高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)的概念》單元教學(xué)設(shè)計(jì)

三角函數(shù)的概念單元教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

三角函數(shù)的概念；三角函數(shù)的基本性質(zhì)：三角函數(shù)值的符號(hào)、誘導(dǎo)公式一、同角三角

函數(shù)的基本關(guān)系.

本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)：

本單元建議用3課時(shí)：第一課時(shí)，三角函數(shù)的概念；第二課時(shí)，三角函數(shù)的基本性質(zhì)；

第三課時(shí)，概念和性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

2.內(nèi)容解析

三角函數(shù)是一類(lèi)最典型的周期函數(shù)，是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理、

天文等其他學(xué)科的重要基礎(chǔ).

傳統(tǒng)上，人們習(xí)慣把三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣，利用象限角終邊上點(diǎn)的坐

標(biāo)比定義三角函數(shù).由于這一定義方法出自歐拉，因此更顯出它的權(quán)威性.然而，銳角三

角函數(shù)的研究對(duì)象是三角形，是三角形中邊與角的定量關(guān)系（三角比）的反映；而任意角

三角函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是周期變化現(xiàn)象，是"周而復(fù)始”變化規(guī)律的數(shù)學(xué)刻畫(huà).如果以銳角

三角函數(shù)為基礎(chǔ)進(jìn)行推廣，那么三角函數(shù)概念發(fā)生發(fā)展過(guò)程的完整性將受到破壞.因此，

整體上，任意角三角函數(shù)知識(shí)體系的建立，應(yīng)與其他基本初等函數(shù)類(lèi)似，強(qiáng)調(diào)以周期變化

現(xiàn)象為背景，構(gòu)建從抽象研究對(duì)象（即定義三角函數(shù)概念）到研究它的圖象、性質(zhì)再到實(shí)

際應(yīng)用的過(guò)程，與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系可以在給出任意角三角函數(shù)定義后再進(jìn)行考察.

一般地，概念的形成應(yīng)按"事實(shí)一概念"的路徑，即學(xué)生要經(jīng)歷"背景一研究對(duì)象一

對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)一定義”的過(guò)程.本單元的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程而形成三角函數(shù)

概念的同時(shí)，“順便"就可得到值域、函數(shù)值的符號(hào)、誘導(dǎo)公式一及同角三角函數(shù)的基本

關(guān)系等性質(zhì).

根據(jù)上述分析，確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)是：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義，

誘導(dǎo)公式一，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.其中，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義是重中之重.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

(1)了解三角函數(shù)的背景，體會(huì)三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系；

(2)經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過(guò)程，借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、

正切)的定義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；

(3)掌握三角函數(shù)值的符號(hào);

(4)掌握誘導(dǎo)公式一，初步體會(huì)三角函數(shù)的周期性；

(5)理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：$笳V+8*=1,罷=匕￡,體會(huì)三角函數(shù)

的內(nèi)在聯(lián)系性，通過(guò)運(yùn)用基本關(guān)系式進(jìn)行三角恒等變換，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

(1)學(xué)生能像了解線性函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、鬲函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

的現(xiàn)實(shí)背景那樣，知道三角函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中"周而復(fù)始”變化規(guī)律的數(shù)學(xué)工具，能

體會(huì)到勻速圓周運(yùn)動(dòng)在"周而復(fù)始"變化現(xiàn)象中的代表性.

(2)學(xué)生在經(jīng)歷"周期現(xiàn)象一圓周運(yùn)動(dòng)一單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)"的抽象活動(dòng)中，

明確研究的問(wèn)題(單位圓o0上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，刻畫(huà)

點(diǎn)P的位置變化情況)，使研究對(duì)象簡(jiǎn)單化、本質(zhì)化；學(xué)生能分析單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)中涉

及的量及其相互關(guān)系，獲得對(duì)應(yīng)關(guān)系并抽象出三角函數(shù)概念；能根據(jù)定義求給定角的三角

函數(shù)值.

(3)學(xué)生能根據(jù)定義得出三角函數(shù)在各象限取值的符號(hào)規(guī)律.

(4)學(xué)生能根據(jù)定義，結(jié)合終邊相同的角的表示，得出誘導(dǎo)公式一，并能據(jù)此描述三

角函數(shù)周而復(fù)始的取值規(guī)律，求某些角(特殊角)的三角函數(shù)值.

