2023-2024學(xué)年天津市河北區(qū)高三年級上冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年天津市河北區(qū)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測

模擬試題

本試卷分和兩部分，共150分，考試用時120分鐘.第I卷1至3頁，第II卷4至8頁.

第I卷（選擇題共45分）

注意事項：

1.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考號、科目涂寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條

形碼.

2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其他答案標號.答在試卷上的無效.

3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

如果事件A,3互斥，那么尸（/U8）=尸（Z）+P（8）

如果事件A,8相互獨立，那么P（/8）=P（Z）P（8）

球的表面積公式S=4TR2

4

球的體積公式"=］萬*

其中R表示球的半徑

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知全集2,3},集合"={0,1,2},S={-1,0,1）,則R/）C8=

A.{-1}B.{0,1}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3）

2.設(shè)xeH,則“一一5刀<0''是''1'-"<1''的

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)/（x）=|x|+J的圖象大致是（）

4.某班的全體學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40）,[40,60）,

[60,80）,[80』00].若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學(xué)生人數(shù)是（）

5.若。=唾3。.8,6=3°*,c=0.32J,則“，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

6.已知圓錐的高為3,底面半徑長為4,若一球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等，則該球的半徑長為

A.5B.75C.9D.3

7.設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，若4=4,$=72,則（）

A.20B.23C.24D.28

《-4■=1的焦距為10,點P(2,1)在C

8.已知雙曲線C：的漸近線上，則C的方程為

ab

AV入B/VDx2y2-1

D.----------------1

205520c舒豪I2080

9.已知函數(shù)/（、）=然由（5+夕）+刈。>09>0）的最大值是4,最小值是0,最小正周期是不直

線、=。是其圖象的一條對稱軸，則下列各式中符合條件的解析式是（）

A.y=4sinI4x+B.y=2sin^2x+y1+2

C.y=2sin(4x+￡)+2D.y=2sin^4x+yj+2

第II卷

注意事項：

1.答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚.

2.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答在答題紙上.

3.本卷共11小題，共105分.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙上.

10.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)、=______.

3+41

11.二項式卜+：］的展開式中，x的系數(shù)為.

12.在平面直角坐標系中，直線3x+4y+3=0被圓(x-2y+(y+l)2=4截得的弦長為.

13.甲乙兩人射擊，每人射擊一次.已知甲命中的概率是0.8,乙命中的概率是0.7,兩人每次射擊是

否命中互不影響.設(shè)事件A為“兩人至少命中一次“，事件8為“甲命中”，則條件概率尸(川⑷的值

為.

14.已知函數(shù)〃x)="_bg'(二4)》>］則滿足/(x)<2的x的取值范圍是.

15.設(shè)次=(一2,4),OB=(-a,2),OC=(b,0),其中a>0,b>0,O為坐標原點，若A,B,C三

點共線，則2a+6=______,工+1的最小值為______.

ah

三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

TT

16.已知函數(shù)/Cx)=sin(2x——)-cos2x,xeR.

6

⑴求函數(shù)/(x)的最小正周期；

⑵求函數(shù)/(x)的對稱軸方程;

⑶求函數(shù)/(X)在［0創(chuàng)上的單調(diào)區(qū)間.

R+r

17.在銳角“5C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且csin-----=asinC.

2

(1)求角A的大??；

⑵若b=I,sinS=Y^,求邊c；

7

(3)在(2)的條件下，求cos(28+N)的值.

18.如圖，在四棱錐P-/88中，PA1底面ABCD,AWAB,4B//DC,AD=DC=AP=2,4B=1,

點E為棱PC的中點.

(1)求證：BE〃平面P4D；

(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

(3)求點C到平面PBD的距離.

19.已知函數(shù)/。)=2/-2》2+1.

⑴求曲線》=/(x)在點(1,./?⑴)處的切線方程;

(2)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(3)若函數(shù)g(x)=/(x)-b在區(qū)間［-1,1］上有一個零點，求實數(shù)/)的取值范圍.

