原子物理與量子力學-全套課件

原子物理與量子力學唐敬友主編tangjingyou@TelOMP)教學提示1.緒論(2學時)2.以復習、回憶大學物理知識為主，并閱讀有關文獻。本講主要參考書：禇圣麟，《原子物理學》，北京：高等教育出版社，1979.曾謹言，《量子力學教程》，北京：科學出版社，2003.各種物理學史的專著。經(jīng)典物理學的回顧——19世紀末經(jīng)典物理學大廈1、宏觀力學(1)理論基礎牛頓三大定律、三大守恒定律、萬有引力定律。(2)學科分類

見下圖。2、熱力學與統(tǒng)計物理（1）熱力學——熱力學四大定律、麥氏關系（2）分子運動動理學——經(jīng)典統(tǒng)計物理學（隨溫度分布律）（3）熱的傳導、對流與輻射——傳熱傳質學（4）相變熱力學——氣體、液體和固體的三態(tài)相變（第四態(tài)：等離子體態(tài)？）3、電磁學與光學的統(tǒng)一(1)靜電場與靜磁場——電荷與磁極的靜態(tài)性質(2)Maxwell方程組及其邊界條件——電磁場理論(3)光的波動理論與電磁場理論的統(tǒng)一——電介質物理4.電子的發(fā)現(xiàn)與原子核式結構模型的提出

此外，還應當提出適當?shù)某跏紬l件，才能形成定解方程組。19世紀末經(jīng)典物理學的整體印象物理學的高樓大廈已經(jīng)建成。正如JCMaxwell于1871年在劍橋大學就職演說中所講：“在幾年中，所有重要的物理常數(shù)將被近似估計出來……給科學界人士留下的只是提高這些常數(shù)的觀測精度?！?9世紀末物理學大師們的態(tài)度1.興高采烈2.疑慮困惑——晴朗的物理學天空中有兩朵小小的、令人不安的烏云以太紫外災難W.Thomson（Kelvin勛爵）提出經(jīng)典物理的困難與近代物理的突破1.經(jīng)典物理的困難黑體輻射黑體：在任何溫度下都能全部吸收落在它上面的一切輻射的理想吸收體。黑體輻射的經(jīng)典電磁理論與經(jīng)驗規(guī)律斯特藩—玻耳茲曼公式（1879）：黑體表面單位面積上單位時間內(nèi)發(fā)射出的總能量與它的熱力學溫度的四次方成正比，即總輻射本領維恩位移定律（1893）：黑體輻射的能譜峰位的波長與溫度成反比，即維恩分布定律（1895）：能譜密度分布公式瑞利—金斯公式（1895）：能譜密度分布公式黑體輻射規(guī)律在短波（或高頻）情況下維恩分布定律與實驗結果一致，而在長波（或低頻）下與實驗偏差較大。在長波（或低頻）情況下的實驗結果與瑞利—金斯公式一致。瑞利—金斯公式在長波（或低頻）下與實驗結果一致，但在極高頻（或極短波）時，能譜密度為無窮大，與實驗事實相悖，史稱“紫外災難”。黑體輻射能譜密度與波長的關系圖普朗克公式（見教材附錄A3）

1900年，普朗克借用數(shù)學上的內(nèi)插法，經(jīng)過一系列的推導得到了與實驗符合得非常好的黑體輻射能譜分布公式，即著名的普朗克公式：

普朗克在推導公式中首先用到了能量子的概念，這也是他成功導出上式的關鍵。但他對自己的工作非常不滿意，認為是一個牽強附會的做法。對此規(guī)律的解釋，經(jīng)典理論無能為力！固體比熱

杜隆和伯替按能量均分定理導出的固體比熱容是常數(shù)3R（R是理想氣體常數(shù)）。在室溫和更高的溫度下，實驗結果與之相符。但在極低溫度下，固體的比熱容隨溫度趨于零而快速趨于零（正比于溫度T3）。

對此解釋，經(jīng)典理論也無能為力！氫原子的線狀光譜氫原子光譜是線狀光譜，不是連續(xù)光譜。氫原子的光譜線系的波數(shù)（或波長）可用簡單的經(jīng)驗公式表示上式中，n、m均取正整數(shù)，且m>n。此式叫里德伯方程。n取不同的值時對應不同的線系，先后被發(fā)現(xiàn)的氫光譜線系見下表。對此規(guī)律的解釋，經(jīng)典理論也無能為力！譜線系名稱波段范圍nm發(fā)現(xiàn)者發(fā)現(xiàn)年代賴曼系紫外12,3,4,…Lyman1914巴耳末系可見23,4,5,…Balmer1853帕邢系紅外34,5,6,…Paschen1908布喇開系紅外45,6,7,…Brackett1922普豐特系紅外56,7,8,…Pfund1924漢福萊系紅外67,8,9,…Humphreys?原子核式結構模型原子結構電子的發(fā)現(xiàn)：電量、質量（荷質比）。湯姆孫模型：西瓜模型，即電子均勻鑲嵌在正電荷中。盧瑟福的核式結構模型：行星模型，即核外電子繞原子核運動。原子核式結構模型的正確性α粒子散射實驗——物理模型實驗裝置原理理論解釋

利用電子與核電荷之間的庫侖相互作用運動，可導出庫侖散射公式式中，Z1、Z2分別是入射粒子和靶核的原子序數(shù)，E是入射粒子的動能，

是散射角，b稱為瞄準距離。問題：由于瞄準距離在實驗中無法準確測量，上述公式的正確性不能用實驗驗證。盧瑟福公式微分截面的定義表示對于單位面積內(nèi)的每個靶核，單位入射粒子、單位立體角內(nèi)的散射粒子數(shù)。盧瑟福公式物理意義：α粒子散射到

方向單位立體角內(nèi)每個靶原子的有效散射截面。它具有面積的量綱，單位：m2/sr（米2/球面度）。盧瑟福公式的實驗證明以上結果被盧瑟福的學生蓋革、馬斯頓于1913年一一證明。原子核式結構模型——行星模型的困難原子的穩(wěn)定性：無法解釋原子的穩(wěn)定性。按照經(jīng)典電動力學理論，加速的核外電子在原子核電場中運動會不斷產(chǎn)生電磁輻射，其能量會減少，最終很快使電子掉到原子核中。到事實上，原子十分穩(wěn)定，并沒有坍縮。原子的同一性：任何哪種原子，只要核電荷數(shù)相同，無論它處在哪里或來自何方，它們就完全一樣。但宇宙中未發(fā)現(xiàn)兩顆完全相同的星體。行星模型不能解釋原子的同一性。原子的再生性：原子與外來粒子發(fā)生作用，其作用一旦去除，原子將恢復其原貌。而行星受到外來星體的撞擊，那將是災難性的，不可能恢復。2.近代物理的突破和三大理論的誕生(1)量子力學——烏云之一被驅散(2)狹義相對論——烏云之二被驅散(3)廣義相對論科學是有趣的，但有無數(shù)多的奧秘還未被揭示。韓愈在《師說》中說：弟子不必不如師，師不必賢于弟子。愿青年朋友勇攀科學高峰，青出藍而勝于藍！本章小結謝謝!原子物理與量子力學唐敬友主編tangjingyou@TelOMP)第二章玻爾的舊量子論§2.0背景知識請閱讀教材的開頭段，你認為對哪個問題感興趣？一、量子假說根據(jù)之一：黑體輻射黑體及黑體腔熱平衡輻射理論Kirchhoff定律

1859，Kirchhoff證明：黑體的熱輻射達到平衡時，能量譜密度E~E(ν,T)，與空腔的形狀及組成物質無關。（2）Wien位移定律

1893年，Wien發(fā)現(xiàn)黑體輻射的位移定律:并得到熱平衡輻射的能量密度的經(jīng)驗關系：（3）Raylight-Jeans公式

1900~1905年間，Raylight與Jeans根據(jù)電動力學和統(tǒng)計物理學導出：

（3）黑體輻射實驗及Planck公式黑體輻射實驗結果——能譜曲線（1）在低頻時與R-J公式符合較好；（2）在高頻時與Wien公式符合較好；（3）Planck的猜測：1900年10月19日，Kirchhoff的學生Planck根據(jù)黑體輻射的能譜曲線特征和前人做的理論工作，猜出了能譜密度公式——著名的黑體輻射公式