(5)學(xué)生能利用定義以及單位圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并提出“同角三

角函數(shù)的基本關(guān)系"，并能用于三角恒等變換.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，其認(rèn)知基礎(chǔ)是函數(shù)的一般觀念以及對(duì)鬲函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)

函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，另外還有圓的有關(guān)知識(shí).這些認(rèn)知準(zhǔn)備對(duì)于分析"周而復(fù)始"變化現(xiàn)象

中涉及的量及其關(guān)系、認(rèn)識(shí)其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系并給出定義等都能起到思路引領(lǐng)作用.然而，

前面學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)，涉及的量(常量與變量)較少，解析式都有明確的運(yùn)算含義，

而三角函數(shù)中，影響單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)變化的因素較多，對(duì)應(yīng)關(guān)系不以"代數(shù)運(yùn)算”為媒

介，是"a與x,y直接對(duì)應(yīng)"，無(wú)須計(jì)算.雖然a,x,y都是實(shí)數(shù)，但實(shí)際上是"幾何元

素間的對(duì)應(yīng)”.所以，三角函數(shù)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，與學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)距離較大，由此產(chǎn)生第

一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)：理解三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，包括影響單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)變化的因素分析，

以及三角函數(shù)的定義方式的理解.

為了破除學(xué)生在"對(duì)應(yīng)關(guān)系”認(rèn)識(shí)上的定勢(shì)，幫助他們搞清三角函數(shù)的"三要素”，

應(yīng)該根據(jù)一般函數(shù)概念引導(dǎo)下的“下位學(xué)習(xí)"的特點(diǎn)，先讓學(xué)生明確"給定一個(gè)角，如何

得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值"的操作過(guò)程，然后再下定義，這樣不僅使三角函數(shù)定義的引入更自然,

而且由三角函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的獨(dú)特性，可以使學(xué)生再一次認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì).具體的，可讓學(xué)

生先完成"給定一個(gè)特殊角，求它的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)”的任務(wù).例如"當(dāng)嶗時(shí)，找

出相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)"并讓學(xué)生明確點(diǎn)P的坐標(biāo)的唯一確定性，再借助信息技術(shù)，讓學(xué)生觀

察任意給定一個(gè)角aeR,它的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是否唯一，從而為理解三角函數(shù)的

對(duì)應(yīng)關(guān)系奠定基礎(chǔ).利用信息技術(shù)，可以很容易地建立單位圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、角、

弧之間的聯(lián)系，并且可以在角的變化過(guò)程中進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律性.所以，信息技

術(shù)可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì).

對(duì)于定義"設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么y叫做a的正

弦函數(shù)，記作sina,即y=sina;x叫做a的余弦函數(shù)，記作cosa,即x=cosa",可以

通過(guò)如下幾點(diǎn)幫助學(xué)生理解：

第一，a是一個(gè)任意角，同時(shí)也是一個(gè)實(shí)數(shù)(弧度數(shù))，所以"設(shè)a是一個(gè)任意角”的

意義實(shí)際上是"對(duì)于R中的任意一個(gè)數(shù)"；

第二，"它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)",實(shí)際上給出了兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，即

(1)實(shí)數(shù)a(弧度)對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y,

(2)實(shí)數(shù)a(弧度)對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x,

其中y,xw[-1,1].因?yàn)閷?duì)于R中的任意一個(gè)數(shù)a,它的終邊唯一確定，所以交點(diǎn)

P（X,y）也唯一確定，也就是縱坐標(biāo)y和橫坐標(biāo)X都由a唯一確定，所以對(duì)應(yīng)關(guān)系（1）（2）

分別確定了一個(gè)函數(shù)，這是理解三角函數(shù)定義的關(guān)鍵.

第三，引進(jìn)符號(hào)sina,cosa分別表示"a的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)"、"a的終

邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)"，于是：對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)a,按對(duì)應(yīng)關(guān)系（1）,在集合B={z|

-lszsl}中都有唯一確定的數(shù)sina與之對(duì)應(yīng)；按對(duì)應(yīng)關(guān)系（2）,在集合B中都有唯一確

定的數(shù)cosa與之對(duì)應(yīng).所以,sina,cosa都是一個(gè)由a所唯一確定的實(shí)數(shù).

