2024年高考二級(jí)結(jié)論速解技巧-三點(diǎn)共線與四點(diǎn)共面充要條件（教師版）

專題07三點(diǎn)共線與四點(diǎn)共面充要條件

一、結(jié)論

1、平面向量三點(diǎn)共線問(wèn)題：

設(shè)平面上三點(diǎn)。，A,3不共線，則平面上任意一點(diǎn)P與A,8共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)

X與

〃，使得OP=AOA+JJOB，且X+〃=l.特別地，當(dāng)P為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，

—?1—■1—.

OP=-OA+-OB.

22

2、空間中四點(diǎn)共面問(wèn)題：

如圖空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,N）,使Q=x而+.

或者等價(jià)于：對(duì)空間任意一點(diǎn)。，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)（P,A5,C四點(diǎn)共面）的

充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）,使麗=dX+x赤+該式稱為空間平面ABC的向

量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.

拓展：

對(duì)于空間任意一點(diǎn)。，四點(diǎn)P,C,A,B共面（其中C,A,8不共線）的充要條件是

OP^xOC+yOA+zOB（其中x+y+z=l）.

二、典型例題

例題1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知UABC中，點(diǎn)。為線段8c（不包括端點(diǎn)）上

任意一點(diǎn)，且實(shí)數(shù)％,V滿足布=尤荏+2,衣，則工+工的最小值為（）

xy

A.3+2V2B.6C.4V2D.476

【答案】A

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D為線段BC（不包括端點(diǎn)）上任意一點(diǎn),且實(shí)數(shù)滿足AD^xA￡+2yAC,

D

所以x+2y=l,x>0,j>0,

所以工+工=（工+工］（冗+2丁）

yVxyJ

=32yX

+1+y

23+2產(chǎn)下=3+2應(yīng)，當(dāng)且僅當(dāng)篁=土，即x=^_i,y=31時(shí)取等號(hào)，

\XyXy2

所以'的最小值為3+2行，

xy

故選：A

【反思】本題重點(diǎn)3,。，C三點(diǎn)共線，可以得到標(biāo)=加荏+"恁且加+”=1,所以本

題中通=x^+2y/中的x+2y=l,再結(jié)合基本不等式“1”的妙用法，可以求出工+工

"xy

的最值.

例題2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在DABC中，E為AC上一點(diǎn)，衣=3荏，P為BE

______,31_

上任一點(diǎn)，AP=mAB+nAC（m>0,?>0）,則一+一的最小值是（）

mn

A.2月B.4+273C.6D.12

【答案】D

【詳解】解：；/=3荏，

-t?AP-mAB+nAC=mAB+3nAE，

?「尸I,E三點(diǎn)共線，

m+3n=lf

,31z19孔m1

..—i——=（m+3〃）（—1——）=3+3H--1—>6+2J-----=12,

mnmnmn\mn

當(dāng)且僅當(dāng)3Qw='H7，，〃=3"=|；時(shí)取等號(hào)，

mn2

所以二3+七1的最小值是12.

mn

故選：D.

【反思】本題重點(diǎn)6,P,E三點(diǎn)共線，可以得到Q=X+后且?guī)?〃=1,而本例

中恁=3AE,代入已知AP=mAB+nAC（m>Q,n>0）^,可以得到

Q=根荏+3"衣（根>0,〃>0）所以本題中根+3n=1,再結(jié)合基本不等式“1”的妙用法,

可以求出土3+上1的最值.

mn

例題3.（2022秋?北京?高二人大附中校考期中）已知。、A、B、C為空間中不共面

—3—1——

的四點(diǎn)，且。尸=:。4+d。2+/。。，若P、A、B、C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)/的值是（）

48

31cl3

A.-B.——C.-D.——

4884

【答案】C

【詳解】因?yàn)槭?、A、B、C四點(diǎn)共面，則存在“2、?eR,使得而=加麗+加元，

則加—次=/71（而_））+〃（反一次），

所以，OP=（l-〃z-〃）OA+，wO8+wOC=OA+OB+tOC,

4

171

所以，m=—,三個(gè)等式全加可得（+/=1,解得r=g.

8oo

n=t

故選：C.

