第27講 圓錐曲線上四點(diǎn)共圓問題-2023屆新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義

第27講圓錐曲線上四點(diǎn)共圓問題

一、問題綜述

四點(diǎn)共圓問題本屬于平面幾何內(nèi)容，是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的高頻考點(diǎn)，近年來，圓錐曲線中的四點(diǎn)共圓問題也頻繁

出現(xiàn)在高考試題中.這類試題將圓錐曲線與四點(diǎn)共圓有機(jī)地結(jié)合在一起，重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能

力，由于問題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量打，大多考生望而生畏，或者在計(jì)算時(shí)半途而廢.

解決四點(diǎn)共圓問題，主要涉及的知識(shí)有（1）由圓的定義，利用圓心到圓上各點(diǎn)的距離相等；（2）利用相交

弦定理（3）利用圓的弦心距d,半弦長(zhǎng)和和半徑構(gòu)成直角三角形（4）利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，既可

以用勾股定理，也可以用斜率方法。當(dāng)然，如果利用曲線系方程或者參數(shù)方程，則可減少計(jì)算量，甚至起到事

半功倍的效果.

下面先用曲線系方程給出圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的一個(gè)充要條件的統(tǒng)一證明：

圓錐曲線上四點(diǎn)共圓定理1：

若兩條直線y=+&（;=1,2）與圓錐曲線ax?+6），+cx+"y+c=O卜/工6）有四個(gè)交點(diǎn)，則四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要

條件是匕+&=0

證明：兩直線組成的曲線方程為化x-y+4）（&x-y+d）=0,則過四個(gè)交點(diǎn)的曲線方程可設(shè)為

2

（kyX-y+b^iji^x-y+b2）+A,{cvC+by+cx+dy+e^=G①

必要性：若四點(diǎn)共圓，則方程①表示圓，那么①式左邊展開式中盯項(xiàng)的系數(shù)為零，即有人+為=（）.

充分性：當(dāng)勺+&=0時(shí)，令①式左邊展開式中Vy2項(xiàng)的系數(shù)相等，得"[+助=1+勸，聯(lián)立解得&=—%,

兀=皿，將其代入①式，整理得f+y2+c%+小y+e，=o②

a-b

下面參數(shù)方程給出圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的另一個(gè)充要條件的統(tǒng)一證明：

圓錐曲線上四點(diǎn)共圓定理2：

若A、B、C,。為有心圓錐曲線，加2+〃丁=1（，"#"）上四個(gè)不同的點(diǎn)，且直線赫與CD交于點(diǎn)E,與CD的

傾斜角分別為外尸，則A、B、C、。四點(diǎn)共圓的充要條件是

證明：設(shè)￡（%,%）,則直線4?參數(shù)方程為F=%+'c°sa（f為參數(shù)），代入加+江=1

[y=yQ+Esina

2

整理得（/ncos?a+nsina^r+2（/nr0cosa+nyQsina）t+{nvQ+ny^-1）=0

則|剛陽(yáng)=*=叫+加二,同理得因|E*叫：極二

mcos~a+nsin-amcos~p+p

因?yàn)锳、B、a。四點(diǎn)共圓的充要條件是|￡4|怛3|=但?；ㄎ?/p>

所以"2cos2a+nsin2a=zncos2（3+nsin20

即加+（及一/H）sin2a=m+^n-/w）sin2P

因?yàn)樗詓in?a=sin",又。，/《。，乃），所以sina=sin/?

而直線A8與CZ）相交，所以aw力，由sina=sin萬得a+￡=i

綜上所述，A、B、C、。四點(diǎn)共圓的充要條件是夕+/=乃，

當(dāng)直線A8與8斜率均存在時(shí)，即直線AB與CD斜率互為相反數(shù).