特點：（1）在低頻時與R-J公式符合；（2）在高頻時與Wien公式符合；（3）可導出Wien位移定律與Stefan公式。3.晴朗的物理學天空中的烏云之一——紫外災難由Raylight-Jeans公式，黑體輻射的總能量密度

嚴重背離實驗事實，這是著名的紫外災難。4.烏云的驅散——可惡的量子假設（1）熱輻射發(fā)射的電磁波的態(tài)密度(見:王正行《近代物理》，北京大學出版社，1995)（2）可惡的量子假設設溫度為T的黑體達到熱平衡輻射時,頻率為ν的粒子只能具有一系列的分立能量，即只能是ε0=hν的整數(shù)倍：稱這些分立能量的粒子為量子。它們的能量分布遵從Boltzmann分布。由此可以計算出它們的平均能量:上式中，β=1/k，k為Boltzmann常數(shù)。（3）由（1）、（2）的結果，可得總輻射的能譜密度：總輻射能量密度——總輻射本領利用定積分公式得到斯特藩—玻耳茲曼定律它雖然和實驗結果吻合得如此之好。Planck于年獲得了Robel物理學獎。但假設畢竟是假設，Planck也認為這是可惡的量子假設。二、量子假說之二：光電效應光電效應的發(fā)現(xiàn)1887年，Hertz的放電實驗發(fā)現(xiàn)了電磁波，確定了電磁波傳播速度等于光速，并注意到紫外光照射放電陰極時更容易引起放電。1888年，Hallwachs發(fā)現(xiàn)清潔而絕緣的鋅板在紫外光照射下獲得正電荷，而帶負電的板失去負電荷。1900年，Lenard正式發(fā)現(xiàn)了光電效應；1902年指出，光電效應不能用波動學說解釋。1905年，Einstein提出了光量子假說,成功地解釋了光電效應現(xiàn)象。1916年，Millikan驗證了愛因斯坦的光電效應公式，并精確測定了Planck常數(shù)。2.光電效應的實驗規(guī)律(以下內(nèi)容由同學們自學)（1）實驗裝置（2）實驗結果3.光量子假設下的理論解釋

1924年，Einstein因在光電效應方面的研究成果，獲諾貝爾物理學獎。三、光譜的實驗事實光譜的概念

光的強度分布與頻率的關系，成為光譜。測量光譜的儀器稱為光譜儀。（請思考：常用的光譜儀有哪些？）2.氫原子光譜的實驗規(guī)律1885年，Balmer提出的經(jīng)驗公式

式中，B=364.56nm，是經(jīng)驗常數(shù)，n取不同值時，光譜線的波長落在可見光范圍內(nèi)，稱為Balmer系。1889年，Rydberg提出了一個氫原子光譜的普適公式譜線系名稱波段范圍n發(fā)現(xiàn)者發(fā)現(xiàn)年代賴曼系紫外12,3,4,…Lyman1914巴耳末系可見23,4,5,…Balmer1853帕邢系紅外34,5,6,…Paschen1908布喇開系紅外45,6,7,…Brackett1922普豐特系紅外56,7,8,…Pfund1924漢福萊系紅外67,8,9,…Humphreys?氫原子光譜線系氫原子光譜圖解§2.1玻爾的氫原子理論

玻爾模型的三部曲：第一部曲——經(jīng)典軌道的定態(tài)條件電子繞核作“行星運動”的向心力：庫侖引力（？）總能量：E=?電子作圓周運動的頻率：經(jīng)典電動力學的結果：整個原子坍塌。

玻爾假定之一：電子的軌道運動不會發(fā)生電磁輻射，而是穩(wěn)定地處在相應的能量狀態(tài)上，該狀態(tài)為定態(tài)。

第二部曲——頻率條件玻爾假定之二：電子可以從一個定態(tài)躍遷到另一個定態(tài)軌道上，并吸收或發(fā)出能量為hν的光子，并滿足：此即玻爾的頻率條件，亦稱輻射條件。與前面的氫原子光譜項公式比較，得到定態(tài)能量

由總能量公式可以得到定態(tài)的軌道半徑為第三部曲——角動量量子化玻爾假定之三：當微觀量子數(shù)n很大時，微觀理論與宏觀理論的結果趨于一致。此即對應原理。由此可得到角動量量子化條件。由對應原理，它應等于前面的經(jīng)典頻率。由此得到令r=rn，可以得到里德伯常數(shù)，已經(jīng)不再是經(jīng)驗常數(shù)了。進而可得定態(tài)的能級公式：

利用經(jīng)典角動量公式，可以算得這就是角動量量子化條件。玻爾假定，對任何氫原子軌道都成立。記?。辖o出的幾個組合常數(shù)。§2.2

波爾理論的光譜實驗驗證（1）氫原子光譜里德伯常數(shù)的驗證理論值實驗測量值相對誤差：超過萬分之五，但當時的光譜學實驗精度已達萬分之一。說明理論結果還不令人滿意！理論的完善：考慮兩體運動，用折合質量取代電子質量由此算得的值與實驗值符合得非常好?。ㄒ姇鳳48表8.1）

（2）原子的能級圖

用里德伯公式

繪制的能級圖解，也與實驗結果符合得很好！解開了近30年的氫原子光譜之謎！

氫原子的電子軌道與光譜線系氫原子能級與光譜線系（3）類氫離子光譜類氫離子：原子核外只有一個電子，但核電荷數(shù)大于1的離子。如He+，Li++，Be+++，B4+等。類氫離子的光譜和能級完全可以用玻爾理論作出完美的解釋。目前的加速器技術，可以獲得O7+，Cl16+，Ar17+，甚至U91+等類氫離子。更為特別地，可以將原子的核外電子完全剝離而成為裸核，稱為高剝離態(tài)。類氫離子的光譜公式He+光譜系——畢克林系的發(fā)現(xiàn)證實了上述公式的正確性。電子偶素(positronium):e+-e-的束縛體系。μ子偶素(muonium)：μ+

-μ-束縛體系?？隙穗拇嬖?。束縛態(tài)與電離態(tài)：線狀光譜與連續(xù)光譜。里德伯原子：原子中的一個電子被激發(fā)到很高的量子狀態(tài)的激發(fā)原子。特點：原子半徑大、壽命長、易受干擾。（一）實驗原理

具有一定能量的電子與原子碰撞，進行能量交換而實現(xiàn)原子從基態(tài)到激發(fā)態(tài)的躍遷。（二）實驗裝置§2.3夫蘭克-赫茲實驗與原子能級量子化的進一步證明（三）實驗過程

通過可變電阻調(diào)節(jié)改變KG間的加速電壓，以改變熱電子的能量，從檢流計可以檢測出電流隨加速電壓的變化曲線如圖：（四）實驗結果與結論極電流隨GK間電壓呈周期性增大減小。夫蘭克-赫茲實驗進一步證明了原子內(nèi)部能級的存在，即原子能級是量子化的。§2.4

玻爾理論的推廣一、橢圓軌道——索莫菲量子化條件橢圓的極坐標方程量子化通則式中p、q分別是廣義動量和廣義坐標。若p是動量，則q為位移；若p是角動量，則q為角位移。如果描述電子的圓周運動，那么其軌道角動量（改用J表示）是常數(shù)，則有

這就是玻爾的軌道量子化條件。

——電子的轉動動能對每一個廣義坐標應用量子化通則，即

利用式中pΦ、pr均為正整數(shù)，分別稱為角量子數(shù)和徑量子數(shù)?！魯?shù)定理由此得橢圓軌道的半短軸與半長軸之比因能量守恒，上兩式相等，得——第一玻爾半徑?！橇孔訑?shù)——徑量子數(shù)n

