第1講 集合的概念（教師版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第1課集合的概念

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.元素與集合

(1)理解元素與集合的概念，知道常用

數(shù)集的概念及其記法.

(2)了解“屬于"關(guān)系的意義.

1.通過(guò)集合語(yǔ)言的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.

(3)了解有限集、無(wú)限集、空集的意義.

2.通過(guò)實(shí)例能選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉

2.集合的表示方法

法或描述法)來(lái)描述不同的具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言的意

掌握集合的兩種常用表示方法(列舉

義和作用.

法、描述法).

3元.素的性質(zhì)

理解集合元素的三個(gè)性質(zhì)：確定性、

無(wú)序性、互異性.

漱:知識(shí)精講

生'知識(shí)點(diǎn)01集合的概念

1.集合與元素

一般地，我們把統(tǒng)稱(chēng)為元素，用小寫(xiě)拉丁字母"C,…表示.把組成的總體叫

做集合，用大寫(xiě)拉丁字母A…表示.

2.元素與集合的關(guān)系

如果。是集合A的元素，就說(shuō)“屬于集合A，記作；如果。不是集合A中的元素，就說(shuō)。不

屬于集合A，記作.

3.集合中元素的特征

(1)：集合中的元素是否屬于這個(gè)集合是確定的，即任何對(duì)象都能明確它是或不是某個(gè)集

合的元素，兩者必居其一.這是判斷一組對(duì)象是否構(gòu)成集合的標(biāo)準(zhǔn).

(2)：給定集合的元素是互不相同的.即對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不

同的.

(3)：集合中各元素間無(wú)先后排列的要求，沒(méi)有一定的順序關(guān)系.

【答案】1.研究對(duì)象一些元素2.aeAa^A3.確定性互異性無(wú)序性

【微點(diǎn)撥】1.組成集合的元素可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式，也可以是人或物等.

2.aeA與A取決于元素a是否是集合A中的元素.根據(jù)集合中元素的確定性可知，對(duì)任何元素a

與集合A,aeA與aeA這兩種情況中必有一種且只有一種成立.

【知識(shí)拓展】集合的概念與特征

判斷指定的對(duì)象的全體能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，

都能確定它是否是給定集合中的元素.注意：構(gòu)成集合的元素除常見(jiàn)的數(shù)、式、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對(duì)象外，還可

以是其他任意確定的對(duì)象.

【即學(xué)即練1]用符號(hào)“e”或“史”填空：

(1)設(shè)4為所有亞洲國(guó)家組成的集合，則中國(guó)______________A,美國(guó)__________A,印度A,

英國(guó)_____________A；

(2)若4={x|f=%},則」A；

(3)若8={刀，+%_6=0},則3B-.

(4)若。={工61\|1領(lǐng)/10},則8C,9.1C.

【答案】(1)。區(qū)

(2)史

(3),

(4)U任

【分析】

(1)根據(jù)國(guó)家的地理位置直接得到答案.

2

(2)計(jì)算得到4=(x]x=x}={0,1},再判斷關(guān)系.

(3)計(jì)算得到5={%|/+為-6=0}={2,-3},再判斷關(guān)系.

(4)計(jì)算得到。={X€用1?兀<1()}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},再判斷關(guān)系.

【詳解】

(1)根據(jù)國(guó)家的地理位置直接得到答案：中國(guó)eA,美國(guó)任A,印度eA，英國(guó)史A：

(2)A={%|x2=%}={0,1},故一1名A；

(3)B={x|x2+x-6=。}={2,-3},故3eA；

(4)C={xeN|l<x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故8eA,9.1eA；

故答案為：(1)e,比e,走；(2)史；(3)金；(4)

【點(diǎn)睛】本題考查了元素和集合的關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.

導(dǎo)金,知識(shí)點(diǎn)02集合的分類(lèi)：

1.集合的元素的個(gè)數(shù)是有限個(gè)的集合稱(chēng)為.

2.集合的元素的個(gè)數(shù)是無(wú)限個(gè)的集合稱(chēng)為-

3.集合中不含任何元素的集合稱(chēng)為.

【答案】1.有限集2.無(wú)限集3,空集

【微點(diǎn)撥】集合的分類(lèi)是以集合中元素的個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)的.

【即學(xué)即練2】用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并判斷是有限集，還是無(wú)限集？

(1)方程(x+l)(x-|)2(x2—2)(x2+l)=0的有理根組成的集合A；

(2)被3除余1的自然數(shù)組成的集合；

(3)坐標(biāo)平面內(nèi)，不在第一，三象限的點(diǎn)的集合；

(4)自然數(shù)的平方組成的集合.

