2024屆海南省高三下學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷（三）數(shù)學(xué)試題及答案

高中PAGE1高中絕密★啟用前海南省2023—2024學(xué)年高三學(xué)業(yè)水平診斷（三）數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A.B.3C.D.52.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（）A.B.C.D.3.某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了1000名演員的學(xué)歷情況，制作出如圖所示的餅狀圖，其中本科學(xué)歷的人數(shù)為630.現(xiàn)按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學(xué)歷的人數(shù)為（）A.11B.13C.22D.264.已知等比數(shù)列的公比為，則（）A.20B.24C.28D.325.已知，且，則（）A.B.C.D.6.當(dāng)飛機(jī)超音速飛行時(shí)，聲波會(huì)形成一個(gè)以飛機(jī)前端為頂點(diǎn)，飛機(jī)的飛行方向?yàn)檩S的圓錐（如圖），稱為“馬赫錐”.馬赫錐的軸截面頂角與飛機(jī)的速度?音速滿足關(guān)系式.若一架飛機(jī)以2倍音速沿直線飛行，則該飛機(jī)形成的馬赫錐在距離頂點(diǎn)處的截面圓面積為（）A.B.C.D.7.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.8.已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)（點(diǎn)在線段上），，則（）A.1B.2C.3D.4二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則點(diǎn)的軌跡為橢圓B.若，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線C.若，則點(diǎn)的軌跡為一條直線D.若，則點(diǎn)的軌跡為圓10.已知函數(shù)的一個(gè)最大值點(diǎn)為，與之相鄰的一個(gè)零點(diǎn)為，則（）A.的最小正周期為B.為奇函數(shù)C.在上單調(diào)遞增D.在上的值域?yàn)?1.在正方體中，點(diǎn)滿足，其中，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若在同一球面上，則B.若平面，則C.若點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等，則D.若平面，則三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若，則__________.13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.14.已知函數(shù)若對(duì)任意恒成立，則__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 16.（15分）如圖，已知四棱錐的體積為平面，四邊形為矩形，為棱的中點(diǎn)，且的面積為.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.17.（15分）如果一雙曲線的實(shí)軸及虛軸分別為另一雙曲線的虛軸及實(shí)軸，則這兩雙曲線互為“共軛雙曲線”.已知雙曲線的共軛雙曲線的離心率為.（1）求的方程；（2）若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓與軸相切，求的值.18.（17分）某學(xué)校有甲?乙?丙三名保安，每天由其中一人管理停車場(chǎng)，相鄰兩天管理停車場(chǎng)的人不相同.若某天是甲管理停車場(chǎng)，則下一天有的概率是乙管理停車場(chǎng)；若某天是乙管理停車場(chǎng)，則下一天有的概率是丙管理停車場(chǎng)；若某天是丙管理停車場(chǎng)，則下一天有的概率是甲管理停車場(chǎng).已知今年第1天管理停車場(chǎng)的是甲.（1）求第4天是甲管理停車場(chǎng)的概率；（2）求第天是甲管理停車場(chǎng)的概率；（3）設(shè)今年甲?乙?丙管理停車場(chǎng)的天數(shù)分別為，判斷的大小關(guān)系.（給出結(jié)論即可，不需要說(shuō)明理由）19.（17分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.海南省2023—2024學(xué)年高三學(xué)業(yè)水平診斷（三）數(shù)學(xué)·答案一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分1.答案C命題意圖本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念.解析由題知.2.答案A命題意圖本題考查正弦定理的應(yīng)用.解析由正弦定理得.3.答案D命題意圖本題考查分層隨機(jī)抽樣的概念.解析由題知，樣本中本科學(xué)歷占比為，碩士學(xué)歷占比為，故抽取的碩士學(xué)歷的人數(shù)為.4.答案D命題意圖本題考查等比數(shù)列的基本性質(zhì).解析由題意知，所以.5.答案A命題意圖本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與三角恒等變換.解析，又，.6.答案B命題意圖本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征.解析由條件知，則，則該飛機(jī)形成的馬赫錐在距離頂點(diǎn)處的截面圓半徑為，截面圓面積為.7.答案D命題意圖本題考查指數(shù)函數(shù)?對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).解析在同一平面直角坐標(biāo)系中作出的圖象，由圖得.8.答案C命題意圖本題考查拋物線與直線的位置關(guān)系.