2024年浙江強基聯(lián)校高三數(shù)學（文）3月模擬聯(lián)考試卷及答案解釋

年浙江強基聯(lián)校高三數(shù)學（文）3月模擬聯(lián)考試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知是虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．3．現(xiàn)有一項需要用時兩天的活動，每天要從5人中安排2人參加，若其中甲、乙2人在這兩天都沒有參加，則不同的安排方式有（

）A．20種 B．10種 C．8種 D．6種4．已知，，則（

）A． B．C． D．5．若，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．的展開式中，的系數(shù)為（

）A．2 B． C．8 D．107．已知函數(shù)的定義域為，且，若，則函數(shù)（

）A．以為周期 B．最大值是1C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)8．設點，，是拋物線上3個不同的點，且，若拋物線上存在點，使得線段總被直線平分，則點的橫坐標是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．有兩組樣本數(shù)據(jù)：；.其中，則這兩組樣本數(shù)據(jù)的（

）A．樣本平均數(shù)相同 B．樣本中位數(shù)相同C．樣本方差相同 D．樣本極差相同10．已知的內(nèi)角的對邊分別是，（

）A．若，則B．若，則C．若成等比數(shù)列，則D．若成等差數(shù)列，則11．已知正方體的棱長為2，過棱，，的中點作正方體的截面，則（

）A．截面多邊形的周長為B．截面多邊形的面積為C．截面多邊形存在外接圓D．截面所在平面與平面所成角的正弦值為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量，，若，則實數(shù).13．點關于直線的對稱點在圓內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是.14．用表示不超過的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足：，，.若，，則；若，則.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù).(1)求的值，(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.16．小強和小基兩位同學組成“聯(lián)盟隊”參加兩輪猜燈謎活動.每輪活動由小強、小基各猜一個燈謎，他們猜對與否互不影響.若兩人都猜對，則得3分；若僅一人猜對，則得1分；若兩人都沒猜對，則得0分.已知小強每輪猜對的概率是，小基每輪猜對的概率是，各輪結(jié)果互不影響.(1)求“聯(lián)盟隊”猜對4個燈謎的概率；(2)求“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和的分布列和數(shù)學期望.17．如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，平面平面，，點是的中點.(1)證明：.(2)點是的中點，，當直線與平面所成角的正弦值為時，求四棱錐的體積.18．已知橢圓的左、右頂點分別為，，點為直線上的動點.(1)求橢圓的離心率.(2)若，求點的坐標.(3)若直線和直線分別交橢圓于，兩點，請問：直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.19．已知函數(shù).(1)當時，記函數(shù)的導數(shù)為，求的值.(2)當，時，證明：.(3)當時，令，的圖象在，處切線的斜率相同，記的最小值為，求的最小值.（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）.1．C【分析】由一元二次不等式的解法和交集的運算得出即可.【詳解】，所以，故選：C2．B【分析】利用復數(shù)的四則運算法則即可得出結(jié)論.【詳解】.故選：B.3．D【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義和公式，即可求解.【詳解】由題意可知，從除甲和乙之外的3人中選2人，安排2天的活動，有種方法.故選：D4．D【分析】A、B、C選項可用賦值法判斷正誤，D選項根據(jù)指數(shù)與對數(shù)計算法則判斷.【詳解】設則，A錯誤；，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：D.5．C【分析】構(gòu)建函數(shù)，利用導數(shù)結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得，進而分析判斷.【詳解】設，，當時，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以當時，恒成立，故若，則“”是“”的充分必要條件故選：C.6．A【分析】先將原式化為，再用二項式通項計算即可.【詳解】，的通項為，前面括號內(nèi)出時，令，此時；前面括號內(nèi)出時，無解，前面括號內(nèi)出時，令，此時，所以的系數(shù)為，故選：A.7．D【分析】利用賦值法，分別令，，，，，，得到逐項判斷.【詳解】解：令，，得，令，，得，令，，得，由以上3式，得，即.則的周期為，故A錯誤；的最大值為，故B錯誤；令，則，故的在區(qū)間上不單調(diào)遞減，故C錯誤；因為，所以，且，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故D正確.故選：D.8．A【分析】說明直線過定點,并求出關于點的對稱點代入拋物線即可求解.【詳解】設，，，則,同理，故直線方程為：，整理得,①由得整理得,②由①②兩式得，即直線過點,關于點的對稱點即為點在拋物線上，代入得，解得.故選:A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查拋物線中的定點問題，關鍵是利用垂直得斜率的關系進而求出定點坐標.9．