【反思】本例中可以速解，由尸、A、8、C四點(diǎn)共面，則根據(jù)四點(diǎn)共面的等價(jià)條件

OP=xVC+yOA+zOB（其中x+y+z=l）,對(duì)比已知條件赤=。方+：赤+f反，可

48

311

以得到：-+-+t=l^t=-.

488

例題4.（2022秋?北京?高二人大附中?？计谀┛臻gA8,C。四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)

—?5—?--1--

不共線，若尸為該平面外一點(diǎn)且上4=]P8-XPC-§PD,則實(shí)數(shù)x的值為（）

【答案】C

【詳解】解：因?yàn)榭臻gA,B,C,。四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線,

則可設(shè)麗=小記+〃國(guó)5,

又點(diǎn)p在平面外，則

PB-PA=m（PC-PA）+n（PD-PA）,

即(1+771+ri)PA=-PB+mPC+nPD,

則蘇—而+二^定而,

m+n-1m+n-1m+n-1

—?5—?—?1—?

又PA=—PB—xPC——PD,

33

-1_5

m+n-13

m11

所以=—xx=—

m+n-153

n_1

m+n-13

故選：C.

【反思】本例中可以速解，由48,C,o四點(diǎn)共面，則根據(jù)四點(diǎn)共面的等價(jià)條件

PA=xPB+yPC+zPD（其中x+y+z=l）,對(duì)比已知條件西=（而一無(wú)無(wú)一;而，可

以得至（j：--%--=l^>x=—.

333

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

1.（2023秋,山東棗莊,高三統(tǒng)考期末）已知。為線段4B上的任意一點(diǎn)，。為直線AB外一

點(diǎn)，A關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為C,若歷=xd5+y而，則x-V的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【詳解】解：依題意可得A、B、。三點(diǎn)共線，所以歷=2宓+（1-冷面,

又A關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為C,所以反=-況，

又歷=了歷+五元，所以歷=xd5-y宓，

所以_y=2,x=1—2,則x—y=]_2+2=l.

故選：C

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知A,B,C是圓。上的三點(diǎn)，C。的延長(zhǎng)線與線段朋的

延長(zhǎng)線交于圓。外的點(diǎn)若反=777次+W礪，則〃的取值范圍是（）

A.（0,1）B.。,+8）

C.D.（-1,0）

【答案】D

【詳解】。在圓外，則歷=上歷且左<T,又沅=加立+“而，

所以歷=配次+如礪，

又三點(diǎn)共線，

所以6+幼=1,m+n=—,而左<一1,所以〃?+〃e（-l,0）.

k

故選：D.

3.（2023,全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，已知平行四邊形A8CD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。

的直線與A8,AD所在直線分別交于點(diǎn)M,N,滿足荏=小與7,麗=〃通,（7”>0,〃>0）,

若加7=1I則r'n的值為（）

3n

【答案】B

【詳解】因平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,BI]AO=1AB+1AD,

而AB=A/V=〃AD,(〃z>0,〃>0),于是得人。二六人""1---AN,又點(diǎn)Af,O,N共線,

22n

fYl]112

因此，——I=1,BPmw+1=2n,又rm=—，解得根=——

22”323

所以生=1.

n4

故選：B

4.（2023?全國(guó),高三專題練習(xí)）在DABC中，點(diǎn)尸為線段2c上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若

——?一,、12?

4/=無(wú)48+2'4?（尤>0?>0）,則1+7的最小值為（）

A.9B.8C.4D.2

【答案】A

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸為線段2c上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），

所以x+2y=l,

皿1212(%+2>)=1+生+生+425+2

故一+一=—+—=9,

%y%yXy

當(dāng)且僅當(dāng)于2y下2x，即=31時(shí)等號(hào)成立,

故選：A

5.（2023,全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在口ABC中，M,N分別是線段AB,AC上的點(diǎn)，且

2i__kkk

AM=3AB,4雙=耳4。，。,￡是線段5。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且而+血=元瘋+以而（%,”即，

則」+2的的最小值是（）

xy

49

A.4B.一C.一D.2

34

【答案】B

【詳解】設(shè)標(biāo)=初初+/乙m+n=lfAE=AAB+JLLAC,2+〃=l,

__________________,__,__?___3___?___

貝IAD+AE=mAB+nAC+A,AB+juAC=(根+4)A5+(n+/n)AC=—(m+A)AM+3(〃+pi)AN

___,___321

=xAM+yAN,-(m+A)=x,3(〃+〃)=yn根+X=—x,n+/n=-y,

233

21

m+2+n+//=2=>^x+^y=2=>2x+y=6.