——主量子數(shù)總能量二、相對論修正——動能——類氫離子的能量——圓軌道半徑勢能——精細結構常數(shù)經(jīng)典總能量相對論總能量泰勒展開索莫菲橢圓軌道的相對論能量索莫菲相對論修正的光譜項三、堿金屬原子的光譜鋰原子光譜線系注意：與氫原子光譜的異同！鋰原子光譜項值和有效量子數(shù)鈉光譜項值和有效量子數(shù)四、原子實極化和軌道貫穿堿金屬原子的核外電子排布價電子

最外層的未滿殼層電子。原子實

原子核和核外滿殼層電子組成一個穩(wěn)固的結構。原子實的極化

原子實的結構是球對稱的，價電子接近原子實時，原子實的正電荷吸引負電荷的電子，致使原子實的正負電荷中心發(fā)生微小的偏移而不再重合，形成一個電偶極子,見圖(a)。軌道貫穿

偏心率較大的軌道上運動的價電子，其部分軌道可能穿入原子實，見圖(b)。本章小結謝謝!原子物理與量子力學唐敬友主編tangjingyouOMP)§3.1波粒二象性光的波動性：光的干涉、衍射、偏振現(xiàn)象證明了光具有波動性;

光的粒子性：光電效應、康普頓效應和黑體輻射說明了光具有粒子性。

光的本質是什么？究竟是波還是粒子？

光的波粒二象性：光同時具有波動和粒子二重性，就是說光既粒子也是波，是粒子和波動兩重性矛盾的統(tǒng)一。

光有時表現(xiàn)出其中的矛盾主要方面，或者是粒子或者是波。但波粒二象性更能本質地描述光的特性。光的波粒二象性描述粒子性的時，愛因斯坦用了一個簡單的公式來描述光子：式中，E為光子能量；ν為光子的頻率；ω為圓頻率；h為普朗克常數(shù)，，此式稱為愛因斯坦關系。通過這個關系式愛因斯坦把描述光的粒子性和波動性的兩個特征量——能量和（圓）頻率聯(lián)系起來了。它很好地解釋了光電效應和康普頓效應。請回憶一下，光波波長和頻率的關系：其中c是光速，而光的靜止質量為零，則。由上述愛因斯坦關系，得到光的波長與動量或波矢量大小之間的關系德布羅意關系：與粒子相聯(lián)系的物質波的波長德布羅意物質波實驗驗證：戴維孫-革末實驗和湯姆孫實驗。微觀粒子的波粒二象性用愛因斯坦關系和德布羅意關系定量描述，它們把描述粒子性的能量、動量與描述波動性的頻率、波長聯(lián)系在一起，其中有一個重要的常數(shù)是普朗克常數(shù)h。上述表達式僅對于光才適合嗎？答案是否定的。

德布羅意的物質波假設：一切實物粒子都具有波動性

微觀粒子的波粒二象性此式稱為德布羅意關系?！?.2波函數(shù)的態(tài)與疊加原理（一）波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋波函數(shù)：概率波的數(shù)學表達形式,描述微觀客體的運動狀態(tài)。

描述微觀粒子的函數(shù)一般用表示，按照玻恩的統(tǒng)計解釋：表示時刻t在位置r出現(xiàn)的概率密度。若知道了體系的波函數(shù)，就可以知道體系的全部性質。本身則表示概率幅。注意：波函數(shù)的數(shù)學形式一般說來是復數(shù)域中的函數(shù)，即復數(shù)函數(shù)。概率密度：單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率在非相對論情況下，實物粒子沒有產(chǎn)生和甄滅，所以，在隨時間的演化過程中，粒子數(shù)目保持不變。對一個粒子來說，在全空間中找到粒子的概率之總和應不隨時間變化,即:此式被稱為波函數(shù)的歸一化條件。注意這里的積分體積微元的具體形式會因坐標系的不同而不同，常用的三維空間坐標系有直角坐標系、柱坐標系和球坐標系，請分別自行寫出。（二）波函數(shù)的統(tǒng)計解釋——玻恩詮釋波函數(shù)與描述同一粒子的相對概率密度相等，即

因此，描述同一粒子之間的波函數(shù)之間允許相差一個常數(shù)因子。

一般地說，任一波函數(shù)的模方在全空間的積分值并非等于1，而是一個有限的數(shù)值A，即顯然:波函數(shù)標準條件：連續(xù)，單值，有限。單值：任意時刻和任一確定位置粒子出現(xiàn)的概率是確定的。有限:

全空間找到粒子的概率為1，則任意時刻和任一位置的波函數(shù)（或概率幅）的數(shù)值為有限值，而且其模方可積。連續(xù)：由粒子概率的連續(xù)方程（稍后給出）所決定，即描述粒子的波函數(shù)處處連續(xù)。另外，粒子處于連續(xù)變化或有限階躍勢場中的波函數(shù)，其一階導數(shù)也連續(xù)。這樣，波函數(shù)就是歸一化的波函數(shù)。但它與只差一個常數(shù)因子，它們描述同一個粒子的概率波。

（二）態(tài)的疊加原理用波函數(shù)來描述微觀粒子的量子態(tài)。當給定后，則粒子出現(xiàn)的概率率密度為。

波函數(shù)的統(tǒng)計解釋也是波粒二象性的一種體現(xiàn)。

經(jīng)典波：遵從疊加原理，兩個可能的波動過程迭加后也是一個可能的波動過程。如：惠更斯原理。描述微觀粒子的波是概率波，是否可疊加？意義是否與經(jīng)典相同？

經(jīng)典物理中，光波或聲波遵守態(tài)疊加原理：二列經(jīng)典波φ1與φ2線性相加，φ=aφ1+bφ2,相加后的φ也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的疊加原理加以說明的。量子力學中，如果Ψ1與Ψ2是體系的可能波函數(shù)（或狀態(tài)函數(shù)，簡稱態(tài)），那么它們的線性疊加態(tài)Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2是否也是這個體系的一個可能狀態(tài)？

若Ψ1與Ψ2為描述粒子的兩個不同狀態(tài)的波函數(shù)，它們的線性疊加態(tài)Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，表示粒子既可能處于Ψ1態(tài)又可能處于Ψ2態(tài)，處于這兩個態(tài)的概率分別為。態(tài)的疊加原理描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)和態(tài)的疊加原理是量子力學的一個基本假設。自由粒子：不受外力場的作用，在空間中其動量和能量都不隨時間變化的粒子。（一）自由粒子薛定諤方程的建立如何確定自由粒子的波函數(shù)呢？回顧一下電磁學中平面電磁波的數(shù)學描述。即平面電磁波的數(shù)學表達式更方便地寫為以下指數(shù)形式因為在求解電磁場方程組時涉及到對上述函數(shù)的一階或二階偏導數(shù)運算，最后的結果取其實部，由此為計算帶來方便?！?.3薛定諤方程的建立及其性質試分析一下平面電磁波和自由粒子的波函數(shù)有何異同？平面電磁波和自由粒子的能量和動量都不隨時間和空間變化，二者在空間中的運動都是“自由的”。

它們分別需要一個代表波的數(shù)學函數(shù)來描述。平面電磁波是一種純粹的經(jīng)典波，而微觀粒子的波與粒子屬性密切聯(lián)系。在波函數(shù)的數(shù)學形式上應當有相似之處，但粒子的波函數(shù)應當包含其粒子性，即通過波粒二象性來聯(lián)系——愛因斯坦關系與德布羅意關系。薛定諤的創(chuàng)造性思維：利用愛因斯坦關系和德布羅意關系，把平面電磁波表達式中表述波屬性的物理量波矢量與圓頻率用動量和能量替換，便得到自由粒子的波函數(shù)自由粒子薛定諤方程的建立自由粒子能量與動量之間的關系自由粒子薛定諤方程的建立對自由粒子波函數(shù)分別求出關于時間一階偏導數(shù)和空間的二階偏導數(shù)，可以得到由此可以得到即以上方程便是自由粒子波函數(shù)隨時間演化的方程，稱為自由粒子的薛定諤方程。注意！以上過程并非薛定諤方程的推導，而是通過簡單的微分運算建立起自由粒子波函數(shù)的時間與空間的演化關系，從而得到一個“拋物型”的擬線性偏微分方程。這是薛定諤的一個重要的思維突破。若引進以下兩個算符：把上述算符替代能量與動量關系，并作用于波函數(shù)就可得到自由粒子的薛定諤方程。

