專題2.14 等或不等解存在轉化值域可實現（解析版）-高中數學壓軸題講義(解答題)

【題型綜述】導數研究方程的根或不等式的解集

利用導數探討方程解的存在性，通?？蓪⒎匠剔D化為，通過確認函數或的值域，從而確定參數或變量的范圍；類似的，對于不等式，也可仿效此法．【典例指引】例1．已知函數．（1）若關于的方程在上有解，求實數的最大值；（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，說明理由；【思路引導】（1）方程在上有解，等價于有解，只需求的最大值即可；（2）假設存在，可推導出矛盾，即可證明不存在．例2．已知函數的最大值為，的圖象關于軸對稱．(Ⅰ)求實數的值；(Ⅱ)設，是否存在區(qū)間，使得函數在區(qū)間上的值域為？若存在，求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．【思路引導】(Ⅰ)由題意得，可得在上單調遞增，在上單調遞減，可得的最大值為，可得。由的圖象關于軸對稱，可得。(Ⅱ)由題知，則，從而可得在上遞增。假設存在區(qū)間，使得函數在上的值域是，則，將問題轉化為關于的方程在區(qū)間上是否存在兩個不相等實根的問題，即在區(qū)間上是否存在兩個不相等實根，令，，可得在區(qū)間上單調遞增，不存在兩個不等實根。問題轉化為關于的方程在區(qū)間上是否存在兩個不相等實根，即方程在區(qū)間上是否存在兩個不相等實根，令，，則,設,則，，故在上遞增，學&科網故，所以，故在區(qū)間上單調遞增，故方程在區(qū)間上不存在兩個不相等實根，綜上，不存在區(qū)間使得函數在區(qū)間上的值域是．點睛：（1）解決導數綜合題時，函數的單調性、極值是解題的基礎，在得到單調性的基礎上經過分析可使得問題得以解決。（2）對于探索性問題，在求解的過程中可先假設結論成立，然后在此基礎上進行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，則說明假設不成立；若無矛盾出現，則說明假設成立，從而說明所證明題成立。例3．已知函數為常數（1）當在處取得極值時，若關于x的方程在上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍；（2）若對任意的，總存在，使不等式成立，求實數的取值范圍．【思路引導】（1）對函數，令，可得的值，利用導數研究的單調性，然后求得的最值，即可得到的取值范圍；（2）利用導數求出在上的最大值，則問題等價于對對任意，不等式成立，然后構造新函數，再對求導，然后討論，得出的單調性，即可求出的取值范圍．當時，，所以在區(qū)間上單調遞減，此時所以不可能使恒成立，故必有，因為若，可知在區(qū)間上單調遞增，在此區(qū)間上有滿足要求若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上有，與恒成立相矛盾，所以實數的取值范圍是．學&科網點睛：本題主要考查函數的單調性及恒成立問題，涉及函數不等式的證明，綜合性強，難度較大，屬于難題．在處理導數大題時，注意分層得分的原則，一般涉及求函數單調性時，比較容易入手，求導后含參數的問題注意分類討論，對于恒成立的問題，一般要構造新函數，再利用導數求出函數單調性及最值，涉及到的技巧較多，需多加體會．【新題展示】1．【2019山東棗莊上學期期末】已知（I）求函數的極值；（II）若方程僅有一個實數解，求的取值范圍．【思路引導】（I）先根據題意，求出，再求出，然后對a進行討論，求得的單調性，然后取得極值.（II）僅有一個實數解,即有唯一零點，然后求得，再對a進行討論，討論單調性，求得的最小值，再利用零點存在性定理，最后求得a的取值.【解析】（I）,當，，在上是增函數，所以，函數沒有極值.（II）僅有一個實數解,即有唯一零點.當，，此時在R上遞增，因為，所以在遞減；在遞增，，當x=0取等號，所以滿足題意；當時，所以在遞減，上遞增；令此時當上，遞增；當上，遞減；當且緊當取等號，所以（1）當，，且因為（利用：當時，），所以由零點存在性定理，可得存在唯一使得，注意（）于是，當遞增；當遞減；當遞增；于是且當由零點存在性定理：必然存在一個使得此時，存在兩個零點，可見不滿足題意；（3）當時，則此時在R上遞增，且，所以此時有唯一一個零點所以滿足題意綜上，a的取值范圍為2．【2019廣西柳州畢業(yè)班1月模擬】已知函數，（1）當時，求函數的單調區(qū)間；（2）定義：對于函數，若存在，使成立，則稱為函數的不動點.如果函數存在不動點，求實數的取值范圍.【思路引導】（1）將代入，結合導函數，判定單調區(qū)間，即可。