【解析】(1)列舉法：

由(x+1)(x-§2(x2-2)(x2+1)=0,

2

得x=-1WQ,x=/Q,X=R5CQ.

所以A=1-1,共有限集.

⑵描述法：{x|x=3k+l,keN).無(wú)限集.

(3)描述法：坐標(biāo)平面內(nèi)在第一，三象限的點(diǎn)的特點(diǎn)是縱，橫坐標(biāo)同號(hào)，

所以不在第一，三象限的點(diǎn)的集合可表示為{(x,y)|xy<0,xSR,yER),無(wú)限集.

(4)列舉法：{0,12,22,32,…};也可用描述法：{x|x=n2,nSN).無(wú)限集.

*、知識(shí)點(diǎn)03常用的數(shù)集及其記法

1.全體組成的集合稱(chēng)為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；

2.所有組成的集合稱(chēng)為正整數(shù)集，記作N*或N+；

3.全體組成的集合稱(chēng)為整數(shù)集，記作Z；

4.全體組成的集合稱(chēng)為有理數(shù)集，記作Q；

5.全體組成的集合稱(chēng)為實(shí)數(shù)集，記作R.

【答案】1.非負(fù)整數(shù)2.正整數(shù)3.整數(shù)4.有理數(shù)5.實(shí)數(shù)

【即學(xué)即練3】已知集合加={“次€附，則（）

A.OGMB.TUGM

c.OwMD.

【答案】A

【解析】由題意可得集合”={0,1,2,3,eM,本題正確選項(xiàng)為A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查自然數(shù)的定義、元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)自然數(shù)的定義即可得到結(jié)果.

9、知識(shí)點(diǎn)04第合的表示方法

1.列舉法

把集合的元素___________出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.

注意：（1）用列舉法表示的集合，集合中的元素之間用“，”隔開(kāi)，另外，集合中的元素必須滿(mǎn)足確定性、

互異性、無(wú)序性.

（2）“{}”含有“所有”的含義，因此用{R}表示所有實(shí)數(shù)是錯(cuò)誤的，應(yīng)是R.

2.描述法

用集合所含元素的表示集合的方法稱(chēng)為描述法.具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集

合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的

【答案】1.一一列舉2.共同特征共同特征

【微點(diǎn)撥】用描述法表示集合應(yīng)寫(xiě)清楚該集合中的代表元素，即代表元素是數(shù)、有序?qū)崝?shù)對(duì)、集合，還是

其他形式.

【即學(xué)即練4】(1)集合{xGN+僅-3<2}用列舉法可表示為()

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4)

C.{0』,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】B

【解析】'：x-3<2.：.x<5,又,.“WN+,

?*?x=1,2,3,4.

(2)由大于一3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是()

A-{x|—3<x<ll，x￡Z}

B?{x|—3811}

C-{x|-3<x<ll、x=2k，Z￡N}

D-{川一3<x<ll，x=2k，kGZ)

【答案】D

【解析】偶數(shù)集為{X伙=2%,kez),則大于一3且小于11的偶數(shù)所組成的集合為因一3a<11,x=2k,

kGZ\.

J能力拓展

考法01

集合的概念與特征

判斷指定的對(duì)象的全體能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，都

能確定它是否是給定集合中的元素.注意：構(gòu)成集合的元素除常見(jiàn)的數(shù)、式、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對(duì)象外，還可以

是其他任意確定的對(duì)象.

【典例1］現(xiàn)有以下說(shuō)法，其中正確的是()

①接近于0的數(shù)的全體構(gòu)成一個(gè)集合；

②正方體的全體構(gòu)成一個(gè)集合；

③未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；

④不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合.

A.①②B.②③

C.③④D.②④

【答案】D

【解析】在①中，接近于0的數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿(mǎn)足集合中元素的確定性，不能構(gòu)成一個(gè)集合，故①錯(cuò)

誤；

在②中，正方體的全體能構(gòu)成一個(gè)集合，故②正確；

在③中，未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品不能構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)楦呖萍嫉臉?biāo)準(zhǔn)不明確，不滿(mǎn)足集合中元素的確定

性，故③錯(cuò)誤；

在④中，不大于3的所有自然數(shù)是0,1,2,3,能構(gòu)成一個(gè)集合，故④正確故選D.

