初中數(shù)學(xué)120大招-81 中點(diǎn)模型

中點(diǎn)模型知識(shí)精講1. 在等腰三角形中有底邊中點(diǎn)或證明底邊中點(diǎn)時(shí)，可以作底邊的中線，利用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.例：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，則AD平分∠BAC，AD是邊BC上的高，AD是BC邊上的中線.【說(shuō)明】應(yīng)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是證明兩條直線垂直的重要方法.2. 在直角三角形中，有斜邊中點(diǎn)或有斜邊的倍分關(guān)系線段時(shí)，可以作斜邊的中線解決問(wèn)題，例：（1）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD，則CD＝AD＝BD.（2）如圖，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜邊AB上的中線CD，則AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等邊三角形.【總結(jié)】在直角三角形中，若遇到斜邊的中點(diǎn)，則連接直角頂點(diǎn)與斜邊的中點(diǎn)是解決問(wèn)題的基本方法，作這條輔助線的目的是得到三條相等的線段及兩對(duì)相等的角.3. 將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形（倍長(zhǎng)中線），例：（1）如圖，在△ABC中，AD為△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得DE＝AD，連接BE，則△ADC≌△EDB.（2）如圖，在△ABC中，AD為△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得DE＝AD，連接BE，則四邊形ABEC是平行四邊形.4. 將三角形中線上的一部分延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形，例：如圖，已知點(diǎn)E是△ABC中線AD上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)F，使得DE＝DF，連接BF、CF，則四邊形BFCE為平行四邊形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.【總結(jié)】證明兩條線段相等常用的方法：①當(dāng)要證明的兩條線段是兩個(gè)三角形的邊時(shí)，一般通過(guò)證明這兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等，通過(guò)三角形全等的對(duì)應(yīng)邊相等來(lái)證明兩條線段相等；②當(dāng)兩條線段是同一個(gè)三角形的兩條邊時(shí)，一般證明這兩條邊所對(duì)的角相等，利用等角對(duì)等邊證明兩條線段相等.5. 有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可以倍長(zhǎng)此線段，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形，例：如圖，已知點(diǎn)C為邊AE上一點(diǎn)，O為AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CO至點(diǎn)D，使得，連接AD、BD，則，，四邊形ADBC為平行四邊形.6. 有三角形中線時(shí)，可過(guò)中點(diǎn)所在的邊的兩端點(diǎn)向中線作垂線，構(gòu)造全等三角形，例：如圖，AF為△ABC的中線，作BD⊥AF交AF延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，作CE⊥AF于點(diǎn)E，則△BDN≌△CEN.7. 在三角形中，有一邊的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)中點(diǎn)作三角形一邊的平行線或把某條線段構(gòu)造成中位線，利用已知的條件可求線段長(zhǎng)，例：如圖，D為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，則DE為△ABC的中位線；過(guò)點(diǎn)B作BF∥DC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則DC為△ABF的中位線.8. 有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）中點(diǎn)時(shí)，連接任意兩個(gè)中點(diǎn)可得三角形的中位線，例：如圖，D、E、F分別為△ABC三邊中點(diǎn)，連接DE、DF、EF，則，，.9. 有一邊中點(diǎn)，并且在已知或求證中涉及線段的倍分關(guān)系時(shí)，可以取另一邊的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形的中位線，例：如圖，點(diǎn)E是△ABC邊BC的中點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)F，連接EF，則EF∥AB，.10. 當(dāng)圓心與弧（或弦）的中點(diǎn)，可以利用垂徑定理解決問(wèn)題，例：（1）如圖，，連接AC、OB，則OB⊥AC，OB平分AC.