高中數(shù)學(xué)講義（人教A版必修二）：第21講 棱柱、棱錐、棱臺（教師版）

第21課棱柱'棱錐'棱臺

號目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.通過對實物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、棱臺

1.通過對實物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、的結(jié)構(gòu)特征.

棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征2理解棱柱、棱錐、2.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系.學(xué)會用連續(xù)變化的

棱臺之間的關(guān)系3能運用棱柱、棱錐、棱觀點，或者函數(shù)的思想找到他們之間的區(qū)別與聯(lián)系.

臺的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實生活中簡單幾何體3.在熟悉基本知識的基礎(chǔ)上，能運用棱柱、棱錐、棱臺

的結(jié)構(gòu)并進(jìn)行有關(guān)計算.的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實生活中簡單幾何體的結(jié)構(gòu)并進(jìn)行

有關(guān)計算，提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算能力.

四樂知識精講

知識點01空間幾何體、多面體、旋轉(zhuǎn)體的定義

1.空間幾何體：如果我們只考慮物體的形狀和大小,而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間

圖形就叫做空間幾何體.

2.多面體、旋轉(zhuǎn)體

類別多面體旋轉(zhuǎn)體

一條平面曲線（包括直線）繞它

所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)

由若干個平面多邊形圍成的幾

定義所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面,封

何體

閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做

旋轉(zhuǎn)體

4由----1

FE

A

)

圖形

F

1

面：圍成多面體的各個多邊形;

相關(guān)概念棱：相鄰兩個面的公共邊軸：形成旋轉(zhuǎn)體所繞的定直線

頂點：棱與棱的公共點

【即學(xué)即練1】有兩個面平行的多面體不可能是（）

A.棱柱B.棱錐C.棱臺D.以上都錯

答案B

解析由棱錐的結(jié)構(gòu)特征可得.

知識點02棱柱的結(jié)構(gòu)特征

1.棱柱的結(jié)構(gòu)特征

棱柱圖形及表示

定義：有兩個面互相壬且，其余各面都是圓E'D'

邊形,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相

側(cè)面J?底面

平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱側(cè)棱昵弘

相關(guān)概念：底面（底）：兩個互相平行的面;4鏟頂點

側(cè)面：其余各面；如圖可記作：棱柱

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊;ABCDEF—A'B'C

頂點：側(cè)面與底面的公共頂點D'E'F'

分類：按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……

2.幾個特殊的棱柱

（1）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱（如圖①③）;

（2）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱（如圖②④）；

（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱（如圖③）;

（4）平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體（如圖④）.

①④

反思感悟棱柱結(jié)構(gòu)的辨析方法

（1）扣定義：判定一個幾何體是不是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義.

①看“面”，即觀察這個多面體是否有兩個互相平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即觀察每

相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行.

（2）舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合，給予排除.

【即學(xué)即練2】下列關(guān)于棱柱的說法：

①所有的面都是平行四邊形；②每一個面都不會是三角形；③兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；④被平面

截成的兩部分可以都是棱柱.

其中正確的說法的序號是.

答案③④

解析①錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形.

②錯誤，棱柱的底面可以是三角形.

③正確，由棱柱的定義易知.

④正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱.

所以說法正確的序號是③④.

知識點03棱錐的結(jié)構(gòu)特征

棱錐圖形及表示

定義：有一個面是多邊形,其余各面都是有

一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的K頂點

多面體叫做棱錐

相關(guān)概念：底面（底）：多邊形面;

F底面

側(cè)面：有公共頂點的各個三角形面;AB

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊;如圖可記作：棱錐S—ABC。

頂點：各側(cè)面的公共頂點

分類：（1）按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……，其中三棱錐又叫四面體;

（2）底面是正多邊形,并且頂點與底面中心的連線垂直工底面的棱錐叫做正棱錐

【即學(xué)即練3］（多選）下列說法中，正確的是（）

A.棱錐的各個側(cè)面都是三角形

B.四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面

C.棱錐的側(cè)棱平行

D.有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐

答案AB

解析由棱錐的定義，知棱錐的各個側(cè)面都是三角形，故A正確；四面體就是由四個三角形所圍成的幾何

體，因此四面體的任何一個面都可以作為三棱錐的底面，故B正確；棱錐的側(cè)棱交于一點，不平行，故C

錯.棱錐的側(cè)面是有一個公共頂點的三角形，故D錯.

