初中數(shù)學(xué)120大招-52 二次函數(shù)中的動點(diǎn)有關(guān)的綜合問題

二次函數(shù)中的動點(diǎn)有關(guān)的綜合問題1、如圖①，已知拋物線y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m為參數(shù)，且a＞0，m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（結(jié)果可以含參數(shù)m）；（2）連接CA、CB，若C（0，3m），求tan∠ACB的值；（3）如圖②，在（2）的條件下，拋物線的對稱軸為直線l：x＝2，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）B（3m，0）；（2）tan∠ACB＝；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（）或（）或（）或（）．【解析】解：（1）令y＝0，則有ax2﹣4amx+3am2＝0，解得：x1＝m，x2＝3m，∵m＞0，A在B的左邊，∴B（3m，0）；（2）如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，由（1）可知B（3m，0），則△BOC為等腰直角三角形，∵OC＝OB＝3m，∴BC＝3m，又∵∠ABC＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝2m，∴m，CD＝2m，∴tan∠ACB＝；（3）∵由題意知x＝2為對稱軸，∴2m＝2，即m＝1，∵在（2）的條件下有（0，3m），∴3m＝3am2，解得m＝，即a＝1，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3，①當(dāng)P在對稱軸的左邊，如圖2，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），則﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝或，∴P的坐標(biāo)為（，）或（）；②當(dāng)P在對稱軸的右邊，如圖3，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，則﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：x＝或；P的坐標(biāo)為（）或（）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（）或（）或（）或（）．2、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x-ax-4a<0與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（1）若D點(diǎn)坐標(biāo)為32,25（2）若點(diǎn)M為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為a，點(diǎn)N為拋物線在x軸上方一點(diǎn)，若以C、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，求a的值；（3）直線y=2x+b與（1）中的拋物線交于點(diǎn)D、E（如圖2），將（1）中的拋物線沿著該直線方向進(jìn)行平移，平移后拋物線的頂點(diǎn)為D'，與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，與x軸的交點(diǎn)為B'，在平移的過程中，求D'E'【答案】（1）y=-x2+3x+4;C0,4;（2）【解析】（1）依題意得：25解得a=-1∴拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-4）或y∴C（2）由題意可知Aa,0、B對稱軸為直線x=a①M(fèi)N//BC，且MN則-3a解得：a=-2±2②當(dāng)BC為對角線時(shí)，設(shè)Nxa+4解得x=則-5解得：a∴a1=-2-2（3）聯(lián)立y解得：x1=則DE=2則平移后的線段D'E設(shè)平移后的D'm平移后的拋物線解析式為：y則D'B'：y∴y=-1拋物線y=-x解得m1=-∴B1'-1,0，B∴B3、如圖，拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x﹣3交于，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣4，﹣5），點(diǎn)P為y軸左側(cè)的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）以O(shè)，A，P，D為頂點(diǎn)的平行四邊形是否存在若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)見解析.【思路引導(dǎo)】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）PD=|m2+4m|，∵PD∥AO，則當(dāng)PD=OA=3時(shí)，存在以O(shè)，A，P，D為頂點(diǎn)的平行四邊形，即PD=|m2+4m|=3，即可求解．【解析】解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+x﹣3；（2）存在，理由：同理直線AB的表達(dá)式為：y＝x﹣3，設(shè)點(diǎn)P（m，m2+m﹣3），點(diǎn)D（m，m﹣3）（m＜0），則PD＝|m2+4m|，∵PD∥AO，則當(dāng)PD＝OA＝3時(shí)，存在以O(shè)，A，P，D為頂點(diǎn)的平行四邊形，即PD＝|m2+4m|＝3，①當(dāng)m2+4m＝3時(shí)，解得：m＝﹣2±（舍去正值），即m2+m﹣3＝1﹣，故點(diǎn)P（﹣2﹣，﹣1﹣），②當(dāng)m2+4m＝﹣3時(shí)，解得：m＝﹣1或﹣3，同理可得：點(diǎn)P（﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）；綜上，點(diǎn)P（﹣2﹣，﹣1﹣）或(﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）．【方法總結(jié)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形性質(zhì)等，要注意分類討論思想的運(yùn)用．4、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)為G．（1）求拋物線和直線AC的解析式；（2）如圖1，設(shè)E（m，0）為x正半軸上的一個(gè)動點(diǎn)，若△CGE和△CGO的面積滿足S△CGE=S△CGO，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸向右運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為ts，點(diǎn)M為射線AC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥x軸交拋物線對稱軸右側(cè)部分于點(diǎn)N．