利用上述定理，則在選填中可以“秒殺”圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的高考難題.下面不加證明地給出以下結(jié)論：

結(jié)論1已知拋物線C：V=2內(nèi)（p>0）的焦點(diǎn)為點(diǎn)F,過點(diǎn)F的直線/與C相交于A5兩點(diǎn)，若的垂直平

分線/'與C相交于M,N兩點(diǎn)，貝IJA、/、B、N四點(diǎn)在同一圓上，則/的方程為x-y-5=O或x+y-^=O

結(jié)論2若A8是標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線上的兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與該圓錐曲線相交于C、O兩點(diǎn)，則

A、B、C、。兩點(diǎn)，則A、B、C,￡>四點(diǎn)共圓的充要條件是砥0=1或砥&=-1

結(jié)論3若A、C、B、。是標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線上的順次四點(diǎn)，則A、C、B、。四點(diǎn)共圓的充要條件是四邊形AC8D的

兩組對(duì)邊、兩條對(duì)角線所在的三對(duì)直線中直線中一對(duì)直線的傾斜角互補(bǔ).

二、典例精析

例1.（2014全國(guó)大綱卷文數(shù)22理數(shù)21）已知拋物線。：丫2=22*（0>0）的焦點(diǎn)為尸，直線y=4與y軸的交點(diǎn)

為P,與C的交點(diǎn)為Q,且|QF|=jpQ|.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過尸的直線/與C相交于A,8兩點(diǎn)，若的垂直平分線/'與C相交于M,N兩點(diǎn)，且四點(diǎn)在

同一個(gè)圓上，求直線/的方程.

Q

解析：⑴設(shè)Q（%,4）,代入丁=2px（p>0）中得/=—,

P

所以=\QF\=P+Xo=P+l,由題設(shè)得“+§=解得p=-2（舍去）或p=2

p22p2P4P

所以C的方程為V=4x.

（2）解法一：通法

依題意知直線/與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)直線I的方程為x=加），+1,0）代入V=4x中得9-4沖-4=0.

-42

設(shè)A（X1,y）,B（x2,y2）,則y,+y2=4m,弘必二?故AB的中點(diǎn)為D（2m,

|4叫=Jl+n721yl-%|=川+/+yj-4yM=4（/+i）

又/'的斜率為TH,且『過AB的中點(diǎn)為￡>（2病+1,2旭>故直線/'的方程為：x=-—y+2m2+3,

將上式代入y?=4x中，并整理得y?4—y—4（2m2+3）=0

4

設(shè)〃（工3，%），可（工4，乂），則以+M=---，y3y4=T（2加2+3）

m

（?.?A,Ii-,,4（疝+1）/+1

故MN的中點(diǎn)為七信+2療+3,—',|MN|=，1+3為-”|二二----%-------.

由于MN垂直平分X5,故AMB,N四點(diǎn)在同一個(gè)圓上等價(jià)于|AE|=|BE|=g|MN|,從而

如B「+|時(shí)=軻時(shí),即4"+1Y+"+￡|2+信+2尸（"+弁2+1）

化簡(jiǎn)得加2一1=0,

解得帆=1或帆=-1,所以所求直線/的方程為x-y-l=O或x+y-l=O.

解法二：曲線系方程

設(shè)點(diǎn)A（S）,8（x,,y,）,直線/與「的交點(diǎn)為P（〃?,〃），貝#:='，兩式相減整理得

￡=也

且二&=」_,即&=2,從而號(hào)=一2

"%%+、2〃2

直線/的方程為丫=：（工-1）,直線r的方程為y=-%x-M+〃，從而過AM,民N四點(diǎn)的曲線系方程為

2

y-4x+2|j?--(x-1)||y+^(x-w)-n=0

n

上述方程表示圓，則Y,尸的系數(shù)相等且孫的系數(shù)為零

1+2=—2

則,助22，得力二一一，〃=±2，所求直線/的方程為x-y-1=0或x+y-l=0.

