2023-2024學(xué)年廣東省高一年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年廣東省高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)4i;等于()

1—1

A.-2-2iB.2-2iC.-2+2iD.2+2i

【正確答案】C

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

4i4i(l+i)

【詳解】解：—”+明

(l-i)(l+i)

故選：C.

2.下列四個(gè)命題正確的是()

A.所有的幾何體的表面都能展成平面圖形B.棱錐的側(cè)面的個(gè)數(shù)與底面的邊數(shù)相等

C.棱柱的各條棱長(zhǎng)度都相等D.棱柱中兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底

面

【正確答案】B

【分析】根據(jù)球的表面特征判斷A,根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征判斷B,根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征判斷

CD.

【詳解】對(duì)于A,球的表面不能展成平面圖形，錯(cuò)誤；

對(duì)于B,棱錐的側(cè)面的個(gè)數(shù)與底面的邊數(shù)相等，正確；

對(duì)于C,棱柱的各條側(cè)棱長(zhǎng)度都相等，但是側(cè)棱長(zhǎng)度與底面中的棱長(zhǎng)不一定相等，錯(cuò)誤;

對(duì)于D,正六棱柱中，相對(duì)的兩個(gè)側(cè)面互相平行，但它們不是正六棱柱的底面，錯(cuò)誤；

故選：B

3.已知兩點(diǎn)A(4,2),8(1,6),則與向量A8同向的單位向量是()

A.(土-|)B.(-3,4)C.

D.

【正確答案】D

【分析】由平面向量的坐標(biāo)表示與單位向量的概念求解即可.

【詳解】由442),5(1,6),得AB=(—3,4),則網(wǎng)=月再不=5,

AB

所以與向量48同向的單位向量為M

故選:D

4.在中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=夜，6=百，8=:，則角

A為（）

3兀-兀-兀13兀一兀

A.—B.-C.一或一D.-

43444

【正確答案】D

【分析】由正弦定理求解.

【詳解】由正弦定理三=二，得一泊,4"sinB_」一行，

smAsmBsin人—------j=-~-

又a<6,所以A<3,所以A為銳角，所以A=j

4

故選：D.

2

5.在“A5C中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=2,c=&cosC=-,則

b的取值是（）

A.；B.72C.6D.3

【正確答案】D

【分析】由余弦定理列方程求解.

21

【詳解】由題意C2=/+/-2"COSC,即5=4+從-4AX§,解得6=3(%=-§舍去),

故選：D.

6.已知向量4,8滿足同=1,W=G,卜-2同=3,則cos(a,A)=()

A.1B.且C.走D.-B

233

【正確答案】C

【分析】結(jié)合已知條件，首先對(duì)卜-2司=3兩邊同時(shí)平方求出：工，然后利用數(shù)量積夾角公

式求解即可.

【詳解】因?yàn)榫W(wǎng)=6,卜_2a=3,

所以,一2切2=9=|OFMM『-Aa-b,即H=[

,ab\6

故8sd荘麗=前=7.

故選：c.

7.若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則它的底面積與側(cè)面積之比是（)

A.1：V2B.V2:lC.2:1D.1：2也

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意作圖，由軸截面得岀母線與底面圓半徑的等量關(guān)系，再利用底面積和側(cè)面

積公式求解.

【詳解】根據(jù)題意作圓錐的軸截面，如圖，

設(shè)圓錐的底面圓半徑為，高為厶，母線長(zhǎng)為/.

若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，

則有2"。（?45。=/,所以/=0八

221

該圓錐的底面積與側(cè)面積比值為T(mén)T三PTTK~

nrlTtr-yJ2rV2

故選：A.

8.平面四邊形A8CD是邊長(zhǎng)為4的菱形，且厶=120。.點(diǎn)N是。C邊上的點(diǎn)，滿足

DN=3NC.點(diǎn)M是四邊形ABC。內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）

A.13B.7C.14D.12+2月

【正確答案】C

【分析】當(dāng)"在C點(diǎn)時(shí)，AM在AN上的投影向量與AN同向，且長(zhǎng)度最長(zhǎng)，所以此時(shí)

3

AM-AN最大，由4V=A￡）+：AB,AC=AB+AD,求ANdC可得答案.

4

【詳解】如圖，

DN

A、B

由數(shù)量積的幾何意義：兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在這個(gè)向量的方

向上的投影的乘積，及點(diǎn)M是四邊形43co內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)M在C點(diǎn)時(shí)，AM

在AN上的投影向量與AN同向，且長(zhǎng)度最長(zhǎng)，所以此時(shí)AM-AN最大，

因?yàn)锳N=AO+QN=AQ+3QC=AQ+』A8,

44

又AC=A8+AO，

所以

AN-AC=[^D+^AB\^AD+AB^=^AD^+^AB^+'^AD-AB

=16+12+(x4x4*[-g)=14,

所以AM?AN的最大值為14.

