用三重積分推導抽水做功的計算公式

關于用三重積分推導抽水做功的計算公式6.3定積分的物理應用

16.3定積分的物理應用

2作為定積分的物理應用，抽水所做的功一般是用定積分來計算。本課件用三重積分的元素法來推導抽水做功的三重積分計算公式。用三重積分來計算抽水所做的功，有時更方便。最后，舉例加以說明。第2頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

3水面問題：欲將瓶中的水從瓶口抽出，求抽水所做的功W。第3頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

4先用定積分來計算功第4頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

5如圖建立x軸：設瓶高為H，水面高為

h，在x(0<x<h)的高度取厚度為dx的很薄的一層水。假設已知這層水的橫截面面積為A(x)(0<x<h),

（A(x)一般根據題意得知）則這層水的體積約為：dv=A(x)dx(體積元素)水面第5頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

6這一層水受到的力(重力)：抽出這一層水的路程：抽出這一層水功的近似值：功的元素：μ為水的密度，g為重力加速度第6頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

7點評：求解這種問題的關鍵是分析出瓶高

x

處的截面面積A(x)，其余的量都是固定的。抽出全部水的功：(1)第7頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

8下面用三重積分來計算抽水的功第8頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

9如圖建立坐標系，使瓶底在xOy坐標面上。設瓶中水所占據的空間區(qū)域為Ω。在水中(x,y,z)處取一小塊水，體積為dv

(體積元素)。第9頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

10這一小塊水受到的力(重力)：抽出這一小塊層水的路程(體積元素到瓶口的距離)：抽出這一小塊水的功的近似值：（功的元素）μ為水的密度，g為重力加速度。第10頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

11抽出全部水的功：(2)下面來說明公式(2)與公式(1)相等。從以上推導看出：用三重積分建立抽水做功的公式是比較簡單的。第11頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

12假設（如圖）則用“先二后一”積分法其中A(z)是D(z)的面積。結果同公式(1)。第12頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

13下面來看一個例子第13頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

14例設一錐形貯水池，深15m，口徑20m，盛滿水，今以唧筒將水吸盡，問要作多少功？同濟六版292頁，習題6第14頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

15作為比較，我們用兩種方法來計算抽水所做的功。先用定積分計算第15頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

16設一錐形貯水池，深15m，口徑20m，盛滿水，今以唧筒將水吸盡，問要作多少功？第16頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

17功的元素第17頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

18mu:=1000:g:=9.8:PI:=3.14:A:=x->PI*(2*x/3)^2:dw:=x->(15-x)*mu*g*A(x):Integrate(dw(x),x=0..15)=integrate(dw(x),x=0..15);Maplecheck：第18頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

19再用三重積分計算第19頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

20如圖建立坐標系。圓錐面是直線z=3y/2繞z

軸旋轉而成的，其方程為：在水中(x,y,z)處取體積元素dv則功的元素：第20頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

21抽水的功：轉化為柱面坐標計算注：如果用“先二后一”積分法計算以上三重積分，則相當于前面的定積分計算過程。第21頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

22Maplecheck：mu:=1000:g:=9.8:PI:=3.14:f:=(x,y,z)->mu*g*(15-z);Int(Int(Int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=3*r/2..15),r=0..10),theta=0..2*PI)=int(int(int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=3*r/2..15),r=0..10),theta=0..2*PI);第22頁,共24頁，2024年2月25日，星期天6.3定積分的物理應用

23不能說用三重積分計算抽水的功一定就比定積分更方便，