—=—2

2n

解法三：參數(shù)方程

設(shè)點(diǎn)尸小,為）,直線/的傾斜角為a,則直線/的參數(shù)方程為[x=">+'c°sa（f為參數(shù)）

[y=y0+ts\na

2

代入拋物線方程y=4x,整理得卜in?a）/+^2yQsina-4coscr）r+-4x0=0

設(shè)A,8兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為乙名，則\PA\-\PB\=\tttA=某一4玉）

sin**a

由于/'是A3的垂直平分線，則/'的傾斜角為1+a,則點(diǎn)M,N對(duì)稱的參數(shù)分別為如〃，則

|尸叫|叫=也|=

cos2a

/一4%

因?yàn)锳M,8,N四點(diǎn)共圓，所以由相交弦定理得|尸A"P8|=|尸即

）二?cos2a

解得tana=±l,所以/的方程為y=±（x-l）

即直線I的方程為工-y-1=0或x+y-1=0.

【方法感悟】解法一中，MN的中點(diǎn)E就是A、M.B、N四點(diǎn)所在圓的圓心，故可將四點(diǎn)共圓的條件轉(zhuǎn)化為圓

心E到四點(diǎn)的距離相等，從而得到|A目=忸4=g|MN|,進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化為先求線段A3的中點(diǎn)。、線段MN的

中點(diǎn)E的坐標(biāo)以及|AB|和|MN|,這是解析幾何中的常規(guī)問題，通常是聯(lián)立方程組后結(jié)合韋達(dá)定理來處理，但計(jì)

算量較大.

解法二利用曲線系，使得計(jì)算量大大地簡(jiǎn)化.利用曲線系方程解決四點(diǎn)共圓問題的步驟如下：①找出兩條直

線，則兩條直線上的四個(gè)點(diǎn)在某條曲線上.②找出過這四個(gè)點(diǎn)的曲線構(gòu)造等式，③通過已知條件對(duì)比某些項(xiàng)的系

數(shù)，從而求解出未知數(shù).

解法三利用參數(shù)方程，并結(jié)合相交弦定理，讓人耳目一新.

例2（武漢市2016屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研測(cè)試?yán)頂?shù)12題）設(shè)直線y=3x-2與橢圓-總+，=1交于A3兩點(diǎn),

過點(diǎn)4,8的圓與「交于另外兩點(diǎn)C,。，則直線CO的斜率&等于（）

A.--B.-3C.-D.-2

32

解析：由定理知砥8+g。=0,故選B.

例3（2016四川文數(shù)21）已知橢圓E：「+5=1（。＞人＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三

ab-

個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)尸（G,；）在橢圓E上.

（1）求橢圓￡的方程；

（H）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為1的直線/與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,線段4?的中點(diǎn)為M,直線與橢

2

圓E交于C,D,證明：4HM

1

■y2—

解析：（I）由已知，a=2b,又橢圓三+京?=l（a＞b〉0）過點(diǎn)P（6,g）,故白+興=1,解得82=1.

2

所以橢圓￡的方程是J+y2=i.

4

（H）解法一：常規(guī)方法

設(shè)直線I的方程為y=QX+皿加工0),,B(x2,y2)

o

Xi

---b(y2=1

由方程組|4聯(lián)立得/+23+2/-2=0①

1

V=-X+77?

「2

方程①的判別式為△=4(2->)，由△>(),即2-加>0,解得-^vmv血

2

由①得+x2=-2m,=2m—2

所以M點(diǎn)坐標(biāo)為,機(jī)葭,直線OM方程為y=-;x

222

-x2)+(j(-y2)]=-^[(x,+x2)-4X[X2]

lo

=—(4/n2-4(2w2-2)]=-(2-m2).

164

所以4HM@=|阿?.

解法二：同解法一，求出直線OM方程為y=-gx

則易知直線AB,CD的斜率互為相反數(shù)，由定理知A,B,C,D四點(diǎn)共圓,

再由相交弦定理得|加4卜阿8|=四4四￡>|

【方法感悟】(I)由橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可得。=?,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中

可減少一個(gè)參數(shù)，再利用P(6」)在橢圓上，可解出b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II)解法一：首先

2

設(shè)出直線/方程為y=gx+w,同時(shí)設(shè)交點(diǎn)A&,%),8(%,%)，把/方程與橢圓方程聯(lián)立后消去y得x的二次方

程，利用根與系數(shù)關(guān)系，得玉+x2,xxx2,由|A/A|-|A/B|求得(用機(jī)表示)，由OM方程y=-gx

具體地得出C,￡>坐標(biāo)，也可計(jì)算出|〃。卜|皿|,從而證得相等.解法二：利用圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的充要條件,

