2024年浙江強(qiáng)基聯(lián)校高三數(shù)學(xué)（文）3月模擬聯(lián)考試卷及答案解釋

年浙江強(qiáng)基聯(lián)校高三數(shù)學(xué)（文）3月模擬聯(lián)考試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容。一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知是虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．3．現(xiàn)有一項(xiàng)需要用時(shí)兩天的活動(dòng)，每天要從5人中安排2人參加，若其中甲、乙2人在這兩天都沒(méi)有參加，則不同的安排方式有（

）A．20種 B．10種 C．8種 D．6種4．已知，，則（

）A． B．C． D．5．若，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．的展開式中，的系數(shù)為（

）A．2 B． C．8 D．107．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則函數(shù)（

）A．以為周期 B．最大值是1C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)8．設(shè)點(diǎn)，，是拋物線上3個(gè)不同的點(diǎn)，且，若拋物線上存在點(diǎn)，使得線段總被直線平分，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．有兩組樣本數(shù)據(jù)：；.其中，則這兩組樣本數(shù)據(jù)的（

）A．樣本平均數(shù)相同 B．樣本中位數(shù)相同C．樣本方差相同 D．樣本極差相同10．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，（

）A．若，則B．若，則C．若成等比數(shù)列，則D．若成等差數(shù)列，則11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，過(guò)棱，，的中點(diǎn)作正方體的截面，則（