如圖，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，連接OC，則OC⊥AB.中點(diǎn)模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）1. 如圖，在矩形ABCD中，E為CB延長(zhǎng)線一點(diǎn)且AC＝CE，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，求證：BF⊥FD.【解答】見解析【解析】如圖，連接CF.∵AC＝CE，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，∴CF⊥AE，∴∠AFD＋∠DFC＝90o，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD，AB⊥CE，∠ABC＝∠BAD＝90o，在Rt△ABE中，∵F為AE的中點(diǎn)，∴BF＝AF，∴∠FBA＝∠FAB，∴∠FAB＋∠BAD＝∠FBA＋∠ABC，即∠FBC＝∠FAD，又∵AD＝BC，F(xiàn)A＝FB，∴△FBC≌△FAD，∴∠AFD＝∠BFC，∴∠BFD＝∠BFC＋∠DFC＝∠AFD＋∠DFC＝90o，∴BF⊥FD.2. 如圖，在梯形ABCD中，∠B＋∠C＝90o，EF是兩底中點(diǎn)的連線，求證：BC－AD＝2EF.【解答】見解析【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB交BC于點(diǎn)M，EN∥DC交NC于點(diǎn)N.∵四邊形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴四邊形ABME和四邊形DCNE為平行四邊形，∴BM＝AE，CN＝DE，∵E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，∴AE＝ED，BF＝CF，∴FM＝FN，∵EM∥AB，EN∥DC，∴∠EMN＋∠B，∠ENM＝∠C，又∵∠B＋∠C＝90o，∴∠EMN＋∠ENM＝90o，即∠MEN＝90o，∴EF＝MN，∴EF＝[BC－（BM＋NC）]＝（BC－AD），即BC－AD＝2EF.3. 如圖，在△ABC中，∠BAC＝90o，AB＝AC，AD＝CD，AF⊥BD于點(diǎn)E交BC于點(diǎn)F，求證：BF＝2FC.【解答】見解析【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠N，∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDN，∴△ADE≌△CDN（AAS），∴DE＝DN，∵AF⊥BD，CN⊥BD，∴AF∥CN，∴，∵∠BAC＝90o，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA，∴，即，同理可證，∴，∵AB＝AC＝2AD，，又∵DN＝DE，，∴，∴BF＝2FC.4. 如圖，在四邊形ABCD中，E為AB上的一點(diǎn)，△ADE和△BCE都是等邊三角形，AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N，試判斷四邊形PQMN的形狀.【解答】四邊形PQMN為菱形【解析】如圖，連接AC、BD.∵△ADE和△BCE都是等邊三角形，∴∠AEC＝120o，∠BED＝120o，∴∠AEC＝∠BED，又∵EA＝ED，EC＝EB，∴△AEC≌△DEB，∴AC＝BD，又∵P、Q、M、N分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴PNBD，QMBD，∴PNQM，∴四邊形PQMN是平行四邊形，又∵PN＝BD，MN＝AC，∴MN＝PN，∴四邊形PQMN是菱形.5. 如圖，P是圓O外的一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引兩條割線PAB、PCD，點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)，連接MN分別交AB、CD于點(diǎn)E、F.（1）求證：△PEF是等腰三角形；（2）若點(diǎn)P在圓上或圓內(nèi)，其他條件不變，結(jié)論還能成立嗎？【解答】（1）見解析；（2）結(jié)論依然成立，理由見解析【解析】（1）如圖，證明：連接OM、ON，分別交AB、CD于點(diǎn)G、H.∵點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)，∴OM⊥AB，ON⊥CD，即∠MGE＝∠NHF＝90o，又∵OM＝ON，∴∠M＝∠N，∴∠MEG＝∠NFH，∵∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，連接OM、ON，分別交AB、CD于點(diǎn)G、H.∵OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM，又∵點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)，∴∠MGE＝∠NHF＝90o，∴∠MEG＝∠NFH，∵∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，連接OM、ON，分別交AB、CD于點(diǎn)G、H.∵OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM，又∵點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)，∴∠MGE＝∠NHF＝90o，∴∠MEG＝∠NFH，∵∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形；6. 