2023-2024學(xué)年湖北省部分市州高二年級(jí)上冊(cè)元月聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年湖北省部分市州高二上冊(cè)元月聯(lián)考數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.直線?-y=o的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【正確答案】B

【分析】由直線方程求斜率，根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系可直接求解.

【詳解】由題得直線的斜率左=百，設(shè)直線的傾斜角為夕，貝Utana=石，

V0°<a<180°,所以a=60。.

故選：B.

2.已知向量￡=(-1,2,1),，=(3,x,y),且那么x+y=()

A.-9B.-8C.9D.18

【正確答案】A

【分析】由空間向量平行得到方程組，求出'J的值，得到答案.

【詳解】依題意，由力/，可知，2AGR,使得二4，

于是j2=4%,解得產(chǎn)=-6,于是x+y=-9.

1=Ayy=-3

故選：A

3.若等差數(shù)列｛a.｝滿足%+4+%=24,則％=()

A.3B.6C.8D.12

【正確答案】C

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)等差中項(xiàng)，可知％+%=2%，

因?yàn)?+4+%=3怎=24,所以4=8.

故選：C.

22

4.已知雙曲線5-5=1a>06>0的離心率為0,則此雙曲線的漸近線方程為（）

ab

A.y-土拒xB.y=±y[lx

C.y=+2xD.y=±x

【正確答案】D

【分析】利用雙曲線的離心率結(jié)合雙曲線dAc的關(guān)系和漸近線方程求解即可.

22

【詳解】因?yàn)殡p曲線吞-馬=1〃>06>0的離心率為亞，

ab

￡=尤b

所以。，解得士=i,

c2=a2+b2a

所以雙曲線的漸近線方程為y=±x,

故選：D

5.直線x+y-4=0分另1J與x軸，軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓丫2+必+以+2=0上，則PAB

面積的最大值是（）

A.472B.3石C.16D.8

【正確答案】C

【分析】先求得|力用，然后利用點(diǎn)到直線距離公式，求得圓上的點(diǎn)到直線的最大距離，

由此求得P48面積的最大值.

【詳解】在x+y-4=0中，令>=0,得x=4,令x=0,得y=4,

所以4（4,0）,8（0,4）,所以|/8|=4&,

由/+/+4*+2=0化為（x+2y+/=2,

所以圓心為C（-2,0）,半徑/=血,

|-2+0-4|

所以圓心C到直線x+y-4=0的距離d=

Vi+T

所以點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離人41+,.=3亞+收=4后,

所以P/8面積的最大值為:x40x40=16.

故選：C.

6.已知數(shù)列｛/｝滿足％+&++4,=q〃+3),neN',則。“=()

A.2nB.2n+2

C.n+3D.3〃+l

【正確答案】B

【分析】根據(jù)見(jiàn)的關(guān)系求解.

【詳解】Va]+a2++4=以〃+3),當(dāng)〃=1時(shí)，％=4,

當(dāng)〃22時(shí)，。〃=〃(〃+3)-(〃-1)(〃+2)=2〃+2,

〃=1時(shí)，卬=4也適合此式，

?，?%=2〃+2,/?GN*,

故選:B.

7.設(shè)點(diǎn)/是拋物線/=2px(p>0)的焦點(diǎn)，/是該拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)拋物線上一點(diǎn)力作準(zhǔn)

線的垂線垂足為8,射線/尸交準(zhǔn)線/于點(diǎn)C,若|/a=2,忸C|=2萬(wàn)，則拋物線的方

程為()

A.y2=xB.y2=2x

21

C.y7=4xD.y=-x

【正確答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義及性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：由題意得：

\AB\=2,|5C|=2^3,AB1BC,所以tanNC/8=^=百

可得NC/8=60。，由拋物線的定義得M日

所以△四尸是等邊三角形，所以p=g忸尸卜=所以拋物線的方程是/=2x.

故選：B

8.在第24屆北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式上，一朵朵六角雪花飄拂在國(guó)家體育場(chǎng)上空，暢想著“一起

向未來(lái)”的美好愿景.如圖是“雪花曲線'’的一種形成過(guò)程：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊

分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這

一過(guò)程.若第1個(gè)圖中的三角形的周長(zhǎng)為1,記第“個(gè)圖形的周長(zhǎng)為S,為數(shù)列｛〃(｝的

前〃項(xiàng)和，則S,=()

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意求出每個(gè)圖形的邊長(zhǎng)及邊數(shù)，即可求解.

