江蘇省南京市鼓樓區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

試卷第試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁南京市鼓樓區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題1．已知，，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【分析】利用兩角差的正切公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B2．在中，已知角，的對(duì)邊分別為，，，，，則（

）A． B． C． D．【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求解作答.【詳解】在中，，，，由正弦定理得，所以.故選：A3．在復(fù)平面內(nèi)，向量，分別與復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，為虛數(shù)單位，則（

）A． B．4 C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量模公式，即可求解．【詳解】向量，分別與復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)，則，，，即．故選：D．4．已知一個(gè)物體在三個(gè)力，的作用下，處于靜止?fàn)顟B(tài)，則（

）A． B． C． D．【分析】由題意可知，設(shè)，代入求解即可.【詳解】已知一個(gè)物體在三個(gè)力，的作用下，處于靜止?fàn)顟B(tài)，設(shè)，則，即，解得，所以.故選：A5．已知，是單位向量，且滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【分析】利用向量的夾角公式可求與的夾角.【詳解】由可得，故，故即，而，故，故選：B.6．（

）A． B． C． D．【分析】利用二倍角正切公式得到，【詳解】.故選：C7．在中，，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【分析】利用正弦定理的邊角互化可得，進(jìn)而可得或，即可求解.【詳解】，正弦定理可得，即，，，∴或，∴或，∴為等腰三角形或直角三角形.故選：D8．在中，點(diǎn)是邊所在直線上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)在直線上，若向量，則的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．9【分析】由題意可得，又點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，所以，再利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式求解即可．【詳解】，，，點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為4．故選：B．二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，，則下列選項(xiàng)中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【分析】將，逐個(gè)代入各選項(xiàng)中分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，得，，因?yàn)椋?，解得，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由，得，因?yàn)?，所以，所以或，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由，得，則，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以D正確，故選：CD10．已知，，，，是平面向量，則下列選項(xiàng)中，正確的是（

）A．若，，則B．若，，則，可以作為平面內(nèi)的一組基底C．若，，則在上的投影向量為D．若，，，則【詳解】對(duì)于A：當(dāng)，、不平行時(shí)，滿足，，得不出，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，，所以、不共線，、可作為平面內(nèi)的一組基底，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?，所以，，所以在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D：，，，，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11．函數(shù)，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．的最大值是B．的圖象在直線的上方C．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D．函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和等于【分析】利用正弦型函數(shù)的值域可判斷AB選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷C選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，故函數(shù)的最大值為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，的值域?yàn)?，則函數(shù)的圖象不恒在直線上，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，令，其中，則，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，作出函數(shù)在區(qū)間的圖象以及函數(shù)的圖象，如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)在區(qū)間的圖象以及函數(shù)的圖象共有六個(gè)交點(diǎn)，分別為、、、、、，其中與、與、與均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因此，函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和等于，D對(duì).故選：ACD.12．已知，在的兩條邊上分別有，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，在內(nèi)部有一點(diǎn)，滿足，且，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．C．的面積有最大值 D．的最大值為【分析】在中，由余弦定理求得，再由正弦定理求得，即可判定B；根據(jù)題意得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，故的大小不能確定，且的面積有最大值，可判定A錯(cuò)誤，C正確；令的外接圓圓心為，求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的最大值，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】在中，，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），在中，由正弦定理得，即，解得，所以，所以B正確；在中，因?yàn)?，，所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，故的大小不能確定，所以A錯(cuò)誤；在中，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以,又由的面積為，所以的面積有最大值，故A錯(cuò)誤，C正確；令的外接圓圓心為，取BD的中點(diǎn)為M，，則，可得，又由，所以，所以，所以，在中，由余弦定理可得，所以的最大值為，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.

三、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則．【分析】利用虛數(shù)單位的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)的除法可求，再利用公式求出其模.【詳解】因?yàn)?，?故即，故，故答案為：.14．若，則．【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角的余弦公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)?，則.故答案為：.15．如圖，在平面四邊形中，，，，則的最小值為．

【分析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用垂直關(guān)系和模的坐標(biāo)公式可得，故可求模的最小值.【詳解】以為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，