【名師點(diǎn)睛】由集合元素特征三要素中的“確定性''可以判斷正誤.集合元素的三要素是：確定性、互異性和

無(wú)序性.確定性是指集合中的元素是明確的，要么屬于這個(gè)集合，要么不屬于這個(gè)集合，兩者只能取其互

異性是指集合中不能有相同兀素.無(wú)序性指集合中的元素沒(méi)有順序.判斷指定的對(duì)象能不能組成集合，關(guān)

鍵是看作為集合的元素是否具有確定性，也就是能否找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn).

考法02

元素與集合之間的關(guān)系

元素與集合之間有且僅有“屬于（e）”和“不屬于（金）“兩種關(guān)系，且兩者必居其一.判斷一個(gè)對(duì)象是

否為集合中的元素，關(guān)鍵是看這個(gè)對(duì)象是否具有集合中元素的特征.

若集合是用描述法表示的，則集合中的元素一定滿(mǎn)足集合中元素的共同特征，可據(jù)此列方程（組）或不

等式（組）求解參數(shù)；若aeA,且集合A是用列舉法表示的，則〃一定等于集合A的其中一個(gè)元素,

由此可列方程（組）求解.

【典例2】1）已知集合A={&,封卜2+〉2乏3,xez,yeZ},則A中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.9B.8

C.5D.4

【答案】A

【解析】本題考查的是一對(duì)有序整實(shí)數(shù)滿(mǎn)足平方和不大于3的情況組成的集合.

法一：此題可以用驗(yàn)證法，也可以用平面上的整點(diǎn)

到原點(diǎn)的距離的不大于9,從而求出滿(mǎn)足題意的集合的元素有9個(gè)，分別為：

{（（）,±1）仕1,（））（（）,（）），（土1,1）,（1,±1））.

法二：將滿(mǎn)足『+）七3的整數(shù)x,y全部列舉出來(lái)，即（—1,-1）,（-1,0）,

(0,-1),(0,0),(0,I),(1,-1),(1,0),(1,I),共有9個(gè).故選A.

法三：根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，易知在圓/+）,2=3中有9個(gè)整點(diǎn),

即為集合A的元素個(gè)數(shù)，故選A.

2)【多選題】集合4=卜卜/+21+1=()}中有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.1B.-1C.0D.2

【答案】AC

【分析】分a=0,和a00兩種情況討論，可得a=O,或a=l.

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，可得A={—(},符合題意；

當(dāng)aw()時(shí)，因?yàn)榉匠桃?2x+l=0有唯一解，

所以△二4一4。=0,二a=1.故選：AC.

【點(diǎn)睛】此題的關(guān)鍵是。是否為零決定方程是一次方程還是二次方程，影響到根的個(gè)數(shù).

考法03

集合的表示方法

對(duì)于元素較少的集合宜采用列舉法表示，用列舉法表示集合時(shí)，要求元素不重復(fù)、不遺漏、不計(jì)次序；

對(duì)于元素較多的集合宜采用描述法表示.

但是對(duì)于有些元素較多的集合，如果其中的元素具有規(guī)律性，那么也可以用列舉法表示，常用省略號(hào)表

示多個(gè)元素.但要注意不要忽略集合中元素的代表形式.

【典例3】1)用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

(1)小于5的自然數(shù)構(gòu)成的集合；

(2)直角坐標(biāo)系內(nèi)第三象限的點(diǎn)集；

(3)偶數(shù)集.

【答案】⑴{0,1,2,3,4}；(2){(x,y)|x<0,y<0}；(3){x\x=2k,k&Z),

【解析】(1)用列舉法表示該集合,為{0,1,2,3,4}.

(2)用描述法表示該集合，根據(jù)第三象限內(nèi)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都小于零可得{(x,y)|x<0,y<0}.

(3)用描述法表示該集合，根據(jù)能被2整除的整數(shù)叫偶數(shù)可得{x|x=2左"eZ}.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了用不同方法表示集合，其實(shí)，用描述法表示集合時(shí)，也不是唯一的種表示方

法，比如本題的偶數(shù)集也可以表示為{x|x=2左一2次wZ},{x|x=2左+2,左eZ}等等，再有本題的第

-個(gè)集合也可以用描述法進(jìn)行表示：{xeN|()KxW4},{xwN|()?x<5}等等.

注意：由于用以表示集合的大括號(hào)已有概括'‘全體元素”之意，因此在大括號(hào)內(nèi)不應(yīng)再出現(xiàn)“全體”、”所

有，,、“集，，等詞.例如，Q=｛全體有理數(shù)集｝,R=｛實(shí)數(shù)集卜都是錯(cuò)誤的.

