AB，∴CA＝CB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠BCD，∵a∥b，∴∠ADC＝∠BCD＝34°，∴∠ACB＝2∠BCD＝68°，∴∠CAB＝∠CBA=1故答案為：56°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，平行線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．作圖基本作圖44．（2023?山西）如圖，在?ABCD中，∠D＝60°．以點(diǎn)B為圓心，以BA的長為半徑作弧交邊BC于點(diǎn)E，連接AE．分別以點(diǎn)A，E為圓心，以大于12AE的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線BP交AE于點(diǎn)O，交邊AD于點(diǎn)F，則OFOE的值為3【答案】3．【分析】證明△ABE是等邊三角形，推出BO⊥AE，AE＝OE，可得結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，∵BA＝BE，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝60°，∵BF平分∠ABE，∴AO＝OE，BO⊥AE，∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，∴tan∠OAF=OF∴OFOE故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．作圖基本作圖43．（2023?郴州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．（1）尺規(guī)作圖；作對(duì)角線AC的垂直平分線MN（保留作圖痕跡）；（2）若直線MN分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求證：四邊形AFCE是菱形．【答案】（1）作圖見解析部分；（2）證明見解析部分．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；（2）根據(jù)對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形證明即可．【解答】（1）解：如圖，直線MN即為所求；（2）證明：設(shè)AC與EF交于點(diǎn)O．由作圖可知，EF垂直平分線段AC，∴OA＝OC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥CF，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵AC⊥EF，∴四邊形AFCE是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題．作圖基本作圖23．（2023?河南）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且AD＝AB．（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若（1）中所作的角平分線與邊BC交于點(diǎn)E，連接DE．求證：DE＝BE．?【答案】（1）見解答；（2）見解答．【分析】（1）利用角平分線的作圖步驟作圖即可；（2）證明△BAE≌△DAE（ASA），即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：如圖所示，即為所求，（2）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE，∵AB＝AD，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（ASA），∴DE＝BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了尺規(guī)作圖的基本作圖平分已知角的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．24．（2023?濟(jì)寧）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．（1）作線段BD的垂直平分線（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；（2）設(shè)BD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE，DF．①判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由；②若AB＝5，BC＝10，求四邊形BEDF的周長．【答案】（1）見解答；（2）①四邊形BEDF是平行四邊形，理由見解答；②25．【分析】（1）分別以B、D為圓心，大于12BD為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M、N，連接MN（2）①由題意易得∠EDO＝∠FBO，易得△EOD≌△FOB（ASA），然后可得四邊形BEDF是平行四邊形，進(jìn)而問題可求證；②設(shè)BE＝ED＝x，則AE＝10﹣x，然后根據(jù)勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：（1）如圖，直線MN就是線段BD的垂直平分線，（2）①四邊形BEDF是菱形，理由如下：如圖，由作圖可知OB＝OD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB（ASA），∴ED＝FB，∴四邊形BEDF是平行四邊形；②∵四邊形ABCD是矩形，BC＝10，∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，由①可設(shè)BE＝ED＝x，則AE＝10﹣x，∵AB＝5，∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10﹣x）2＝x2，解得x＝6.25，∴四邊形BEDF的周長為：6.25×4＝25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖，勾股定理，矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)與判定及全等三角形的判定與性質(zhì)，