【詳解】解：由題意，當(dāng)〃=1時(shí)，第1個(gè)圖中的三角形的邊長(zhǎng)為:，三角形的周長(zhǎng)為

氏=3rx_1=?]；

3

當(dāng)〃=2時(shí)，第2個(gè)圖中“雪花曲線”的邊長(zhǎng)為1x1=2丫，共有3x4條邊，

33

其“雪花曲線”周長(zhǎng)為%=3x4x[J=：；

當(dāng)〃=3時(shí)，第3個(gè)圖中“雪花曲線”的邊長(zhǎng)為其x>]),

共有3x42條邊,其“雪花曲線”周長(zhǎng)為%=3x4?

，所以〃q=〃x

圖+3嗚)+.?.+*)①

于是，=lxl+2x

夫=以沁停)+3、@+...+陪)②

由①一②，得一;工=1+'+(：[+…+￡[

JIT-nx4

則S“=(3"-9)(g)+9.

故選：A.

二、多選題

9.若圓(x-2)2+(y+l)2=4上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線3x+4y-m=0的距離為1,則“的取

值可能是()

A.7B.2C.-3D.-8

【正確答案】AC

【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，寫出圓心到直線的距離，利用已知條件列出方程即可求

解.

【詳解】解：由題意得：

圓"2)2+(y+l)2=4的圓心為(2,-1),半徑為2,

又由題意：圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線3x+4y-〃?=0的距離為1,

則圓心到直線3x+4y-/n=0的距離為1,即%削=1,

解得：加=7或〃7=-3.

故選：AC

10.已知橢圓。:二+匕=1內(nèi)一點(diǎn)A/仔力

上、下焦點(diǎn)分別為耳，6,直線/與橢圓C交

48U3；

于A,8兩點(diǎn)，且M為線段Z8的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,（-2,0）B.橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4夜

C.直線/的方程為x+y-2=oD.Q/8的周長(zhǎng)為8啦

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)橢圓方程可直接判斷A、B的正誤；設(shè)“看,必），8（々,外），代入橢圓方程,

作差，即可求出MB，進(jìn)而求得直線/的方程，即可判斷C選項(xiàng)；又直線/經(jīng)過(guò)片，結(jié)合橢圓

的定義即可求得瑞的周長(zhǎng)，進(jìn)而判斷D選項(xiàng).

【詳解】由橢圓方程知：焦點(diǎn)在V軸上，且a?=8，/=4,‘2=/-/=4,

即。=2，6=2，c=2，

所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,（0,-2）,故A錯(cuò)誤;

橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=40，故B正確:

恒+d-1

48

由題意，可設(shè)乂），（，），貝卜

4?,8x2%22

三+三=1

148

兩式作差得（%+%）（王一工）+（必+”）（必一為）

=0，

48

8（一+々）8、|

8（西+%）2

即39==4,

4（乂+%）-4（%+力）-4*4

23

4工_§],即x+y_2=0,故C正確;

所以直線/的方程為=

由C知，直線/過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)月,

根據(jù)橢圓的定義，所以用“8的周長(zhǎng)為4a=8/，故D正確.

故選：BCD.

11.已知數(shù)列｛〃“｝滿足+”,+|=2x（-1）",且%=1，貝！I（）

A.q=-7B.數(shù)列他,1｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列Ml｝是等差數(shù)列D.數(shù)列［三一1的前"項(xiàng)和為許二

【正確答案】AD

【分析】利用遞推公式求《,外，%，%判斷ABC,按〃為奇數(shù)和偶數(shù)討論得到的通項(xiàng)公

式，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列」一的前〃項(xiàng)和判斷D.