試探究點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，是否存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；y=3x+3；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（1,0）或（-7,0）；（3）存在，t的值為或或．【思路引導(dǎo)】（1）用待定系數(shù)法即能求出拋物線和直線AC解析式．（2）△CGE與△CGO雖然有公共底邊CG，但高不好求，故把△CGE構(gòu)造在比較好求的三角形內(nèi)計(jì)算．延長GC交x軸于點(diǎn)F，則△FGE與△FCE的差即為△CGE．（3）設(shè)M的坐標(biāo)（e，3e＋3），分別以M、N、P為直角頂點(diǎn)作分類討論，利用等腰直角三角形的特殊線段長度關(guān)系，用e表示相關(guān)線段并列方程求解，再根據(jù)e與AP的關(guān)系求t的值．【解析】解：（1）將點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），點(diǎn)C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c得，，解得，∴，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n，將點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，3）代入得：，解得：k=3，n=3∴直線AC的解析式為：y=3x+3（2）延長GC交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，∵∴G（1,4），GH=4，∴，若S△CGE=S△CGO，則S△CGE=S△CGO=，①若點(diǎn)E在x軸的正半軸，設(shè)直線CG為，將G（1,4）代入得∴，∴直線CG的解析式為y=x+3，∴當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，即F(-3,0)∵E（m,0）∴EF=m-(-3)=m+3∴====∴，解得：m=1∴E的坐標(biāo)為（1,0）②若點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，則點(diǎn)E到直線CG的距離與點(diǎn)（1,0）到直線CG的距離相等，即點(diǎn)E到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)（1,0）到點(diǎn)F的距離，∴EF=-3-m=1-(-3)=4∴m=-7，即E（-7,0）綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（1,0）或（-7,0）（3）存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，設(shè)M（e,3e+3），e＞-1，則，①如圖2，若∠MPN=90°，PM=PN，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，過N作NR⊥x軸于點(diǎn)R，∵M(jìn)N∥x軸∴MQ＝NR＝3e＋3∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL）∴PQ＝PR，∠MPQ＝∠NPR＝45°∴MQ＝PQ＝PR＝NR＝3e＋3∴xN＝xM＋3e＋3＋3e＋3＝7e＋6，即N（7e＋6，3e＋3）∵N在拋物線上∴?（7e＋6）2＋2（7e＋6）＋3＝3e＋3，解得：（舍去），∵AP＝t，OP＝t?1，OP＋OQ＝PQ∴t?1?e＝3e＋3∴t＝4e＋4＝，②如圖3，若∠PMN＝90°，PM＝MN，∴MN＝PM＝3e＋3∴xN＝xM＋3e＋3＝4e＋3，即N（4e＋3，3e＋3）∴?（4e＋3）2＋2（4e＋3）＋3＝3e＋3解得：e1＝?1（舍去），e2＝，∴t＝AP＝e?（?1）＝，③如圖4，若∠PNM＝90°，PN＝MN，∴MN＝PN＝3e＋3，N（4e＋3，3e＋3）解得：e＝∴t＝AP＝OA＋OP＝1＋4e＋3＝綜上所述，存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，t的值為或或．【方法總結(jié)】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)系中三角形面積計(jì)算，等腰直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，考查了分類討論和方程思想．第（3）題根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找到相關(guān)線段長的關(guān)系是解題關(guān)鍵，靈活運(yùn)用因式分解法解一元二次方程能簡便運(yùn)算．5、如圖，已知直線AB與拋物線C：y＝ax2+2x+c相交于點(diǎn)A(﹣1，0)和點(diǎn)B(2，3)兩點(diǎn)．(1)求拋物線C函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)M是位于直線AB上方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求此時(shí)的面積S及點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)△MAB的面積最大值是，M(，)【解析】(1)由題意把點(diǎn)(﹣1，0)、(2，3)代入y＝ax2+2x+c，得，解得，∴此拋物線C函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；(2)如圖，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，將點(diǎn)(﹣1，0)、(2，3)代入y＝kx+b中，得，解得，∴yAB＝x+1，設(shè)點(diǎn)M(x，﹣x2+2x+3)，則K(x，x+1)，則MK＝﹣x2+2x+3﹣(x+1)＝﹣x2+x+2，∴S△MAB＝S△AMK+S△BMK＝MK?(xM﹣xA)+MK?(xB﹣xM)＝MK?(xB﹣xA)＝×(-x2+x+2)×3＝，∵，當(dāng)x＝時(shí)，S△MAB最大=，此時(shí)，∴△MAB的面積最大值是，M(，)．6、如圖，直線y＝34x+a與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝34x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B．