1.3-1.4三角函數(shù)的計算與解直角三角形（解析版）

1.3-1.4三角函數(shù)的計算與解直角三角形分層練習(xí)考查題型一用計算器計算三角函數(shù)值（2023秋?蓬萊區(qū)期中）若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器計算，按鍵順序正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)計算器的使用方法進(jìn)行解題即可．【解答】解：根據(jù)計算器的使用方法可知，依次輸入，72，，38，，25，，．故選：．（2023?文登區(qū)一模）利用科學(xué)計算器計算，下列按鍵順序正確的是A． B． C． D．【分析】簡單的電子計算器工作順序是先輸入者先算，根據(jù)按鍵順序?qū)懗鍪阶樱俑鶕?jù)開方運(yùn)算即可求出顯示的結(jié)果．【解答】解：利用該型號計算器計算，按鍵順序正確的是：故選：．（2022秋?萊陽市期末）若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器計算，按鍵順序正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)計算器按鍵方法判斷即可．【解答】解：若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器計算，按鍵順序正確的是．故選：．（2023秋?龍口市期中）如圖是我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器面板，利用該型號計算器按此順序輸入：，顯示屏顯示的結(jié)果為88.44300964．將這個數(shù)據(jù)精確到0.1后，下列說法正確的是A．的正切函數(shù)值約為88.4 B．正切函數(shù)值為36.79的角約是88.4 C．的正切函數(shù)值約為88.4 D．正切函數(shù)值為36.79的角約是【分析】根據(jù)計算器的使用方法進(jìn)行解題即可．【解答】解：根據(jù)計算器的使用方法可知，正切函數(shù)值為36.79的角約是88.4．故選：．考查題型二利用直角三角形求三角函數(shù)（2023秋?樂亭縣期中）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點，，都在小正方形的頂點上，則的正切值是A． B． C． D．【分析】過點作的延長線于點，構(gòu)建直角三角形，利用正切函數(shù)的定義即可解答．【解答】解：如圖，過點作的延長線于點，則，，在中，．故選：．（2023秋?萊蕪區(qū)期中）在中，，是邊上的中線，，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得，所以，，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：如圖，，是邊上的中線，，，，，，，．故選：．（2023秋?興隆縣期中）如圖，在的矩形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，若的三個頂點在圖中相應(yīng)的格點上，則的值為A．1 B． C． D．【分析】在直角中利用正切函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：在直角中，，，則．故選：．（2023秋?肥城市期中）如圖，在網(wǎng)格（小正方形的邊長均為中，則的值是A． B． C． D．【分析】過點作，先利用勾股定理求出、、的長，再計算的面積并求出，最后在中求出及．【解答】解：過點作，垂足為．，，，，，．在中，．．故選：．考查題型三利用直角三角形求線段長（2023秋?德化縣期中）在中，，，，則的長為A．2 B．4 C．6 D．【分析】在直角三角形中，角所對的邊等于斜邊的一半，可求得．【解答】解：，，，，故選：．（2023秋?興隆縣期中）在中，，，，則的長為A．3 B．2 C． D．【分析】先利用直角三角形的邊角間關(guān)系，用含的代數(shù)式表示出，再利用勾股定理求出．【解答】解：在中，，．，．．．故選：．（2023秋?香坊區(qū)校級期中）在中，，，，則的長為A．10 B．24 C．5 D．12【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出，再根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】解：在中，，，，，．故選：．（2023秋?萊西市期中）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點，在邊上，若，，則的長度是A． B． C． D．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，再根據(jù)，可得，從而可得，利用銳角三角函數(shù)求得，即可求解．【解答】解：過點作于，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，故選：．考查題型四利用直角三角形求周長（2023秋?潼南區(qū)月考）如圖，在中，，，，垂足為點，的平分線交線段于點，若，則的周長為A． B． C． D．