【詳解】對(duì)A,因?yàn)?+%=2x(-1)",%"

所以4=2-〃5=1，%=-2-。4=一3,。2=2-%=5,%=-2-〃2=-7,故A正確；

對(duì)B,因?yàn)?2=9入回，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤;

對(duì)C,因?yàn)?同住同+同，所以數(shù)列｛㈤｝不是等差數(shù)列，C錯(cuò)誤;

對(duì)D,當(dāng)〃=24-l(%eN*)時(shí)，an+a?+l=-2,all+i+an+2=2,兩式相減得，an+2-an=4,

所以｛勺｝的奇數(shù)項(xiàng)是以-7為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，?！?-7+4、(等-1)=2〃-9,

當(dāng)”=2上(％eN*)時(shí)，an+a?+l=2,a?+l+a?+2=-2,兩式相減得，a?,2-a?=-4,

所以｛《,｝的偶數(shù)項(xiàng)是以5為首項(xiàng)，-4為公差的等差數(shù)列，”,,=5-4x(g-l)=9-2〃；

所以%=(-1)"*'(2〃-9),6%=(-1)"*'(2"-9).(-l)z(2〃-7)=-(2〃-9)(2"-7),

設(shè)b“=-----,貝?。荨?一

a,4+i(2n-9)(2?-7)

所以4+打+b3H---\-b???+

111

272w-7

故選：AD

12.如圖，正三棱柱Z8C-中，AA,=AB=2t點(diǎn)P在線段8。上(不含端點(diǎn))，則()

A.不存在點(diǎn)P,使得8P

B."BP面積的最小值為軍

7

C.尸/+尸8的最小值為25+6

D.三棱錐B.-PAB與三棱錐C,-PAC的體積之和為定值

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)給定的幾何體，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算判斷AB；把

ABC88c放置于同一平面內(nèi)，計(jì)算兩點(diǎn)間距離判斷C；利用等體積法計(jì)算判斷D.

【詳解】在正三棱柱Z8C-48G中，取8C的中點(diǎn)。，連接04

則。418C,又底面N8C,則

又B、BcBC=B,818,8Cu平面CBS?,

所以40_L平面CBBG,在平面CBBG內(nèi)作Oz8C,

以。為原點(diǎn)，直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?4=48=2,所以力（0,宕,0）,S（-l,0,0）,C（l,0,0）,B,（-1,0,2）,

設(shè)P（x/,z）,則C方:（x-l,y,z）,CB：:（-2,0,2）,

設(shè)貝iJ（x-l,y,z）=7（-2,0,2）,

x—1=-2丸x=l-22

所以,y=0,y=0,則尸(1一22,0,22).

z=2Zz=24

對(duì)于A,AB,=(-1,-^3,2),5/:(2-2九0,2/1),

要使則/屋8方:一以(2-2彳)+4/1=0,解得2=；,

所以當(dāng)CP=§C用時(shí)，存在點(diǎn)P,使得故A不正確;

對(duì)于B,筋;卜1,-6,0),方:(1-2/1,-6,2/1),

設(shè)NPAB=0,則cos。=cosAB,AP=微簫=饋，

回『-(1+球_J772-66+3

所以sin。=[H=朋

則S，.=；?8H/P|-sinN8/P=；x2x|/P|>'7，：：：2

NZI力門

因?yàn)?<2<1,所以當(dāng)4=5時(shí)，$△加>取得最小值點(diǎn)=2尹，故B正確;

對(duì)于C,將△850和V/8C沿AC展開(kāi)在同一平面內(nèi)，如圖,

連接48交AC于點(diǎn)T,可知2(+PB2ZB,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)T重合時(shí)取得最小值48,

依題意，AC=BC=BB、=2,AB、=B、C=2近,

mi,cnt8+8-43

則cosZCB.A=———=-,smZCB,A=—,

2x8414

/z7A(//PC71)3V2V741_3/2->/u

所以cos//8B]B8=cos|/ABCT—=-x—----x—=---------

'I14J42428

在48月中，由余弦定理，得

AB1=AB；+BB；-2x“4xBB】xco山B、B=(2級(jí)-2x2志2x些;6+2，,

則AB=V6+2V7，即P4+PB的最小值為向3萬(wàn)，故C不正確；

對(duì)于D,'B、-P4B+，C,-P*C='a-PBB]+'a-PCC1=3°4(SPBB\+S尸cc,)=5X5X2X,故

D正確.

故選：BD.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問(wèn)題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開(kāi)并放在

同一平面內(nèi)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短解決是關(guān)鍵.

三、填空題

13.直線/過(guò)(3,1)且與圓，+/一2》一2了-2=0相切，則直線/的方程為.