知識點04棱臺的結(jié)構(gòu)特征

棱臺圖形及表示

定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,

底面和截面之間的部分叫做棱臺

A絡(luò)關(guān)上底面

相關(guān)概念：上底面：平行于棱錐底面的截面；側(cè)面先縱側(cè)棱

七人底面

下底面：原棱錐的底面;\B

頂點

側(cè)面：其余各面；

如圖可記作：棱臺

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；

ABCD—A'B'CD'

頂點：側(cè)面與上（下）底面的公共頂點

分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐

截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺

【即學(xué)即練4】（多選）下列說法錯誤的是（）

A.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的多面體是棱錐

B.有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

C.如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐

D.如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體

答案ABC

解析有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，

即其余各面的三角形必須有公共的頂點，故A錯誤；棱臺是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得的，

而有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體有可能不是棱臺，因為它的側(cè)棱長延長后不一定交于

一點，故B錯誤；當(dāng)棱錐的各個側(cè)面的共頂點的角之和是360。時，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個棱錐不可

能為六棱錐，故C錯誤；若每個側(cè)面都是長方形，則說明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長方形，符合長方

體的定義，故D正確.

能力拓展

考法01棱柱的結(jié)構(gòu)特征

【典例1］如圖所示，長方體ABC。一A1B1C1O1，M,N分別為棱AbBi,GA的中點.

①這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？

②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符

號表示；如果不是，請說明理由.

解①是棱柱，并且是四棱柱，因為以長方體相對的兩個面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，

且四條側(cè)棱互相平行，符合棱柱的定義.

②截面BCNM右上方部分是三棱柱BBM—CGN,左下方部分是四棱柱ABMAi—DCNDi.

【變式訓(xùn)練】下列命題中正確的是（）

A.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.棱柱中互相平行的兩個面叫棱柱的底面

C.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形

D.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

答案D

考法02棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征

【典例2】有下列四種敘述：

①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；

②兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；

③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；

④棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點.

其中正確的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

答案B

解析①中的平面不一定平行于底面，故①錯；由棱臺的定義知，④正確；②③可用反例去檢驗，如圖所

示，側(cè)棱延長線不能相交于一點，故②③錯.

反思感悟判斷棱錐、棱臺的方法

(1)舉反例法

結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接排除關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些不正確說法.

⑵直接法

棱錐棱臺

定底面只有一■個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面

看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點

【變式訓(xùn)練】下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：

①棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；

②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.

其中正確說法的序號是.

答案①②

解析①正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形;

②正確，由四個平面圍成的封閉圖形是四面體也就是三棱錐;

③錯誤，如圖所示的四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題

1.下列命題：

①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；

②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；

③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；

④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【詳解】①如圖1,滿足有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形，

圖1

顯然不是棱柱，故①錯誤；

②如圖2,滿足兩側(cè)面A8瓦4與底面垂直，但不是直棱柱，②錯誤;

③如圖3,四邊形AC￡A為矩形,

即過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯誤；

④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因為兩底面不一定是正方形，④錯誤.

故選：A

2.一個棱錐所有的棱長都相等，則該棱錐一定不是（）

A.正三棱錐B.正四棱錐C.正五棱錐D.正六棱錐

【答案】D

【詳解】因為正六變形的中心到底面頂點的距離等于邊長，

所以正六棱錐的側(cè)棱必大于底面棱長，

故選：D.

3.如圖是一個正方體的表面展開圖，則圖中"0"在正方體中所在的面的對面上的是（）

C.高D.考

【答案】C

【詳解】解：將展開圖還原成正方體可知，"0"在正方體中所在的面的對面上的是"高”,

故選:C.

4.某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的最長棱的長度為（）

【答案】C

【詳解】由三視圖可知，該四棱錐為正四棱錐，正方形底面的邊長為府門彳可=2

側(cè)棱長為J（應(yīng)了+2?=#,即最長棱的長度為后

故選：C

5.如圖所示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是（）

A.一個棱柱中截去一個棱柱

B.一個棱柱中截去一個圓柱

C.一個棱柱中截去一個棱錐

D.一個棱柱中截去一個棱臺

【答案】C

【詳解】圖中的幾何體為一個棱柱截去一個角，截去的角是一個棱錐.