20.設(shè)橢圓E：1+*=1(。>6>0)的左頂點為4左焦點為已知橢圓的離心率為過點力的

直線/與橢圓交于另一點8,且點C與點8關(guān)于x軸對稱(C與B不重合).若直線CF與直線/垂直,

1no

垂足為。，且△切力的面積5=黑.

(1)求直線/的斜率：

(2)求橢圓￡■的方程.

答案和解析

I.A

本題根據(jù)交集、補集的定義可得.容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.

【詳解】Q,X={-1,3},則?/加8={-1}

故選：A

易于理解集補集的概念、交集概念有誤.

2.B

分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.

【詳解】化簡不等式，可知0<x<5推不出卜-1|<1；

由|x-l|<l能推出0<x<5,

故-5x<0”是“Ix-11"的必要不充分條件,

故選B.

本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡不等式，由集合的關(guān)系來判斷條件.

3.B

【分析】先判斷x>0時函數(shù)“X)的單調(diào)性，即可判斷選項C,D；再判斷當(dāng)x<0時函數(shù)/(x)即可

判斷A,B,即可得答案.

【詳解】當(dāng)0<x<l時，/(x)=x+i,此時/.(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時，/(x)=x+^,此時/(x)在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增，

且x>0時，/(x)rai?=/(1)=2,

由此可知C,D選項中圖象錯誤；

當(dāng)x<0時，/(x)=-x+1,此時“X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

故選項A中圖象不合題意，

又〃T)=0,故B中圖象符合題意，

故選：B

4.C

【分析】由頻率分布直方圖可得低于60分的人的頻率，結(jié)合低于60分的人數(shù)即可求得答案.

【詳解】由頻率分布直方圖可得低于60分的人的頻率為20(0.005+0.010)=0.300,

由于低于60分的人數(shù)是15,則該班的學(xué)生人數(shù)是總=50,

0.300

故選：C

5.D

【分析】分別根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出”,瓦c三數(shù)的取值范圍，即可得答案.

【詳解】由題意得=6=3°8>3°=1,

0<c=0.321<0.3°=1，

故”<c<6,

故選：D

6.B

【分析】由已知中圓錐的底面半徑和高，求出圓錐的母線長，代入圓錐側(cè)面積公式，求出圓錐側(cè)面

積，利用球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等，可得答案.

【詳解】???圓錐的底面半徑，?=4,高h=3,

二圓錐的母線/=5,

，圓錐側(cè)面積S=nrl=20n,

設(shè)球的半徑為八則4兀戶=20兀，，廠=逐

故選艮

本題考查了圓錐側(cè)面積公式的應(yīng)用，熟練掌握各種旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，是解答的關(guān)鍵.

7.D

【分析】由其=72得到牝=8,代入公式求解即可.

【詳解】因為｛可｝是等差數(shù)列，S>=9("『)=9a5=72

所以%=8,又％=4,所以公差為d=牝=4,

al0=a4+6J=28,

故選：D.

8.A

【詳解】由題意得，雙曲線的焦距為10,即/+/=/=25，

又雙曲線的漸近線方程為y="nbx_ay=Q,點、P(2,l)在C的漸近線上，

所以“=26,聯(lián)立方程組可得小=乎：季二弓,

所以雙曲線的方程為占-仁=1.

205

考點：雙曲線的標準方程及簡單的幾何性質(zhì).

9.C

(A=2571

【分析】根據(jù)最值求得根據(jù)周期求得。=4,根據(jù)對稱軸可求得夕=-7叱"，從而

可求解.

f/+,一4

【詳解】因為最大值是4,最小值是。，所以_/+『，解得

因為最小正周期是WJT，所以2元臼=7T:，解得3=4,

2co2

因為直線工=。是其圖象的一條對稱軸，所以4xW+9=5+E,%eZ,

所以9=-學(xué)+E,%eZ,又因為夕>0,所以當(dāng)A=19=F，

66

所以所求解析式可能為V=2sin(4x+力+2.

故選：C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，即可求得答案.

……1-i(l-i)(3-4i)-l-7i17

【詳解】由題意得丁77=/,八/,八=X=一寶?一寶

3+41(3+41)(3-41)252525

11.10

【分析】由二項式定理求解即可.

