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文檔簡介
莆田第二十五中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中考試卷
考試時(shí)間:120分鐘
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1,已知集合1*-3J或xN2},則Ac僅3)=()
A.0B.{1}C.{0,1}D.{0,1,2}
2.“若VXG;,2,3/一/11+1>0恒成立”是真命題,則實(shí)數(shù)4可能取值是()
A2及B.273C.4D.5
3.華羅庚說:“數(shù)無形時(shí)少直覺,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛?“所以研究函
數(shù)時(shí)往往要作圖,那么函數(shù)/(x)=gln|x|cos3x的部分圖象可能是()
4.若一系列函數(shù)的解析式和值域相同,但定義域不相同,則稱這些函數(shù)為“同值函數(shù)例如函數(shù)),=/,
xe[l,2]與函數(shù)y=d,%目-2,—1]即為“同值函數(shù)”,給出下面四個(gè)函數(shù),其中能夠被用來構(gòu)造“同值函
數(shù)”的是()
A.y=B.y=JC.y=log2xD.y=|x-l|
5.設(shè)函數(shù)/(x)=logjx+f)在區(qū)間[1,M)上單調(diào)遞減,則〃取值范圍是()
A.(F,l]B.[0,1]C.(-1,1]D.[1,-KQ)
6.如圖,點(diǎn)尸是棱長為2的正方體ABC。—AAGA表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線A尸與平面A8QD所成的
角為45。,則點(diǎn)P的軌跡長度為()
A.兀+4&B.4血兀C.2>/3D.30+兀
2x,八
----,x<0
x—1
7.已知函數(shù),(x)=v,若關(guān)于*方程/(x)=x—。無實(shí)根,則實(shí)數(shù)”的取值范圍為
Inx八
——,x>0
Ix
B.(-1,0)
D.(0,1)
8.已知“X)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足〃x)=/(2-x),且/(x)在[—2023,—2022]
上單調(diào)遞增,設(shè)a=〃—log32)/=/(ln(2e2)),c="2021),則a也c的大小關(guān)系是()
A.c<h<aB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,部分選對(duì)的得2分,全部選對(duì)的
得5分.)
9.已知上](〃eN*)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng),則”的可能取值為()
A.4B.6C.8D.10
10.小張等四人去甲、乙、丙三個(gè)景點(diǎn)旅游,每人只去一個(gè)景點(diǎn),記事件A“恰有兩人所去景點(diǎn)相同”,事
件8為“只有小張去甲景點(diǎn)”,則()
A.這四人不同的旅游方案共有64種B.“每個(gè)景點(diǎn)都有人去”的方案共有72種
C.-D.“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”的概率是巴
11.如圖,圓錐SO的底面圓。的直徑AC=4,母線長為2a,點(diǎn)B是圓。上異于A,C的動(dòng)點(diǎn),則下
列結(jié)論正確的是()
s
A.SC與底面所成角為45°
B.圓錐SO的表面積為40兀
C.N5>LB的取值范圍是[nJ
D.若點(diǎn)B為弧AC的中點(diǎn),則二面角S—BC—O的平面角大小為45。
12.定義在R上的函數(shù)“力滿足〃2r)=/(x)]⑴=2J(3x+2)為奇函數(shù),函數(shù)g(x)(xeR)滿
足g(x)=-g(4-x),若y=/(x)與y=g(x)恰有2023個(gè)交點(diǎn)&,%),(和力),,(馬如力)*),則
下列說法正確的是()
A.42023)=2B.x=l為y=/(x)的對(duì)稱軸
2023
C./(0)=()D.E(X,.+X)=4046
i=l
三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
-1
13.若2z=——,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.
1+1
14.某校期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(76/6).按15%,35%,35%,15%的比例將考試成績劃
為AB,C,。四個(gè)等級(jí),其中分?jǐn)?shù)大于或等于83分的為A等級(jí),則8等級(jí)的分?jǐn)?shù)應(yīng)為.(用區(qū)
間表示)
15.一生產(chǎn)過程有4道工序,每道工序需要安排一人照看.現(xiàn)從甲、乙、丙等7名工人中安排4人分別照
看一道工序,第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人,第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人,
則不同的安排方案共有種
16.如圖,在邊長為6的正方形鳥舄中,B,C分別為1巴、舄A的中點(diǎn),現(xiàn)將
分別沿AB,BC,C4折起使點(diǎn)4,巴,居重合,重合后記為點(diǎn)P,得到三棱錐P—A3C,則
三棱錐P-ABC的外接球表面積為.
p
四、解答題(本大題共6題,共70分)
17.已知_ABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為且6sinC=csinO.