故選C.

6.棱臺不具備的特點是（）

A.兩底面相似B.側(cè)面都是梯形

C.側(cè)棱長都相等D.側(cè)棱延長后都交于一點

【答案】C

【詳解】根據(jù)棱臺的定義知，棱臺底面相似，側(cè)面都是梯形，側(cè)棱延長后都交于一點，

但是側(cè)棱長不一定相等，

故選：C

7.下列判斷正確的是（）

A.正三棱錐一定是正四面體

B.底面是正方形的四棱錐是正四棱錐

C.底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱

D.底面是正方形的棱臺是正四棱臺

【答案】C

【詳解】正三棱錐不一定是正四面體，側(cè)棱長與底面邊長可能不相等，故A錯誤；

底面是正方形的四棱錐不一定是正四棱錐，頂點在底面的射影不一定是底面的中心，故B錯誤；

由正四棱住的概念可知，底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，故C正確；

底面是正方形的棱臺不一定是正四棱臺，原因是棱臺的側(cè)棱延長后的交點在兩底面的射影不一定為正方形

的中心，故D錯誤.

故選：C

8.過棱錐的高的兩個三等分點，分別作與底面平行的兩個平行截面，則自上向下的兩個截面與底面的面積

之比是（）.

A.1:2:3B.1：&：0C,1:4:9D.1:3:5

【答案】C

【詳解】如圖所示：當(dāng)棱錐為三棱錐時，易知APEIAPFC,相似比為1:2:3,

則包:P/:PC=1:2:3,

易知/XPKLAPHIAPBC,KL:HI:BC=1:2:3,

同理〃：G/:AC=1:2:3,JK:GH:AB=1:2:3,故AJKLAGHIAABC,

相似比為1:2:3,故面積比為1:4:9,

當(dāng)棱錐為〃棱錐，〃24時，可以看成是多個三棱錐的組合體，面積比不改變.

綜上所述：兩個截面與底面的面積之比是1:4:9.

故選：C.

9.三棱錐P—ABC中，PA=PB=AB=?,PC=a,AC=b,BC=c，若三角形PAC和尸5c都是等腰直角

三角形，則a,b,。可能的不同取值有（）

A.1種B.2種C.3種D.至少4種

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意可畫簡圖如下,，為等邊三角形，且PAC.都是等腰直角三角形，分類討論如下:

①已41.尸（7,尸4=/^=&時，PC=PA=PB=?，此時.依C中，NBPC=90°

所以，AC=V2PC=2,BC=y/2PB=2

此時，a=A/2,b=2,c=2;

②/<4,47,24=47=應(yīng)時，PC=0AC=2,止匕時P3C中，

/尸3。=90。,此時BC=PB=yf2,此時。=y/2,b=&,c=應(yīng)；

③AC_LPC,AC=PC時，AC=PC=1,此時.PBC中，

ZBCP=90°,此時BC=PC=1,此時a=五,b=l,c=l

所以a,b,c的取值有3種不同情況.

故選：C.

二、多選題

10.下列說法中正確的是（）

A.長方體是直四棱柱

B.兩個面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺

C.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形

D.平行六面體不是棱柱

【答案】AC

【詳解】長方體是直四棱柱，A正確；

兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體，

當(dāng)側(cè)棱延長后不交于同一點時，就不是棱臺，B錯；

正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，C正確；

平行六面體一定是棱柱，D錯.

故選：AC.

11.一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一個截面，則截面的圖形可能是（）

A.B.C.

【答案】ABC

【分析】根據(jù)正方體截面過外接球球心，討論截面是否過頂點及所過頂點個數(shù)、是否與側(cè)面平行，即可判

斷截面圖形的元素.

【詳解】當(dāng)過球心的截面不平行于側(cè)面且不過頂點時，截面圖形為A；

當(dāng)過球心的截面平行于一對側(cè)面時，截面圖形為C；

當(dāng)過球心的截面過其中4個頂點，則截面圖形為圓中含一個長方形，B正確，D錯誤.