【分析】根據(jù)垂直定義可得，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，然后利用角平分線的定義可得，從而在中，利用銳角函數(shù)的定義求出，的長，最后根據(jù)三角形的周長公式進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：，，，，，在中，，，平分，，在中，，，的周長，故選：．（2023春?朝陽區(qū)月考）如圖，在中，，是斜邊的中線，過點作，垂足為點．若，，則的周長為A． B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，，然后根據(jù)勾股定理可得，即可求解．【解答】解：在中，是斜邊的中線，，，在中，，，，，，，的周長為．故選：．（2023?梁溪區(qū)模擬）如圖，在中，，的垂直平分線分別交于點，交于點，交的延長線于點，且．若四邊形的面積為58.5，則它的周長為．【分析】證明，設(shè)出三角形的三邊，利用相似表示出和，再根據(jù)四邊形的面積求出邊長，即可解答．【解答】解：如圖，連接，垂直平分，，，，．設(shè)，，，，，，，即，，，即，，．故答案為：33．考查題型五利用直角三角形求面積（2022秋?昌江區(qū)校級期末）如圖，在中，，則的面積為A．24 B．30 C．40 D．48【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可以計算出的長，再根據(jù)勾股定理可以得到的長，然后即可計算出的面積．【解答】解：，，，的面積為：，故選：．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在四邊形中，，，，對角線平分，，則的面積為A．9 B．12 C．15 D．18【分析】過點作，垂足為，先利用角平分線的性質(zhì)可得，從而可求得的長度，的長度，利用勾股定理求得的長度，然后利用三角形的面積進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：過點作，垂足為，如圖，對角線平分，，，，，，，解得：，，，，．故選：．（2023?張店區(qū)校級二模）如圖，在中，，垂直平分，分別交，于點，，連接，若，，則的面積為A．5 B．8 C． D．16【分析】過點作于點，連接，先根據(jù)，設(shè)，則，則，再由直角三角形的性質(zhì)得和線段垂直平分線的性質(zhì)得：，，則，進(jìn)而利用可求出，，然后利用勾股定理求出，最后利用據(jù)直角三角形的面積公式可求出的面積．【解答】解：過點作于點，連接，在中，，設(shè)，則，由勾股定理得：，垂直平分，，，在中，，在中，，點為的中點，，，，，即：，，，即：，又，，，，在中，，，由勾股定理得：，．故選：．（2023春?鹿城區(qū)校級期中）如圖，在四邊形中，，，，，，，分別是邊，上的點，當(dāng)四邊形為平行四邊形時，其面積為A． B． C．2 D．4【分析】過點，連接，過點交于，則四邊形為平行四邊形，其底為，上的高為，再分別求出，即可求出面積．【解答】解：過點，連接，過點交于，，，在中，，，，，，，，，在中，，，，，在中，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，故選：．考查題型六利用直角三角形求坐標(biāo)（2023秋?寶山區(qū)期中）已知平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)射線與軸正半軸的夾角為，點在射線上，如果，且，那么點的坐標(biāo)是A． B． C． D．【分析】過點作軸于點，構(gòu)建直角，利用余弦函數(shù)的定義可得點的坐標(biāo)．【解答】解：過點作軸于點，，可假設(shè)，則，，點的坐標(biāo)可能是，故選：．（2023?中原區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點為坐標(biāo)原點，在中，點．點在軸正半軸上，點在第一象限內(nèi)，，，過點作軸于點，平分交于點，則點的坐標(biāo)A． B． C． D．【分析】由可得，則可求得，利用余弦可求得的長度，再由角平分線的定義可得，利用正切即可求的長度，從而可點的坐標(biāo)．【解答】解：，，，，軸于點，，，解得：，平分，，，即，解得：，點，，，點的坐標(biāo)為：，．故選：．（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是A． B． C． D．【分析】先根據(jù)特殊三角函數(shù)值求出點坐標(biāo)，再根據(jù)對稱性解答．【解答】解：，，點．點關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)，關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)是．故選：．（2023?丹東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點是坐標(biāo)原點，已知點，，點在軸負(fù)半軸上，連接，，若，以為邊作等邊三角形，則點的坐標(biāo)為；點的坐標(biāo)為．