故選：C.

二、多選題

9.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=l-i,則以下說(shuō)法正確的有()

A.復(fù)數(shù)z的虛部為iB.慟=0

C.復(fù)數(shù)z的共鋸復(fù)數(shù)W=>iD.復(fù)數(shù)z，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

【正確答案】BD

【分析】由復(fù)數(shù)的定義判斷A,復(fù)數(shù)模的定義判斷B,共規(guī)復(fù)數(shù)定義判斷C,復(fù)數(shù)的乘方與

復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D.

【詳解】復(fù)數(shù)z的虛部是-1,A錯(cuò)；

|z|=-y/12+(―I)2=V2,B正確；

z=l+i>C錯(cuò)；

3323

z=(l-i)=l-3i+3i-i=-2-2i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-2),在第三象限,D正確.

故選：BD.

10.下列四個(gè)命題正確的是()

A.若直線/平行平面。，則平面。內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與/平行

B.過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面

C.兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)

D.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行

【正確答案】AC

【分析】由線面平行的性質(zhì)定理判斷A,由平面的基本性質(zhì)判斷BC,由空間直線的位置關(guān)

系判斷D.

【詳解】選項(xiàng)A,若直線/平行平面a,則過(guò)直線/的平面與a的交線都與/平行，這樣的交

線有無(wú)數(shù)條，A正確；

選項(xiàng)B,當(dāng)空間三點(diǎn)共線時(shí)，過(guò)這三點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面，B錯(cuò)；

選項(xiàng)C,兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線，如圖，直線“，仇c兩兩相交，交點(diǎn)分別為4B,C,

則點(diǎn)AB,C不共線，因此由這不共線的三點(diǎn)AB,C確定一個(gè)平面a,從而可得這三條直線

仇c都在平面a內(nèi)，即它們共面，C正確；

選項(xiàng)D,若空間兩條直線不相交，這兩條直線平行或異面，D錯(cuò).

故選：AC.

11.在4BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c.已知a:6:c=7:5:3,下列結(jié)論正

確的是()

A.一A5C是鈍角三角形B.ABBC<()

C.若c=6,則一ABC的面積是156D.A:B:C=1:5:3

【正確答案】ABC

【分析】由余弦定理求得A角大小，判斷A,根據(jù)數(shù)量積的定義判斷B,由三角形面積公式

判斷C,結(jié)合正弦定理判斷D.

【詳解】由題意，設(shè)a=1k,b=5k,c=3k,則A角最大，

cosA=從-"=25*+9正-49*=一丄,厶是三角形內(nèi)角，則4=?是鈍角，A正確；

由選項(xiàng)A知5為銳角，

ABBC=cacos(n-B)=-accosB<0,B正確；

c=6,則6=10,5,ABC=^/?csinA=^xl0x6xsin^=15V3,C正確;

由正弦定理上7=-7；=-7；得5抽厶：5缶3：5畝。=7:5:3,A:3:Cw7:5:3,D錯(cuò)誤；

sinAsmBsine

故選：ABC.

12.已知向量。=(夜,1),/?=(cos6>,sin6>)(0<6><7r),則下列命題正確的是()

A.若a丄b,則cos0=—

3

B.若6在。上的投影向量的模為則向量a與b的夾角為

C.存在6?,使得卜+4=同屮|

D.°力的最大值為6

【正確答案】ACD

【分析】若a.Lb>可,求得a-&=&cose+sin6=0,即tane=->/5，從而可得cos。的值，

故A正確；若b在。上的投影模為y,且也|=1,則〈4力=］或等，故B不正

確；對(duì)卜+耳=同屮|化簡(jiǎn)運(yùn)算即可計(jì)算得當(dāng)向量&與/，的夾角為兀時(shí)，"+/小卬-聞，

故C正確；可得〃?/?=>/Jcose+sine=\/Jsin(6+e)的最大值為6,故D正確.

【詳解】若a丄b，則ab=>/2cos^+sin^=0,則tan0=-V2<0?可知兀，再

由cos26+sin?6=1,解得cos6=--,故A正確；

3

1—1JT

若方在a上的投影向量的模為另>且|。|=1,則屹|(zhì)cos〈a,6〉=土彳n(a，3=三或

/23

告，故B不正確；

若(4+庁=。+/+24區(qū)(冋一同)2=1|2+向2-2同忖,若\a+b\^a\_\b\,則

a-6=|a|M|cos(a,6)=-|a||/H,即cos〈a,6〉=-l,故〈“力〉=兀且tan。=①,04。4兀時(shí)

2

故，|a+6|=|a|-|b|時(shí)，C正確;

a-b=\/2cos0+sin0=>/3sin(^+<p),因?yàn)镺<0<n,O<(p<^,貝!］當(dāng)時(shí)，a.b

的最大值為G,故D正確，

故選:ACD.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算和應(yīng)用，考查數(shù)量積的運(yùn)算律，意在考查學(xué)生對(duì)這些

知識(shí)的理解與掌握水平，屬于較難題.