故選：ABC

三、填空題

12.關(guān)于棱柱，下列說法正確的是.（選填序號）

①所有的棱長都相等；②相鄰兩個面的交線叫做側(cè)棱；③棱柱中任意兩個側(cè)面都不可能互相平行；④棱

柱中至少有兩個面的形狀完全相同；⑤在斜棱柱的所有側(cè)面中，矩形最多有2個.

【答案】④⑤

【分析】依據(jù)棱柱的定義和分類去判斷即可解決.

【詳解】①棱柱的所有的側(cè)棱長都相等，所有的棱長不一定相等.判斷錯誤；

②相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱，相鄰兩個面的交線可能是底面的邊.判斷錯誤；

③正四棱柱中相對的兩個側(cè)面互相平行.判斷錯誤；

④棱柱的兩個底面全等，則棱柱中至少有兩個面的形狀完全相同.判斷正確；

⑤在斜棱柱的所有側(cè)面中，最多互相平行的兩個側(cè)面可以是矩形，則矩形最多有2個.判斷正確；

故答案為：④⑤

13.下列說法中，正確的個數(shù)為.

（1）有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；

（2）有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；

（3）底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；

（4）棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐.

【答案】0

【分析】根據(jù)棱錐的概念可判斷（1）;根據(jù)棱臺的概念可判斷（2）；根據(jù)正三棱錐的概念可判斷（3）;根

據(jù)正六棱錐的側(cè)棱長一定大于底面邊長可判斷（4）.

【詳解】對于（1）,棱錐的定義是：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些

面所圍成的幾何體叫做棱錐，故錯誤；

對于（2）,有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體不一定是棱臺，只有當(dāng)四個等腰梯形的

腰延長后交于一點時，這個六面體才是棱臺，如圖1,側(cè)棱延長線可能不交于一點，故錯誤；

對于（3）,底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，只有當(dāng)三棱錐的頂點在

底面的射影是底面中心時，才是正三棱錐，不一定是正三棱錐，故錯誤；

對于（4）,因為正六棱錐的底面是正六邊形，側(cè)棱在底面內(nèi)的射影與底面邊長相等，所以正六棱錐的側(cè)棱

長一定大于底面邊長，故錯誤.

故答案為：0.

14.面數(shù)最少的棱柱為棱柱，共有個面圍成.

【答案】三5

【詳解】棱柱有相互平行的兩個底面，其側(cè)面至少有3個，故面數(shù)最少的棱柱為三棱柱，

共有5個面圍成.

故答案為：三，5

四、解答題

15.已知一個直四棱柱的底面邊長為5cm的正方形，側(cè)棱長都是8cm,回答下列問題:

⑴這個直四棱柱一共有幾個面？幾個頂點？幾條棱？

（2）將這個直四棱柱的側(cè)面展開成一個平面圖形，這個圖形是什么形狀？面積是多少？

【答案】（1）6個面，8個頂點，12條棱

（2）是長方形，160cn?

【分析】（1）由直四棱柱的特征即可得出答案.

（2）由直四棱柱的特征可知側(cè)面展開圖為長方形，求出長方形面積即可.

【詳解】（1）由直四棱柱的特征可知直四棱柱一共有6個面，8個頂點，12條棱.

（2）將直四棱柱的側(cè)面展開是一個長方形.長方形的寬為直四棱柱的側(cè)棱長，所以寬為8cm,長為直四棱柱

的底邊邊長的四倍，即5x4=20（cm）,所以長為20cm,所以側(cè)面展開圖面積為8x20=160（加2）

題組B能力提升練

一、單選題

1.下列說法錯誤的是（）

A.一個棱柱至少有5個面B.長方體、正方體都是棱柱

C.三棱柱的側(cè)面是三角形D.六棱柱有6條側(cè)棱、6個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形

【答案】C

【詳解】選項A：一個棱柱至少有5個面.判斷正確;

選項B：長方體、正方體都是棱柱.判斷正確；

選項C：三棱柱的側(cè)面是平行四邊形.判斷錯誤；

選項D：六棱柱有6條側(cè)棱、6個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形判斷正確.

故選：C

【答案】C

【詳解】一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體

叫做棱錐，

顯然①②④滿足棱錐定義，③不滿足棱錐定義，

所以①②④是棱錐，③不是棱錐.