【分析】過點作于，先求處，再設(shè)，由得，進(jìn)而得，由三角形的面積公式得，即，則，然后在中由勾股定理得，由此解出，（不合題意，舍去），此時，故此可得點的坐標(biāo)；設(shè)點的坐標(biāo)為，由兩點間的距離公式得：，，，由為等邊三角形得，整理：，②①整理得，將代入①整理得，解得，進(jìn)而再求出即可得點的坐標(biāo)．【解答】解：過點作于，如圖：點，，由兩點間的距離公式得：，設(shè)，，在中，，，，由勾股定理得：，，，，，即：，，在中，由勾股定理得：，即，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），，此時，點的坐標(biāo)為，設(shè)點的坐標(biāo)為，由兩點間的距離公式得：，，，為等邊三角形，，，整理得：，②①得：，，將代入①得：，整理得：，解得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為或．故答案為：；或．考查題型七利用直角三角形求最值（2023?福田區(qū)校級二模）如圖，在中，，，，是上一動點，于，交于點，則的最大值是A． B． C． D．【分析】取的中點，連接，，延長交于．證明，推出點的在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，推出當(dāng)與相切時，的值最大．【解答】解：如圖，取的中點，連接，，延長交于．，，，，，，，，在上，，，點在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，，當(dāng)與相切時，的值最大，直線，直線都是的切線，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最大值為．故選：．（2023?瑤海區(qū)一模）在中，，，點是點關(guān)于的對稱點，連接，，，是，上兩點，作，，垂足分別為，，若，，則的值是A． B．5 C． D．10【分析】作出相應(yīng)的圖形，由軸對稱的性質(zhì)可得，，，從而可求得，由勾股定理求得，再由平行線的性質(zhì)可得，可判定，則有，，再由線段的比即可求解．【解答】解：如圖，點是點關(guān)于的對稱點，，，，，，，即，解得：，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，即，，，即．故選：．（2023?高新區(qū)一模）如圖，在中，，．分別以點，為圓心，以2和3為半徑作弧，兩弧交于點（點在的左側(cè)），連接，則的最大值為A． B． C． D．【分析】作，且，連接，，，證明，求出，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，當(dāng)、、在同一直線上時取最大值，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：，則，設(shè)，，由，可得，則，作，且，連接，，，由可知，，，即，，，即，則：，，，，即：，，，，，，由題意可知，，當(dāng)、、在同一直線上時取等號，即：的最大值為：，故選：．（2023秋?洪山區(qū)期中）如圖所示，直線繞平行四邊形頂點轉(zhuǎn)動，分別過點，，作的垂線段，垂足分別為，，．已知，，，則的最大值為．【分析】連接，交于點，過點作直線于，在的延長線上截取，連接，，過點作于，先證四邊形為直角梯形，再證為梯形的中位線，則，然后證和全等得，進(jìn)而得，據(jù)此可證得四邊形為平行四邊形，則，，要求的最大值，只需求出的最大值即可，根據(jù)“垂線段最短”可知：，故得的最大值為線段的長，最后在中可求出，，，進(jìn)而得，在中由勾股定理得，據(jù)此可得出的最大值．【解答】解：連接，交于點，過點作直線于，在的延長線上截取，連接，，過點作于，如圖所示：直線，直線，四邊形為直角梯形，四邊形為平行四邊形，點為，的中點，直線，，為梯形的中位線，，，，直線，在中，點為斜邊的中點，，為等腰三角形，又，，在和中，，，，，即，直線，直線，，四邊形為平行四邊形，，，要求的最大值，只需求出的最大值即可，根據(jù)“垂線段最短”可知：，的最大值為線段的長，，，，在中，，，由勾股定理得：，，，，在中，由勾股定理得：，的最大值為，的最大值為．故答案為：．考查題型八利用直角三角形求比值（2022秋?蒙城縣期末）如圖，在中，，延長到點，使，連接．若，則的值是A． B．1 C． D．【分析】過點作，交于，就可以得出，就有，得到；由就可以得出就可以表示出，從而求出結(jié)論．【解答】解：過點作，交于，如圖所示，，，中，，．，，，，，，，故選：．（2023春?高新區(qū)期末）如圖，若和的面積分別為，，則A． B． C． D．無法確定【分析】觀察到，因此延長到使，連接，得到，從而得出結(jié)論．【解答】解：延長到使，連接，，，，在和中，，，，，即：，故選：．（2023?寶安區(qū)校級三模）在和中，，點在上，且，若，則的值為．【分析】根據(jù)和中，，得到，，可得，則，所以設(shè)，則，故，可得，即可得結(jié)論．【解答】解：和中，，，，，，，設(shè)，則，，，故答案為：8（2022秋?環(huán)翠區(qū)校級期末）如圖，一座廠房屋頂人字架的跨度，上弦，．若用科學(xué)計算器求上弦的長，則下列按鍵順序正確的是A． B． C． D．