其中有兩個算符：梯度算符與拉普拉斯算符在直角坐標系下的表達式為注意！自由粒子的波函數(shù)形式是薛定諤方程的一個解，但不是唯一解。因為按照態(tài)的疊加原理，任意一個波包可以通過傅里葉變化展開為平面波的疊加，即此波函數(shù)也滿足薛定諤方程。請自己證明。（二）一般形式的薛定諤方程按照一般經(jīng)典粒子的能量公式，粒子除了動能外還應當有勢能，即對自由粒子的薛定諤方程進行推廣，就可以得到如下一般形式下的薛定諤方程：把單粒子的情況推廣到多粒子體系，則多粒子體系的薛定諤方程為勢能動能電子之間排斥能其中，電子之間的排斥勢能可以進一步寫為自此，有了多粒子體系的薛定諤方程，加上初始條件和邊界條件，原則上可以求解出波函數(shù)和體系的能量。但能得到精確解析解的問題非常少，大多數(shù)問題需要借助計算機求解。后續(xù)的章節(jié)針對一些簡單的體系或常見的量子力學問題開展進一步的學習和研究。關于薛定諤方程的討論如果已知粒子質量m及勢函數(shù)V的具體形式,則可以寫出具體的薛定諤方程。這是一個二階偏微分方程，若給定初始條件和邊界條件即可求解。薛定諤方程是建立，不是導出，薛定諤方程是量子力學的一個基本假設，是否正確，由實驗檢驗。薛定諤方程的適用范圍：非相對論情況。（三）定域的概率守恒描述微觀粒子的波函數(shù)Ψ，粒子在空間某點出現(xiàn)的概率密度為在非相對論情況下，實物粒子沒有產(chǎn)生和甄滅現(xiàn)象所以在隨時間演化的過程中粒子數(shù)保持不變。

粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率怎樣隨時間變化？薛定諤方程為

由，得取其復共軛得

對上式在封閉空間

內(nèi)積分，根據(jù)Gauss定理，得到引人兩個量：——————概率密度——————概率流密度矢量j的物理意義：粒子在單位時間內(nèi)沿S曲面法向流過單位面積的概率。粒子數(shù)守恒定律的物理意義：在一個定域的封閉區(qū)域中找到粒子的總概率在單位時間內(nèi)的增量等于從該封閉表面流入該區(qū)域的粒子概率。積分號前的負號表示粒子的流入，反之正號表示粒子的流出。引進兩個重要的物理量：概率密度和概率流密度其中，Im表示取復數(shù)的虛部，則得此式即為定域粒子的概率守恒方程的積分形式，又稱粒子數(shù)守恒定律。粒子數(shù)守恒定律的微分形式粒子數(shù)守恒律的積分中再次使用Gauss定理，把面積分化成體積分，得到此式即粒子數(shù)守恒定律的微分形式。其物理意義：空間某點及其附近的概率隨時間的增加（或減少）等于外界流入到該點（或由該點流出）的粒子概率。若把定域范圍拓展到全空間，按照波函數(shù)有界性的要求，粒子在無窮遠處的概率為零，由積分形式的概率守恒方程，有表示全空間找到粒子的概率為1，即常數(shù)，不會隨時間變化，粒子既不會產(chǎn)生或湮滅。解：由定義：概率密度

概率流密度（四）能量本征方程和本征態(tài)在很多實際問題中，作用在粒子上的力場是不隨時間改變的，即力場是勢能V(r,t)=V(r)。在這種情況下，可以用分離變量法來求解方程，波函數(shù)有較簡單的形式代入薛定諤方程得請思考：為什么這個常數(shù)設成能量E，而不是其它的物理量?上述一階常微分方程的解C為任一常數(shù)，把它包含在中，得到薛定諤方程的特解為把C包含在中是完全可以的，最后要歸一化。定態(tài)波函數(shù)①波函數(shù)為一個空間坐標的函數(shù)與一個時間函數(shù)的乘積，整個波函數(shù)隨時間的改變由因子決定。②定態(tài)：量子力學體系的波函數(shù)用所描寫的狀態(tài)稱為定態(tài)，處于定態(tài)時，體系中粒子的概率密度、概率流密度和力學量的平均值均不隨時間變化。

③粒子處于定態(tài)，概率密度不隨時間而改變，空間概率分布是穩(wěn)定不變的。算符：表示某種運算的符號；本征方程：具有形式的方程；本征值：

滿足本征方程的常數(shù)；本征函數(shù):滿足本征方程的函數(shù)。量子力學中的許多問題都是求解體系的力學量算符的本征方程。找出其本征值和本征函數(shù)，從而確定體系力學量的各種可能的取值。本征值常常是分立且不連續(xù)的（數(shù)學上，常由定解問題的有限邊界值條件造成）。算符的本征方程請思考：在數(shù)學中，哪個地方學過本征方程的概念？它們之間有何區(qū)別？不隨時間變化的經(jīng)典哈密頓算符哈密頓算符能量本征方程：不含時間變量t，稱為定態(tài)薛定諤方程，實際上是哈密頓算符的本征方程。能量E是體系的能量本征值。波函數(shù)稱為體系的能量本征函數(shù)。能量本征方程即§3.4一維定態(tài)薛定諤方程在一維勢場V(x)中粒子運動滿足定態(tài)薛定諤方程為這是一個（可能是變系數(shù)的？）二階常微分方程，給出勢函數(shù)V(x)的具體表達形式，解這個常微分方程就可以得到能量本征值和本征函數(shù)。用薛定諤方程處理問題的步驟根據(jù)具體問題列出定態(tài)薛定諤方程求出薛定諤方程的通解——波函數(shù)根據(jù)波函數(shù)應滿足的自然條件定出邊界條件求出薛定諤方程的特解根據(jù)波函數(shù)應滿足的歸一化條件寫出定態(tài)波函數(shù)對量子力學處理的結果進行分析與討論（一）一維無限深勢阱在許多情況中，如金屬中的電子，原子中的電子，原子核中的質子和中子等粒子的運動都有一個共同特點，即粒子的運動都被限制在一個很小的空間范圍以內(nèi)，或者說，粒子處于束縛態(tài)。物理模型假設微觀粒子被關在一個具有理想反射壁的方匣里，在匣內(nèi)不受其它外力的作用，則粒子將不能穿過匣壁而在匣內(nèi)自由運動。為了討論方便，考慮一維運動情況，勢函數(shù)表示為：a表示勢阱的寬度，V(x)

表示勢阱的深度，在阱內(nèi)勢能等于零，在阱外勢能為無窮大。在阱內(nèi)在阱外波函數(shù)連續(xù)性決定的邊界條件為波函數(shù)有界的要求粒子無法穿過無限深的勢阱，阱外的解求解過程n取零無物理意義粒子被束縛在勢阱中，能量只能取一系列離散值，即它的能量是量子化的。每一個值對應于一個能級，這些能量值稱為能量本征值，而n稱為量子數(shù)。粒子最低能量稱為基態(tài)能量。粒子最小能量的存在意味著物質世界不可能有絕對靜止狀態(tài)。相鄰兩能級的間隔：1.能級和能級差結果討論與分析①相鄰能級間的差值，隨量子數(shù)n的增加而增加，隨粒子質量m和勢阱寬度a的增大而減小。