2
(1)求角B;
(2)若。=J15,C=3“,求的面積.
18.設(shè){風(fēng)}是公差不為0的等差數(shù)列,%=8,成等比數(shù)列.
(1)求{凡}的通項(xiàng)公式:
3
(2)設(shè)瓦=-----,求數(shù)列也,}的前〃項(xiàng)和S”.
anan+\
19.如圖,正三棱柱ABC-A4G中,點(diǎn)。在棱AB上,且CO_LOB-
(1)求證:4&//平面。。4;
TT
(2)若正三棱柱ABC-A£G的底面邊長為2,二面角。一BC—B的大小為三,求直線到平面
CDB、的距離.
20.某闖關(guān)游戲必須闖過若干關(guān)口才能成功,其中第一關(guān)是答題,分別設(shè)置“文史常識(shí)題”“生活常識(shí)題”“影視
藝術(shù)常識(shí)題”這3道題目,規(guī)定有兩種答題方案:
方案一:答題3道,至少有2道答對(duì)
方案二:在這3道題目中,隨機(jī)選取2道,這2道都答對(duì).
方案一和方案二中只要完成一個(gè),就能通過第一關(guān),假設(shè)甲選擇方案一、且答對(duì)每一道題的概率是,,乙選
3
擇方案二,且3道題中只能答對(duì)其中兩道題.
(1)求甲答對(duì)題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(2)設(shè)甲和乙中通過第一關(guān)的人數(shù)為g,求&的分布列;
(3)若丙答對(duì)這3道題中每一道題的概率都是p(pw(O,l)),且這3道題是否答對(duì)相互之間沒有影響,
丙選擇方案一通過第一關(guān)的概率為Pi,選擇方案二通過第一關(guān)的概率為。2,直接比較P1與P2的大小.
21.已知橢圓E:,+左=1(。>8>0)的左焦點(diǎn)為尸,左頂點(diǎn)為(一若,0),離心率為乎.
(1)求E的方程;
(2)若過坐標(biāo)原點(diǎn)。且斜率為攵(%。0)的直線/與E交于A,8兩點(diǎn),直線AF與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C,
的面積為生但,求直線轉(zhuǎn)的方程.
5
22.已知函數(shù)/(X)=(x—2)(e*_ax)(aeR).
⑴若4=2,討論/(X)的單調(diào)性.
(2)已知關(guān)于x的方程/(x)=(x—3)e,+2以恰有2個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根不々.
(i)求。的取值范圍;
(ii)求證:X1+x2>4.
莆田第二十五中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中考試卷
考試時(shí)間:120分鐘
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1,已知集合1*-3J或xN2},則Ac僅3)=()
A.0B.{1}C.{0,1}D.{0,1,2}
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出集合A,然后根據(jù)集合的運(yùn)算可得答案.
x+2
【詳解】由——40可得—24x<3,
x—3
所以集合4={1,2},
因?yàn)?3={x[T<x<2},所以AI低B)={1},
故選:B.
2.“若Vxe;,2,3/一/11+1>0恒成立”是真命題,則實(shí)數(shù)2可能取值是()
A.2A/2B.26C.4D.5
【答案】A
【解析】
【分析】由題得到恒成立,求出3x+」]即可得到答案.
xIX人in
【詳解】Vxe1,2,3X2-/L%+1>0.即丸<3%+,恒成立,
12」x
3x+->2,l3x--=2V3,當(dāng)且僅當(dāng)3x=,,即苫=立時(shí)等號(hào)成立,故,<28.
xvxx3
對(duì)比選項(xiàng)知A滿足.
故選:A
3.華羅庚說:“數(shù)無形時(shí)少直覺,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛.”所以研究函
數(shù)時(shí)往往要作圖,那么函數(shù)/(x)=gmWcos3x的部分圖象可能是()
【解析】
1A
【分析】根據(jù)奇偶性排除BC,根據(jù)當(dāng)XG0,-時(shí)〃x)<(),排除A,繼而得解.
【詳解】因?yàn)?(-x)=gln|-Mcos(-3x)=glnWcos3x,所以/(x)〒/'(-x),所以/(x)為偶函數(shù),
2
排除BC,
當(dāng)時(shí),lnx>(),且cos3x>0.