2)試說(shuō)明下列集合各表示什么？

A=[yly=：｝；6=｛x|y=卜C=｛(x,y)|y=

D=j(x,y)|-^=l|；E=｛x=O,y=l｝；F=｛x+y=l,x-y=-l｝.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】

根據(jù)集合的定義依次判斷各個(gè)集合中的元素即可確定結(jié)果.

【詳解】

A表示》的取值集合，由》=一知：y聲0,.?.A=｛y|ywO｝；

8表示》的取值集合，由V—2x20知：x40或xN2,??.3=｛x|x?0或xN2｝；

C的代表元素為(x,y),表示反比例函數(shù)y=g上的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集；

D的代表元素為(x,y)，由一^=1知：y=x-3(xH3),

???。表示直線y=X—3上除了(3,0)以外的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集；

E表示以方程“x=0”和"y=r'為元素的一個(gè)二元集.

產(chǎn)表示以方程“x+y=l"和"x—y=—l”為元素的一個(gè)二元集.

【點(diǎn)睛】本題考查集合中的兀素的確定，涉及到數(shù)集、點(diǎn)集及二元集等集合的類(lèi)別，屬于基礎(chǔ)題.

3)【多選題】下列說(shuō)法中不正確的是()

A.0與｛()｝表示同一個(gè)集合

B.集合加=｛3,4｝與"=｛(3,4)｝表示同一個(gè)集合

C.方程(x—l)2(x—2)=0的所有解的集合可表示為｛1,1,2｝

D.集合"|4<x<5｝不能用列舉法表示

【答案】ABC

【分析】根據(jù)集合的概念，以及元素與集合的關(guān)系，以及元素的特征，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，0是一個(gè)元素（數(shù)），而｛0｝是一個(gè)集合，可得0e｛0｝,所以A不正確；

對(duì)于B中，集合/=｛3,4｝表示數(shù)3,4構(gòu)成的集合，集合N=｛（3,4）｝表示點(diǎn)集，所以B不正確；

對(duì)于C中，方程（％-1了（％-2）=0的所有解的集合可表示為｛1,1,2｝,根據(jù)集合元素的互異性，可得方程

（x-1）2（x-2）=0的所有解的集合可表示為｛1,2｝,所以C不正確；

對(duì)于D中，集合｛x|4<x<5｝含有無(wú)窮個(gè)元素，不能用列舉法表示，所以D正確.故選：ABC.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.下列命題中正確的（）

①0與｛0｝表示同一個(gè)集合；

②由1,2,3組成的集合可表示為｛1,2,3｝或｛3,2,1）；

③方程。一1）2。-2）=0的所有解的集合可表示為（1,1,2｝；

④集合國(guó)4<%<5｝可以用列舉法表示.

A.只有①和④B.只有②和③

C.只有②D.以上語(yǔ)句都不對(duì)

【答案】C

【分析】由集合的表示方法判斷①，④；由集合中元素的特點(diǎn)判斷②，③.

【詳解】

①｛0｝表示元素為0的集合，而0只表示一個(gè)元素，故①錯(cuò)誤；

②符合集合中元素的無(wú)序性，正確；

③不符合集合中元素的互異性，錯(cuò)誤：

④中元素有無(wú)窮多個(gè)，不能一一列舉，故不能用列舉法表示.故選：C.

2.若集合”=2啦，則下面結(jié)論中正確的是（）

A.[a}QAB.aQA

C.{a}^AD.aiA

【答案】D

【解析】因?yàn)?啦不是自然數(shù)，所以海4

【名師點(diǎn)睛】本題考查的是元素與集合之間的關(guān)系，所以選項(xiàng)A,C都是錯(cuò)誤的，再考慮與4而的關(guān)系,

所以正確的選項(xiàng)為D.

x+y=2

3.方程組〈’的解構(gòu)成的集合是（)

x-y=0

A.{1}B.(1,1)

C{(11)}D.{151}

【答案】C

x+y=2x=1x+y=2

【解析】?<方程組〈八的解構(gòu)成的集合是{(1,1)},

x-y=0J=1x-y=0

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查集合的表示法：注意集合的元素是點(diǎn)時(shí)，一定要以數(shù)對(duì)形式寫(xiě).求解時(shí)，求出二元

一次方程組的解，然后用集合表示出來(lái).

