《二次函數(shù)》示范公開課教學設計【北師大版九年級數(shù)學下冊】

第二章二次函數(shù)2.1二次函數(shù)教學設計一、教學目標1．經(jīng)歷探究和表示二次函數(shù)關系的過程，獲得用二次函數(shù)表示變量之間關系的體驗.2．能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)關系.二、教學重點及難點重點：二次函數(shù)的概念．難點：根據(jù)題意，尋找變量之間的關系．三、教學用具多媒體課件。四、相關資源《投籃球》動畫和《籃球拋物線》圖片，《橙子樹掛橙子》圖片.五、教學過程【情境引入】【情景演示】喬丹與科比對彪，本資源為《二次函數(shù)》情景演示，可以形象生動的展示本節(jié)課相關內(nèi)容，激發(fā)學生的學習興趣，為教師的教學提供有效的參考素材。【教學圖片】《二次函數(shù)》圖片4，本資源為《二次函數(shù)》教學圖片，可以形象生動的展示本節(jié)課相關內(nèi)容，激發(fā)學生的學習興趣，為教師的教學提供有效的參考素材。打籃球時，同學們可以發(fā)現(xiàn)，投出的籃球在空中走過一條曲線，那么，籃球的垂直高度和它距離球員的水平距離之間有什么關系呢？能不能用函數(shù)來表示呢？教師活動：教師展示圖片，出示問題，引出課題．學生活動：學生觀察欣賞圖片，初步了解本節(jié)課所要研究的問題．設計意圖：創(chuàng)設問題情境，讓學生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，激發(fā)他們的好奇心和求知欲．【探究新知】某果園有100棵橙子樹，平均每棵樹結600個橙子．現(xiàn)準備多種一些橙子樹以提高果園產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少．根據(jù)經(jīng)驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子．（橙子樹掛橙子）（1）問題中有哪些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？（2）假設果園增種x棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹？這時平均每棵樹結多少個橙子？（3）如果果園橙子的總產(chǎn)量為y個，那么請你寫出y與x之間的關系式．師生活動：教師出示問題，學生思考、討論，小組合作得出答案．答：（1）這是一個開放性問題，只要學生的回答有道理就應予以肯定．如自變量有橙子樹的棵樹、橙子樹之間的距離、橙子樹接受陽光的多少等；因變量有橙子的個數(shù)、橙子的質(zhì)量等．（2）(100+x)棵，(600-5x)個．（3）果園橙子的總產(chǎn)量y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000．設計意圖：讓學生初步感受一下二次函數(shù)與實際生活的聯(lián)系．做一做銀行的儲蓄利率是隨時間變化的，也就是說，利率是一個變量．在我國，利率的調(diào)整是由中國人民銀行根據(jù)國民經(jīng)濟發(fā)展的情況而決定的．設人民幣一年定期儲蓄的年利率是x，一年到期后，銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉(zhuǎn)存．如果存款額是100元，那么請你寫出兩年后的本息和y(元)的表達式．師生活動：教師出示問題，學生思考并寫出答案．答：因為一年后的本息和為100(1+x)元，所以兩年后的本息和為100(1+x)2元，即y=100x2+200x+100．設計意圖：讓學生體會引入二次函數(shù)概念的實際背景，并感受其學習的意義．想一想（1）已知矩形的周長為40cm，它的面積可能是100cm2嗎？可能是75cm2嗎？還可能是多少？你能表示這個矩形的面積與其一邊長的關系嗎？（2）兩數(shù)的和是20，設其中一個數(shù)是x，你能寫出這兩數(shù)之積y的表達式嗎？師生活動：教師出示問題，學生思考、討論，師生共同得出答案．解：（1）設矩形的一邊長為xcm，那么另一邊長為(20-x)cm，所以此矩形的面積為x(20-x)cm2．令x(20-x)=100，因為方程可化為x2-20x+100=0，Δ=b2-4ac=0，所以該一元二次方程有解．所以該矩形的面積可以是100cm2．