故選：C

3.下列命題正確的是（）

A.有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

C.有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱

D.棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形

【答案】C

【詳解】有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體，A錯；

有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體如圖所示，B錯；

棱柱的側(cè)面不一定是全等的平行四邊形，D錯；

由棱柱的定義，C正確.

故選：c.

4.如圖所示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是（）

A.一個棱柱中截去一個棱柱

B.一個棱柱中截去一個圓柱

C.一個棱柱中截去一個棱錐

D.一個棱柱中截去一個棱臺

【答案】C

【詳解】圖中的幾何體為一個棱柱截去一個角，截去的角是一個棱錐.

故選C.

【點睛】本題考查空間幾何體的組成，難度較易.

5.如圖，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法師為保存經(jīng)卷佛像而主持修建的，是我國現(xiàn)存最早的

四方樓閣式磚塔.塔頂可以看成一個正四棱錐，其側(cè)棱與底面所成的角為45。，則該正四棱錐的一個側(cè)面與

底面的面積之比為（）

D,走

r布

34

【答案】D

【詳解】塔頂是正四棱錐P-ABCD,如圖，尸0是正四棱錐的高，設(shè)底面邊長為“，底面積為

AO=^^a,APAO=45°,PA=y/2x^-a=a,_上48是正三角形，面積為

2224

所以

14

故選：D.

6.下列判斷正確的是（）

A.正三棱錐一定是正四面體

B.底面是正方形的四棱錐是正四棱錐

C.底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱

D.底面是正方形的棱臺是正四棱臺

【答案】C

【詳解】正三棱錐不一定是正四面體，側(cè)棱長與底面邊長可能不相等，故A錯誤；

底面是正方形的四棱錐不一定是正四棱錐，頂點在底面的射影不一定是底面的中心，故B錯誤；

由正四棱住的概念可知，底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，故C正確；

底面是正方形的棱臺不一定是正四棱臺，原因是棱臺的側(cè)棱延長后的交點在兩底面的射影不一定為正方形

的中心，故D錯誤.

故選：C

7.下列說法正確的是（）

A.有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.過空間內(nèi)不同的三點，有且只有一個平面

C.棱錐的所有側(cè)面都是三角形

D.用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺

【答案】C

【詳解】如下圖，兩個三棱柱合在一起，仍然滿足有兩個面平行，其余各面都是四邊形，但它不是棱柱，A

錯；

當(dāng)空間三點共線時，過這三點有無數(shù)個平面，B錯；

根據(jù)棱錐的定義，C正確；

用一個與底面平行的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體才叫棱臺，不是任意平面都能截

出棱臺的，D錯.

故選：C.

8.已知正四棱柱中，2A4,=3AB=12,點/是線段8片的中點，點N是線段上靠近。

的三等分點，若正四棱柱A3。-被過點4,M,N的平面所截，則所得截面的周長為（）

A.10+8夜B.10+7返C.9+8應(yīng)D.9+7直

【答案】B

【詳解】解：作出圖形如圖所示.

延長QC至。使得CQ=1,連接MQ,NQ,則截面四邊形&WQN為平行四邊形;

記M。與BC交于點R,N。與CD交于點、P,

則AN=40,AtM=5,

MR=打+3?=3五,NP=J”+百=gm=/+號］=|）

故所得截面的周長為4M+MR+H?+PN+AN=5+3^+g+T）+4應(yīng)=io+7VL

故選：B.

9.如圖，在正方體A3a5-a4GA中，E是棱CG的中點，則過三點A、D1、E的截面過（

W

4B

A.A8中點B.BC中點

C.C。中點D.中點

【答案】B

【詳解】取5c的中點P,連接所，AF,如圖，

"三;」。

AB

則EF//AD},

所以尸在截面上，

故選：B

二、多選題

10.如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（）（多選）

OAA多

①②③④

A.①是棱臺B.②是圓臺C.③是棱錐D.④是棱柱

【答案】CD

【詳解】題圖①中的幾何體不是由棱錐被一個平面所截得到的，

且上、下底面不是相似的圖形，所以不是棱臺；

題圖②中的幾何體上、下兩個面不平行，所以②不是圓臺；

圖③中的幾何體是三棱錐；

題圖④中的幾何體前、后兩個面平行，其他面都是平行四邊形，

且每相鄰兩個平行四邊形的公共邊都互相平行，所以④是棱柱.