②對宏觀物體，由于其質量很大，運動范圍也大，E

很小，故其能量可看作是連續(xù)變化的。

③對微觀粒子，若在宏觀范圍內(nèi)運動則E很小，其能量量子化不顯著；如果是在原子尺寸大小的范圍內(nèi)運動，則E

很大，能量量子化就很明顯。④當n→∞,ΔEn/E≈2/n→0,能級分布可視為連續(xù)的。2.波函數(shù)歸一化因子一維無限深方勢阱中運動粒子的歸一化波函數(shù)3.粒子在勢阱中的概率密度不同量子數(shù)，在阱內(nèi)某一特定的點，粒子出現(xiàn)的概率不同。n-1個節(jié)點，當n→∞時，粒子在勢阱內(nèi)各處出現(xiàn)的概率相等，量子力學的結果過濾到經(jīng)典力學的情況。例：在核內(nèi)的質子和中子可粗略地當成是處于無限深勢阱中而不能逸出，它們在核中的運動也可以認為是自由的。按一維無限深方勢阱估算，質子從第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)轉變時，放出的能量是多少MeV？核的線度按1.0×10-14m計。解：質子基態(tài)能量為第一激發(fā)態(tài)的能量為從第一激發(fā)態(tài)轉變到基態(tài)所放出的能量為實驗中觀察到的核的兩定態(tài)之間的能量差一般就是幾個MeV的量級。（二）勢壘的貫穿——量子隧道效應物理模型勢能突增的空間區(qū)域形象化地稱為勢壘。例如，金屬表面以外的區(qū)域對于內(nèi)部電子所形成的突增勢能就是一個勢壘。勢壘對粒子的作用一般表現(xiàn)為散射作用。對于一維情況，粒子被勢壘散射后，或者穿過勢壘，或者被反射。解決勢壘問題的中心思想就是找到粒子穿透和反射的概率。是以粒子的動量和能量作為已知量為前提的。薛定諤方程及其求解過程粒子能量E<U0的情況：1)勢壘外兩個特解。假設粒子從左入射I區(qū)內(nèi)表示入射波；表示反射波III區(qū)內(nèi)，只有透射波。入射波的波幅取為1，反射波和透射波的波幅分別為R、S。幾個定義入射粒子流密度反射粒子流密度透射粒子流密度反射系數(shù)和透射系數(shù)2)勢壘內(nèi)通解為利用在邊界x=0處，波函數(shù)

及其導數(shù)的連續(xù)性條件利用在邊界x=a處，波函數(shù)及其導數(shù)的連續(xù)性條件由上面的四個式子中消去A、B，得到關于R、S的方程組透射系數(shù)和反射系數(shù)為從Ⅰ區(qū)入射的粒子，部分被反射回去，其余的貫穿勢壘區(qū)（Ⅱ區(qū)）而透射到Ⅲ區(qū)。透射系數(shù)T不為零。即使微觀粒子的能量E小于勢壘高度U0，被散射的粒子也有穿透勢壘的可能性，并且穿透后的能量E不變。這種現(xiàn)象稱為隧道效應。隧道效應是量子力學中特有的物理現(xiàn)象，是微觀粒子波動性的表現(xiàn)，在經(jīng)典物理中是不可能發(fā)生的。例：求動能E為3eV的電子隧穿高度U0=10eV，寬度a=0.4nm和a=0.8nm勢壘的概率？電子換成質子的結果？解：說明電子的隧穿概率對勢壘寬度a，質量m非常敏感。當m、U0-E以及a為微觀尺度時,（特別是對于電子）穿透系數(shù)有一定的值；當m及a增加時，T則大幅度降低。如果m及a為宏觀尺度，T將趨于零而實際上無法測量，勢壘貫穿是一種微觀效應，是微觀粒子波動性典型表現(xiàn)。粒子能量E>U0的情況當粒子的能量E大于勢壘高度U0時，經(jīng)典力學給出，粒子將無一例外的越過勢壘而不被反射，但是，運用量子力學理論，通過與上述完全類似的推導，可以得出粒子也有被反射的可能性。總之，不論微觀粒子的能量E是否大于勢壘，當它受到勢壘的散射時，將同時存在著反射和透射，并且各自按照一定的概率出現(xiàn)。這正像光在不同介質分界面上必定同時產(chǎn)生反射和透射一樣。這反映了微觀粒子的波動性。任意形狀的勢壘U(x)右圖所示為一任意形狀的勢壘，可以把這個勢壘看作是許多方形勢壘組成的，每個方形勢壘寬為dx,高為U(x)。整個勢壘的穿透系數(shù)就是無限小方形勢壘穿透系數(shù)的乘積。能量為E的粒子在x=a處射入勢壘U(x)，在x=b處射出，即U(a)=U(b)=E。上述推導不夠嚴格，但與更嚴格的方法推導的結果一致。隧道效應應用賓尼（GBinnig）羅赫爾（H.Rohrer）

瑞士蘇黎世IBM公司的兩位科學家賓尼和羅赫爾研制成了STM，可以很精確地觀察材料表面結構，成了研究表面物理和其他實驗研究的重要顯微工具，二人與電子顯微鏡的發(fā)明者魯斯卡分享了1986年諾貝爾物理學獎。1990年，IBM公司的科學家展示了一項令世人瞠目結舌的成果，他們在金屬鎳表面用35個惰性氣體氙原子組成“IBM”三個英文字母。納米技術正式誕生。這是中國科學院化學所的科技人員利用納米加工技術在石墨表面通過搬遷碳原子而繪制出的世界上最小的中國地圖。（三）一維諧振子兩原子間的勢能可近似用線性諧振子表示。自然界的任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究無論在理論上還是在應用上都是很重要的。經(jīng)典彈簧振子經(jīng)典力學中，勁度系數(shù)為K的彈簧放在光滑的水平桌面上，一端固定不動，另一端系著一個質量為m的物體，就構成了一維簡諧振子。選擇平衡位置為水平x軸的零點，其彈性回復力為相應的勢能為在

處，動能為零，諧振子能量，諧振子運動僅限于區(qū)域運動，且能量E可以取任何值。諧振子簡諧運動坐標與時間的關系式圓頻率為量子力學中諧振子1）問題求解：哈密頓算符定態(tài)薛定諤方程變系數(shù)的二階常微分方程，為了求解方便，引入兩個無量綱的參量定態(tài)薛定諤變?yōu)橛懻摲匠淘诮平?，λ略去這個方程的解為諧振子勢是一個無限深勢阱，只存在束縛態(tài)，ψ在無窮遠處，必須趨于零，舍。方程的解為關于H(ξ)變系數(shù)二階常微分方程，級數(shù)法求解方程的解為一個無窮級數(shù)，在時漸進解為帶回不能滿足束縛態(tài)邊界條件，級數(shù)必須中斷，要求其解是一個多項式，條件是這樣方程就得到一個多項式解討論（a）能級：能級差：簡諧振子的能量本征值，即簡諧振子的能量是量子化的，只能取離散值。①能量間距都是相同的；②n=0時，基態(tài)能量不為零，意味著簡諧振子不可能靜止不動。與經(jīng)典物理學完全不同。零點能的存在已經(jīng)為光被晶體散射的實驗所證實。能級差在解釋雙原子分子的振動光譜、固體的比熱等問題中都有重要的應用。普朗克在解釋黑體輻射問題時，雖然假設振子能量為，這與量子力學結果有的偏差，但是由于普朗克假設可以得到諧振子的能量改變?yōu)榈恼麛?shù)倍，與量子力學的結果是一致的，因此普朗克理論能夠很好地解釋黑體輻射能譜。(b)簡諧振子能量為En的本征函數(shù)基態(tài)第一激發(fā)態(tài)第二激發(fā)態(tài)當體系處于基態(tài)時，能量值，基態(tài)諧振子在空間概率分布如下。微觀振子概率除在x=0處取最大值外，相當大的范圍內(nèi)都不為零。經(jīng)典振子最小能量為零，靜止于平衡位置，除x=0外，其余各處都為零。虛線：n=1,2（）經(jīng)典振子的概率密度。在反轉點，概率最大之外，概率為零。微觀振子，概率有起伏，最大值次數(shù)n+1。n=10，諧振子的概率分布曲線。激發(fā)態(tài)的量子數(shù)n越大，其概率密度分布的振蕩越劇烈，將振蕩平滑后就越接近于經(jīng)典的概率密度分布。（c）宇稱描述粒子在空間反演下變換性質的相乘性量子數(shù)n奇數(shù)，奇函數(shù)；n偶數(shù)，偶函數(shù)。波函數(shù)具有確定的奇、偶性稱為體系具有確定的宇稱。奇函數(shù)對應的是奇宇稱，偶函數(shù)對應的是偶宇稱。如果體系的勢能在空間反演下不變，即勢函數(shù)是偶函數(shù)，體系波函數(shù)具有確定的宇稱。本章小結謝謝!原子物理與量子力學唐敬友主編tangjingyou@TelOMP)§4.1算符及其運算規(guī)則（一）算符算符：只是代表對函數(shù)施加某種運算的符號，是一種數(shù)學語言工具。例如等。量子力學中的力學量在與波函數(shù)的作用中，往往表現(xiàn)為一種運算形式，例如動量與相當，自由粒子體系的能量與相當。于是，用算符表示力學量的假設被人們初步認識。在量子力學中常把它稱為是把算符“作用”到波函數(shù)上,作用的結果是得到了另外一個波函數(shù).（二）算符的運算規(guī)則