這里，對(duì)符號(hào)sina,cosa和tana的認(rèn)識(shí)是第二個(gè)難點(diǎn).可以通過(guò)類(lèi)比引進(jìn)符號(hào)logab

表示ax=b中的x,說(shuō)明引進(jìn)這些符號(hào)的意義.

本單元的第三個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)是對(duì)三角函數(shù)內(nèi)在聯(lián)系性的認(rèn)識(shí).出現(xiàn)這個(gè)難點(diǎn)的主要原因

在于三角函數(shù)聯(lián)系方式的特殊性，學(xué)生在已有的基本初等函數(shù)學(xué)習(xí)中沒(méi)有這種經(jīng)驗(yàn)，以及

學(xué)生從聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)不足，對(duì)"如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)”的認(rèn)識(shí)不充分等而導(dǎo)致

的發(fā)現(xiàn)和提出性質(zhì)的能力不強(qiáng).為此，教學(xué)中應(yīng)在思想方法上加強(qiáng)引導(dǎo)。例如，可以通過(guò)

問(wèn)題：”對(duì)于給定的角a，點(diǎn)P（cosa,sina）是a的終邊與單位圓的交點(diǎn)，而tana則是

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比，因此這三個(gè)函數(shù)之間一定有內(nèi)在聯(lián)系.你能從定義出發(fā)，研

究一下它們有怎樣的聯(lián)系嗎？"引導(dǎo)學(xué)生探究同角三角函數(shù)基本關(guān)系。

四、教學(xué)支持條件分析

為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)隨角（圓心角）的變化而變化的直觀感受，需要利

用信息技術(shù)工具建立任意角、角的終邊與單位圓的交點(diǎn)、角的旋轉(zhuǎn)量、交點(diǎn)坐標(biāo)等之間的

關(guān)聯(lián).教學(xué)中，可以動(dòng)態(tài)改變角a的終邊OP（P為終邊與單位圓的交點(diǎn)）的位置,引導(dǎo)學(xué)生

觀察0P位置的變化所引起的點(diǎn)P坐標(biāo)的變化規(guī)律，感受三角函數(shù)的本質(zhì)，同時(shí)感受終邊

相同的角具有相同的三角函數(shù)值，以及各三角函數(shù)在各象限中符號(hào)的變化情況.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

第一課時(shí)5.2.1三角函數(shù)的概念

（-）課時(shí)教學(xué)內(nèi)容

三角函數(shù)的概念.

（二）課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過(guò)程，借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）

的定義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：三角函數(shù)的定義.

難點(diǎn)：對(duì)三角函數(shù)概念的抽象過(guò)程及定義的理解.

（四）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

說(shuō)明：三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，應(yīng)在一般函數(shù)概念的指導(dǎo)下，按"概念形成”的方式展

開(kāi)，即要安排"情境一共性歸納一定義一辨析一簡(jiǎn)單應(yīng)用"的過(guò)程.由于周期現(xiàn)象的復(fù)雜

性,還需要通過(guò)適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo),把問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化進(jìn)而歸結(jié)到對(duì)單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究.

1.創(chuàng)設(shè)情境，明確背景

引導(dǎo)語(yǔ)：我們知道，現(xiàn)實(shí)世界中存在著各種各樣的“周而復(fù)始"變化現(xiàn)象，圓周運(yùn)動(dòng)

是這類(lèi)現(xiàn)象的代表.如圖5.2-1,OO上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较虻男D(zhuǎn).在把角

的范圍推廣到任意角后，我們可以借助角a的大小變化刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化.又由于根據(jù)

弧度制的定義，角a的大小與。0的半徑無(wú)關(guān)，因此，不失一般性，我們可以先研究單位

圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).現(xiàn)在的任務(wù)是：

如圖5.2-1，單位圓。。上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，建立一個(gè)函數(shù)模型,

刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化情況.

A

圖5.2-1

問(wèn)題1:根據(jù)已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為我們可以按怎樣的路徑研究上述問(wèn)題？

師生活動(dòng)：學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行交流，通過(guò)討論后得出研究路徑是

明確研究背景一對(duì)應(yīng)關(guān)系的特點(diǎn)分析一下定義一研究性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：明確研究的內(nèi)容、過(guò)程和基本方法，為具體研究指明方向.