故選:CD.

11.下列命題錯誤的是（）

A.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形

B.用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺

C.四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面

D.棱臺的側(cè)棱延長后交于一點，側(cè)面是等腰梯形

【答案】ABD

【詳解】棱柱的側(cè)棱都相等，但側(cè)面不一定是全等的平行四邊形，A錯誤；

用一個平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分才是棱臺，B錯誤;

四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面，C正確；

棱臺的側(cè)棱延長后交于一點，但側(cè)面不一定是等腰梯形，D錯誤.

故選：ABD.

三、填空題

12.①直四棱柱一定是長方體；②正方體一定是正四棱柱；③底面是正多邊形的棱柱是正棱柱；④有相

鄰兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；⑤平行六面體的六個面均為平行四邊形；⑥直棱柱的側(cè)棱長與高相

等.以上說法中正確的命題有.

【答案】②④⑤⑥

【詳解】①側(cè)棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是長方形的直四棱柱才是長方體.

底面如果不是長方形，則該直四棱柱不是長方體，故①錯誤；

②上、下底面都是正方形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方體是正四棱柱，但正四棱柱

不一定是正方體，故②正確；

③底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，底面是正多邊形且側(cè)棱與底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故③錯誤;

④有兩個相鄰的側(cè)面是矩形，說明側(cè)棱與底面兩條相交直線垂直，則側(cè)棱與底面垂直，

所以，有相鄰兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱，故④正確；

⑤底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，而棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，故⑤正確；

⑥直棱柱的側(cè)棱垂直于底面，因此側(cè)棱長與高相等，故⑥正確.

故答案為：②④⑤⑥

四、解答題

13.已知正六棱柱ABCDM-A耳G2g居的底面邊長為右，側(cè)棱長為1,則動點從A沿側(cè)面移到點2時的

最短的路程是多長？

【答案】2幣.

【詳解】將正六棱柱側(cè)面展開，只需展開一半，即可求得A與R之間的距離.如圖所示:

貝=（3X6）2所以叫=.

I]=AD2+DD2+1=28,

即動點從A沿側(cè)面移到點2時的最短路程為

題組C培優(yōu)拔尖練

一、單選題

1.下列關(guān)于棱臺的說法中錯誤的是（）

A.所有的側(cè)棱所在直線交于一點

B.只有兩個面互相平行

C.上下兩個底面全等

D.所有的側(cè)面不存在兩個面互相平行

【答案】C

【詳解】由棱臺的定義可知：

A.所有的側(cè)棱所在直線交于一點，正確；

B.只有兩個面互相平行，就是上、下底面平行，正確；

C.棱臺的上下兩個底面不全等，故C不正確；

D.所有的側(cè)面不存在兩個面互相平行，正確.

故選：C.

2.側(cè)面都是矩形的棱柱一定是（）

A.長方體B.三棱柱C.直平行六面體D.直棱柱

【答案】D

【詳解】側(cè)面都是矩形的棱柱，只需側(cè)棱和底面垂直，即側(cè)面都是矩形的棱柱一定是直棱柱.

故選：D

3.在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是邊長為布-0的正方形，S.PA=PB=PC=PD=2.若點E、F、

G分別為棱尸3、PC、尸￡＞上的動點（不包含端點P）,則AE+EF+FG+G4的最小值為（）

A.2B.272C.26D.4

【答案】C

【詳解】把四棱錐P-ABCD沿E4展開，得到如圖所示圖形：

AE+砂+FG+G4的最小時，點瓦尸6與4A共線時，所以求AE+EF+FG+G4的最小值即求A4,的長

度，

因為%=依=2,=#-夜，

所以在.AB尸中，結(jié)合余弦定理得cosAPB=4產(chǎn)+BPiB。力,所以NAP2=g,因為

2x2x226

27r

ABP=-BCP==CDP=DA'P,所以/APA'=—,

3

在，A/W中，AA1P^+PA2-2PA-PA-cosZAPA

=^22+22-2X2X2X^-1^|

=2g,

故選：C.

4.如圖是一個正方體展開圖，把展開圖折疊成正方體后"抗"字一面相對面上的字是（）

【答案】C

【詳解】將展開圖折疊成正方體可得"擊"字與"冠"字相對，"抗"字與"病"字相對，"新"字與"毒"字相對,

故選：C.