如果量子力學的力學量F在經(jīng)典力學中有對應的力學量，則表示這個力學量的算符,將代入由經(jīng)典表示式，即

如果沒有經(jīng)典力學表達式的量子力學力學量，比如電子的自旋，它的算符由量子力學獨立建立。例如，角動量算符(三)算符運算的基本性質定義1：線性算符

由于態(tài)疊加原理，在量子力學中的力學量算符應是線性算符。滿足以下運算規(guī)則的算符稱為線性算符：ψ1、ψ2是任意的兩個波函數(shù)，c1與c2是兩個任意復常數(shù)。定義2：單位算符單位算符

：對任意波函數(shù)運算后保持不變的算符，即其中ψ是任意波函數(shù)。那么，就說算符定義3：兩個算符相等若兩個算符和作用于任意一個波函數(shù)ψ所得的運算結果相同（即同一個函數(shù)），則稱兩個算符相等。例2：不能說算符與算符相等，因為它們是作用在一個特定的函數(shù)上，而不是作用于任意的函數(shù)上。定義4：算符之和如果把算符作用在任意函數(shù)ψ，所得到的結果和把算符分別作用在ψ上得到的兩個新函數(shù)之和相等，即稱算符等于與之和。寫作例3：哈密頓算符就是動能算符與勢能算符之和。算符求和滿足交換律與結合律，當然，線性算符之和仍是線性算符。定義5：算符之積如果把算符作用于任意函數(shù)u

上得到一個新函數(shù)，且再使算符對這個新函數(shù)作用所得的結果等于另一個算符直接作用在

u

上所得的結果，即稱算符為算符與的乘積。寫成注意算符之積對波函數(shù)運算的先后次序，不能隨便交換。一般地說算符之積不滿足交換律，即定義6：對易式定義任意兩個算符、的對易式為則稱算符不對易；若若則稱算符對易。類似地，定義兩個算符、的反對易式為若或，稱算符和反對易。下面是幾個常見的對易式滿足的恒等式定義7：逆算符設能夠唯一地解出，即則稱為算符的逆算符。并非所有的算符都存在逆算符。性質：若算符存在逆算符，則定義8：波函數(shù)的內(nèi)積“標積”一個量子體系的任意兩個波（態(tài)）函數(shù)與的內(nèi)積定義為其中指對全空間的積分，是積分體積微元。由內(nèi)積的定義式，可以證明式中c1、c2為任意常數(shù)。定義9：轉置算符算符的轉置算符定義式中與是任意兩個波函數(shù)?；蛘邔懗啥x10：復共軛算符算符的復共軛算符定義為算符的復共軛可以把相應算符中的所有量換成復共軛就行了。例6：在坐標表象中算符的厄米共軛算符定義為定義11：厄米共軛算符實際上，算符的厄米共軛算符等價于共軛轉置算符，即證明：于是，有推論4：定義12：厄米算符厄米算符也稱為自共軛算符，滿足以下關系：由于厄米算符的平均值必是實數(shù)，滿足力學量是可觀測量（也是實數(shù)）的要求，在量子力學中，力學量用厄米算符算符表達。例8：等都是厄米算符證明：動量算符為厄米算符是厄米算符推論5：若是厄米算符，則。推論6：若兩個厄米算符對易，則是厄米算符。例10：定義徑向動量算符證明：證明：§4.2量子力學中的力學量用厄米算符表達(一)量子力學中的力學量用厄米算符表達1測量的平均值與漲落若測得結果A1的次數(shù)為m1，A2為m2，…，An為mn。設總次數(shù)為M，即M=m1+m2+…+mn，則測量該物理量的平均值為某一測量值Ai的次數(shù)mi與總測量次數(shù)的M之比mi/M稱為Ai的概率，記為Pi。因此上式可用測量概率來表示

當可能值為離散值時:一個物理量的平均值等于物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應的概率求和；當可能值為連續(xù)值時：一個物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應的概率密度求積分。位置平均值量子力學中，粒子處于波函數(shù)為態(tài)，在時刻t，粒子位置在x~x+dx之間的概率正比于，粒子的平均位置如果是歸一化的，則動量平均值對于歸一化波函數(shù)，動量的平均值,是位置的函數(shù)對于給定的波函數(shù)，測量粒子的動量在范圍內(nèi)的概率為，其中可以通過傅里葉變換得到。借助于來計算動量的平均值式中用到傅立葉逆變換及的算符運算規(guī)則。這樣，就得到在中計算動量的公式平均值和漲落量子力學中計算力學量（相應的算符為）在態(tài)下的平均值公式為某一物理量的測量結果則圍繞平均值有漲落（偏差）。定義漲落為記稱為測量結果的不確定度例1：求一維無限深勢阱中運動的粒子基態(tài)平均動量厄米算符的性質厄米算符及測量平均值的定義，證明厄米算符兩個重要定理。定理：體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值必為實數(shù)。

證明：由厄米算符的定義，在任意狀態(tài)下，厄米算符的平均值為則平均值必為實數(shù)。逆定理：在任何狀態(tài)下，平均值均為實數(shù)的算符必為厄米算符。推論設為厄米算符，則在任意態(tài)下，量子力學中力學量一定是線性厄米算符量子力學中的力學量都用算符來表示，力學量的平均值是由力學量算符和相應狀態(tài)決定，定義為實驗上可觀測的力學量，要求在任何狀態(tài)下平均值都是實數(shù)。根據(jù)厄米算符的性質定理及其逆定理知道，只有厄米算符能滿足這個要求。而且量子力學狀態(tài)波函數(shù)滿足態(tài)疊加原理。(二)厄米算符的本征值與本征函數(shù)體系只有處于某些特殊的狀態(tài)，測量力學量A

所得的結果才是完全確定的，即漲落這種狀態(tài)稱為力學量A

的本征態(tài)。即這個方程是算符的本征方程本征態(tài)下，厄米算符與本征函數(shù)性質定理1

厄米算符的本征值必為實數(shù)。證明：假定體系處于本征態(tài)，則厄米算符在任何狀態(tài)下的平均值必為實數(shù)，所以An也必為實數(shù)。定理2

對于一個厄米算符，屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。即兩個波函數(shù)彼此正交。簡并態(tài)問題

簡并態(tài)：在求解量子力學體系的本征值問題時，力學量的同一個本征值有多個不同的本征態(tài)（波函數(shù)），體系處于這樣的狀態(tài)稱為簡并態(tài)。設力學量A的本征方程為即屬于本征值的本征態(tài)有個，稱本征值為重簡并。量子力學體系當出現(xiàn)簡并時，簡并態(tài)不一定彼此正交。通過適當線性組合，使之彼此正交。令此即個波函數(shù)的線性疊加構成的波函數(shù)。選擇組合系數(shù)，使具有正交性，即總可以找到一組，使上式的正交性條件滿足。§4.3不確定度關系（一）量子力學的基本對易式與角動量的對易式