【正確答案】x=3

【分析】求出圓心和半徑，判斷點(diǎn)(3,1)與圓的位置關(guān)系即可求解作答.

【詳解】由圓的方程f+丁—2x-2y-2=0,得一lf=4,此圓的圓心為(1,1),

半徑為2,

顯然點(diǎn)(3,1)在圓(x-l)2+("l)2=4上，因此直線/垂直于經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)、點(diǎn)(3,1)的直線y=l,

所以直線/的方程為x=3.

故x=3

14.已知向量維(2,0,2),6=(0,2,-1),<H=(3,4,m),若向量九b,5共面，則實(shí)數(shù)加的

值為

【正確答案】1

【分析】依題意可得存在實(shí)數(shù)X,y使得從得到方程組，解得即可.

【詳解】解：因?yàn)橄蛄可蟗，Z共面，所以存在實(shí)數(shù)x,V使得2x2癡;

3

x=—

2x=32

即(3,4，M=(2x,2y,2x7),所以2y=4,解得，y=2.

m=2x—ym=1

故1

15.中國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“二百五十二里關(guān)，初行健步不為

難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：“有

一個(gè)人走252里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了

6天后到達(dá)目的地則此人第三天走的路程為里.

【正確答案】32

【分析】先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式求解即

可.

【詳解】由題意得此人每天走的路程依次可構(gòu)成公比為9的等比數(shù)列且前6項(xiàng)和為

252.

設(shè)首項(xiàng)為4,則有1解得q=128,

1--

2

所以。§=/42=128x(g)=32.

故32

16.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射,

2

其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線￡：4_y_ia>0b>0的左、

a

右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)”從巴發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的48兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和

【分析】設(shè)忸聞=5加(加>0),由三角函數(shù)表達(dá)出其他邊長(zhǎng)，由雙曲線定義求出2a=3機(jī)，從

而利用勾股定理求出c=畫〃1,從而得到離心率.

2

【詳解】如圖，由8。,tanZ.CAB=—＞可得tanN6力8=五，

在Rt48耳中,由tanN耳43=卷,不妨設(shè)忸耳|=5加（掰＞0）,則|/8|=12相,

由勾股定理得|工用=13加，

又由雙曲線的定義可得以用=13加-2a,\BF^5m-2a,

根據(jù)|/用+忸閭=|/卻可得（13利-2a）+（55-2a）=12m,解得2a=3"?,

所以忸/初=5〃?-3加=2加,忸6|=忸用+24=2〃7+3加=5）？,

故在Rt《8心中，忸用2+忸劇2=恒/「，即4c2=4優(yōu)2+25/=29m2,

斯加

nxc=---m，

2

故雙曲線E的離心率為e=￡=l"x2-=叵.

a23m3

故答案為.叵

3

四、解答題

17.在等差數(shù)列｛6J中，已知％="，⑤=124.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列他J滿足”=。產(chǎn)（〃€N*）,求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和T?.

【正確答案】⑴%=3〃+2

=+2〃

(2)〃=3"+2,7；,=

2

【分析】（1）求得等差數(shù)列｛《,｝的首項(xiàng)和公差，由此求得《,?

（2）結(jié)合（1）以及分組求和法求得〃以及4.

%+21=11

【詳解】（1）設(shè)｛/｝的公差為d,依題意可得。8x7「

8a+---d=124

'2

解得q=5,d=3,

所以%=a}4-(/?-1)^=3/7+2；

(2)依題意=3X3"T+2=3"+2,

3+=j

所以7；=h]+b2+---+bn+2〃?

2

18.已知雙曲線c：1上=1a>0b>0的實(shí)軸長(zhǎng)為2,直線2x+y=0為雙曲線C的一條漸

a

近線.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）直線^=丘-2與雙曲線。相交于不同兩點(diǎn)，求左的取值范圍.

2

【正確答案】⑴/-匕=1

4

（2）（-2讓,-2）5-2,2）o（2,2/2）

【分析】（1）依題意可得a=l,再由雙曲線的漸近線求出6,即可得解；

4一公工°

（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去y得到關(guān)于％的方程，依題意可得LA，解得即可.