5.如圖所示是一個正方體，它的展開圖可能是下面四個展開圖中的（）

6

8

【答案】A

【詳解】由原正方體的特征可知，含有4,6,8的數(shù)字的三個面一定相交于一點，而選項B,C,D中,經(jīng)過折

疊后與含有4,6,8的數(shù)字的三個面一定相交于一點不符.

故選：A

6.己知正四棱柱4GR中，2AA=3AB=12,點M是線段8月的中點，點N是線段上靠近。

的三等分點，若正四棱柱A3CD-AqG2被過點A，M,N的平面所截，則所得截面的周長為（）

A.10+80B.10+7應(yīng)C.9+80D.9+7近

【答案】B

【詳解】解：作出圖形如圖所示.

延長CC至。，使得CQ=1,連接M。，NQ,則截面四邊形AMQN為平行四邊形;

記M。與BC交于點R,NQ與CD交于點、P,

則AN=4五，$M=5,

MR=V32+32=3A/2'稗:[+[：[='，=\2=3'

故所得截面的周長為4加+MR+PR+PN+AN=5+3y[2+—+—+4y/2—10+7A/2.

故選：B.

7.直三棱柱ABC-A瓦￡的底面是以C為直角的等腰直角三角形，且AC=CC=1,在面對角線BG上存在

一點P使P到耳和P到A的距離之和最小，則這個最小值是（）

小

A.2B.1+A/2C.D.夜;"

【答案】D

【詳解】因為直三棱柱ABC-A4G的底面是以C為直角的等腰直角三角形，且AC=CQ=1,

所以AB=AC1=3G=,又WBG是等腰直角三角形，B&=Bg=1,

把ABQ和BHG所在平面沿8G攤平得四邊形AB4G，如圖,A片是這個四邊形的對稱軸,

相=個而\”也即為所求最小值.

故選：D.

AiG

區(qū)

用A

BB

二、多選題

8.下列關(guān)于棱柱的說法中不正確的是（）

A.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它一定不是矩形

B.棱柱的一條側(cè)棱的長叫作棱柱的高

C.棱柱的兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面

D.棱柱的所有面中，至少有兩個面互相平行

【答案】ABC

【詳解】A.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，所以可以是矩形，例如直棱柱，故不正確；

B.在直棱柱中，側(cè)棱的長叫做棱柱的高，不是直棱柱，側(cè)棱的長不叫做棱柱的高，故錯誤；

C.棱柱中，也有可能存在兩個側(cè)面互相平行，故錯誤；

D.棱柱中，上下底面一定平行，所以至少有兩個面互相平行，故正確.

故選：ABC

9.已知正方體ABC。-ABiGR中，設(shè)與對角線AG垂直的平面a截正方體表面所得截面多邊形記為

則關(guān)于多邊形M的說法正確的是（）

A.M可能為正三角形B.M可能為正方形

C.若M為六邊形，則面積為定值D.若M為六邊形，則周長為定值

【答案】AD

【詳解】對于A,M為，4刀。知M能為正三角形

對于B,截面要么與正方體的三個面相截，要么與正方體的六個面相截，從而截面為三角形或六邊形知B

錯誤

對于C,D,當(dāng)截面M為六邊形EFGH〃時，如圖，

由于截面Aa9與截面E"汨〃都與直線AG垂直，因此它們平行，它們與正方體的在同一表面上交線必平

行，

如GH//&B,FF//BD,同理G尸〃2（,

設(shè)正方棱長a.

EF_EF_CFFGFGBF

,詬一而一詬，且前一而一前

EF、FGCP?BFCF+2F\]

"-Jias/2a~BCBC~BC一

EF+FG=42a，同理=y/2a,IJ+JE=缶，

所以M為六邊形時周長為30a為定值，但六邊形變形時面積不為定值，當(dāng)2EG,”,1,J為各棱中點時面

積最大為在力,當(dāng)截面向平面42。靠攏時，同8。是其極限位置，但，4》。的面積與最大值不相

42

同，C錯，D正確

故選：AD.

三、填空題

10.如圖，位于山西省朔州市應(yīng)縣佛宮寺內(nèi)的釋迦