在量子力學中，同時涉及幾個力學量時，如何取值？在經(jīng)典力學中，兩個或者多個力學量永遠可以同時有確定值。在量子力學中，當體系處于任意可能態(tài)時，算符表示的力學量A沒有確定值；如果是不同算符表示的不同力學量，一般情況下就更不能同時有確定值，只能在特殊情況下才能同時有確定值。不同力學量能否同時有確定值依賴于它們各自的算符及其相互關系。1.量子力學的基本對易式下面以第一個式子為例證明，設ψ為任意波函數(shù)則由ψ的任意性得以上對易式概括為2.角動量對易式角動量算符在直角坐標系下運用算符運算角動量分量與坐標分量之間的對易關系記憶方法：從左至右以依次循環(huán)指標為正，任何一個指標錯位即為負，相同指標則為零。角動量分量之間的對易關系證明按照算符的行列式展開規(guī)則經(jīng)典物理中自己與自己差乘一定等于零。而在量子力學中角動量與角動量差乘可以不等于0.這主要是因為角動量在量子力學總不同于經(jīng)典力學，其根源是本征值為量子化的。角動量平方算符與角動量分量算符的對易關系角動量平方算符為可以證明(二)不確定度關系不確定度關系的物理表述及物理意義指量子力學體系中同時觀測兩個力學量（如A，B），得到的測量結果的不確定度所滿足的關系，即若這兩個力學量對應的算符彼此對易，則它們存在共同的本征態(tài)，在該本征態(tài)下的測量值就是相應的本征值；否則，它們沒有共同本征態(tài)，同時測量時的測量值滿足上述不確定度關系，其本質是微觀粒子波粒二象性的表現(xiàn)。不確定度關系推導若算符和不對易時，常記為是一個力學量算符或普通的數(shù)。首先定義注意，仍為厄米算符，若巧妙設計積分利用的厄米性，可推出最后得出不確定關系

記為兩個力學量不對易時，導致兩力學量不能同時有確定,或者說，它們不能有共同本征函數(shù)。例如所以可見，若動量確定，；則，即位置完全不確定。試想，動量為的自由粒子以波長的狀態(tài)（平面波）彌散于空間時，你能說出粒子的確定位置嗎？反之，根據(jù)函數(shù)的性質，坐標本征函數(shù)可寫為即位于點r的波（粒子）是許多不同波長（動量）的平面波的疊加，你能說出該波的波長（粒子的動量）是多少嗎？總之，不確定關系所揭示的是量子力學規(guī)律的特點，是粒子具有波動性的必然結果。應用不確定關系估算一些力學量的不確定范圍可參見教材。共同本征態(tài)兩力學量同時有確定值的條件體系處于任意狀態(tài)ψ(x)時，力學量

A

一般沒有確定值。如果力學量A

有確定值，ψ(x)必為

A的本征態(tài)，即如果有另一個力學量B

在ψ

態(tài)中也有確定值，則ψ

一定也是B

的一個本征態(tài)，即結論：當在ψ

態(tài)中測量力學量

A和

B

時，如果同時具有確定值，那么ψ必是二力學量共同本征函數(shù)。的共同本征態(tài)，球諧函數(shù)利用直角坐標與球坐標之間的變換關系：角動量各分量算符表示成由于，可以找出與任一角動量分量的共同本征函數(shù)。的本征函數(shù)可以同時取的本征態(tài)不含極角坐標，實現(xiàn)了的本征函數(shù)的變量分離，把的表達式代入本征方程上式共同本征函數(shù)稱為球諧函數(shù)，滿足本章小結謝謝!原子物理與量子力學唐敬友主編tangjingyou@TelOMP)第5章力學量隨時間變化與對稱性§5.1對易力學量完全集設有一組彼此獨立而又相互對易的厄米算符它們的共同本征函數(shù)記為。n代表一組量子數(shù)。給定n之后就能夠確定體系的一個可能狀態(tài)，則稱構成體系的一組力學量完全集。任意態(tài)下力學量取值概率設力學量

A的厄米算符的本征函數(shù)是正交歸一完備系。體系處在一個任意態(tài)時都可以用本征函數(shù)展開，處在任意態(tài)時測到力學量A

的值為An

的概率就是展開式中前系數(shù)an

的模平方（任意態(tài)已歸一化）守恒量量子力學中力學量的取值問題與經(jīng)典力學不同。在一個給定的態(tài)（一般為力學量的非本征態(tài)）中，力學量的取值有一定的概率分布，從而有平均值的概念。由于波函數(shù)隨時間變化，力學量的平均值也是隨時間變化的。5.2力學量隨時間演化1.力學量的平均值隨時間變化關系力學量A

在態(tài)中的平均值可以表示為當體系的狀態(tài)隨時間變化時，A將隨時間的變化若，進而，此時力學量在任何態(tài)中的平均值均不隨時間變化。如果不顯含時間，則有，從而有守恒量定義量子力學中守恒量：力學量既不顯含時間即，而且守恒量有兩個重要性質：(1)在任何態(tài)ψ(t)下，平均值不隨時間變化。(2)在任何態(tài)ψ(t)下，測量值的概率分布不隨時間變化。2.量子力學中的守恒量與經(jīng)典守恒量的區(qū)別守恒量不一定取確定值

與經(jīng)典力學中守恒量的概念不同的是，量子力學中的守恒量不一定取確定值，即體系的狀態(tài)不一定是某個守恒量的本征態(tài)。一個體系在某時刻t是否處于某守恒量的本征態(tài)，要根據(jù)初始條件決定。

但守恒量A的平均值和測量值的概率分布不隨時間變化。守恒量與定態(tài)的異同能級簡并與守恒量的關系5.3守恒量與對稱性的關系對稱變換

某物理規(guī)律在某種變換之后，若能保持不變，就稱為具有變換對稱性，相應的的變換就叫做對稱變換。物理規(guī)律的對稱性，對應地存在一條守恒律空間平移對稱性，對應動量守恒定律。時間平移對稱性，對應能量守恒定律?？臻g旋轉對稱性，對應角動量守恒定律。確定體系守恒量的方法若體系的哈密頓量在某種線性變換下保持不變，即其中。由概率守恒可導出一定是幺正算符，即考慮無窮小的連續(xù)變換，令由幺正變換的要求得由此得即要求為厄米算符，稱其為在變換下的無窮小生成元。它可以用來定義與一個幺正變換相聯(lián)系的可觀測量。由于可導出這樣就找到了與幺正變換相聯(lián)系的體系的一個守恒量。時空對稱性及其應用時間平移對稱性和能量守恒空間平移對稱性和動量守恒空間轉動對稱性和角動量守恒說明：推導過程中的主要方法是對于微小變換采用泰勒級數(shù)展開。詳細推導見教材P91~P93。5.4全同性原理1.

全同性粒子的交換對稱性全同粒子：在量子力學中，人們把固有的性質如電荷、質量、磁矩、自旋等內(nèi)稟屬性完全相同的粒子。全同性原理：

在經(jīng)典力學中，粒子是用坐標和動量來描述，可以根據(jù)各自的運動軌跡來區(qū)分。而在量子力學中，微觀全同粒子的狀態(tài)是用波函數(shù)來描述，每個粒子的波函數(shù)彌散于整個空間，即處于同一區(qū)域各粒子波函數(shù)重疊，對粒子無法加以區(qū)分；另外，對全同粒子體系進行測量時，關心的是在空間某點附近粒子出現(xiàn)的概率（或數(shù)目），而這個概率（或數(shù)目）究竟屬于體系中的哪幾個，是無法確定的。即全同粒子具有不可區(qū)分性，這是微觀粒子的基本性質之一。全同粒子的性質全同粒子體系的哈密頓算符具有交換對稱性，體現(xiàn)了全同粒子的不可區(qū)分性。注意！這里的粒子坐標包括空間坐標和自旋坐標。交換算符對全同粒子波函數(shù)的限制對稱波函數(shù)——全同玻色子反對稱波函數(shù)——全同費米子全同粒子體系的波函數(shù)不隨時間變化而變化。全同粒子的分類（1）凡是自旋為整數(shù)倍的粒子所組成的全同粒子體系，其波函數(shù)對于交換兩個粒子總是對稱的。例如，介子，α粒子，基態(tài)的He，光子。它們在統(tǒng)計物理中遵從玻色(Bose)——愛因斯坦(Einstein)統(tǒng)計規(guī)律，稱為玻色子。（2）凡是自旋為半奇數(shù)倍的粒子，所組成的全同粒子體系，其波函數(shù)對于交換兩個粒子總是反對稱的。例如，電子、質子、中子等，s＝1/2，它們在統(tǒng)計物理中遵從費米（Fermi）——狄拉克(Dirac)統(tǒng)計規(guī)律，稱為費米子。全同粒子系統(tǒng)的波函數(shù)構造

如何由單粒子波函數(shù)來組成全同粒子體系的具有交換對稱性的波函數(shù)?