4.集合{3,X,/_以}中，x應(yīng)滿(mǎn)足的條件是（)

A.x^-1B.x/0

C.#-1且燈0且在3D./-1或;#0或存3

【答案】C

【解析】集合{3,x,N-2x}中，x2-2x^3,且/-力5%，且存3,解得-3且且存0,故選C.

5.已知集合A={1,2,3},集合8={z|z=x-y,xeAyeA},則集合8中元素的個(gè)數(shù)為

A.4B.5

C.6D.7

【答案】B

【解析】A={1,2,3},B={^z=x-y,x&A,y&A],.,.x=l,2,3,y=1,2,3,

當(dāng)x=l時(shí)，x—y=0,-1,—2；當(dāng)x=2時(shí)，x—y—1,0,—1；

當(dāng)x=3時(shí)，x-y=2」,()，即x-y=-2,—l,(),l,2,即6={-2,-1,0,1,2},共有5個(gè)元素.

本題正確選項(xiàng)為B.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查集合元素個(gè)數(shù)的判斷，利用條件求出x-y的值是解決本題的關(guān)鍵.求解時(shí)，根

據(jù)集合B中兀素與A中元素之間的關(guān)系進(jìn)行求解.

6.已知集合A=*GZ言ez},則集合A中的元素個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3

C.4D.5

【答案】C

3

【解析】因?yàn)門(mén)2—eZ,且XGZ,所以2-X的取值有-3,-1,1,3,所以x的值分別為5,3,1,-1,

2—x

故集合A中的元素個(gè)數(shù)為4.

【名師點(diǎn)睛】本題考查集合中元素滿(mǎn)足的三要素：確定性、互異性、無(wú)序性.解答本題時(shí)，根據(jù)集合的三

要素：確定性、互異性、無(wú)序性得到答案.

7.己知集合4={刈幺2+2x+i=o,“eR}只有一個(gè)元素，則a的取值集合為（）

A.{1}B.{0}C.{0,—1,1}D.{0,1}

【答案】D

【分析】對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，結(jié)合判別式法得到結(jié)果.

【詳解】①當(dāng)a=0時(shí)，A={-g}，此時(shí)滿(mǎn)足條件；

②當(dāng)時(shí)，A中只有一個(gè)元素的話(huà)，A=4-4a=0,解得。=1,

綜上，。的取值集合為{0,1}.故選：D.

24

8.M={xe/?|（l+Z:）x</;+4},對(duì)任意的《eR,總有（〉

A.2eA7,（）/MB.2GM,0GA/C.2eA/,0gMD.2M,0eM

【答案】B

【分析】依次將x=0和x=2代入討論求解即可得答案.

【詳解】將x=0代入得1+420顯然成立，故0c"

將x=2代入不等式得了+422公+2,即伊+1NO,顯然成立，.?.ZGM;

所以故選：B.

2x+y=0

9.（多選）有下面四種表示方法：其中能正確表示方程組-八的解集的是（）

x-y+3=0

x=-l

A.{(x,y)|x=-l或y=2}B.<(x,y)「

y=2

C.{x=-\,y=2}D.{(-1,2)}

【答案】BD

【分析】先求出方程組的解，再利用集合表示判斷即可.

X=一]]

解集用集合表示為：->或｛（一1,2）｝.故選：BD.

y=2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的表示.屬于容易題.

xyzIxyzl

10.（多選）已知x,y,z為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式口+古+^+3的值所組成的集合是加，則下列判斷正確

閔bl因?qū)Oz

的是（

A.2GM

C.-4?M41M

【答案】CD

xyz|孫z|

【分析】討論蒼％z三個(gè)數(shù)的正負(fù)性，可求出口+^i+1+J-1能取得的值，進(jìn)而可求出集合〃，從而

Fl|y|閭盯z

可選出答案.

【詳解】根據(jù)題意，分4種情況討論：

xyz|孫z|

①當(dāng)x,y,z全部為負(fù)數(shù)時(shí)，則沖z也為負(fù)數(shù)，則+古++1_L=T；

H1>1lzl孫z

xvzIATZI八

②當(dāng)x,y,z中只有一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，則X*為負(fù)數(shù)，則+生++J_1=0；

W3國(guó)孫z

xyz不yz八

③當(dāng)x,y,z中有兩個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，則個(gè)z為正數(shù)，則「+擊+「+J__1=0；

xyzx>'z

④當(dāng)x,y,z全部為正數(shù)時(shí)，則xyz也為正數(shù)，則+三++J__1=4.

W3|z|xyz

則乂={-4,0,4}.