）A．截面多邊形的周長(zhǎng)為B．截面多邊形的面積為C．截面多邊形存在外接圓D．截面所在平面與平面所成角的正弦值為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量，，若，則實(shí)數(shù).13．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足：，，.若，，則；若，則.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．已知函數(shù).(1)求的值，(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.16．小強(qiáng)和小基兩位同學(xué)組成“聯(lián)盟隊(duì)”參加兩輪猜燈謎活動(dòng).每輪活動(dòng)由小強(qiáng)、小基各猜一個(gè)燈謎，他們猜對(duì)與否互不影響.若兩人都猜對(duì)，則得3分；若僅一人猜對(duì)，則得1分；若兩人都沒(méi)猜對(duì)，則得0分.已知小強(qiáng)每輪猜對(duì)的概率是，小基每輪猜對(duì)的概率是，各輪結(jié)果互不影響.(1)求“聯(lián)盟隊(duì)”猜對(duì)4個(gè)燈謎的概率；(2)求“聯(lián)盟隊(duì)”兩輪得分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.17．如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，平面平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)證明：.(2)點(diǎn)是的中點(diǎn)，，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求四棱錐的體積.18．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn).(1)求橢圓的離心率.(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo).(3)若直線和直線分別交橢圓于，兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，求的值.(2)當(dāng)，時(shí)，證明：.(3)當(dāng)時(shí)，令，的圖象在，處切線的斜率相同，記的最小值為，求的最小值.（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.1．C【分析】由一元二次不等式的解法和交集的運(yùn)算得出即可.【詳解】，所以，故選：C2．B【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則即可得出結(jié)論.【詳解】.故選：B.3．D【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義和公式，即可求解.【詳解】由題意可知，從除甲和乙之外的3人中選2人，安排2天的活動(dòng)，有種方法.故選：D4．D【分析】A、B、C選項(xiàng)可用賦值法判斷正誤，D選項(xiàng)根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)計(jì)算法則判斷.【詳解】設(shè)則，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：D.5．C【分析】構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得，進(jìn)而分析判斷.【詳解】設(shè)，，當(dāng)時(shí)，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，故若，則“”是“”的充分必要條件故選：C.6．A【分析】先將原式化為，再用二項(xiàng)式通項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】，的通項(xiàng)為，前面括號(hào)內(nèi)出時(shí)，令，此時(shí)；前面括號(hào)內(nèi)出時(shí)，無(wú)解，前面括號(hào)內(nèi)出時(shí)，令，此時(shí)，所以的系數(shù)為，故選：A.7．D【分析】利用賦值法，分別令，，，，，，得到逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：令，，得，令，，得，令，，得，由以上3式，得，即.則的周期為，故A錯(cuò)誤；的最大值為，故B錯(cuò)誤；令，則，故的在區(qū)間上不單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，且，所以既不是奇函?shù)也不是偶函數(shù)，故D正確.故選：D.8．A【分析】說(shuō)明直線過(guò)定點(diǎn),并求出關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)代入拋物線即可求解.【詳解】設(shè)，，，則,同理，故直線方程為：，整理得,①由得整理得,②由①②兩式得，即直線過(guò)點(diǎn),關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)即為點(diǎn)在拋物線上，代入得，解得.故選:A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線中的定點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是利用垂直得斜率的關(guān)系進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo).9．CD【分析】根據(jù)題意，求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差，依次分析選項(xiàng)即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于數(shù)據(jù)，，，，假設(shè)，設(shè)其平均數(shù)為、中位數(shù)為、方差為、極差為，則，，，，又由，2，，，設(shè)其平均數(shù)為、中位數(shù)為、方差為、極差為，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，中位數(shù)，，方差，故這兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同、極差也相同，平均數(shù)和中位數(shù)不同．故選：CD．10．ACD【分析】利用正弦定理、余弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：由正弦定理可得，因?yàn)橹?，，所以，所以，解得，A說(shuō)法正確；選項(xiàng)B：若，則由正弦定理整理可得，又由余弦定理可得，因?yàn)椋?，B說(shuō)法錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若成等比數(shù)列，則，根據(jù)余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，C說(shuō)法正確；選項(xiàng)D：若成等差數(shù)列，則，根據(jù)正弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，展開得，即，兩邊同除得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D說(shuō)法正確；故選：ACD11．AB【分析】根據(jù)題意畫出正方體，將題中截面畫出，根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可求出邊長(zhǎng)和面積；判斷截面多邊形各邊長(zhǎng)垂直平分線是否交于一點(diǎn)即可判斷出多邊形是否存在外接圓；根據(jù)二面角定義和余弦定理求出截面所在平面與平面所成角.【詳解】連，延長(zhǎng)交直線，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，連交于，連交于，連，得到截面五邊形，連接與的中點(diǎn).由，為中點(diǎn)，，，，因此周長(zhǎng)為，故A正確.，，，，，截面多邊形的面積為，故B正確.與是公用一個(gè)頂點(diǎn)的全等三角形，兩個(gè)三角形的外心不重合，所以這個(gè)五邊形沒(méi)有外接圓，故C錯(cuò)誤.根據(jù)二面角定義可知為截面與底面所成角，，，根據(jù)余弦定理可得，故，故D錯(cuò)誤.故選AB.12．【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解?故答案為：13．【分析】首先求對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，列式求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，得，又題意可知，，解得：.故答案為：14．，【分析】當(dāng)，時(shí)，利用構(gòu)造法可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求出，進(jìn)而得出；當(dāng)時(shí)，由題目中的遞推關(guān)系式可得，，，即可求解.【詳解】當(dāng)，時(shí)，，即，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以，即.當(dāng)時(shí)，，即，且，∴，.因?yàn)?，所以由，可得：，?因?yàn)?，所以，，則.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.利用構(gòu)造法即可求解第一空；借助遞推關(guān)系式得出，，是解答第二空的關(guān)鍵.15．(1)(2)【分析】（1）將代入化簡(jiǎn)即可得出答案；（2）化簡(jiǎn)，求的單調(diào)遞增區(qū)間即求的單調(diào)遞減區(qū)間，令，即可得出答案.【詳解】（1）.（2）,求的單調(diào)遞增區(qū)間即求的單調(diào)遞減區(qū)間，令，解得：，所以所求的單調(diào)增區(qū)間為.16．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）題意可知小強(qiáng)和小基兩位同學(xué)兩輪猜謎都猜對(duì)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件計(jì)算方式計(jì)算即可；（2）“聯(lián)盟隊(duì)”兩輪得分之和，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件計(jì)算方式計(jì)算這6種情況概率即可.【詳解】（1）解：記事：兩輪猜謎中，小強(qiáng)猜中第個(gè)；事件：兩輪猜謎中，小基猜中第個(gè).（2）“聯(lián)盟隊(duì)”兩輪得分之和所以“聯(lián)盟隊(duì)”兩輪得分之和的分布列為012346所求數(shù)學(xué)期望.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)或【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)可得平面，由線面垂直性質(zhì)可得結(jié)論；（2）方法一：取中點(diǎn)，作，由線面垂直的性質(zhì)和判定可證得平面，由線面角定義可知，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可構(gòu)造方程求得，代入棱錐體積公式可求得結(jié)果；方法二：取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，由線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，代入棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）是中點(diǎn)，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）方法一：取中點(diǎn)，連接，作，垂足為，連接，分別為中點(diǎn)，，，又，；由（1）知：平面，平面，；平面，，平面，平面，，又，，平面，平面，直線與平面所成角為，，設(shè)，，，，，又，，解得：或，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述：四棱錐的體積為或.方法二：取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，，又，；由（1）知：平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，過(guò)作軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，解得：或，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述：四棱錐的體積為或.18．(1)(2)或(3)【分析】（1）直接由定義求出即可；（2）設(shè)出坐標(biāo)，結(jié)合已知條件由射影定理求出即可；（3）兩次利用直曲聯(lián)立，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線方程，即可求出直線過(guò)的頂點(diǎn).【詳解】（1）橢圓的離心率為（2）設(shè)，直線交軸于點(diǎn)，由，∴∴或（3），，，∴代入得：，設(shè)，∴，∴，∴.代入得：，∴，∴，∴∴，∴∴即直線方程為：恒過(guò)定點(diǎn)為19．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由