JA1
所以當(dāng)xe0,—時(shí),/(x)=—In|x|cos3x<0,排除A;
6)22
故選:D.
4.若一系列函數(shù)的解析式和值域相同,但定義域不相同,則稱這些函數(shù)為“同值函數(shù)''.例如函數(shù)y=V,
工£[1,2]與函數(shù)>即為“同值函數(shù)”,給出下面四個(gè)函數(shù),其中能夠被用來構(gòu)造“同值函
數(shù)”的是()
A.產(chǎn)出3
B.y=xC.y=log2xD.y=|x-l|
【答案】D
【解析】
【分析】由題意得到函數(shù)不單調(diào)才能符合要求,ABC錯(cuò)誤,D中)=卜-1|不單調(diào),且可舉出實(shí)例.
【詳解】要想能夠被用來構(gòu)造“同值函數(shù)”,則要函數(shù)不單調(diào),
ABC選項(xiàng),y=在R上單調(diào)遞減,>=/在R上單調(diào)遞增,
2J
、=1。82%在(0,+8)上單調(diào)遞增,ABC錯(cuò)誤;
D選項(xiàng),y=|x-1]在(—8,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增,
不妨設(shè)丁=k—1|,N目1,力與函數(shù)^=上一1|,xe[O,l],兩者的值域相同,為同值函數(shù),D正確.
故選:D
5.設(shè)函數(shù)/(x)=logjx+m)在區(qū)間[1,例)上單調(diào)遞減,則〃的取值范圍是()
A.(-oo,l]B.[0,1]C.(-1,1]D.[l,+oo)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得X+?在區(qū)間[1,內(nèi))上單調(diào)遞增,分。>0、。=0、a<0討論,根據(jù)在
[1,+8)上單調(diào)性可得答案.
【詳解】/(%)=lOg|1%+/J在口,+8)單調(diào)遞減上單調(diào)遞減,
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得x+三在區(qū)間[1,+8)上單調(diào)遞增,
當(dāng)a>0時(shí),X+:在[石,+8)單調(diào)遞增,需滿足Gwl,
當(dāng)a=0滿足題意,
當(dāng)a<0時(shí),在(0,+8)單調(diào)遞增,則在區(qū)間[1,用)上單調(diào)遞增
又需滿足真數(shù)x+0>0,則最小值1+0>0,即a>—1,
x1
綜上一l<aWl.
故選:C.
6.如圖,點(diǎn)P是棱長為2的正方體ABC。-表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線小與平面ABCO所成的
角為45。,則點(diǎn)尸的軌跡長度為()
A.兀+4&B.4及無C.2GD.3X/2+K
【答案】A
【解析】
【分析】先利用直線”與平面A8CD所成的角為45。求得點(diǎn)p的軌跡,進(jìn)而求得點(diǎn)P的軌跡長度.
【詳解】若點(diǎn)尸在正方形A4GA內(nèi),
過點(diǎn)P作”_L平面ABCD于P,連接AP',AP.
則N/Wy為直線”與平面ABCD所成的角,貝iJNR4P'=45,
又PP'=2,則PA=2>/2,則=2,
則點(diǎn)P的軌跡為以A為圓心半徑為2的圓(落在正方形4片G2內(nèi)的部分),
若點(diǎn)尸在正方形A4AB內(nèi)或A2A。內(nèi),軌跡分別為線段AB”A",
因?yàn)辄c(diǎn)P不可能落在其他三個(gè)正方形內(nèi),
所以點(diǎn)尸的軌跡長度為2x^+2&+2夜=兀+4夜.
2
O
故選:A
—,x<0
7.已知函數(shù)/(x)=,若關(guān)于x的方程/(x)=x—a無實(shí)根,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為
Inx八
——,x>0
Ix
A.°°0)|J^—,1JB.(—1,C
9)
c.D.(0,1)
【答案】D
【解析】
【分析】畫出/(X)圖像,然后找到y(tǒng)=/(x)圖像與直線y=x-a無交點(diǎn)的情況,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求
出切線方程和切點(diǎn)坐標(biāo),從而得到臨界狀態(tài)時(shí)”的值,從而得到”的范圍,得到答案.
(詳解】方程/(X)=x-a無實(shí)根等價(jià)于函數(shù)y=f(X)的圖像與直線y=X-a無交點(diǎn).