2.分析具體事例，歸納共同特征

引導(dǎo)語(yǔ)：下面我們利用直角坐標(biāo)系來(lái)研究上述問(wèn)題.如圖5.2-2,以單位圓的圓心。

為原點(diǎn)，以射線0A為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)P的

坐標(biāo)為(x,y).射線OA從x軸的非負(fù)半軸開(kāi)始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角a,終止位

置為OP.

圖5.2-2

n當(dāng)Y或3時(shí)，

問(wèn)題2:當(dāng)一時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？2-3點(diǎn)P的坐標(biāo)又是什么？它們是

唯一確定的嗎？

一般地，任意給定一個(gè)角a,它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？

師生活動(dòng)：在學(xué)生求出o4H寸點(diǎn)P的坐標(biāo)后，追問(wèn)以下問(wèn)題.

追問(wèn)：（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)要用到什么知識(shí)？（直角三角形的性質(zhì)）

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)的步驟是什么？點(diǎn)P的坐標(biāo)唯一確定嗎？（而出［的終邊0P,過(guò)點(diǎn)

0

P作X軸的垂線交X軸于M,在Rt^OMP中，利用直角三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（苧，

6）

（3）如何利用上述經(jīng)驗(yàn)求。=守時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)？（可以發(fā)現(xiàn)，/“叫，而點(diǎn)P在第二

象限，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（壽，$.）

（4）利用信息技術(shù)，任意畫(huà)一個(gè)角a,觀察它的終邊0P與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)，你

有什么發(fā)現(xiàn)？你能用函數(shù)的語(yǔ)言刻畫(huà)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？（對(duì)于R中的任意一個(gè)角a,它的

終邊0P與單位圓交點(diǎn)為P（x,y）,無(wú)論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y,都是唯一確定的.這里

有兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：

f:實(shí)數(shù)a（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y,

g:實(shí)數(shù)a（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x.

根據(jù)上述分析，f：R-［-1,1］和g：R-［-1,1］都是從集合R到集合［-1,1］的函

數(shù).）

設(shè)計(jì)意圖：以函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為定向，從特殊到一般，使學(xué)生確認(rèn)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系滿

足函數(shù)的定義，角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是圓心角a（弧度）的函數(shù)，為給出

三角函數(shù)的定義做好準(zhǔn)備.

3.任意角三角函數(shù)的定義與辨析

問(wèn)題3:請(qǐng)同學(xué)們先閱讀教科書(shū)第178~179頁(yè),再回答如下問(wèn)題：

(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系各是什么？

(2)符號(hào)sina,cosa和tana分別表示什么？在你以往的學(xué)習(xí)中有類(lèi)似的引入特定符

號(hào)表示一種量的經(jīng)歷嗎？

(3)為什么說(shuō)當(dāng)八畀加時(shí)，tana的值是唯一確定的？

(4)為什么說(shuō)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域是R?而正切函數(shù)的定義域是

{xGR|x#^+k兀，A-ez}?

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立閱讀課文，再舉手回答上述問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：在問(wèn)題引導(dǎo)下，通過(guò)閱讀教科書(shū)、辨析關(guān)鍵詞等，使學(xué)生明確三角函數(shù)的

“三要素"；引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比已有知識(shí)(引入符號(hào)1。地表示中的x)，理解三角函數(shù)符

號(hào)的意義.

4.任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系

問(wèn)題5:在初中我們學(xué)了銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函

數(shù)值的函數(shù).設(shè)I2),把按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角X的正弦記為yl,并把按

本節(jié)三角函數(shù)定義求得的x的正弦記為zl.yl與zl相等嗎？對(duì)于余弦、正切也有相同的

結(jié)論嗎？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生作出RfABC,其中NA=X,zC=90°,再將它放入直角坐標(biāo)

系中，使點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，AC在x軸的正半軸上，得出yl=zl的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：建立銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的聯(lián)系，使學(xué)生體會(huì)兩個(gè)定義的和諧

性.

5.任意角三角函數(shù)概念的理解

例1利用三角函數(shù)的定義求彳的正弦、余弦和正切值.