半徑為1的半圓形紙片，按如圖方式沿AB折疊，使折疊后半圓弧的中點(diǎn)M與圓心O重合，求圖中陰影部分面積？【解答】【解析】如圖，連接OM交AB于點(diǎn)C，連接OA、OB.由題意可得OM⊥AB，且OC＝MC＝，在Rt△AOC中，∵OA＝1，OC＝，，∴∠AOC＝60o，AB＝2AC＝，∴∠AOB＝2∠AOC＝120o，則，.7． 如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AC平分∠DAB，E、F分別為對(duì)角線AC、DB的中點(diǎn)，且EF＝4．求這個(gè)梯形的面積．【解答】483【解析】∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB＝∠ABC＝60°，DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB=12∠DAB＝30°，∠DCA＝∠∴∠ACB＝90°，AD＝DC＝BC，∴AB＝2BC＝2CD，設(shè)CD＝a，則AB＝2a，連接DE，并延長(zhǎng)DE交AB于M，∵在△DEC和△MEA中∠DCE=∠MAECE=AE∴△DEC≌△MEA（ASA），∴DC＝AM＝a，DE＝EM，∵DF＝BF，∴EF=12BM=12（∵EF＝4，∴4=12（2a﹣a＝8，即BC＝AD＝DC＝8，AB＝16，過(guò)C作CN⊥AB于N，∵BC＝8，∠ABC＝60°，∴∠BCN＝30°，∴BN=12BC＝4，由勾股定理得：CN＝4∴梯形的面積=12（DC+AB）×CN=12×8． 如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D為斜邊BC中點(diǎn)，DE⊥DF，求證：EF2＝BE2+CF2．【解答】見解析【解析】證明：延長(zhǎng)ED到G，使DG＝DE，連接EF、FG、CG，如圖所示：在△EDF和△GDF中DF=DF∠EDF=∠FDG=90°∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝FG又∵D為斜邊BC中點(diǎn)∴BD＝DC在△BDE和△CDG中，BD=DC∠BDE=∠CDG∴△BDE≌△CDG（SAS）∴BE＝CG，∠B＝∠BCG∴AB∥CG∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°在Rt△FCG中，由勾股定理得：FG2＝CF2+CG2＝CF2+BE2∴EF2＝FG2＝BE2+CF2．9． 半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P．已知BC：CA＝4：3，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng)．【解答】（1）325；（2）1423；（3）當(dāng)PC過(guò)圓心O，即PC取最大值5時(shí)，CQ【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，CP⊥AB，設(shè)垂足為D．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∴AB＝5，又∵BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3．又∵12AC?BC=12∴CD=125，在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∠CAB＝∠CPQ，Rt△ACB∽R(shí)t△PCQ∴ACBC∴CQ=BC?PCAC=（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E（如圖）．∵P是弧AB的中點(diǎn)，∴∠PCB＝45°，CE＝BE=22BC又∠CPB＝∠CAB∴tan∠CPB＝tan∠CAB=∴PE=BEtan∠CPB=34而從（1）中得，CQ=43PC（3）點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有CQ=BC?PCAC故PC最大時(shí)，CQ取到最大值．當(dāng)PC過(guò)圓心O，即PC取最大值5時(shí)，CQ最大值為20310．如圖已知?ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F（1）CD與FA相等嗎？為什么？（2）若使∠F＝∠BCF，?ABCD的邊長(zhǎng)之間還需要再添加一個(gè)什么條件？請(qǐng)你補(bǔ)上這個(gè)條件并說(shuō)明理由．【解答】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）CD＝FA．理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∵∠D＝∠EAF，∵E為AD的中點(diǎn)，即DE＝AE，∴在△CDE和△FAE中，∠D=∠EAFDE=AE∴△CDE≌△FAE（ASA），∴CD＝FA．（2）要使∠F＝∠BCF，需平行四邊形ABCD的邊長(zhǎng)之間是2倍的關(guān)系，即BC＝2AB，理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB，∵CD＝AF，∴AB＝AF，∴BF＝AB+AF＝2AB，∵BC＝2AB，∴BC＝BF，∴∠F＝∠BCF．11．如圖，在直角△ABC中，D為斜邊AB的中點(diǎn)，DE⊥DF，而E、F分別在AC和BC上，連結(jié)EF．觀察AE、EF、BF能不能組成直角