分析選項(xiàng)可得CD符合.故選：CD.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)含有絕對(duì)值符號(hào)的式子的化簡(jiǎn)，考查了集合元素的特點(diǎn)，考查分類(lèi)討論思想.

題組B能力提升練

1.集合4={三€2卜6乂，）,用列舉法可以表示為（）

A.{3,6}B.{1,2,4,5,6,9）

C.{-6,-3,-2,-1,3,6}D.{-6,-3,-2,-1,2,3,6}

【答案】C

【分析】據(jù)題意可得3-%是6的約數(shù)，然后逐一檢驗(yàn)X的各個(gè)取值是否是正自然數(shù)，從而確定3-%的各個(gè)

可能的取值，進(jìn)而得到&的各個(gè)可能的取值，即可得出A的列舉法表示.

3-x

【詳解】???xeN*".3—xeZ,〃一wZ".3—x是6的約數(shù)，

3—x

3—x=±1,3—x=±2,3—x=±3,3—x=±6,

=得%=2$N*;

3—工=-1,得元=4EN*;

3-x=2,得x=1eN'：；

3—工=一2,得JC=5￡N";

3—x=3,得x=0,與己知無(wú)￡N”矛盾，故3—xw3；

3—x=-3,得X=6GN*；

3—%=6.得x=-3,與已知XEN*矛盾，故3-xw6;

3—九=-6,得X=9￡N".

故3—x的值只能是-1,1,-2,2,-3,—6,

對(duì)應(yīng)一9—的值依次為-6,6,-3,3,-2,-1,即A={-6,—3,—2,-1,3,6}.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的描述法與列舉法的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)的整除性得到3-x的可能的取值，根據(jù)x的

條件進(jìn)一步確認(rèn)3-x的可能取值，進(jìn)一步得到集合A的元素.

2.（多選題）當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集G滿(mǎn)足“如果GG,則a+仇。一仇"eG,且岳口）時(shí),feG”時(shí),我們稱(chēng)G就

b

是一個(gè)數(shù)域，以下關(guān)于數(shù)域的說(shuō)法:①0是任何數(shù)域的元素;②若數(shù)域G有非零元素，則2019eG;③集合

P={x|x=2Z,ZeZ}是一個(gè)數(shù)域;④有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域;⑤任何一個(gè)有限數(shù)域的元素個(gè)數(shù)必為奇數(shù).其中

正確的選項(xiàng)有

A.①②B.②③C.③④D.④⑤

【答案】AD

【分析】利用已知條件中數(shù)域的定義判斷各命題的真假，題目給出/對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)的四種運(yùn)算，要滿(mǎn)足對(duì)四

種運(yùn)算的封閉，只有一一驗(yàn)證.

【詳解】①當(dāng)a=〃時(shí)，由數(shù)域的定義可知，

若a,beG,則有即OeG，故①是真命題；

②當(dāng)a=b/O時(shí)，由數(shù)域的定義可知，若a,beG,則有即leG,若leG,則l+l=2eG，

b

則2+l=36G，…則l+2018=2019￡G,故②是真命題；

③當(dāng)。=2,b=4時(shí)，-=故③是假命題；

b2

④若a,6eQ,則a+b,a-O,a匕GQ,且bHO時(shí).@eQ,故④是真命題；

b

⑤?.OeG.當(dāng)〃eG日力NO時(shí)，則一。eG,因此只要這個(gè)數(shù)不為0就一定成對(duì)出現(xiàn)，

所以有限數(shù)域的元素個(gè)數(shù)必為奇數(shù)，所以⑤是真命題.故選：AD.

【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對(duì)新定義題型的理解和把握能力，理解數(shù)域的定義是解決該題的關(guān)鍵，題目著重考

查學(xué)生的構(gòu)造性思維，一定要讀懂題目再入手，沒(méi)有一個(gè)條件是多余的，是難題.

3.（多選題）設(shè)集合M={a|a=X-y2,x,y?Z},則對(duì)任意的整數(shù)〃，形如4”,4〃+1,4〃+2,4"+3

的數(shù)中，是集合M中的元素的有（）

A.4/?B.4/1+1C.4/1+2D.4〃+3

【答案】ABD

【分析】將4〃,4n+1,4〃+3分別表示成兩個(gè)數(shù)的平方差，故都是集合M中的元素，再用反證法證明

4/7+2?M.

【詳解】

V4n=(〃+I)2-(〃-l)2,.,.4niM.