解析如圖，分別過(guò)點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，分別過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，設(shè)交軸于點(diǎn)，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn).由題知的傾斜角為，則，又.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.答案BCD命題意圖本題考查曲線與方程.解析對(duì)于，則點(diǎn)的軌跡為線段，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故B正確；對(duì)于，設(shè)，由，可得，化簡(jiǎn)得，表示一條直線，故C正確；對(duì)于，由，可得，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，故正確.10.答案BC命題意圖本題考查三角函數(shù)的性質(zhì).解析設(shè)最小正周期為，則，故A錯(cuò)誤.不妨令，則.再由五點(diǎn)法知，此函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確.當(dāng)時(shí)，，由余弦函數(shù)的性質(zhì)知C正確.當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.11.答案ABD命題意圖本題考查空間位置關(guān)系的判斷.解析由題意知點(diǎn)在線段上（不包含點(diǎn)）.對(duì)于A，若在同一球面上，則此球?yàn)檎襟w的外接球，所以與重合，所以，故A正確；對(duì)于，如圖（1），設(shè)的中點(diǎn)為，則平面與平面的交線為直線，要使平面，則需，則為的中點(diǎn)，此時(shí)，故B正確；對(duì)于，點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等，則為正方體外接球的球心，即的中點(diǎn)，此時(shí)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，如圖（2），設(shè)正方形的中心為，連接與交于點(diǎn)，在對(duì)角面內(nèi)，易知是上靠近的三等分點(diǎn)，且，若平面，則，由對(duì)稱性易知，則，從而是的靠近的三等分點(diǎn)，此時(shí)，故D正確.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.答案2命題意圖本題考查集合的關(guān)系.解析因?yàn)?，所以，則，且，所以.13.答案-480命題意圖本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.解析由題知可將看成6個(gè)相乘，先從6個(gè)因式中選2個(gè)因式取，有種不同的取法，再?gòu)氖Ｓ?個(gè)因式中選3個(gè)因式取，則的系數(shù)為，最后1個(gè)因式取1，所以的系數(shù)為.14.答案命題意圖本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.解析由題知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.注意到，因此若對(duì)任意恒成立，則，即對(duì)任意恒成立.由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，且值域?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，且值域?yàn)?，因此?duì)恒成立時(shí).四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.命題意圖本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和.解析（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，.（2）由（1）知，，①，②①-②得，，.16.命題意圖本題考查空間中的位置關(guān)系以及空間向量的應(yīng)用.解析（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，又四邊形是矩形，所以，從而.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，得，因此點(diǎn)到平面的距離為.（2）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫妫?，又，所以平面，所?即是等腰直角三角形.設(shè)，則.由條件知解得如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)是平面的法向量則可取.平面的一個(gè)法向量為.，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.命題意圖本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系.解析（1）由題可得，因?yàn)榈碾x心率為，所以，得，所以的方程為.（2）過(guò)的右頂點(diǎn)，不妨設(shè)，由的方程可得其漸近線方程為，因?yàn)榫诘挠抑希曰?由得，所以.，以線段為直徑的圓的圓心橫坐標(biāo)為，半徑為，由題意知，整理得，解得（負(fù)值舍去）.18.命題意圖本題考查全概率公式的應(yīng)用，以及數(shù)列與概率的綜合問(wèn)題.解析（1）由題意，前4天管理停車場(chǎng)的順序?yàn)椤凹滓冶住被颉凹妆壹住?，所?（2）設(shè)事件表示“第天甲管理停車場(chǎng)”，事件表示“第天乙管理停車場(chǎng)”，事件表示“第天丙管理停車場(chǎng)”，記，則.由題意知，當(dāng)時(shí)，，即，整理得，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故，即第天是甲管理停車場(chǎng)的概率為.（3）.19.命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).解析（1