A>0

22r

【詳解】（1）由雙曲線C:二-與=1可得漸近線方程為y=±g,

a-ba

?實(shí)軸長(zhǎng)為2,：.2a=2,即a=l,

?.?直線2x+y=0為雙曲線C的一條漸近線，

故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=1；

4

（2）解：雙曲線Y上=1與直線y=Ax-2聯(lián)立得產(chǎn)？=

4y=kx—2

消去夕整理得(4-&2)/+4h一8=0,

因?yàn)橹本€？=履-2與雙曲線C相交于不同兩點(diǎn)，

4-二工0

所以有A12,2\(6八，解得?。?且％2r4,

A=16公-4aI^a4-kz)-(-8)＞0

即一2后＜女＜一2或一24＜2或2＜左＜20，

所以力的取值范圍為：(-2a,-2)5-2,2)u(2,2/2).

19.已知圓產(chǎn)經(jīng)過(guò)/(6,0),8(-4,0)兩點(diǎn)，與f+/=i6圓相切.

(1)求圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線〃?x-y+5=0與圓尸相交于不同的兩點(diǎn)M,N,且線段MN的垂直平分線在兩坐標(biāo)

軸上截距之和為12〃?，求實(shí)數(shù)加的值.

【正確答案】(l)(x-4+'=25

(2)加=一；

【分析】(1)由題意，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法，建立方程組，可得答案；

(2)利用分類討論，根據(jù)兩直線位置關(guān)系，設(shè)出直線方程，由題意，建立方程，結(jié)合直線

與圓的位置關(guān)系，進(jìn)行檢驗(yàn)，可得答案.

【詳解】(1)設(shè)圓P的方程為(x-a)2+(y-b)2=/,

因?yàn)辄c(diǎn)8在圓一+必=16上，圓尸經(jīng)過(guò)/(6,0),8(-4,0)兩點(diǎn)，與/+/=16圓相切，

(6-a)2+(0-fe)2=r2/=i

所以，(-4-a)2+(0-b)2=〃，解得卜=0,

＞Ja2+b2=r-4［廠=5

所以圓尸的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(X-1)2+/=25

(2)若加=0,直線MMsx-y+5=0為y=5,與圓P相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，

故〃?WO.又弦A/N的垂直平分線必過(guò)圓心P(l,0),且MN的斜率為w,

所以線段MN的垂直平分線方程為y=-'(x-l),

m

當(dāng)x=o時(shí)，y=—^當(dāng)＞=。時(shí)，x=l,所以，+1=12加，即12〃/一加一1二o,

mm

解得：7或一，

因?yàn)閳AP的方程為：（x-iy+/=25,所以P（l,o）,半徑尸=5,

1〃7+5|

又直線A/N與圓尸相交，所以圓心。到直線MN的距離d,即/,二＜5,得團(tuán)＜0或

6+1

符合題意，即一?

20.如圖，在四棱錐尸一/8CD中，底面N88是直角梯形，AD1AB,ABDC,尸/_L底

?ABCD,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，AD=DC=AP=2AB=2

（1）證明：8后//平面以。；

（2）在棱PC上是否存在點(diǎn)尸，使得二面角尸-43-C的余弦值為典，若存在，求出名的

10PC

值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

PF1

（2）存在，—

【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形N8EG為平行四邊形，從而證明ZG〃BE,線面平

行；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)即.R二（22,2九-2/1）,04X41,利用二面角大小列出方

程，求出4=0,得到答案.

4

【詳解】（1）在PQ上找中點(diǎn)G,連接ZG,EG,如圖:

：G和E分別為PD和PC的中點(diǎn)，

/.EG//CD,且EG」CD,

2

又?.?底面是直角梯形，CD=2AB,ABI/CD,

：.AB//GE且AB=GE.即四邊形ABEG為平行四邊形，

AGIRE,

：/Gu平面BE2平面4D,

:.BE〃平面PAD,

(2)因?yàn)槭琋_L平面/BCD,48,2。u平面“BCD,

所以尸4_148,尸/_14),又ABLAD,

以工為原點(diǎn)，以所在直線為x軸，NO所在直線為y軸，N尸所在直線為z軸，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，

可得8(1,0,0),C(2,2,0),￡>(0,2,0),尸(0,0,2),PC=(2,2-2),

由F為棱PC上一點(diǎn)，設(shè)":/LPd:(2九2九一2/1),04/141,

AF=AP+PF=(24,2/1,2-22),4D=(0,2,0)

設(shè)平面處。的法向量為A(d“c),

3“+2助+(2-2力c=0…

由XT可得》八，解得：6=0，

n-AD=Q[26=0

令c=X,則。=4—1,則〃=(2一1,。,丸),

取平面ADC的法向量為.=(0,0,1),

則二面角尸-4。-C的平面角a滿足：|cosa|=W4=/囚_:=坐，

H-H川T)+力10

解得：8g+24-1=0，解得：義=1或4=-萬(wàn)(舍去)，

故存在滿足條件的點(diǎn)F，此時(shí)箓=；.