所以；12八cy1_y4%x4

5+=$2?y)—+—2+2+—+—>-2+2+2—yx—

xyI6%y

3

當(dāng)且僅當(dāng)X=：,y=3時(shí)等號(hào)成立.

124

所以丁7的的最小值是屋

故選：B

6.（2023秋?重慶沙坪壩?高二重慶八中校考期末）設(shè)向量力,赤，反不共面，空間一點(diǎn)月滿

足而=赤+z反，則A,B,C,P四點(diǎn)共面的一組數(shù)對(duì)（x,y,z）是（）

A-心』B.卜罟，）C.D,［444}

【答案】C

【詳解】空間一點(diǎn)尸滿足麗=x^+y赤+z反，若ABCP四點(diǎn)共面，則％+y+z=l

選項(xiàng)A：%+y+z=；+；+；=判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：x+y+z=_J+'+!=!wl.判斷錯(cuò)誤；

4364

131

選項(xiàng)C：x+y+z=—■=1.判斷正確；

442

選項(xiàng)D：x+y+z=-彳12+彳+1彳5==".判斷錯(cuò)誤.

3326

故選：C

7.（2023秋?江西南昌?高二南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎c(diǎn)。在口45。確定的平面內(nèi)，

。是平面ABC外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)無(wú)，＞滿足麗=^^+2＞南-3反，則f+y2的最小值為

（）

A.-B.—C.1D.2

55

【答案】A

［詳解］^^）Dd=xOA+2yOB-3OC,

^\^OD=-xOA-2yOB+3OC,又點(diǎn)。在HABC確定的平面內(nèi)，

所以-x-2y+3=l,即x=2-2y,

所以Y+y?=（2-2y『+y2=5j2-8y+4=5^）＞-^

所以當(dāng)y時(shí)，產(chǎn)+r的有最小值;

故選：A.

8.（2022春?四川綿陽(yáng)?高二?？茧A段練習(xí)）已知。為空間任意一點(diǎn)，A、B、C、P滿足任

意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且麗=加次+9+反，則機(jī)的值為（）

A.-1B.2C.-2D.-3

【答案】C

【詳解】OP=OB+BP=mOA+2OB+OC，

???。為空間任意一點(diǎn)，A、夙C、P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，

/.m+2+1=1,m=-2.

故選：C

二、多選題

9.（2022秋?湖北孝感,高二應(yīng)城市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P為三棱錐。-ABC

的底面ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，SLOP=mOA+2nOB-2OC（m>0,n>0）,則下列說(shuō)法正確

的是（）

9

A.m+2n=3B.m+n=2C.加〃的最大值為1D.加及的最大值為三

8

【答案】AD

【詳解】由題意知而市+xZ5+y*

=OA+AP=OA+x（OB-OA）+y（OC-OA）=（l-x-y）OA+xdB+yOC,（x,yER）f

即A,3cp共面，則麗麗，反為基底表示加時(shí)，系數(shù)和為L(zhǎng)

由0尸=加04+2〃08-2。。（加>0,〃>0）,可知，m+2n-2=l,即機(jī)+2〃=3,，A正確；

由相>0,〃〉0,m+2?=3,可知僅當(dāng)加=〃=1時(shí)，Wm+n=2,

比如當(dāng)根=2,〃=：時(shí)，加+〃=2即不成立，故B錯(cuò)誤；

又由基本不等式可得2加〃“野與2=1,；.mn喘，當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=；,〃==時(shí)等號(hào)成立，

24824

故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：AD.

三、填空題

10.（2023秋?遼寧沈陽(yáng)?某中學(xué)校考期末）在O4BC中，點(diǎn)f為線段BC上

—――-/、12

任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）,^AF=xAB+2yAC（x>0,y>0）,則1+7的最小值為.