三、填空題

13.已知一個(gè)球的半徑為R,其體積的數(shù)值%和表面積的數(shù)值時(shí)滿足關(guān)系％=2S球，則半

徑R=.

【正確答案】6

【分析】利用球的表面積公式和體積公式即可求解

4

【詳解】因?yàn)椋?2S球，所以］兀戸=2乂4兀戸，解得R=6,

故6

14.已知JLBC中，AC=4,AB=3,Zfi4C=60°,AO是“WC的角平分線，則A￡>=.

【正確答案】?jī)?甘百

77

【分析】由余弦定理結(jié)合角平分線性質(zhì)求解.

D7AADq

【詳解】設(shè)AO=也因?yàn)锳。是角平分線，則能=差=3，

CDCB4

又由已知得BO?=9+X2-6XCOS30°=9+X2-3^X,同理CO?=16+f—4后,

,BD~9+x2-3\f3x9ATjzg12\/3

??方=16+宀4氐=布,解得A丁.

故

7

15.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=（加2一86+15）+（"/-6〃?+8）i,m^R.若復(fù)平面內(nèi)表示z的

點(diǎn)Z位于第二象限，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

【正確答案】（4,5）

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的坐標(biāo)，由條件列不等式求〃?的取值范圍.

【詳解】因?yàn)閦=（/-8加+15）+（蘇-6m+8）i,

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為（涙-8加+15,4-6加+8）,

由已知可得-8帆+15<0,m2-6〃7+8>0,

由病—8〃?+15v0可得3VAnv5，

由m2_6"2+8>0可得m<2或機(jī)>4,

所以4<機(jī)<5,

所以實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為（4,5）,

故答案為.（4,5）

16.如圖，已知0為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，ZQ4B=150°,ZA5C=60°,

網(wǎng)=國(guó)=2網(wǎng)=4.若BD=2DC，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為

【分析】利用向量的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】如圖，延長(zhǎng)C8交x軸于E,由已知/&正=180?！?50。=30。，

ZAEB=ZABC-NBAE=30°,ZBEx=150°,

由題意0A=(4,0),AB=2(cos30°,sin30°)=(>/3,1),BC=4(cosl50°,sinl5()°)(-273,2),

又BD=2DC，所以8。=28c=(-垃,9),

333

OD=OA+AB+BD=(4-當(dāng)《I,

所以。點(diǎn)坐標(biāo)為(4-4，1).

四、解答題

17.已知i是虛數(shù)單位，4=1+21,z,=2-3i.

⑴求Z「Z2；

（2）若2=4+22滿足z2+az+b=l-i,求實(shí)數(shù)。，6的值

【正確答案】(l)-4+7i；

(2)a=—5,b=—2.

【分析】(1)由復(fù)數(shù)的乘法法則計(jì)算；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義求解.

【詳解】(1)由題意Z]W=(l+2i)(2+3i)=2+3i+4i+6i2=-4+7i；

(2)由已知z=3-i,

z2+az+h=(3-1)2+a(l-i)+h=S+a+h+(-6-a)i,

乂z~+az+。=1—i,

j8+a+b=l

1-6-a=-l,解得

b=-2

18.已知向量。=(—L2),l=(l,4).

⑴若（3+力）〃3-萬(wàn)）,求人的值；

（2）若（妬+26）丄（方一3〃），求Z的值.

3

【正確答案】（1）%=-5；

⑵%=-|?

【分析】(1)由向量平行的坐標(biāo)表示求解；

(2)由向量垂直的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】(1)由已知収+28=(2-&,8+2幻，a-/?=(-2,-2),

3

V(ka+2b)//(a-b),/.-2(2—2^)+2(8+2Ar)=0,解得，=—；

(2)b-3a=(4,-2),

2

V(ka+2b)l(b-3a),，4(2-/)-2(8+軟)=0,解得4=-1.

19.在~4BC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a",c.已知(sinA+sin村=;C+sinAsinB.

（1）求角C；

⑵若c=26,求一ABC的周長(zhǎng)的最大值.

【正確答案】（1）C=T27c；

⑵4+26.

【分析】（1）由正弦定理化角為邊，由余弦定理求得C；

（2）由正弦定理用A表示出“,6,計(jì)算a+6+c,利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)變形，再

由正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值.