【詳解】要(/+￡)中含有x的項，則需要在5項中選取2個V與3個一相乘,故含有x的項為

C；(x2>dy=10x,故x的系數(shù)為10

X

故答案為10.

本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用與其中某項的系數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題型.

12.2行

【分析】根據(jù)圓的垂徑定理，結(jié)合點到直線距離公式、勾股定理進行求解即可;

【詳解】設(shè)圓（工-2）~+（y+l）~=4的圓心為A,它的坐標為（2,T）,該圓的半徑為r=2,

圓心A到直線3x+4y+3=0的距離為：4[3,2：4'（-1）+3|=],

V32+42

所以弦長為：=24^=2拒，

故2月

40

13.—

47

【分析】根據(jù)對立事件的關(guān)系和獨立性可求得P（/）、P（4B）,再根據(jù)條件概率的計算公式即可求

解.

【詳解】尸（4）=1-P（7）=1-0.2X0.3=0.94,

P（^fi）=0.8x0.7+0.8x0.3=0.8,

尸(Z8)0.8=40

所以尸（劑/）=

P(A)-0S4-47'

故答案為.切

3

14.[-1,1]U[|,-HX））

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，分段解不等式，即可得答案.

【詳解】當(dāng)X41時，/（。）42即21—242/.1—工42,，>之—1,則

當(dāng)x>l時，/（X）42即l-k>g2（x-l）42,解得xz],即xz],

故滿足/（x）42的x的取值范圍是[7,1]嗚收），

3

故[-1,1]11弓,+8）

15.242+-

2

【分析】由題意求得益=（-。+2,-2）,刀=3+2,-4）,根據(jù)三點共線可得向量共線，利用向量共線

的條件可得2a+6的值，將工+!化為[d+：）（2a+6）,展開后利用基本不等式即可求得答案.

ab2ab

【詳解】由次=（-2,4）,OB=（-a,2）,云=0,0）可得冠=（—a+2,—2）,%=（6+2,T）,

由于A,B,C三點共線，故方=（一。+2,—2）,刀=（6+2,-4）共線,

所以(-〃+2)x(-4)-(-2)(6+2)=0,即2Q+6=2,

.1111L,、1bla..1_Ih2ar\2

則mi一+,=彳(z一+7)(勿+b)=q(-4—+3)>-(z2/+3)=72-H,

ab2ab2ab2\ab2

當(dāng)且僅當(dāng)2=半，結(jié)合2。+6=2,即°=2-&,6=2近一2時取等號,

ab

故2；-^2+—

2

16.⑴兀；

(2)x=g-^(keZ)；

(3)單調(diào)增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是［居,方.

【分析】(1)(2)(3)利用差角的正弦公式及輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即

得.

【詳解】(1)依題意，/.(x)=^sinZx-；cos2x-cos2x=^sin2x-}os2x=曲in(2x-,，

所以函數(shù)/(x)的最小正周期為r=g=〃.

(2)由(1)知，/(X)=A/3sin(2x-y),由2x-g=eZ,得x=^—^,keZ,

所以函數(shù)〃x)的對稱軸方程是x=(丘Z).

(3)由(1)知，/(x)=V3sin(2x-y),當(dāng)XG［O,今時,2*-9-早爭,

I7T.兀兀bnzn八//57r??！埂?27r&刀,口57t7T

由一§工2工一§45,解得O?xW丘,由5421一§<亍,^^—<x<-,

所以函數(shù)“X)在［0,自上的單調(diào)增區(qū)間是［0,軟單調(diào)遞減區(qū)間是電，自.

17.⑴/J

⑵<=T

⑶cos(2B+4)=七

A\

【分析】(1)由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求sin怖=；,根據(jù)角的范圍即可求解A

的值；

(2)由已知利用正弦定理可得。的值，由余弦定理可得4c2-4C-3=0,解方程可求。的值；

(3)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos8的值，利用二倍角公式可求sin28,cos28的值，利

用兩角和的余弦公式即可求解cos(28+Z)的值.

