專題1.3 極值點(diǎn)偏移第一招-不含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題（解析版）-高中數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)

函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題，其實(shí)是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡(jiǎn)潔，涉及函數(shù)的雙零點(diǎn)，是一個(gè)多元數(shù)學(xué)問題，不管待證的是兩個(gè)變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，解題的策略都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).例.（2010天津理）已知函數(shù)，如果，且.證明：構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，，也即對(duì)恒成立.由，則，所以，即，又因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，所以，即證學(xué)&科網(wǎng)法三：由，得，化簡(jiǎn)得…，不妨設(shè)，由法一知，.令，則，代入式，得，反解出，學(xué)科#網(wǎng)則，故要證，即證，又因?yàn)?，等價(jià)于證明：…，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增，，從而也在上單調(diào)遞增，，學(xué)&科網(wǎng)構(gòu)造，則，又令，則，由于對(duì)恒成立，故，在上單調(diào)遞增，所以，從而，故在上單調(diào)遞增，由洛比塔法則知：，即證，即證式成立，也即原不等式成立.【點(diǎn)評(píng)】以上四種方法均是為了實(shí)現(xiàn)將雙變?cè)牟坏仁睫D(zhuǎn)化為單變?cè)坏仁剑椒ㄒ?、二利用?gòu)造新的函數(shù)來達(dá)到消元的目的，方法三、四則是利用構(gòu)造新的變?cè)?，將兩個(gè)舊的變?cè)紦Q成新變?cè)獊肀硎?，從而達(dá)到消元的目的.學(xué)科*網(wǎng)例.（2013湖南文）已知函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，【解析】易知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.學(xué)&科網(wǎng)招式演練：★已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)滿足.證明：.【解析】由，得從而，令，構(gòu)造函數(shù)，得，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，學(xué)&科網(wǎng)所以，也即，解得：.★已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若方程有兩個(gè)相異實(shí)根，，且，證明：.【答案】（Ⅰ）在(0,1)遞增，在(1,+遞減；（Ⅱ）見解析學(xué)科@網(wǎng)（2）由(1)可設(shè)的兩個(gè)相異實(shí)根分別為，滿足且，由題意可知又有(1)可知在遞減故所以，令新題試煉：【2019福建福州質(zhì)檢】已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）函數(shù)與函數(shù)的圖像總有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）求證：.【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）見解析【解析】（1）解：由已知得，∴∴，又∵，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：.（2）（ⅰ）令，∴，由得，；由得，易知，為極大值點(diǎn)，又時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在時(shí)有負(fù)值存在，在時(shí)也有負(fù)值存在.由題意，只需滿足，學(xué)科*網(wǎng)∴的取值范圍是：【2019北京八中期中】已知函數(shù)f(x)=xe?x(xR)（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）若x(0,1),求證：f(2?x)>f(x)；（Ⅲ）若x1(0,1),x2(1,+∞),且f(x1)=f(x2),求證：x1+x2>2.【答案】（1）在()內(nèi)是增函數(shù),在()內(nèi)是減函數(shù).在處取得極大值且（2）見解析(3)見解析【解析】=（1﹣x）e﹣x令，則x=1當(dāng)x變化時(shí)，，f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，1）1（1，+∞）+0﹣f（x）↗極大值↘∴f（x）在（﹣∞