點(diǎn)M（m，0）為x軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線分別交直線AB及拋物線于點(diǎn)P，（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為，拋物線的解析式為；（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動時(shí)（不與點(diǎn)O，A重合），①當(dāng)m為何值時(shí)，線段PN最大值，并求出PN的最大值；②求出使△BPN為直角三角形時(shí)m的值；（3）若拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)N到直線AB的距離是h，請直接寫出此時(shí)由點(diǎn)O，B，N，P構(gòu)成的四邊形的面積．【答案】（1）（0，﹣3），y＝34x2﹣94x﹣3；（2）①是3，②3或119；（3）6或6+62【解析】解：（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線表達(dá)式y(tǒng)＝34解得：a＝﹣3，則：直線表達(dá)式為：y═34則點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣3），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：c＝﹣3，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：34解得：b＝﹣94故拋物線的解析式為：y＝34x2﹣9（2）①∵M(jìn)（m，0）在線段OA上，且MN⊥x軸，∴點(diǎn)P（m，34m﹣3），N（m，34m2﹣∴PN＝34m﹣3﹣（34m2﹣94∵a＝﹣34∴拋物線開口向下，∴當(dāng)m＝2時(shí)，PN有最大值是3，②當(dāng)∠BNP＝90°時(shí)，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為﹣3，把y＝﹣3代入拋物線的表達(dá)式得：﹣3＝34m2﹣9∴m＝3；當(dāng)∠NBP＝90°時(shí)，∵BN⊥AB，兩直線垂直，其k值相乘為﹣1，設(shè)：直線BN的表達(dá)式為：y＝﹣43把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式，解得：n＝﹣3，則：直線BN的表達(dá)式為：y＝﹣43將上式與拋物線的表達(dá)式聯(lián)立并解得：m＝119當(dāng)∠BPN＝90°時(shí)，不合題意舍去，故：使△BPN為直角三角形時(shí)m的值為3或43（3）∵OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，tanα＝43，則：cosα＝35，sinα＝∵PM∥y軸，∴∠BPN＝∠ABO＝α，若拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)N到直線AB的距離是h，則只能出現(xiàn)：在AB直線下方拋物線與過點(diǎn)N的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)N，在直線AB上方的交點(diǎn)有兩個(gè)．當(dāng)過點(diǎn)N的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)N，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），設(shè)：點(diǎn)N坐標(biāo)為：（m，n），則：n＝34m2﹣9則點(diǎn)N所在的直線表達(dá)式為：y＝34解得：過N點(diǎn)直線表達(dá)式為：y＝34x+（n﹣3將拋物線的表達(dá)式與上式聯(lián)立并整理得：3x2﹣12x﹣12+3m﹣4n＝0，△＝144﹣3×4×（﹣12+3m﹣4n）＝0，將n＝34m2﹣94m﹣3代入上式并整理得：m解得：m＝2，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，﹣92則：點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，﹣32則：PN＝3，∵OB＝3，PN∥OB，∴四邊形OBNP為平行四邊形，則點(diǎn)O到直線AB的距離等于點(diǎn)N到直線AB的距離，即：過點(diǎn)O與AB平行的直線與拋物線的交點(diǎn)為另外兩個(gè)N點(diǎn)，即：N′、N″，直線ON的表達(dá)式為：y＝34x2﹣4x﹣4＝0，解得：x＝2±22，則點(diǎn)N′、N″的橫坐標(biāo)分別為2+22，2﹣22，作NH⊥AB交直線AB于點(diǎn)H，則h＝NH＝NPsinα＝125作N′P′⊥x軸，交x軸于點(diǎn)P′，則：∠ON′P′＝α，ON′＝OP'sinα＝S四邊形OBPN＝BP?h＝52則：S四邊形OBP′N′＝S△OP′N′+S△OBP′＝6+62同理：S四邊形OBN″P″＝62故：點(diǎn)O，B，N，P構(gòu)成的四邊形的面積為：6或6+62或62﹣6．7、在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)．（1）求m的值；（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）是線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)N作垂直于y軸的直線與拋物線交于點(diǎn)，（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)）．若恒成立，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．【答案】（1）1；（2）．（3）．【解析】解：（1）∵經(jīng)過點(diǎn)，∴將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即，得．∵直線與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，∴將點(diǎn)代入，得．(2)∵拋物線的對稱軸為，∴，即．∴．∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(3)當(dāng)時(shí)，如圖，若拋物線過點(diǎn)，則．結(jié)合函數(shù)圖象可得．當(dāng)時(shí)，不符合題意．綜上所述，的取值范圍是．8、如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），連接AC，BC．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動；同時(shí)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．連接PQ．（1）填空：b＝，c＝；（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動過程中，△APQ可能是直角三角形嗎？