師生活動(dòng)：先由學(xué)生發(fā)言，再總結(jié)出從定義出發(fā)求三角函數(shù)值的基本步驟，并得出答

案.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用，明確用定義求三角函數(shù)值的基本步驟，進(jìn)一步理解

定義的內(nèi)涵.

練習(xí)：在例1之后進(jìn)行課堂練習(xí)：

3TC

(1)利用三角函數(shù)定義，求TI,5的三個(gè)三角函數(shù)值.

(2)說(shuō)出幾個(gè)使cosa=1的a的值.

師生活動(dòng)：由學(xué)生逐題給出答案，并要求學(xué)生說(shuō)出解答步驟，最后可以總結(jié)為"畫(huà)終

邊，找交點(diǎn)坐標(biāo)，算比值(對(duì)正切函數(shù))".

設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)定義的理解情況.

例2如圖5.2-4,設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)0重合)的

.___sina—,cosoF±，tailor^-.

坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r.求證：-rrX

師生活動(dòng)：給出問(wèn)題后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考如下問(wèn)題，再讓學(xué)生給出證明：

(1)你能根據(jù)三角函數(shù)的定義作圖表示出sina,cosaW?圖5.2-4

yXy.

一,一,r

rTx

(2)在你所作出的圖形中，各表示什么，你能找到它們與任意角a的三角函

數(shù)的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)，使學(xué)生找到AOMP,AQMOPO,并利用它們的相似關(guān)系，

根據(jù)三角函數(shù)的定義得到證明.

追問(wèn)：例2實(shí)際上給出了任意角三角函數(shù)的另外一種定義，而且這種定義與已有的定

義是等價(jià)的.你能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述一下這種定義嗎？

師生活動(dòng)：可以由幾個(gè)學(xué)生分別給出定義的表述，在交流的基礎(chǔ)上得出準(zhǔn)確的定義.

設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解.

練習(xí)：在例2之后進(jìn)行課堂練習(xí)：

（3）已知點(diǎn)P在半徑為2的圓上按順時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，角速度為lrad/s.求

2s時(shí)點(diǎn)P所在的位置.

師生活動(dòng)：由學(xué)生獨(dú)立完成后，讓學(xué)生代表展示作業(yè).

設(shè)計(jì)意圖：三角函數(shù)是刻畫(huà)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)練習(xí)使學(xué)生從另一個(gè)角度

理解三角函數(shù)的定義.

6.目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)（一）

（1）利用三角函數(shù)定義，求6曲三個(gè)三角函數(shù)值.

（2）已知角e的終邊過(guò)點(diǎn)P（-12,5）,求角e的三個(gè)三角函數(shù)值.

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解情況.

第二課時(shí)5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(-)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容

三角函數(shù)值的符號(hào)；誘導(dǎo)公式一；同角基本關(guān)系式.

(二)課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握三角函數(shù)值的符號(hào)；

(2)掌握誘導(dǎo)公式一，初步體會(huì)三角函數(shù)的周期性；

sinx_.sinx_

(3)理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x=1,^=tanX1^=13nx,

體會(huì)三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系性.

(三)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：誘導(dǎo)公式一和同角基本關(guān)系式.

難點(diǎn)：通過(guò)誘導(dǎo)公式一和同角基本關(guān)系式，體會(huì)三角函數(shù)的周期性與三角函數(shù)的內(nèi)在

聯(lián)系性.

(四)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

引導(dǎo)語(yǔ)：前面學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，根據(jù)已有的學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為接下來(lái)應(yīng)

研究三角函數(shù)的哪些問(wèn)題？

師生活動(dòng)：先由學(xué)生發(fā)言.一般而言，學(xué)生會(huì)直接把問(wèn)題指向"圖象與性質(zhì)".教師

可以在肯定學(xué)生想法的基礎(chǔ)上，指出三角函數(shù)的特殊性：

因?yàn)閱挝粓A上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)比值就是三角函數(shù)，而單位圓具有對(duì)稱(chēng)性，這種對(duì)稱(chēng)性

反映到三角函數(shù)的取值規(guī)律上，就會(huì)呈現(xiàn)出比幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等更豐富的性

質(zhì).例如，我們可以從定義出發(fā)，結(jié)合單位圓的性質(zhì)直接得到一些三角函數(shù)的性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：明確研究的問(wèn)題和思考方向.一般地，學(xué)生不習(xí)慣于借助單位圓的性質(zhì)研

究三角函數(shù)的性質(zhì)，所以需要教師的講解和引導(dǎo).