V4n+1=(2n+I)2-(2n)2,/.4n+1?M

V4/?+3=(2?+2)2-(2/?+I)2,A4/1+3?M.

若4〃+2?",則存在x,yiZ使得f-/=4/1+2,

則4〃+2=(x+y)(x-y),x+y和x-y的奇偶性相同.

若x+y和x-y都是奇數(shù)，貝|」(%+刃&一＞0為奇數(shù)，而4〃+2是偶數(shù)，不成立；

若x+y和x-y都是偶數(shù)，則(x+y)(x—y)能被4整除，而4〃+2不能被4整除，不成立，.?.4〃+2?M.

故選ABD.

【點(diǎn)睛】本題考查集合描述法的特點(diǎn)、代表元元素特征具有的性質(zhì)。，考查平方差公式及反證法的靈活運(yùn)

用，對(duì)邏輯思維能力要求較高.

4.設(shè)集合4={》|3%一1一根＜0},若IGA,則實(shí)數(shù)，"的取值范圍是.

【答案】(2,+8)

【分析】根據(jù)不等式先求解出了的取值范圍，然后即可表示出A,根據(jù)IGA,列出關(guān)于加的不等式，從而

可求解出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?x—1—相＜0,所以x＜——1所以A={xx＜——卜，

33J

又因?yàn)镮cA，所以年＞1,所以初＞2,所以用的取值范圍為(2,”)，

故答案為：(2,+8).

5.集合P={x|o?+4x+4=0,xeR}中只含有1個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。的取值是

【答案】0或1

【分析】分a=0和。。0兩種情況討論求得.

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，方程為4x+4=0,解得％=-1，此時(shí)P={-1},滿(mǎn)足題意；

當(dāng)時(shí)，則△=42—4ax4=0,解得。=1，此時(shí)「={一2},滿(mǎn)足題意，

。=0或1.

故答案為：0或I.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)集合元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)，注意需要討論。=0的情況，這是往往容易漏掉

的地方.

6.根據(jù)要求寫(xiě)出下列集合.

(1)已知-5G卜|--?-5=0｝用列舉法表示集合｛x|%2-4x-a=o｝.

(2)已知集合A=｛含GN|XGN｝,用列舉法表示集合A.

x-y+1=0

(3)已知方程組《°',八，分別用描述法、列舉法表示該集合.

.2x+y-4=0

(4)已知集合8=｛。，y)|2x+y-5=0,x《N,y^N｝,用列舉法表示該集合.

(5)用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎咀鴺?biāo)平面內(nèi)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

【答案】(1)｛2｝；(2)｛2,4,8,16｝；(3)｛(x,y)\x=l,y=2],｛(1,2)｝；(4)｛(0,5),(1,3),(2,1))；

(5)｛(x,y)|孫=0｝.

【分析】分別求出各集合的元素或元素特點(diǎn)，即可表示出.

【詳解】

(1)5e｛x|X?—辦一5=o｝,5)~—qx(—5)—5=0，解彳？a=T，

了2一4%+4=0的解為x=2,

,用列舉法表示集合｛x|丁—4x-a=0｝為｛2｝；

16

(2)——GN,則8—x可取的值有1,2,4,8,16,\x的可能值有7,6,4,0,-8,

8—x

xeN,x=7,6,4,0,6-=2,4,8,16.

8—x

.?.A={2,4,8,16}；

x-y+1=0x=\

(3)方程組＜的解為《

2x+y-4=0y=2

???用描述法表示該集合為｛(X,y)|x=1,y=2｝,列舉法表示該集合為｛(1,2)｝；

(4)當(dāng)x=0時(shí)，y=5；當(dāng)尤=1時(shí)，y=3；當(dāng)x=2時(shí)，y=l,

,用列舉法表示該集合為｛(0,5),(1,3),(2,1)｝；

(5)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)滿(mǎn)足x=0或y=0,即孫=0,

則該集合可表示為{(x,y)|到=0}.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.

7.下列三個(gè)集合：

①{種=(+]}；

②{%=r+1}；

③{(x，y)\y^x2+1}.

(1)它們是不是相同的集合？

(2)它們各自的含義是什么？

【答案】(1)它們是不相同的集合.(2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析：由題意，可判定(1)中集合為實(shí)數(shù)集R；(2)中表示集合{川丁21}；(3)中表示二

次函數(shù)圖象上的點(diǎn)作為元素構(gòu)成的點(diǎn)集，所以三個(gè)集合表示不同的集合.

試題解析：

(1)它們是不相同的集合.