請說明理由；（3）點(diǎn)M在拋物線上，且△AOM的面積與△AOC的面積相等，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)?！敬鸢浮浚?），4；（2）不可能是直角三角形，見解析；（3）M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）【思路引導(dǎo)】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-4）．將a=-代入可得到拋物線的解析式，從而可確定出b、c的值；（2）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，依據(jù)勾股定理可求得AC=5，則PC=5-t，AQ=3+t,再判斷當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，則∠APQ＝90°，從而得出△AOC∽△APQ，得到比例式列方程求解即可；(3)根據(jù)點(diǎn)M在拋物線上，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+4），再根據(jù)△AOM的面積與△AOC的面積相等，從而得出﹣m2+m+4=，解方程即可．【解析】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣4）．將a＝﹣代入得：y＝﹣x2+x+4，∴b＝，c＝4．（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中，△APQ不可能是直角三角形．理由如下：∵在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中，∠PAQ、∠PQA始終為銳角，∴當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，則∠APQ＝90°．將x＝0代入拋物線的解析式得：y＝4，∴C（0，4）．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），∴在Rt△AOC中，依據(jù)勾股定理得：AC＝5，∵AP＝OQ＝t，∴AQ=3+t，∵∠OAC＝∠PAQ，∠APQ＝∠AOC∴△AOC∽△APQ∴AP:AO=AQ:AC∴=∴t=4.5．∵由題意可知：0≤t≤4，∴t＝4.5不合題意，即△APQ不可能是直角三角形．(3)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+4）∵△AOM的面積與△AOC的面積相等，且底都為AO，C（0，4）．∴﹣m2+m+4=當(dāng)﹣m2+m+4=-4時(shí)，解得：m=或,當(dāng)﹣m2+m+4=4時(shí)，解得：m=1或0∵當(dāng)m=0時(shí)，與C重合，∴m=或或1∴M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）【方法總結(jié)】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定，靈活運(yùn)用相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵．9、如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動，另一個(gè)點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對稱軸上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動，問點(diǎn)M、N運(yùn)動到何處時(shí)，△MNB面積最大，試求出最大面積．【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，△MNB面積最大，最大面積是1．此時(shí)點(diǎn)N在對稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對稱軸上x軸下方2個(gè)單位處．【解析】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖1，①當(dāng)CP=CB時(shí)，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當(dāng)PB=PC時(shí)，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③當(dāng)BP=BC時(shí)，∵OC=OB=3∴此時(shí)P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，△MNB面積最大，最大面積是1．此時(shí)點(diǎn)N在對稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對稱軸上x軸下方2個(gè)單位處．10、如圖，二次函數(shù)（）的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．連結(jié)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，且當(dāng)和時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值相等．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿邊運(yùn)動，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為秒時(shí)，連結(jié)，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的處，求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以為項(xiàng)點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）t=，；（3）Q（-1，），見解析.【解析】解：（1）∵在拋物線上∴代入得c=∵x=-4和x=2時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等，∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo),,又∵A（-3，0）在拋物線上，∴9a?3b+=0由以上二式得;（2）由（1）,∴B（1，0），連接BP交MN于點(diǎn)O1，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：O1也為PB中點(diǎn)．設(shè)t秒后有,設(shè)P（x，y），B（1，0）∵O1為P、B的中點(diǎn)可得，即,∵A，C點(diǎn)坐標(biāo)知AC：，P點(diǎn)也在直線AC上代入得t=,即；（3）假設(shè)成立；①若有△ACB∽△QNB，則有∠ABC=∠QBN，∴Q點(diǎn)在x軸上，AC∥QN但由題中A，C，Q，N坐標(biāo)知直線的一次項(xiàng)系數(shù)為：，則△ACB不與△QNB相似．