2x,八
---,x<0
:一1的圖像,如圖,
畫出函數(shù)/(%)=?
mx八
——,x>0
x
2x
由圖像知,當(dāng)aWO時(shí),直線丁=無一a與曲線/(x)=(尤WO)必有交點(diǎn),
x-1
當(dāng)a>()時(shí),設(shè)直線y=x—a與曲線/*)=用。>0)相切時(shí),切點(diǎn)為〃(分,匕
由廣(?=匕與,
X
代入切點(diǎn)橫坐標(biāo)看得切線的斜率,
1-In/、
所以一^°=1,解得為=1,則P(l,o),
所以切線方程為y=x-l得。=1.
由圖像知實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0,1),
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線,屬于中檔題.
8.已知“X)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)%滿足〃x)=/(2—x),且“力在[-2023,—2022]
上單調(diào)遞增,設(shè)4=〃—10832)/=/阿262)),0=/(2021),則。也。的大小關(guān)系是()
A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.h<a<c
【答案】A
【解析】
【分析】利用函數(shù)奇偶性以及"x)=/(2-x)可知/(x)的周期為2,且在[0,1]上單調(diào)遞減,將表達(dá)式
a,化簡可得a=,8=/(ln2),c=/(l),又易知OcH'VlnZvl即可得c<Z?<a.
【詳解】根據(jù)題意可知〃x)=〃2r)=f(%—2),即可得〃x)=〃x+2),
所以函數(shù)/(x)是以2為周期的偶函數(shù),
又“X)在[—2023,—2022]上單調(diào)遞增,所以可得/(x)在[-1,0]上單調(diào)遞增;
根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知“X)在[()』上單調(diào)遞減,
又。=/(-log32)=/(log32)=/[篇)
22
/?=/(ln(2e))=/(ln2+lne)=/(ln2+2)=/(ln2)
c=/(2021)=/(l)
顯然ln3>l,所以可得0<@2<ln2<l,即>“In2)>41);
In3\ln3y
因此可得cvbva.
故選:A
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,部分選對(duì)的得2分,全部選對(duì)的
得5分.)
9.己知(x—(〃eN*)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng),則〃的可能取值為()
A.4B.6C.8D.10
【答案】AC
【解析】
4
【分析】求出展開式的通項(xiàng),再令〃-一廠=0,可得〃與,的關(guān)系,用賦值法從而可得出結(jié)論.
3
【詳解】.一;)(〃eN*)展開式的通項(xiàng)為:加=(T)'C:?x",xj=(_l)'C>x4,其中
43
令〃r=0,則r=—〃,可知〃為4的倍數(shù),故B、D錯(cuò)誤;
34
當(dāng)r=3時(shí),n最小為4;當(dāng)r=6時(shí),〃為8;
故選:AC.
10.小張等四人去甲、乙、丙三個(gè)景點(diǎn)旅游,每人只去一個(gè)景點(diǎn),記事件A為“恰有兩人所去景點(diǎn)相同”,事
件8為“只有小張去甲景點(diǎn)”,則()
A.這四人不同的旅游方案共有64種B.“每個(gè)景點(diǎn)都有人去”的方案共有72種
C.LD.“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”的概率是巴
v17627
【答案】CD
【解析】
【分析】A選項(xiàng),根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出答案;B選項(xiàng),根據(jù)部分平均分組方法計(jì)算出答案;C選項(xiàng),
利用排列組合知識(shí)得到〃(A)=36,〃(AB)=6,利用條件概率公式求出答案;D選項(xiàng),求出四個(gè)人只去了
兩個(gè)景點(diǎn)的方案數(shù),結(jié)合A中所求,求出概率.
【詳解】A選項(xiàng),每個(gè)人都有3種選擇,故共有34=81種旅游方案,A錯(cuò)誤;
B選項(xiàng),每個(gè)景點(diǎn)都有人去,則必有1個(gè)景點(diǎn)去了2個(gè)人,另外兩個(gè)景點(diǎn)各去1人,
故有卑C-A;=36種方案,
B錯(cuò)誤;
C選項(xiàng),恰有兩人所去景點(diǎn)相同,即有1個(gè)景點(diǎn)去了2個(gè)人,另外兩個(gè)景點(diǎn)各去I人,
由B選項(xiàng)可知,〃(A)=36,
又事件A8,即小張去甲景點(diǎn),另外3人有兩人去了同一個(gè)景點(diǎn),其余1人去另一個(gè)景點(diǎn),
故〃(M)=C;C;A;=6,
所以P(B|A)=粵等=c正確;
D選項(xiàng),“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)“,分為2種情況,
第一,有3人去了同一個(gè)景點(diǎn),另外一個(gè)去另外一個(gè)景點(diǎn),則有C:C;A;=24種方案,
C2c2
第二,2人去了同一個(gè)景點(diǎn),另外2人去了另一個(gè)景點(diǎn),故有卡18種方案,
由A選項(xiàng)可知,這四人不同旅游方案共有81種,
24+1814
故“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”的概率為------=一,D正確.