問(wèn)題1:由三角函數(shù)的定義以及任意角a的終邊與單位圓交點(diǎn)所在的象限，你能發(fā)現(xiàn)正

弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的值的符號(hào)有什么規(guī)律嗎？如何用集合語(yǔ)言表示這種規(guī)律？

師生活動(dòng)：由學(xué)生獨(dú)立完成.用集合語(yǔ)言表示的結(jié)果是：

當(dāng)aw｛B|2kTT<p<2kn+TT,kwZ｝時(shí)，sina>0;當(dāng)ae｛B|2kTi+n<p<2kn+2n,k

WZ｝時(shí)，sina<0;當(dāng),keZ｝時(shí),sina=O.其他兩個(gè)函數(shù)也有類(lèi)似結(jié)果.

設(shè)計(jì)意圖：在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律不難，可由學(xué)生獨(dú)立完成.用

集合語(yǔ)言表示，可以復(fù)習(xí)象限角、終邊相同的角的集合表示等.

例3求證：角6為第三象限角的充要條件是

fsin0<0,①

(tan0>O.(2)

師生活動(dòng)：先引導(dǎo)學(xué)生明確問(wèn)題的條件和結(jié)論，再由學(xué)生獨(dú)立完成證明.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力.

問(wèn)題2:聯(lián)系三角函數(shù)的定義、象限角以及終邊相同的角的表示，你有發(fā)現(xiàn)什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生在問(wèn)題引導(dǎo)下自主探究，發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式一.

追問(wèn)：(1)觀察誘導(dǎo)公式一，對(duì)三角函數(shù)的取值規(guī)律你有什么進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)？它反映

了圓的什么特性？

(2)你認(rèn)為誘導(dǎo)公式一有什么作用？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式一及其體現(xiàn)的三角函數(shù)周

期性取值的規(guī)律，這是"單位圓上的點(diǎn)繞圓周旋轉(zhuǎn)整數(shù)周仍然回到原來(lái)位置”的特征的反

映.利用公式一可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0~2Tl角的三角函數(shù)值.同時(shí)，

由公式一可以發(fā)現(xiàn)，只要討論清楚三角函數(shù)在區(qū)間［0,2m上的性質(zhì)，那么三角函數(shù)在整個(gè)

定義域上的性質(zhì)就清楚了.在此過(guò)程中，可以培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，發(fā)展直觀

想象等素養(yǎng).

問(wèn)題3:誘導(dǎo)公式一表明，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.因?yàn)槿齻€(gè)三角函

數(shù)的值都是由角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)所唯一確定的，所以它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)

系.那么，終邊相同的角的三個(gè)三角函數(shù)之間有什么關(guān)系呢？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生討論，利用公式一，可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為"同一個(gè)角的三個(gè)三

角函數(shù)之間的關(guān)系”.然后讓學(xué)生自主探究，得出"同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”.

設(shè)計(jì)意圖："終邊相同的角的三個(gè)三角函數(shù)的值都由單位圓上同一點(diǎn)的坐標(biāo)所唯一確

定，它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系"是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的關(guān)鍵思想；由"終邊相同的角的同一三角函

數(shù)的值相等"引出"終邊相同的角的不同三角函數(shù)之間有什么關(guān)系"的問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為洞

一個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)之間關(guān)系”的研究，可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力.借助單

位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，由三角函數(shù)定義可以直接得出“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”.

問(wèn)題4:總結(jié)上述研究過(guò)程，你能說(shuō)說(shuō)我們是從哪些角度入手發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)性質(zhì)的？

你認(rèn)為還可以從哪些方面入手研究三角函數(shù)的性質(zhì)？

師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考、交流討論，再由教師幫助學(xué)生總結(jié).