【答案】9

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸為線段BC上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），

所以x+2y=l,又無(wú)>0,y>。，

^-+-=^-+-^（%+2）；）=1+^+—+4>5+2=

xyy）xy'xy

當(dāng)且僅當(dāng)空=生，即％=y==時(shí)等號(hào)成立.

xy3

故答案為：9.

11.（2022秋?廣西欽州?高二?？茧A段練習(xí)）已知AB,C三點(diǎn)不共線，。為平面ABC外

_.1_.1—,—.

一點(diǎn)，若向量。尸且點(diǎn)尸與AB,C共面，則實(shí)數(shù)4=.

【答案】I

O

【詳解】由于點(diǎn)P與A，B,C共面，AB,C三點(diǎn)不共線,

故存在實(shí)數(shù)羽y,（羽y不同時(shí)為o）,使得Q=/,

即而=（1_天_〉）況+天麗+,灰,

—1—1——111

ffuOP=-OA+-OB+WC,（^-+-+2=1,即得2=—,

32326

故答案為：—■

6

12.（2022秋?黑龍江黑河?高二校聯(lián)考期末）已知尸，A,B,C四點(diǎn)共面，對(duì)空間任意一點(diǎn)

O,^OP=2OA+OB+tOC，貝"=.

【答案】-2

【詳解】AP=OP-OA=OA+OB+tOC

BP=OP-OB=2OA+tOC

CP=OP-OC=2OA+OB+（t-l）OC

P,A,B,C四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)肛"，使得瓦=俏麗+〃在

所以次+無(wú)+/反=根（2蘇+/反）+〃（2況+無(wú)+。一1）反）

即OA+OB+tOC=（2m+2w）OA+nOB+^mt+nt-n）OC

2m+2n=l

所以＜〃=1,解得機(jī)=一工,〃=1/=一2

2

mt+nt-n=t

故答案為：-2

四、解答題

13.（2023秋?北京昌平?高一統(tǒng)考期末）如圖，在口ABC中，AM=^AB,BN=^BC

AB=a,AC=b.

⑴用工范表示前，荻；

—?5f1-

⑵若尸為口45。內(nèi)部一點(diǎn)，且AP=a+:乩求證：三點(diǎn)共線.

71274

___.1_1_

【答案】⑴前=B-7MN=-b+-a

⑵證明見(jiàn)解析

【詳解】⑴由題圖，BC=AC-AB=b-a，

----.——??1——?2——?I一一2一I-I-

MN=BN-BM=BC+AB=(/?—〃)+a=b+a.

232326

(2)由麗7+俞+就+國(guó)」Q+衣」前二匕+刃」@_力=9%+與,

3323262

—?5一1——?1——?1—?

^AP=~a+-b,所以4P=5AM+/AN,故M,尸,N三點(diǎn)共線.

14.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知DABC中，AB=2,AC=1,ZBAC=120°,AD為角平分線.

A

Cl）求A。的長(zhǎng)度；

（2）過(guò)點(diǎn)。作直線交AC的延長(zhǎng)線于不同兩點(diǎn)E,尸，且滿足凝=尤而，AF=yA^,

求工+2的值，并說(shuō)明理由.

xy

2

【答案】（1）AD=-；（2）3,理由見(jiàn)解析.

【詳解】（1）根據(jù)角平分線定理：盥=普=2,所以黑=：，

DCACnC3

LAB+-AB-AC+-AC-

=9999999

2

所以=

（2）因?yàn)檐?x而，AF=yAC,

―?1—?2—?1―?2—?

所以AO=￡AB+WAC=TA￡+TA尸,

335x3y

因?yàn)?三點(diǎn)共線，所以導(dǎo)

所以工+二=3.

xy

15.（2023?高一單元測(cè)試）（I）如圖1,是平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，且A與8不重合，P

是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)C在直線上，試證明：存在實(shí)數(shù)4,使得：PC=APA+（1-A）PB.

（II）如圖2,設(shè)G為NABC的重心,尸。過(guò)G點(diǎn)且與AB,AC（或其延長(zhǎng)線）分別交于P,Q點(diǎn)，

若麗=〃?而，AQ=nAC,試探究：工+工的值是否為定值，若為定值，求出這個(gè)定值;

mn

若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Q

【答案】解：（I）見(jiàn)解析；（n）見(jiàn)解析.

【詳解】（I）由于AB,C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)4