令x(20-x)=75，方程可化為x2-20x+75=0，此時Δ=b2-4ac=400-4×1×75=100＞0，所以該一元二次方程有解．所以該矩形的面積可以是75cm2．該矩形的面積還有很多其他可能．設該矩形的一邊長為xcm，面積為ycm2，則該矩形的另一邊長為(20-x)cm，面積y=x(20-x)(0＜x＜20)．（2）由題意，得y=x(20-x)(x為任意實數(shù))．設計意圖：讓學生從豐富的現(xiàn)實背景中體會函數(shù)模型的意義．歸納一般地，若兩個變量x，y之間的對應關系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的形式，則稱y是x的二次函數(shù)．例如，上面問題中的函數(shù)y=-5x2+100x+60000，y=100x2+200x+100和y=-x2+20x都是二次函數(shù)．我們以前學過的正方形面積A與邊長a的關系A=a2，圓面積S與半徑r的關系S=πr2，自由落體運動物體下落的高度h與下落的時間t的關系h=gt2等也是二次函數(shù)的例子．【典例精析】例1分別說出下列函數(shù)哪些是一次函數(shù)，哪些是二次函數(shù)？（1）y=3x-1；（2）y=3x2+2；（3）y=3x3+2x2；（4）y=2x2-2x+1；（5）y=x2-x(1+x)；（6）．師生活動：學生嘗試獨立解答，教師點評、講解．分析：由一次函數(shù)、二次函數(shù)的概念可得答案．解：一次函數(shù)有：（1）（5）；二次函數(shù)有：（2）（4）．例2m取哪些值時，函數(shù)y=(m2-m)x2+mx+m+1是以x為自變量的二次函數(shù)？師生活動：學生思考、交流；教師分析、引導．分析：若函數(shù)y=(m2-m)x2+mx+m+1是以x為自變量的二次函數(shù)，則需滿足的條件是m2-m≠0．解：若函數(shù)y=(m2-m)x2+mx+m+1是以x為自變量的二次函數(shù)，則m2-m≠0．解得m≠0，且m≠1．因此，當m≠0，且m≠1時，函數(shù)y=(m2-m)x2+mx+m+1是以x為自變量的二次函數(shù)．教師點撥：形如y=ax2+bx+c的函數(shù)只有在a≠0的條件下才是以x為自變量的二次函數(shù)．設計意圖：鞏固二次函數(shù)的概念，加深對二次函數(shù)特征的認識與理解．【課堂練習】1．下列函數(shù)中（x，t是自變量），哪些是二次函數(shù)？，，y=22+2x，s=1+t+5t2．2．圓的半徑是1cm，假設半徑增加xcm時，圓的面積增加ycm2．（1）寫出y與x之間的關系式；（2）當圓的半徑分別增加1cm，cm，2m時，圓的面積各增加多少？3．函數(shù)y=(α-β)x2+2x+β是二次函數(shù)的條件是（）．A．α，β是常數(shù)，α≠0B．α，β是常數(shù)，α≠βC．α，β是常數(shù)，β≠0D．α，β可為任意實數(shù)4．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）．A．y=x2-1B．y=x-1C．D．5．若函數(shù)是二次函數(shù)，則m=________．6．某工廠計劃為一批長方體形狀的產(chǎn)品表面涂上油漆，長方體的長和寬相等，高比長多0.5m．（1）長方體的長和寬用x(m)表示，長方體的表面積S(m2)的表達式是什么？（2）如果涂漆每平方米所需要的費用是5元，油漆每個長方體所需費用用y(元)表示，那么y的表達式是什么？7．某超市欲購進一種今年新上市的產(chǎn)品，購進價為20元/件．為了調(diào)查這種新產(chǎn)品的銷路，該超市進行了試銷售，得知該產(chǎn)品每天的銷售量t(件)與每件的銷售價x(元/件)之間有如下關系：t=-3x+70．請寫出該超市銷售這種產(chǎn)品每天的銷售利潤y(元)與x之間的函數(shù)關系式．師生活動：教師先找?guī)酌麑W生板演，然后講解出現(xiàn)的問題．參考答案1．二次函數(shù)有，s=1+t+5t2．2．（1）由題意，得y=π(x+1)2-π×12=πx2+2πx．（2）當x=1cm時，y=3π(cm2)；當x=cm時，y=2(1+)π(cm2)；當x=2m時，y=8π(cm2)．所以當圓的半徑分別增加1cm，cm，2m時，圓的面積分別增加了3πcm2，2(1+)πcm2，8πcm2．3．B．4．A．5．2．6．（1）S=6x2+2x；（2）y=30x2+10x．7．y=-3x2+130x-1400．設計意圖：通過本