②若有△ACB∽△QBN，則有設(shè)，則，代入（1）得，或，當(dāng)時(shí)有Q（-1，）則不滿足相似舍去；當(dāng)y=有Q（-1，）則，∴存在點(diǎn)Q（-1，）使△ACB∽△QBN．綜上可得：Q（-1，）.11、已知，如圖1，二次函數(shù)y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為C與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），點(diǎn)C、B關(guān)于過點(diǎn)A的直線l：y＝kx+3對稱．（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)及直線l的解析式；（2）求二次函數(shù)解析式；（3）如圖2，過點(diǎn)B作直線BD∥AC交直線l于D點(diǎn)，M、N分別為直線AC和直線l上的兩個(gè)動點(diǎn)，連接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．【答案】(1)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（1，0），直線l的表達(dá)式為：y＝33x+3;(2)二次函數(shù)解析式為：y＝﹣32x2﹣3x+【解析】解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，則x＝﹣1或3，即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（1，0），點(diǎn)A坐標(biāo)代入y＝kx+3得：0＝﹣3k+3，解得：k=即直線l的表達(dá)式為：y=同理可得直線AC的表達(dá)式為：y直線BD的表達(dá)式為：y=聯(lián)立①②并解得：x＝3，在點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，23）；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，m），點(diǎn)C、B關(guān)于過點(diǎn)A的直線l：y＝kx+3對稱得AC2＝AB2，即：（﹣3+1）2+m2＝16，解得：m=±23（舍去負(fù)值），點(diǎn)C（1，2將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)并解得：a=-故二次函數(shù)解析式為：y=-（3）連接BC，則CN+MN的最小值為MB（即：M、N、B三點(diǎn)共線），作D點(diǎn)關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)Q交y軸于點(diǎn)E，則MB+MD的最小值為BQ（即：B、M、Q三點(diǎn)共線），則CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，∵DQ⊥AC，AC∥BD，∴∠QDB＝90°，作DF⊥x軸交于點(diǎn)F，DF＝ADsin∠DAF=43∵B、C關(guān)于直線l對稱，即直線l是∠EAF的平分線，∴ED＝FD＝23，則QD＝43，BD＝4，∴BQ=4即CN+NM+MD的最小值為8．12、如圖，點(diǎn)A、C分別是一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與y軸、x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，且該二次函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)D，使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)D，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C到點(diǎn)A都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．①當(dāng)t為何值時(shí)，有PQ丄AC？②當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PDCQ的面積最小？此時(shí)四邊形PDCQ的面積是多少？【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）①當(dāng)t＝秒時(shí)，PQ⊥AC，②當(dāng)t＝時(shí)，四邊形PDCQ的面積最小，最小面積為【解析】解：（1）當(dāng)x＝0，y＝﹣x+3＝3，則點(diǎn)A（0，3），當(dāng)y＝0，﹣x+3＝0，解得x＝4，則點(diǎn)C（4，0），∵點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴點(diǎn)B（﹣4，0），BC＝8，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥x軸，AD＝BC＝8，∴D（8，3），將點(diǎn)B（﹣4，0），點(diǎn)D（8，3）代入二次函數(shù)y＝x2+bx+c得，解得，∴二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝x2﹣x﹣3；（2）①∵A（0，3），C（4，0），∴AC＝＝5，，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動了t秒時(shí)，則AP＝t，CQ②作QH⊥AD于H，如圖，∵∠HAQ＝∠OCA，∴△AQH∽△CAO，∴，即，解得QH＝（5﹣t），∴S四邊形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP＝?3?8﹣t?（5﹣t）＝t2﹣t+12＝（t﹣）2+，∴當(dāng)t＝時(shí)，四邊形PDCQ的面積最小，最小面積為．13、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C；拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)A．（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)P（x，y）是（1）所得拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l⊥x軸于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N．①若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)．試問：線段PN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大