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生歸納三角函數(shù)性質(zhì)的表現(xiàn)方式，培養(yǎng)學(xué)生的"數(shù)學(xué)的眼光”.借

助單位圓，從三角函數(shù)的定義出發(fā)，我們從三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律、終邊相同的角的三角

函數(shù)的關(guān)系入手發(fā)現(xiàn)了誘導(dǎo)公式一和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.自然而然地，我們還可以

研究"終邊不同的角的三角函數(shù)有什么關(guān)系"，結(jié)合圓的對(duì)稱(chēng)性，容易把研究方向指向"終

邊具有軸對(duì)稱(chēng)關(guān)系""終邊具有中心對(duì)稱(chēng)關(guān)系"或"終邊具有某種特殊對(duì)稱(chēng)關(guān)系（如關(guān)于

直線y=x對(duì)稱(chēng)）"的角的三角函數(shù)的關(guān)系，這就是下一單元要研究的誘導(dǎo)公式二~五.這

是三角函數(shù)"與眾不同”的性質(zhì).

第三課時(shí)5.2.3三角函數(shù)概念和基本性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

（-）課時(shí)教學(xué)內(nèi)容

三角函數(shù)概念和基本性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

（二）課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

通過(guò)對(duì)三角函數(shù)概念和基本性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)概念和基本性質(zhì)的理解，

發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：運(yùn)用基本關(guān)系式進(jìn)行三角恒等變換.

難點(diǎn)：靈活運(yùn)用三角函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行三角恒等變換.

（四）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

引導(dǎo)語(yǔ)：前面學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，由定義，結(jié)合單位圓的性質(zhì)，我們發(fā)現(xiàn)了三角

函數(shù)的一些“與眾不同”的性質(zhì).下面我們利用這些知識(shí)解決一些問(wèn)題.

1.例題

例4確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)，然后用計(jì)算器驗(yàn)證：

⑵sin(-?

(l)cos250°；

(3)tan(—672°)；(4)tan3兀.

例5求下列三角函數(shù)值：

(l)sin1480°l(y(精確到0.001)；(2)cos^；

(3)tan(-手).

例$已知silla=-求cosa,tailQ的值.

cosx_l+sinx

例7求證：l-sinxcosx'

師生活動(dòng)：以上都是教科書(shū)中的例題，難度不大，可以由學(xué)生獨(dú)立完成，并作課堂展

示.教師可以鼓勵(lì)學(xué)生采用不同的變形方法得出答案.在用計(jì)算器驗(yàn)證時(shí)，提醒學(xué)生注意

角度制的設(shè)置.

對(duì)于例6,在學(xué)生給出答案后，應(yīng)該要求學(xué)生總結(jié)解題步驟，明確這類(lèi)題目應(yīng)該先根

據(jù)條件判斷角所在的象限，確定各三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用基本關(guān)系求解.在此基礎(chǔ)上,

可以讓學(xué)生歸納用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值的問(wèn)題類(lèi)型.

例7實(shí)際上是sin2x+cos2x=l的變形，采用分析法、綜合法都可以證明，還可以從

不同方向進(jìn)行推導(dǎo).可以要求學(xué)生至少給出兩種證明方法.

設(shè)計(jì)意圖：提高對(duì)三角函數(shù)基本性質(zhì)的理解水平，通過(guò)靈活運(yùn)用性質(zhì)的訓(xùn)練，提升數(shù)

學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.課堂練習(xí)

(1)教科書(shū)第183頁(yè)練習(xí)第1,2題；

(2)教科書(shū)第185頁(yè)練習(xí)第1,2,4(1)(2)題.

師生活動(dòng)：上述題目都比較簡(jiǎn)單，學(xué)生解答完成后，公布答案自我檢查即可.

設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)定義的理解情況，通過(guò)應(yīng)用三角函數(shù)的基本性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單

問(wèn)題，進(jìn)一步理解這些性質(zhì).

3.布置作業(yè)

教科書(shū)習(xí)題5.2第1,2,4,7,8,13,14,18題.

4.目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)(二)

la=—

(1)已知4,求a的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并求tana的值.

設(shè)計(jì)意圖：考查三角函數(shù)的定義.

(2)求下列三角函數(shù)的值：

cos(--)；tall—.

66

設(shè)計(jì)意圖：考查誘導(dǎo)公式一，特殊角的三角函數(shù)值.

1

(3)角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)是Q,點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是2,說(shuō)出幾個(gè)滿足條件的角a.

設(shè)計(jì)意圖：考查正弦函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式一.

(4)點(diǎn)P(3a,4a)在角a終邊上，說(shuō)出