（2）用x表示a，構造函數，求導，判定原函數的單調性，計算最值，計算a的范圍，即可?！窘馕觥浚?）存在不動點，方程有實數根.即有解.令令，.當時，，遞減；當時，，遞增；當時，有不動點，范圍3．【2019山東濟南上學期期末】已知函數.（1）若曲線在點處切線的斜率為1，求實數的值；（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍.【思路引導】(1)求出，令x=1,即可解出實數的值；（2）時，恒成立轉化為求函數最小值大于零即可.【解析】（?。┊敃r，在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上是增函數，所以，所以在上恒成立，所以在上是增函數，所以在上恒成立，符合題意；（ⅱ）當時，，，所以，使得，當時，，所以，所以在上是減函數，所以在上是減函數，所以，所以在上是減函數，所以，不符合題意；綜上所述：.4．【2019江西南昌二中上學期期末】已知函數在處取到極值2.（1）求的解析式；（2）若a<e，函數，若對任意的，總存在（為自然對數的底數），使得，求實數的取值范圍.【思路引導】(1)先對函數求導，再由函數在處取到極值2，可列出方程組，解方程組即可得出解析式;(2)由(1)可得函數的定義域為R，且函數為奇函數，進而求出的值域，從而可求出的最小值，因此可將函數，若對任意的，總存在（為自然對數的底數），使得的問題轉化為在上成立的問題，用導數的方法研究函數的單調性和最值即可求出結果.【解析】(2)由(1)知的定義域為R，且，所以函數為奇函數，，時，，，當且僅當時，取等號；故函數的值域為，從而，依題意有，函數的定義域為，，①當時，，函數在區(qū)間上單調的證，其最小值為,符合題意；5．【2019江蘇蘇州上學期期末】已知函數(a，bR)．（1）當a＝b＝1時，求的單調增區(qū)間；（2）當a≠0時，若函數恰有兩個不同的零點，求的值；（3）當a＝0時，若的解集為(m，n)，且(m，n)中有且僅有一個整數，求實數b的取值范圍．【思路引導】（1）當a＝b＝1時，求得函數的導數，即可求解函數的單調區(qū)間；（2）法一：求得，令，得或，由函數f（x）有兩個不同的零點，求得的方程，即可求解；法二：由得，，設，利用導數求得函數的單調區(qū)間和極值，進而可得函數的零點。（3）當時，可得，設，利用導數得到函數的單調區(qū)間和極值，轉化為要使有解，和的解集（m,n）中只有一個整數，分別列出不等式組，即可求解?！窘馕觥浚?）當a＝b＝1時，，令，解得或所以f（x）的單調增區(qū)間是和（2）法一：，令，得或，因為函數f（x）有兩個不同的零點，所以或，當時，得a＝0，不合題意，舍去：當時，代入得即，所以.（3）當時，因為，所以設，則，當時，因為，所以在上遞增，且，所以在上，，不合題意：當時，令，得，所以在遞增，在遞減，所以，要使有解，首先要滿足，解得.①又因為，，要使的解集（m,n）中只有一個整數，則即解得.②【同步訓練】1．設函數，，已知曲線在點處的切線與直線平行．（1）求的值；（2）是否存在自然數，使得方程在內存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由．【思路引導】（1）求出的導數，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得；（2）求出、的導數和單調區(qū)間，最值，由零點存在定理，即可判斷存在k=1．又，所以存在，使．因為，所以當時，，當時，，學&科網所以當時，單調遞增，所以時，方程在內存在唯一的根．點睛：本題考查函數的單調性、極值，同時考查零點存在定理和分段函數的最值，考查運算能力，涉及函數不等式的證明，綜合性強，難度大，屬于難題．處理導數大題時，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對，第三問爭取能寫點，一般涉及求函數單調性及極值時，比較容易入手，求導后注意分類討論，對于恒成立問題一般要分離參數，然后利用函數導數求函數的最大值或最小值，對于含有不等式的函數問題，一般要構造函數，利用函數的單調性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會．2．已知函數．（1）若函數在其定義域內為增函數，求實數的取值范圍；（3）設函數，若在上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍．【思路引導】（1）由題意得導函數在其定義域內恒非負，再根據二次方程恒成立條件得實數的取值范圍；（2）將不等式有解問題，利用參變分離法轉化為對應函數最值問題，再利用導數求對應函數最值，即得實數的取值范圍．