【分析】過點作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到米，在中，利用的余弦進(jìn)行計算即可得到，再得到正確的按鍵順序．【解答】解：過點作于，，，米，米，在中，，，即按鍵順序正確的是．故選：．（2023秋?福山區(qū)期中）如圖，已知的三個頂點均在正方形格點上，則下列結(jié)論錯誤的為A． B． C． D．【分析】先設(shè)小正方形的邊長為1，利用勾股定理分別求出，，，進(jìn)而可得為直角三角形，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義分別求出，，，，，進(jìn)而可對題目中的四個選項進(jìn)行判斷，從而可得出答案．【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為1，由勾股定理得：，，，，，，，為直角三角形，即，，故選項正確；，，，故選項正確；，，，故選項不正確；，選項正確．故選：．（2023?陜西）如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．若點，，都在格點上，則的值為A． B． C． D．【分析】連接，得到，由勾股定理求出，，即可求出．【解答】解：連接，則，，，，故選：．（2023秋?蘇州期中）如圖，在中，，是邊上的高，是邊上的中線，，，則的值為A． B． C． D．【分析】由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半得，由得，通過勾股定理求出長，然后求解．【解答】解：是邊上的中線，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，．故選：．（2023秋?松江區(qū)期中）在中，，，，則的長為A． B． C． D．【分析】由題意可知，將代入即可求得．【解答】解：如圖所示：在中，，，，，，故選：．（2022秋?天元區(qū)校級期末）在中，，，，則的長為A．6 B．7.5 C．8 D．12.5【分析】根據(jù)正弦值的定義解決此題．【解答】解：如圖．，，，．．故選：．（2022秋?皇姑區(qū)期末）在中，，都是銳角，且，，則的形狀是A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．不能確定【分析】由已知求出、的度數(shù)，再由三角形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，得，即可得出結(jié)論．【解答】解：、都是銳角，且，，，，，，為等邊三角形．故選：．（2023?安溪縣二模）如圖，的頂點位于正方形網(wǎng)格的格點上，若，則滿足條件的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)正切的定義分別求出每個圖形中的的正切值可得答案．【解答】解：．觀察圖形可得，符合題意；．觀察圖形可得，不符合題意；．觀察圖形可得，不符合題意；．觀察圖形可得，不符合題意．故選：．（2022秋?如皋市期末）如圖，在中，，，，則的長是A．4 B． C．5 D．【分析】作于，據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，，再在中根據(jù)正切的定義可計算出，然后把與相加即可．【解答】解：作于，如圖，在中，，，，，在中，，，，．故選：．（2023秋?西和縣期中）如圖，在中，，，，則等于A．8 B．7 C．6 D．5【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：在中，，，，．故選：．（2023?南關(guān)區(qū)四模）如圖，在中，，，，則點到的距離為A． B． C． D．【分析】過點作，通過三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再在直角三角形中利用正弦求出點到的距離．【解答】解：過點作，垂足為，在中，，，，，在中，，，點到的距離為．故選：．（2023秋?東城區(qū)校級月考）如圖所示的正方形網(wǎng)格中有，則的值是A． B． C． D．1【分析】根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求解即可．【解答】解：如圖，，，，，故選：．（2023?寧化縣模擬）閱讀理解：為計算三角函數(shù)值，我們可以構(gòu)建（如圖），使得，，延長使，連接，可得到，所以．類比這種方法，請你計算的值為A． B． C． D．【分析】在中，，，延長使，連接，得，設(shè)，則，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：如圖：在中，，，延長使，連接，，設(shè)，則，，在中，，故選：．（2023?微山縣二模）如圖，四邊形中，，直線分別交，于點，．則的值等于A． B． C． D．【分析】先根據(jù)，得到，則，再根據(jù)平角的定義求出的度數(shù)即可．【解答】解：，，，，，，故選：．（2023?自貢）如圖，分別經(jīng)過原點和點的動直線，夾角，點是中點，連接，則的最大值是A． B． C． D．【分析】作的外接圓，連接，，，取的中點，連接．證明，推出點在以為圓心，2為半徑