(2)集合①是函數(shù)y=x2+l的自變量x所允許的值組成的集合.因?yàn)閤可以取任意實(shí)數(shù)，所以{x|y=x2+l}

=R.集合②是函數(shù)y=x?+l的所有函數(shù)值y組成的集合.由二次函數(shù)圖像知yNl,所以{y|y=x?+l}=

{y|y>i}-

集合③是函數(shù)y=x2+l圖像上所有點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合.

8.已知集合A={x€R|/nr2-2x+3=0,me7?},若A中元素恰有一個(gè)，求機(jī)的取值范圍.

【答案】{時(shí)機(jī)=0或加=；}.

3

【分析】根據(jù)題意，便知方程皿2一2%+3=0只有一個(gè)解，顯然需討論加，當(dāng)加=0時(shí)，便可解H|x=一，

2

符合方程有一個(gè)解；當(dāng)機(jī)。0時(shí)，方程便為一元二次方程，從而判別式△=(),解出小的范圍，綜合即可得

出用的取值范圍.

【詳解】由題可知，A={xe/?|mx2-2x+3=0,me/?},且A中元素恰有一個(gè)，

3

即集合4中只有一個(gè)元素一，符合題意；

2

當(dāng)時(shí)，方程為一元：次方程，則A=4—12m=0,解得：，*=；,

綜上可知，用的取值范圍為{加恒=0或m=；}.

【點(diǎn)睛】本題考查描述法表示集合，集合的元素的概念，以及一元二次方程恰有一個(gè)解時(shí)判別式△=()的情

況，不要漏J'm=o的情況.

題組C培優(yōu)拔尖練

1.已知集合4={。+3,(。+1)2,/+2。+2},若leA,求實(shí)數(shù)。的值.

【答案】實(shí)數(shù)。的值為一1或0.

【分析】分a+3=l,(a+l)2=l,/+2a+2=l三種情況討論即可.

【詳解】

①若a+3=1，則。=—2,

此時(shí)A={1,1,2},不符合集合中元素的互異性，舍去.

②若(a+11=1,則a=0或a=-2.

當(dāng)a=0時(shí)，A={3,1,2},滿(mǎn)足題意；

當(dāng)。=一2時(shí)，由①知不符合條件，故舍去.

③若〃+2a+2=l，則a=T，

此時(shí)A=(2,0,1),滿(mǎn)足題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為-1或0.

【點(diǎn)睛】本題考查的是集合的基本知識(shí).

2.集合A={x|x=3〃+1,nGZ},B={x|x=3n+2,neZ),M={x|x=6??+3,neZ}.

(1)若加wM,是否有QEA,beB,使M=Q+Z?成立？

(2)對(duì)于任意QEA,beB,是否一定存在加，使a+Z?=〃2且mwM?證明你的結(jié)論.

【答案】(1)存在；(2)答案見(jiàn)解析.

【分析】

（1）根據(jù)已知條件知：若aeA,則一定存在々，n2&z,使得。=34+1,6=3〃?+1,所以

“+〃=3（4+〃2）+3.而集合M的元素需滿(mǎn)足：x=6〃+3=3.2"+3,顯然/+%=2〃時(shí)成立，

（2）根據(jù)（1）判斷：若”|+“2為奇數(shù)，則結(jié)論不正確所以不一定有。+匕="且機(jī)eM.

【詳解】

（1）?eA.beB；

，分別存在叫,%ez使得：

a=3/21+1,b=3小+2；

.\a+b=3（n]+%）+3；

而集合M中的條件是：x=6〃+3=&2〃+3；

，要使a+8?A/,則4+%=2〃，

當(dāng)〃i+%為偶數(shù)時(shí)，題目結(jié)論正確，

（2）由（1）得：若〃1+%為奇數(shù)，則結(jié)論不正確；

，不一定有。+方=機(jī)且ZWGM.

【點(diǎn)睛】本題考查描述法表示集合，元素與集合的關(guān)系，以及描述法表示?個(gè)集合時(shí)，如何判斷一個(gè)元素

是否是這個(gè)集合的元素.

3.已知集合4={乂0%2+2x+l=0,ae7?}.

（1）若A中只有一個(gè)元素，求a的值；

（2）若A中至少有一個(gè)元素，求。的取值范圍；

（3）若A中至多有一個(gè)元素，求。的取值范圍.

【答案】（1）a=0或。=1；（2）a<l；（3）a=0或ail.

【分析】根據(jù)集合中元素的個(gè)