8127
故選:CD
11.如圖,圓錐SO的底面圓0的直徑AC=4,母線長為2起,點(diǎn)8是圓0上異于A,C的動(dòng)點(diǎn),則下
列結(jié)論正確的是()
A.SC與底面所成角為45°
B.圓錐SO的表面積為4夜兀
C.NS4B的取值范圍是
D.若點(diǎn)B為弧AC的中點(diǎn),則二面角S—3C—O的平面角大小為45。
【答案】AC
【解析】
【分析】對(duì)于A,根據(jù)SO,面A3C,由cos<SCO="0C判斷;對(duì)于B,由圓錐SO的側(cè)面積公式求解
SC
判斷;對(duì)于C,由求解判斷;對(duì)于D,取的中點(diǎn)。,連接0。,SD,易得NSDO為
二面角S—BC—O的平面角求解判斷.
【詳解】對(duì)于A,因?yàn)镾O,面A8C,所以NSCO是SC與底面所成角,
在RtZ\SOC中,圓錐的母線長是2及,半徑r=OC=2,
則cos/SCO=%=」==也,所以NSCO=45°,則A正確;
SC2A/22
對(duì)于B,圓錐SO的側(cè)面積為"=4\反兀,表面積為4\/5兀+4兀,貝!JB錯(cuò)誤;
對(duì)于C,當(dāng)點(diǎn)8與點(diǎn)A重合時(shí),NAS3=0為最小角,
7F
當(dāng)點(diǎn)4與點(diǎn)c重合時(shí)NAS8=—,達(dá)到最大值,
2
又因?yàn)锽與A,C不重合,則
(Tt71]
又2NSAB+NASB=TI,可得則C正確;
對(duì)于D,如圖所示,
取5c的中點(diǎn)O,連接QD,SD,又。為AC的中點(diǎn),則OD//AB,
因?yàn)锳BS3C,所以8C_LO£>,又SOJL面ABC,3Cu面ABC,所以3CLSO,
又SOOD=O,BC上面SOD,故BC_LS£),
所以NSDO為二面角S—BC—O的平面角,
因?yàn)辄c(diǎn)B為弧AC的中點(diǎn),所以AB=2&,0D=^AB=^2,則tanNS。。=器=血,則D錯(cuò)誤.
故選:AC.
12.定義在R上的函數(shù)滿足〃2-9=/(力,/⑴=2J(3x+2)為奇函數(shù),函數(shù)g(x)(xeR)滿
足g(x)=-g(4r),若y=〃x)與尸g(x)恰有2023個(gè)交點(diǎn)(/%),(%,%),,(工2023,必023),則
下列說法正確的是()
A.42023)=2B.x=l為y=/(x)的對(duì)稱軸
2023
C./(())=()D.Za+y)=4046
Z=1
【答案】BCD
【解析】
【分析】由."2—x)=/(x),得函數(shù)/(x)圖象關(guān)于直線%=1對(duì)稱,由/(3x+2)是奇函數(shù),得了(幻的圖象關(guān)
于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,從而得F3是周期函數(shù),4是它的一個(gè)周期,由g(x)=-g(4-x),得g(x)圖象關(guān)于點(diǎn)
(2,0)對(duì)稱,從而知/(A與g(x)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,點(diǎn)(2,0)是它們的一個(gè)公共點(diǎn),由此可判斷
各選項(xiàng).
【詳解】/(2-%)=/(%),則函數(shù)JU)圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱,B正確;
〃3x+2)是奇函數(shù),即/(-3x+2)=—/(3x+2),/(一.+2)=—/Q+2),則/⑴的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)
稱,*2)=0,稱0)=/(2)=0,C正確;
所以/(x+2)=-f(2-x)=x)]=-/(x),從而/(x+4)=-/(x+2)=/(x),所以/(?是周期
函數(shù),4是它的一個(gè)周期,/(2023)=/(3)=-/(1)=-2,A錯(cuò);
又g(x)=-g(4-x),g(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,因此/(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,點(diǎn)
(2,0)是它們的一個(gè)公共點(diǎn),
202320232023
£(蒼+乂)=£%+£%=2x2023=4046,D正確.
i=l/=1/=1
故選:BCD.