21.已知拋物線C：V=2px(p>0)上第一象限的一點(diǎn)尸(1/)到其焦點(diǎn)的距離為2.

(1)求拋物線C的方程和P點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過(guò)點(diǎn)M(2,-g)的直線/交拋物線C于/,B兩點(diǎn)，若N4PB的角平分線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),

求弦的長(zhǎng).

【正確答案】⑴y=4x,尸點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)

⑵4

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義可求出P,則可得拋物線方程，然后代入點(diǎn)P橫坐

標(biāo)即可求得.

(2)由題意可知直線斜率存在，設(shè)出直線方程以及交點(diǎn)坐標(biāo)，將直線方程帶入拋物線方程

化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后利用N/P5的角平分線與x軸垂直，可得%+%=0,化簡(jiǎn)

后求出所設(shè)直線斜率，然后帶入弦長(zhǎng)公式即可求得.

【詳解】(1)解：由題意得:

由1+5=2可得：p=2,

故拋物線方程為：y2=4x,

2

當(dāng)x=l時(shí)，y=4,又因?yàn)閥>0,所以y=2,

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)；

(2)由題意可設(shè)直線方程為x=/(y+|卜2,A(x?y,),B(x2,y2)

x==/yH—+2

由JI2),得/-4”-10-8=0

y2=4x

所以A=16產(chǎn)+4(10/+8)>0,M+%=4f,y,-y2=-10/-8

因?yàn)镹/PB的角平分線過(guò)焦點(diǎn)廠(1,0),

PF_Lx軸

所以%+%=0

cc必—2%一2人

所以3+%內(nèi)=胃+西=°,即5F；西

x-1-1--1-1

~44

即必+%+4=0,所以￡=一1

%+為=-4,必?%=2

4

所以以卸=Vl+r\yt-y2\=Jl+r)(必+%)2-4%力=-

22.已知橢圓C：—+親■=l(a>/?>0)的離心率為半，左、右焦點(diǎn)分別為耳，A，M,N

是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，|"劃+閨N|=2&.

(2)如圖，A,8為橢圓上不同的兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，直線0408的斜率之積為尸為射

線04上的點(diǎn)，10Pl=2|。4],線段尸8與橢圓交于點(diǎn)0,

①求\品PQ\的值;

②求四邊形OAQB的面積.

2

【正確答案】（1）5r+/=1

（2）?|；②陪

【分析】（1）根據(jù)離心率得到/=2萬(wàn),根據(jù)對(duì)稱關(guān)系得到a?=2,得到橢圓方程.

（2）設(shè)，（演,必）,B（x2,y2）,P（2X1,2凹）,得至lj項(xiàng)9+2乂乂=0,PQ=A.QB,計(jì)算得到。點(diǎn)

7

坐標(biāo)，代入橢圓化簡(jiǎn)得到答案；根據(jù)線段比例關(guān)系得到氧邊山022=15,.,考慮4Bx軸

時(shí)和AB與x軸不平行兩種情況，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算得到答案.

【詳解】（1）e="，故化簡(jiǎn)得/=2^=2（。2-〃），則/=2〃，

根據(jù)對(duì)稱性得陽(yáng)M=l瑪M，故EM+恒M=2&，即2a=2也,

所以/=2,b=l,故橢圓C的方程為土+/=1.

2

（2）①設(shè)/（七,必），以和力），則尸（242%），51,爭(zhēng)只=1，

,i凹外一1

又vk0%=一刀,—一^，王々+2必必=0,

A2.G人2

2x,+2x

x=—?!-----

1+2

設(shè)尸。=2。8，0（xj）,即（x-2演/一2必）=丸（工2一工，必一切，＜

2必+3%

1+2