假設兩個全同粒子組成的體系，其中單個粒子的哈密頓算符為,歸一化本征函數(shù)為,本征值為，則應有對于全同粒子，在形式上是完全相同的，不考慮兩粒子的相互作用時，兩個粒子體系的哈密頓算符為

相應的本征方程式中的可以分離成兩個單粒子波函數(shù)的乘積（因為不考慮相互作用）當?shù)谝粋€粒子處于i態(tài)，第二個粒子處于j態(tài)時，波函數(shù)為它是滿足上式的解，對應的本征能量當?shù)谝粋€粒子處于j態(tài)，第二個粒子處于i態(tài)時，波函數(shù)為它也是滿足上式的解具有同樣的本征能量即交換兩個粒子的波函數(shù)，但體系有相同的能量，稱為交換簡并。注意：是否具有交換對稱性？當時，具有交換對稱，對應玻色子。當時上面所講雖是本征方程的解，但不具有交換對稱性，不滿足全同粒子波函數(shù)的條件。（1）對于玻色子，波函數(shù)要求對于交換兩個粒子是對稱的，所以當時，歸一化的對稱波函數(shù)構成如下當時

（2）對于費米子，波函數(shù)要求對于交換兩個粒子是反對稱的，歸一化的反對稱波函數(shù)構成如下由上式可以看出，當時，則，所以兩個費米子處于同一單粒子態(tài)是不存在的，滿足泡利不相容原理：不能有兩個或兩個以上的費米子處于同一狀態(tài)。N個全同粒子體系的波函數(shù)設粒子間相互作用可以忽略，單粒子哈密頓量不顯含時間，以和表示的第i個本征值和本征函數(shù)，則N個全同粒子體系的哈密頓量為對應本征值的本征態(tài)體系的本征方程為

由此可見，在粒子無相互作用的情況下，只要求得單粒子的本征值和本征函數(shù)，多粒子體系的問題就可以迎刃而解了。但并不滿足全同粒子體系波函數(shù)交換對稱性的要求，還須作變換。（1）對于N個玻色子，假定每個粒子都處于不同的單粒子態(tài)，則組合中的每一項都是N個單粒子態(tài)的一種排列，用來表示這些所有可能的排列之和，總項數(shù)應該為，所以玻色子系統(tǒng)的對稱波函數(shù)是對于N個費米子，若它們分別處于態(tài)，則反對稱的波函數(shù)為式中規(guī)定了求和號下每一項的符號，若把作為基本排列（第一項），則任一種排列都是基本排列經(jīng)過每兩個粒子的若干次對換而得到，對于偶次對換為正，奇次對換為負。在所有項中，奇偶次對換各占一半。本章小結謝謝!原子物理與量子力學唐敬友主編

E-mail:tangjingyou@TelOMP)§6.1

中心力場中粒子運動的一般性質中心力場的重要性宏觀物理中行星運動原子核外電子在庫侖力作用下的運動中心力場中運動粒子的角動量守恒角動量守恒與徑向方程中心力場中運動粒子的能量本征方程（1）Hamilton算符（2）能量本征方程左邊括號中第一項為徑向動能算符，第二項為離心勢能算符。（3）守恒量的完全集與共同本征態(tài)選擇(H,l2,lz)為力學量完全集，共同本征態(tài)可以設為（4）徑向方程作替換：上述方程與磁量子數(shù)無關，能級必定簡并。（5）徑向方程的求解一般可以假定V(r)滿足徑向波函數(shù)的漸近行為方程（1）在r→0時的漸近形式為在正則奇點r=0的鄰域，設，代入上式，有上式有兩個根：s=l,s=-(l+1),但只能前一個根，即Rl(r)∝rl。其條件相當于：兩體問題化為單體問題中心力場問題是兩體問題，兩個粒子之間的相互作用勢只依賴于相對距離。其能量本征方程為引進質心坐標與相對坐標在質心和相對坐標下，兩體能量本征方程化為其中分別是二體的總質量與約化質量。方程（3）可用分離變量法求解，令方程（3）分離成兩個常微分方程，即方程（4）描述質心運動，這是自由粒子的運動方程，EC是質心運動能量（即動能）；方程（5）描述相對運動；E為相對運動能量，ET是體系的總能量。注意！相對運動方程中的質量是約化質量。§

6.2氫原子氫原子的勢函數(shù)采用靜電單位制，其勢函數(shù)為氫原子的徑向方程氫原子的徑向方程的漸近解氫原子的徑向波函數(shù)及其徑向方程的變換徑向波函數(shù)的表示徑向方程化為合流超幾何方程令把（3）、（4）代入徑向方程（2），就化為合流超幾何方程方程（5）僅有中斷為多項式的解，其中斷條件為方程（5）多項式解為合流超幾何函數(shù)。氫原子的徑向方程解的結果能級添上自然單位，得能量本征值為徑向波函數(shù)氫原子的波函數(shù)與歸一化幾點討論1.能級簡并度包括l簡并和m簡并。2.波函數(shù)的徑向分布與“軌道”在(r,r+dr)球殼內(nèi)找到電子的概率為電子“軌道”按l的劃分：s、p、d、f、g,…。其中：nr=n–l–1=0或l=n–1的態(tài)，稱為“圓軌道”，如1s,2p,3d,4f等,它們的波函數(shù)無節(jié)點，其極大值的位置為3.氫原子的電流分布與磁矩電流密度在球坐標下，梯度算符為

由于徑向與極角方向的波函數(shù)均為實數(shù)，因此，電流在該方向上的分量均為零，則只有方位角方向的分量：它是繞z軸的環(huán)電流密度。氫原子磁矩由波函數(shù)的歸一化條件，得磁矩

定義回轉磁比值，或稱g因子稱為Bohr磁子。它是原子磁矩的最小單位。原子磁矩是Bohr磁矩的整數(shù)（m）倍，故把m稱為磁量子數(shù)。

若取為單位，則電子的g因子等于-1。類氫離子類氫離子的概念類氫離子的能級公式氫原子與氦離子的光譜線系氫原子的光譜線系類氫離子的光譜線系類氫離子能級的計算實例μ原子(muonicatom)μ子偶素(muonium)電子偶素(positronium)總結三維定態(tài)薛定諤方程的求解思路哈密頓算符尋找力學量完全集和可以分離變量的共同本征態(tài)求得能量本征態(tài)與本征值討論能級簡并度本章小結謝謝！原子物理與量子力學唐敬友主編tangjingyou@TelOMP)第7章電磁場中粒子的運動§7.1電磁場中荷電粒子的運動電磁場中荷電粒子運動的薛定諤方程考慮質量為m，荷電q的粒子在電磁場中的運動。在經(jīng)典力學中，其哈密頓量為其中，分別是電磁矢勢和標勢，稱為正則動量。哈密頓量代入正則方程即可得出荷電q的粒子在電磁場中的牛頓方程。其中：電場強度為磁感應強度為由經(jīng)典力學的哈密頓量和正則方程可以得到在有電磁場作用的情況下，帶電粒子的正則動量P不等于其機械動量P=mv

。量子力學中哈密頓量按照量子力學中的正則量子化程序，在坐標表象中，電磁場中的薛定諤方程因為A(r,t)是r的函數(shù)，所以

與A一般不對易采取電磁場的庫侖規(guī)范——橫波條件得到電磁場中運動粒子的薛定諤方程定域的概率守恒與流密度對電磁場中的薛定諤方程取復共軛，并注意矢勢A和標勢φ均為實數(shù)，在坐標表象中，仿照第4章中的運算，并注意到橫波條件，得下式其中，概率密度為粒子流密度為粒子的速度算符為粒子的概率守恒方程為§7.2正常塞曼效應正常塞曼效應的概述

把原子放入磁場中，其光譜線發(fā)生分裂，原來的一條譜線分裂成幾條的現(xiàn)象，被稱為塞曼（Zeeman)效應。這是1