則原問題轉化為在上至少存在一點，使得，即．①時，，∵，∴，，，則，不符合條件；②時，，由，可知，學&科網則在單調遞增，，整理得．綜上所述，．點睛：對于求不等式成立時的參數范圍問題，在可能的情況下把參數分離出來，使不等式一端是含有參數的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數，這樣就把問題轉化為一端是函數，另一端是參數的不等式，便于問題的解決．但要注意分離參數法不是萬能的，如果分離參數后，得出的函數解析式較為復雜，性質很難研究，就不要使用分離參數法．3．已知函數，其中（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范圍．【思路引導】（1）函數的單調區(qū)間與導數的符號相關，而函數的導數為，故可以根據的符號討論導數的符號，從而得到函數的單調區(qū)間．（2）若不等式在上有解，那么在上，．但在上的單調性不確定，故需分三種情況討論．（2）若在上存在，使得成立，則在上的最小值小于．①當，即時，由（1）可知在上單調遞增，在上的最小值為，由，可得，②當，即時，由（1）可知在上單調遞減，在上的最小值為，由，可得；學&科網③當，即時，由（1）可知在上單調遞減，在上單調遞增，在上的最小值為，因為，所以，即，即，不滿足題意，舍去．綜上所述，實數的取值范圍為．點睛：函數的單調性往往需要考慮導數的符號，通常情況下，我們需要把導函數變形，找出能決定導數正負的核心代數式，然后就參數的取值范圍分類討論．又不等式的恒成立問題和有解問題也常常轉化為函數的最值討論，比如：“在上有解”可以轉化為“在上，有”，而“在恒成立”可以轉化為“在上，有”．4．已知函數．（1）若在上遞增，求的取值范圍；（2）若，與至少一個成立，求的取值范圍（參考數據：）【思路引導】（1）由題意可得在，上遞增，又在上遞增，故或，解得或，即為所求。（2）結合（1）中結論及條件可得，。分，和兩種情況可求得或．（2）由（1）知，在上單調遞減，在上單調遞增∴，又，，∴，當，即時，顯然成立；學&科網當，即時，可得或，點睛：已知函數單調性求參數取值范圍的方法（1）若函數的單調區(qū)間容易求出，可轉化為集合間的包含關系，在此基礎上得到關于參數的不等式（組）求解。（2）若函數的單調區(qū)間不易求出，可利用在所給區(qū)間上恒成立解決，解題時可根據分離參數的方法求解出參數的范圍。5．已知函數．若，求函數的極值；設函數，求函數的單調區(qū)間；若在區(qū)間上不存在，使得成立，求實數的取值范圍．【思路引導】（1）先求導數，再求導函數零點，列表分析導數符號，確定極值（2）先求導數，求導函數零點，討論與零大小，最后根據導數符號確定函數單調性（3）正難則反，先求存在一點,使得成立時實數的取值范圍，由存在性問題轉化為對應函數最值問題，結合（2）單調性可得實數的取值范圍，最后取補集得結果，∴；當時，在上遞減，在上遞增令，則在遞減，，無解，即無解；學&科網綜上：存在一點,使得成立，實數的取值范圍為：或．所以不存在一點，使得成立，實數的取值范圍為．點睛：函數單調性問題，往往轉化為導函數符號是否變號或怎樣變號問題，即轉化為方程或不等式解的問題（有解，恒成立，無解等），而不等式有解或恒成立問題，又可通過適當的變量分離轉化為對應函數最值問題．6．已知函數

(為實常數)．(1)若,求曲線在處的切線方程;(2)討論函數在上的單調性;(3)若存在,使得成立,求實數的取值范圍．【思路引導】(1)求出切線的斜率，，即可得出切線方程；(2)[1,e]，分、三種情況討論導數的符號，即可得出結論；(3)分、三種情況討論函數的單調性并求出最值,則易得結論．⑶當時,在上單調增,的最小值為當時,在上單調減,在上單調增,的最小值為．因為學&科網．當時,在上單調減,的最小值為,學&科網，綜上,7．已知，其中．（1）求函數的極大值點；（2）當時，若在上至少存在一點，使成立，求的取值范圍．【思路引導】（1）求導，對進行四類討論，得到極大值的情況；（2）在上至少存在一點，使成立，等價于當時，，結合（1）的單調性情況，求，得到的取值范圍．8．已知函數（）（1）若，求的極值；（2）若存在，使得成立，求實數的取值范圍．【思路引導】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值即可；（2）問題轉化為，成立，設，根據函數的單調性求出a的范圍即可．試題解析：（2）存在，使得成立，等價于，（）成立設則令，解得：（舍），；①當，在遞減∴令，解得：學&科網②當時，在遞減，在遞增∴與矛盾綜上，9．已知函數，．（1）求函數的單