三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.若25=一匚,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.
1+i
【答案】四
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)幾何意義即可得到答案.
i11.
【詳解】2]=」一,則z----=--1-1
1+12(l+i)44
所以z=L—」i,則其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為
故其在第四象限,
故答案為:四.
14.某校期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(76,16).按15%,35%,35%,15%的比例將考試成績劃
為四個(gè)等級(jí),其中分?jǐn)?shù)大于或等于83分的為A等級(jí),則8等級(jí)的分?jǐn)?shù)應(yīng)為.(用區(qū)
間表示)
【答案】[76,83)
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件及正態(tài)分布的特點(diǎn)即可求解.
【詳解】設(shè)考試成績?yōu)閄,
由題意可知,〃=76,cr=4,P(X>76)=0.5,P(X>83)=0.15,
所以P(76<X<83)=P(X>76)-P(X>83)=().5-0.15=0.35,
所以8等級(jí)的分?jǐn)?shù)應(yīng)為[76,83),
故答案為:[76,83).
15.一生產(chǎn)過程有4道工序,每道工序需要安排一人照看.現(xiàn)從甲、乙、丙等7名工人中安排4人分別照
看一道工序,第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人,第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人,
則不同的安排方案共有種
【答案】60
【解析】
【分析】按“問題元素”優(yōu)先的原則,進(jìn)行分類,然后計(jì)算求解即可.
【詳解】此題的難度主要是來自分類,按“問題元素”優(yōu)先的原則,對(duì)甲進(jìn)行分類:甲照看第一道工序(甲
1丙4)、甲照看第四道工序(甲4乙1)、甲“不照看第一和第四道工序”(乙1丙4)三種.
A;+A;+A;=60.
故答案為:60
16.如圖,在邊長為6的正方形中,B,C分別為片鳥、6A的中點(diǎn),現(xiàn)將4BPC
A6c分別沿AB,BC,C4折起使點(diǎn)4,P2,鳥重合,重合后記為點(diǎn)P,得到三棱錐P—A3C,則
三棱錐P-ABC的外接球表面積為.
【答案】54K
【解析】
【分析】根據(jù)題意,折疊成的三棱錐P-A8C的三條側(cè)棱Q4,PB,PC兩兩互相垂直,將三棱錐補(bǔ)形
成長方體,則三棱錐的外接球即是長方體的外接球,外接球直徑為體對(duì)角線長,得解.
【詳解】根據(jù)題意,折疊成的三棱錐P-A5C的三條側(cè)棱Q4,PB,PC兩兩互相垂直,
將三棱錐補(bǔ)形成長方體如圖,則三棱錐的外接球即是長方體的外接球,
外接球的直徑等于以PB,PC,為長、寬、高的長方體的對(duì)角線長,
PA=6,PB=PC-3,
2R=。P#+PEi1+PC,=736+9+9=后,
所以外接球的表面積5=4兀/?2=兀*(2尺『=5471.
故答案為:5471.
四、解答題(本大題共6題,共70分)
17.已知一ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,4c,且6sinC=csin'.
2
(1)求角B;
⑵若b=M,c=3a,求二ABC的面積.
2
【答案】(1):兀
⑵述
4
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題意由正弦定理和正弦的二倍角公式可得cosO=',結(jié)合角B的范圍即可求得8=]兀;
223
(2)由(1)中8=|兀以及/,=JJ5,C=3。,利用余弦定理計(jì)算可解得。=l,c=3,再由三角形面積公式
即可得_ABC的面積.
【小問1詳解】
根據(jù)bsinC=csin-,由正弦定理可得sinBsinC=sinCsin-,
22
BBBB1
又sinC00,所以可得sin8=2sin—cos—=sin—,即cos—=-;
22222
因?yàn)锽e(O,兀),所以弓
2
即3=金.
3
【小問2詳解】
由匕==結(jié)合(1)中的結(jié)論8二:兀,
由余弦定理可得。2=/+/-2accosB,即13=a2+9f72-6a2x)——],
解得/=1,即。=Lc=3,
所以sABc='acsin8=,xlx3x^=空?
ABC2224
即一ABC面積為".
4
18.設(shè){qj是公差不為0等差數(shù)列,%=8,q,4,為成等比數(shù)列?