因?yàn)?，且，故，故，，故，而，故，故，即，所以，?dāng)時(shí)，.故答案為：16．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，角的平分線交于點(diǎn)，且，，則，的內(nèi)切圓面積是．【答案】120【分析】由正弦定理結(jié)合三角變換可得，結(jié)合角的范圍即可求解角；由角平分線的性質(zhì)可得，利用余弦定理可求得，再利用等面積法求得內(nèi)切圓的半徑，從而可求解內(nèi)切圓的面積.【詳解】由正弦定理可得，，，，，，.角的平分線交于點(diǎn)，且，，，在中，由余弦定理可得，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，，的內(nèi)切圓面積是.故答案為：；.四、解答題17．已知向量，，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若與垂直，求實(shí)數(shù)的值．【分析】（1）根據(jù)，利用向量共線的坐標(biāo)表示，即可求解；（2）根據(jù)與垂直，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄浚?，因?yàn)椋傻茫獾?（2）因?yàn)橄蛄?，，可得，因?yàn)榕c垂直，所以，解得．18．已知復(fù)數(shù)，是實(shí)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，．(1)求；(2)若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的根，求實(shí)數(shù)和的值．【分析】（1）化簡(jiǎn)，由是實(shí)數(shù)可得，求解即可；（2）由（1）可得，由方程的根可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可得，求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，解得，故的值為.（2）由（1）可知，所以，因?yàn)榉匠痰母?，即，由，解得，．故?shí)數(shù)和的值分別為.19．在中，已知角、、所對(duì)的邊分別為、、，，，在下列條件中選擇一個(gè)，判斷是否存在．如果存在，那么求出的面積；如果不存在，那么請(qǐng)說明理由．①邊的中線長(zhǎng)為；②；③．【答案】條件選擇見解析，答案見解析【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合余弦定理可求得，選①：根據(jù)余弦定理求得，結(jié)合余弦定理求出、的值，說明存在，進(jìn)而可求得的面積；選②：由已知條件結(jié)合余弦定理求得、的值，說明存在，進(jìn)而可求得的面積；選③：根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理說明不存在.【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，又由余弦定理得，所以，即，因?yàn)?，所以，，所以，所?

選擇①：邊的中線長(zhǎng)為，在中，，（i）在中，，（ii）因?yàn)?，所以，，所以，，（i）+（ii）可得，即，因?yàn)?，所以，解得或，所以存在，所以，的面積為；選擇②：，因?yàn)椋?，解得或，所以存在，所以，的面積為；選擇③：，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，且，即，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，這與矛盾，所以不存在．20．已知平面向量，，．設(shè)函數(shù)(1)求的最小正周期；(2)設(shè)，①記，試用表示，并寫出的取值范圍；②求的最小值．【答案】(1)(2)①，的取值范圍是；②【分析】（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出函數(shù)的解析式，再利用輔助角公式化為的形式，即可求出最小正周期；（2）化函數(shù)，①記，用表示出，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性求出的取值范圍；②根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出的最小值．【詳解】（1）平面向量，，，，所以函數(shù)，所以的最小正周期為；（2）函數(shù)，①記，則，所以，因?yàn)?，所以，；②，?dāng)時(shí)，取得最小值為．21．在小島的正北方向有一補(bǔ)給點(diǎn)，某巡邏艇從出發(fā)沿北偏西方向航行，航行海里后到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)，巡邏艇接到了位于正北方向50海里的拋錨漁船處發(fā)來的求救信號(hào)，同時(shí)觀測(cè)到位于的北偏東方向．已發(fā)現(xiàn)巡邏艇燃料不足，現(xiàn)有兩種營(yíng)救方案：方案一

為節(jié)省燃油、確保能到達(dá)拋錨漁船處，巡邏艇以35海里/小時(shí)的速度航行，以最短路程前往；方案二

巡邏艇以50海里/小時(shí)的速度航行，以最短路程前往補(bǔ)給點(diǎn)，在補(bǔ)充燃油后仍然以50海里/小時(shí)的速度航行，以最短路程前往，已知在到達(dá)補(bǔ)給點(diǎn)后補(bǔ)充燃油總共需要在補(bǔ)給點(diǎn)停留0.2小時(shí)；試判斷哪種營(yíng)救方案可以更快的達(dá)到拋錨漁船處．（在實(shí)施兩種方案時(shí)，均不考慮水流速度）【答案】采用方案二可以更快的達(dá)到拋錨漁船處【分析】根據(jù)題意，在中，由正弦定理求得，再在中，由余弦定理求得，分別計(jì)算兩個(gè)方案中的用時(shí)，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在的正北方，且在的北偏東的方向，所以，在中，由正弦定理得，可得海里，在中，由余弦定理得，可得海里，若采用方案一，需要小時(shí)，若采用方案二，需要小時(shí)，所以采用方案二可以更快的達(dá)到拋錨漁船處．

22．已知，在斜三角形中，角的對(duì)邊分別為，．(1)求的大??；(2)若，求的最小值；(3)若，求的大?。敬鸢浮?1)(2)(3)，【分析】（1）由，得到，