求出QW方程后，知直線A3,8的斜率互為相反數(shù)，于是ARC。四點(diǎn)共圓，再由相交弦定理得

|A//4|-|MB|=|MC|-|M￡)|,這樣減少了計(jì)算量。

例4.(2011全國(guó)大綱卷理21)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：=［在丁軸正半軸上的焦點(diǎn)，過p且

_ULILILU1UUU1

斜率為的直線/與。交與A、3兩點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)滿足。4+。3+。尸=0.

(I)證明：點(diǎn)P在C上；

(II)設(shè)點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q,證明：4、尸、B、。四點(diǎn)在同一圓上.

2

【解析】⑴F(0,1),/的方程為廣-后+1,代入f+《=1并化簡(jiǎn)得

4X2-2A/2X-1=0.

設(shè)44凹),3。2，%)，尸(七，%)，則用=與述，*2=烏遠(yuǎn)，

44

四廠

%+%=3，y+必=一，2(玉+%2)+2=1,

6

由題意得芻=—(%+x2)=..-,必=—()1+%)=-1

所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為

2

經(jīng)驗(yàn)證點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足方程f+二=1,故點(diǎn)P在橢圓C上

k27乙2

(II)解法一：

由尸和題設(shè)知，Qpf'1'PQ的垂直平分線4的方程為

啦

V=-----X.①

2

設(shè)A3的中點(diǎn)為M,則M,AB的垂直平分線4的方程為

y=JiX+-.②

-24

由①、②得4、，2的交點(diǎn)為.

88

2

1A8|=Jl+(-V2)gx2_玉|=4二，

|NA|=7lAM|2+1MN|2=,

8

故|NP|=|N4|,

又INPRNQI,\NA\=\NB\,

所以|24|=|NP|=|N3h|NQ|,

由此知A、P、B、0四點(diǎn)在以N為圓心，N4為半徑的圓上.

>1-（-1）

x「（一專）%一（一爭(zhēng)

（II）解法二:tan/APB="像-

1+kk/）1-（-1）%-（-1）

PAPB1+^7F

西一（-彳）々-（一彳）

________3（_一-）_______4（x,-%,）

--372\~9~-3-

3中2---/（XI+x2）+2

同理

（占一々）4（々一%）

3-

+&）+/

所以NAPB,NAQB互補(bǔ)，

因此A、P、B、。四點(diǎn)在同一圓上.

解法三：由（I）知道P-亭，-1］，因?yàn)槭?、°、。三點(diǎn)共線，易求得直線PQ的方程為y=又直線AB的

方程為》=-。+1,兩直線斜率互為相反數(shù)，由定理知A、P、B、。四點(diǎn)在同一圓上.

【方法感悟】本題涉及到平面向量，有一定的綜合性和計(jì)算量，完成有難度.方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理是解決這類

問題的基本思路，注意把。A+。B+。尸=O.用坐標(biāo)表示后求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再結(jié)合直線方程把P點(diǎn)的縱

坐標(biāo)也用A、8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出來.從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程驗(yàn)證即可證明點(diǎn)P在C上：

（II）此問題證明有兩種思路；思路一：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據(jù)兩條弦的垂

直平分線的交點(diǎn)找出圓心N,然后證明N到四個(gè)點(diǎn)A、P、B、。的距離相等即可.

思路二：關(guān)鍵是證明NAP8,N4Q8互補(bǔ).通過證明這兩個(gè)角的正切值互補(bǔ)即可，再求正切值時(shí)要注意利用到角

公式.

思路三：運(yùn)用關(guān)于圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的充要條件的定理.

三.鞏固練習(xí)

22

1.（2018屆武昌5月調(diào)研理數(shù)12）已知過橢圓￡：上+匯=1的左焦點(diǎn)廠的直線/與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，線

43

段A5的垂直平分線交橢圓于G。兩點(diǎn)，若AC_L4D,則直線/的斜率為（）

A.立或-及B.1或-1