(1)求{4}的通項(xiàng)公式:
3,
(2)設(shè)為=—,求數(shù)列也}的前〃項(xiàng)和S“.
anan+\
【答案】⑴an=3n-l
(2)s,,=3-
6〃+4
【解析】
【分析】(1)設(shè){q}的公差為d,然后根據(jù)已知條件列方程可求出生,d,從而可求出通項(xiàng)公式,
,311
(2)由(1)得a=-----=--再利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.
aHan+l3〃-13〃+2
【小問1詳解】
設(shè){為}的公差為",
因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以。;=%嗎|
又因?yàn)閝=8,所以82=(8-2d)(8+8d),所以/一34=0.
因?yàn)閐wO,所以d=3,所以q+2d=4+6=8,得%=2,
故a”=2+3(n—1)=3?—1.
【小問2詳解】
3_3_1______1_
因?yàn)?(3〃-1)(3〃+2)3n-l3〃+2,
113n
23〃+26〃+4
19.如圖,在正三棱柱ABC-A4G中,點(diǎn)。在棱AB上,且
(1)求證:46//平面。。4;
(2)若正三棱柱ABC-A4a底面邊長為2,二面角。-耳。-3的大小為T,求直線AG到平面
CDB,的距離.
【答案】(1)證明見解析
⑵—
3
【解析】
【分析】(1)根據(jù)正三棱柱ABC-A4G和與得CZ)_LAB,即可得。是AB的中點(diǎn),從而由中
位線得OM〃AG,證明結(jié)論.
(2)由二面角。-BQ-3的大小為三,解得平面BC用的一個(gè)法向量,根據(jù)第一問的平行和點(diǎn)到平面的
距離公式得出答案.
【小問1詳解】
在正三棱柱ABC-AgG中,8片是側(cè)棱,所以_L平面ABC,
又C£)u平面ABC,所以CO,8%
又BB、cDB\=B1,BB},u平面所以CD_L平面448片,
因?yàn)锳3u平面AABg,所以CD_LAB,又因?yàn)镃4=CB,所以。是AB的中點(diǎn).
如圖,連接GB,交C用于點(diǎn)M,連接。M.因?yàn)镸是GB的中點(diǎn),
所以。M是一ABG的中位線,所以。M〃AC1,
又ZWu平面CQg,AG0平面CQg,所以ACJ/平面CD61.
【小問2詳解】
取44的中點(diǎn)2,可知DD"/BB_所以。A_L平面ABC.以。為原點(diǎn),
分別以08,DC,。2所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一肛z,
設(shè)三棱柱A8C?A4G的高為〃,則0(0,0,0),B(l,0,0),C(0,V3,0),4(1,0,〃),A(—l,0,0),
CD=(0,-V3,0),CB}=(l,-V3,/z),CB=(l,-V3,0),=(-1,0,0).
CD-m--yfiy.=0
設(shè)平面DCq的一個(gè)法向量為4=(%,%zj,則,
"r,取Z]=-1,得
CB1-m=x,-+辰1=0
m=(/z,O,—1).
CB-n=x2—>/3y2=0
設(shè)平面8C4的一個(gè)法向量為〃=(%,%,Z2),貝卜
CB[-n=x2-6y2+辰2=。
?。?i,得〃=(6,i,o).
所昨網(wǎng)肛〃人端二^^;,解得〃=孝,所以加=-^-,0,-1,
I2J
由(1)知AC//平面cog,所以直線AG到平面CO科的距離即點(diǎn)A到平面C£>A的距離,
V2
?制
因?yàn)椤?A尋法==坐,所以直線AC1到平面Cog的距離為亞
33
z,
C,K------------------------\—^B]
l\IIl
I\\xLz^//I
I\\\Jr,II
I\\>,/II
4
20.某闖關(guān)游戲必須闖過若干關(guān)口才能成功,其中第一關(guān)是答題,分別設(shè)置“文史常識(shí)題”“生活常識(shí)題”“影視
藝術(shù)常識(shí)題”這3道題目,規(guī)定有兩種答題方案:
方案一:答題3道,至少有2道答對(duì)
方案二:在這3道題目中,隨機(jī)選取2道,這2道都答對(duì).
方案一和方案二中只要完成一個(gè),就能通過第一關(guān),假設(shè)甲選擇方案一、且答對(duì)每一道題的概率是』,乙選
3
擇方案二,且3道題中只能答對(duì)其中兩道題.