CD【分析】根據(jù)題意，求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差，依次分析選項即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，對于數(shù)據(jù)，，，，假設，設其平均數(shù)為、中位數(shù)為、方差為、極差為，則，，，，又由，2，，，設其平均數(shù)為、中位數(shù)為、方差為、極差為，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，中位數(shù)，，方差，故這兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同、極差也相同，平均數(shù)和中位數(shù)不同．故選：CD．10．ACD【分析】利用正弦定理、余弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換逐一判斷即可.【詳解】選項A：由正弦定理可得，因為中，，所以，所以，解得，A說法正確；選項B：若，則由正弦定理整理可得，又由余弦定理可得，因為，所以，B說法錯誤；選項C：若成等比數(shù)列，則，根據(jù)余弦定理可得，當且僅當時等號成立，所以，C說法正確；選項D：若成等差數(shù)列，則，根據(jù)正弦定理可得，所以，因為，所以，展開得，即，兩邊同除得，即，所以，當且僅當時等號成立，D說法正確；故選：ACD11．AB【分析】根據(jù)題意畫出正方體，將題中截面畫出，根據(jù)邊長關系即可求出邊長和面積；判斷截面多邊形各邊長垂直平分線是否交于一點即可判斷出多邊形是否存在外接圓；根據(jù)二面角定義和余弦定理求出截面所在平面與平面所成角.【詳解】連，延長交直線，的延長線于點，，連交于，連交于，連，得到截面五邊形，連接與的中點.由，為中點，，，，因此周長為，故A正確.，，，，，截面多邊形的面積為，故B正確.與是公用一個頂點的全等三角形，兩個三角形的外心不重合，所以這個五邊形沒有外接圓，故C錯誤.根據(jù)二面角定義可知為截面與底面所成角，，，根據(jù)余弦定理可得，故，故D錯誤.故選AB.12．【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】因為，且，所以，解得.故答案為：13．【分析】首先求對稱點，再根據(jù)點與圓的位置關系，列式求解.【詳解】設點關于直線的對稱點為，則，得，又題意可知，，解得：.故答案為：14．，【分析】當，時，利用構(gòu)造法可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求出，進而得出；當時，由題目中的遞推關系式可得，，，即可求解.【詳解】當，時，，即，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以，即.當時，，即，且，∴，.因為，所以由，可得：，，.因為，所以，，則.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，數(shù)列的通項公式及前項和.利用構(gòu)造法即可求解第一空；借助遞推關系式得出，，是解答第二空的關鍵.15．(1)(2)【分析】（1）將代入化簡即可得出答案；（2）化簡，求的單調(diào)遞增區(qū)間即求的單調(diào)遞減區(qū)間，令，即可得出答案.【詳解】（1）.（2）,求的單調(diào)遞增區(qū)間即求的單調(diào)遞減區(qū)間，令，解得：，所以所求的單調(diào)增區(qū)間為.16．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）題意可知小強和小基兩位同學兩輪猜謎都猜對，根據(jù)獨立重復事件計算方式計算即可；（2）“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和，根據(jù)獨立重復事件計算方式計算這6種情況概率即可.【詳解】（1）解：記事：兩輪猜謎中，小強猜中第個；事件：兩輪猜謎中，小基猜中第個.（2）“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和所以“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和的分布列為012346所求數(shù)學期望.17．(1)證明見解析(2)或【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)可得平面，由線面垂直性質(zhì)可得結(jié)論；（2）方法一：取中點，作，由線面垂直的性質(zhì)和判定可證得平面，由線面角定義可知，根據(jù)長度關系可構(gòu)造方程求得，代入棱錐體積公式可求得結(jié)果；方法二：取中點，以為坐標原點可建立空間直角坐標系，由線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，代入棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）是中點，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）方法一：取中點，連接，作，垂足為，連接，分別為中點，，，又，；由（1）知：平面，平面，；平面，，平面，平面，，又，，平面，平面，直線與平面所成角為，，設，，，，，又，，解得：或，，當時，；當時，.綜上所述：四棱錐的體積為或.方法二：取中點，連接，分別為中點，，，又，；由（1）知：平面，以為坐標原點，正方向為軸正方向，過作軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，設，，，，，，，，，，；設平面的法向量，則，令，解得：，，；，解得：或，，當時，；當時，.綜上所述：四棱錐的體積為或.18．(1)(2)或(3)【分析】（1）直接由定義求出即可；（2）設出坐標，結(jié)合已知條件由射影定理求出即可；（3）兩次利用直曲聯(lián)立，表示出點的坐標和直線的斜率，由點斜式寫出直線方程，即可求出直線過的頂點.【詳解】（1）橢圓的離心率為（2）設，直線交軸于點，由，∴∴或（3），，，∴代入得：，設，∴，∴，∴.代入得：，∴，∴，∴∴，∴∴即直線方程為：恒過定點為19．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）由