【詳解】(1)因為csin'；,〔=asinC,可得csin[^y^j=ccos：=asinC,

A

所以由正弦定理可得sinCcos—=sin/sinC,

2

又C為三角形內(nèi)角，sinCVO,

所以cos—=sin/=2sin—cos—,

222

因為Ne(0,?t),cosy>0,

所以sin《=1,可得==2,

2226

所以Y

(2)因為4=b=l,sinB=叵,

7

ah―/口b?sin4

所以由正弦定理,可得

sinAsinB

7

7i

由余弦定理/=b2+c2-2bccosA,可得^=1+。2-2xlxcx],

31

整理可得4c2_4c-3=0,解得0=7或-7(舍去)，

22

3

所以c==;

2

(3)由(2)可知。=立>/),所以6為銳角，則cos6=Jl-sin?B=，

27

所以sin25=2sinScos5=^H-,cos25=2cos2B-1=占,

77

litcos(2i5+A)=cos2BcosA-sinIBsinA.

18.(1)證明見解析

3

⑶至

3

【分析】(1)以A為原點建立空間直角坐標系，利用向量法證明線面平行;

(2)求出平面PBO的一個法向量，再由向量法求解；

(3)求出向量元=(1,2,0),再由向量法求解.

【詳解】(1)以點A為原點，AB,AD,4P分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.

可得"（0,0,0）,5（1,0,0）,C（2,2,0）,Z＞（0,2,0）,P（0,0,2）,

由E為棱PC的中點，得

向量礪=（0,1,1）,而=（1,0,0）,

故屁.方=0，

因為P/_L底面/BCD,48u底面/BCD,所以P4_L4B,

又因為力。工/民NDfl/尸=A,AD,/尸u平面尸4。，

所以平面尸4),即加為平面PZO的一個法向量，

又BEa面P4D，所以BE”平面P4D；

(2)向量麗=(-1,2,0),方=(1,0,-2),屁=(0,1,1).

-,、n-SD=0I-x+2y=0

設(shè)〃=x,y,z為平面P8D的法向量，則_,即

n-PB=0Ix-2z=0

令_y=l,則x=2,z=l,得3=(2,1,1)為平面尸8。的一個法向量，

/--z-z；\〃?BE2,\/3

所以"嗚=麗=而訪=7，

所以直線8E與平面尸8。所成角的正弦值為迫；

3

(3)向量反=(1,2,0),

則點C到平面PBD的距離d=隼F2=羋.

/7763

19.(1)2%一尸1=0

(2)單調(diào)遞增為(-8,0),g+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,|),極大值1,極小值2

【分析】(1)先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線的切線斜率，進而可求切線方程;

(2)結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系可求；

(3)結(jié)合(2)的單調(diào)性結(jié)合圖象即可求解.

【詳解】(1)/V)=6x2-4x,所以/'(1)=2,=

故曲線夕=/(x)在點(1,/。))處的切線方程y-l=2(x-l),即2x-y-l=0；

(2)由(1)可知，/,(^)=6X2-4X=2X(3X-2),

所以當(dāng)2或x<0時，/V)>0,當(dāng)0<］<：2時?，/V)<0,

所以函數(shù)的單調(diào)遞增為(-紇,0),(*+8)，單調(diào)遞減區(qū)間為(O，,)，

當(dāng)x=0時函數(shù)取得極大值/(0)=1,當(dāng)x=§2時，函數(shù)取得極小值/匕卜1引9

(3)令函數(shù)g(x)=/(x)-b=O,即〃x)=6,

所以函數(shù)g(x)=/(x)-b在區(qū)間［-1,1］上有一個零點，

等價于圖象/(x)與直線了=6在區(qū)間［7,1］上有一個交點.

由(2)可知，函數(shù)y=/(x)在卜1,0),(|」上遞增，在［0,1)上遞減，

且/(-1)=-3J⑴=1,

畫出圖象N=如下圖所示，

io

由圖可知，當(dāng)-346〈號時，圖象/（力與直線y=6在區(qū)間卜1』上有一個交點.

故實數(shù)6的取值范圍為-3,冬）.

3

20.⑴攵=±—；

4

哈

【分析】（1）由離心率得a=2c,b=&,設(shè)直線/的方程為y=k（x+2c）,求出B點