(1)求甲答對(duì)題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(2)設(shè)甲和乙中通過第一關(guān)的人數(shù)為j,求J的分布列;
(3)若丙答對(duì)這3道題中每一道題的概率都是p(pw(O』)),且這3道題是否答對(duì)相互之間沒有影響,
丙選擇方案一通過第一關(guān)的概率為Pi,選擇方案二通過第一關(guān)的概率為聲,直接比較P1與P2的大小.
【答案】(1)分布列見解析,E(X)=1
7
(2)分布列見解析,E(^)=—
(3)P|>p2
【解析】
【分析】(1)寫出隨機(jī)變量X的所有取值,求出對(duì)應(yīng)概率,即可得分布列,再根據(jù)期望公式求期望即可;
(2)先分別求出兩人過關(guān)的概率,寫出隨機(jī)變量J的所有取值,求出對(duì)應(yīng)概率,即可得分布列,再根據(jù)期
望公式求期望即可;
(3)先分別求出口,生,再作差即可得解.
【小問1詳解】
由題意,X可取0,1,2,3,
則P(X=O)=C;xK[=*P(X=l)=C;lxf|T=t
P(x=2)=c{/狀,尸(X=3)=m,
所以分布列如下:
X0123
8421
P
279927
所以E(X)=0xg+lx3+2x2+3x-5-=l;
')Z19927
【小問2詳解】
甲通過的概率編=《{!)x|+c;1g)=焉,
乙通過的概率攵
J可取0,1,2,
則尸代=0)=(弓40
87
717
P傳=2)=——X—
2738?
所以分布列如下:
012
40347
P
8?8181
匚…l/八八4034716
所以E(/=0x嬴+lx嬴+2x諭=方;
O1olO1乙/
【小問3詳解】
232
Pi=Cr/?(l-p)+C3-p=3p--2p\p2=p,
貝IJPl-02=2P2-2P3=Ip1(1-,),
因?yàn)椤╡(O,l),所以Pl—〃2=2p2(l—p)>0,
所以Pi>P2-
21.已知橢圓E:,+芯=1(。>/,>0)的左焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為(一出,0),離心率為坐.
(1)求E的方程;
(2)若過坐標(biāo)原點(diǎn)。且斜率為左(左。0)的直線/與E交于A,B兩點(diǎn),直線AF與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C,
-4BC的面積為地,求直線他的方程.
5
2v2
【答案】(1)二x+2-=1
32
(2)%—y+1=0或x+y+1=0
【解析】
【分析】(1)由左頂點(diǎn)為(-6,0卜導(dǎo)。=百,再根據(jù)離心率為e=£=當(dāng),求出C值,則得到。值,則求
出E的方程.
(2)設(shè)直線方程為%=聯(lián)立橢圓方程得(2產(chǎn)+3)丁-4"—4=0,設(shè)A&,y),C(x2,y2),貝ij
得到韋達(dá)定理式,利用弦長公式得到E-%|=y+1,則有S-=等#+1=巫,解出
即可.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓E的半焦距為c(c>0).
因?yàn)闄E圓E的左頂點(diǎn)為卜百,0),所以a=JL
又離心率6=£=也,所以c=l.
a3
所以Z>2=—2,
2
所以E的方程為f二+v二=1.
32
【小問2詳解】
由(1)可知,設(shè)直線AF的方程為無=(y—1.
由::"Il/消去x并整理得(2r+3)y_4/_4=0.
2x+3^=6'7
設(shè)A6,yJ,C(%,%),
4z—4
則X+%=—;——,X%=———,
''22『+31-2r+3
因此&AOC=1—),|==-^4BC=冬回,
v△40c21IP)2|22"r"++312△48c5
解得尸=1,即/=±1,
所以直線?的方程為x-y+l=0或x+y+l=0.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:第二問通常采取設(shè)線法,為了減少計(jì)算,我們引入?yún)?shù)上設(shè)直線■的方程為
x^ty-l,聯(lián)立橢圓得到方程(2『+3)丁—4)—4=0,則得到韋達(dá)定理式,再利用弦長公式得到其面
積相關(guān)方程,解出參數(shù)。即可.
22.已知函數(shù)/(x)=(x-2乂e*-辦)(aGR).
⑴若a=2,討論“X)的單調(diào)性.
(2)已知關(guān)于x的方程/(x)=(x-3)e、+2or恰有2個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根4,馬.
(i)求”的取值范圍;
(ii)求證:玉+無2>4.
【答案】⑴/(x)在(-^,1),(21n2,+o。)上單調(diào)遞增,在(1,212)上單調(diào)遞減
/e2\
(2)
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