【詳解】（1）因?yàn)椋╯in4+sin8）2=sin。C+sinAsin8,由正弦定理得因+b）?=c?,即

a2+b2-c2=-ab,

所以cosC="2,c是三角形內(nèi)角，則。==；

2ab23

(2)由(1)C=—,則0<A<P,

33

a_b_cn

由正弦定理sinAsinBsinC2兀得，~ci=4sinA,b=4sinB=4sin(—A),

sm—3

a+0+c=4sinA+4sin(工-4)+2石

J

=4sinA+4(——cosA——sinA)+2百=2sinA+2百cosA+2G

22

=4sin(A+馬+26,

3

_Tt?,7t.兀27tJ37T

0<At<-,則:+2L.<sin(A+—)41,

333323

所以4行<a+6+cW4+2G.

A=g時(shí)，a+6+c取得最大值4+26.

20.為了幫助山區(qū)群眾打開(kāi)脫貧致富的大門(mén)，某地計(jì)劃沿直線AC開(kāi)通一條穿山隧道.如圖

所示，A,2,C為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，在山頂P處測(cè)得三點(diǎn)的俯角分別為。=30°,￡=45。，

，=30°,且測(cè)得A￡>=〃?，EB=〃,3C=f.用以上數(shù)據(jù)（或部分?jǐn)?shù)據(jù)）表示以下結(jié)果.

ADEBC

(1)求出線段尸2的長(zhǎng)度；

(2)求出隧道OE的長(zhǎng)度.

【正確答案】⑴C+-f

2

(2)(2+百)

【分析】(1)由條件求出角N8CRNBPC,在PCB中由正弦定理即可得結(jié)果;

(2)在..中由正弦定理求出A8,從而求解得￡>E.

【詳解】(1)由題意,夕=45。，/=30°,

所以N8CP=30。，ABPC=\5°,又BC=t,

/7_

sin15°=sin(60°-45°)=sin600cos450-cos60°sin450="/,

在，PCB中，由正弦定理得一=一7G,即一^=一2

sinZ.BPCsinZ.BCPsin15sin30

1

解得出=舄+5/2

~2

4

(2)因?yàn)閍=30。，/=45。，所以ZA=30。，Zz4Pfi=105°,

又由⑴知p八普3,

sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos450+cos60°sin45°=業(yè)+立

4

ARPB

在*中，由正弦定理得ei

~sinZPAB

V6+V2

+V2

即AB=-2——x&?=(2+協(xié),

所以A8=?t

sinl05°-sin30°14

2

所以。E=A8-AO-BE=(2+G)r-m-〃.

21.如圖，在四邊形45CD中，AB=\,AD=2.

H

...UUULUU2

(1)若4O=2BC，DE=-DC,^.AEBD：

(2)若AC=A8,cosZCAB=|,ACB￡)=|,求卩冃.

【正確答案】(1)2

Q)0

【分析】(1)用表示岀AE,8O,然后由數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算；

(2)先求得ACA。，然后。C=AC-A。平方后轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求模.

【詳解】(1)由題意

22

AE=AD+DE=AD+-DC=AD+-(DA+AB+BC)

33

2212

=AD--AD+-AB+-AD=-(AD+AB),

22222o7

AEBD=-(AD+AB)(AD-AB)=-(AD-AB)=-x(22-I2)=2；

(2)由已知AC=AB=1,

32

AC?A￡>=AC.(AB+BO)=ACA8+AC8力=lxlx：+g=l,

-,.|r)d=|AC-A￡>|="AC-AD)2=4AC-2AC-AD+A[f=Jl-2+4=G.

22.在..MC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知

Z?(sinB-sinC)=(acosC-ccosA)sinB.

⑴求角A;

(2)若一ABC為銳角三角形，求A+s'B+shrC的取值范圍.

sinAsinBsinC

【正確答案】=;

(2)2月<s,。24+sin?8+sin?C<8G

sinAsinBsinC3

【分析】（1）由正弦定理、余弦定理化角為邊后，再由余弦定理可求得A;

（2）由正弦定理化角為邊，代入（1）中結(jié)論化簡(jiǎn)后，得出

sin"+sin?+sin2c=逑上一短,由銳角三角形得

sinAsinBsinC3he362

c_sinC_sin（3-8）化簡(jiǎn)后可得：的取值范圍，然后利用函數(shù)的單調(diào)性正C的范圍，從

b=^B=sinBbbc

而得出結(jié)論.

【詳解】(1)^(sinB-sinC)=(acosC-ccosA)sinB

由正弦定理和余弦定理得b(b-c)=(“"-a)-b,

2b2b

整理得從+c2-a2=bcfcosA=一~~=~，

2bc