2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市常熟市高二（上）暑期調(diào)查數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市常熟市高二（上）暑期調(diào)查數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合S={s\s=2幾+l/nGZ},T=（t\t=4n+l,n6Z],則Sn71=（）

A.0B.SC.TD.Z

2.己知命題p：Vx<0,x2>0,則p的否定是（）

A.Vx<0,x2<0B.Vx<0,x2<0

C.Bx<0,x2<0D.3%<0,x2<0

3.在空間中，Z,6是不重合的直線，a,￡是不重合的平面，則下列說法正確的是（）

A.若1uQ,mc/?,a〃￡,則〃/m

B.若l〃m,mu/3,則〃〃

C.若a10,an/3=mf11m,貝〃J,夕

D.若1_La,l//m,a]",則m_L￡

4.函數(shù)y=（2"-2-"）s沅%在[一兀,利的圖象大致為（）

A.^AB-^ADB.^AD-^ABC.-|ADD.

6.己知sin(a+1)=I，ae(一曙)，則sina的值為()

A3-4UB3+4/3c3-2CD3+2C

--lb---io-_io--10―

7.古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的逆差》是中國最早的一部測量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基

礎(chǔ).現(xiàn)根據(jù)劉徽的健差》測量一個球體建筑物的高度，已知點4是球體建筑物與水平地面的

接觸點(切點)，地面上B,C兩點與點4在同一條直線上，且在點4的同側(cè).若在B,C處分別測

得球體建筑物的最大仰角為60。和20。，且BC=100m,則該球體建筑物的高度約為()

____________2產(chǎn)T、-c

AB

A25o50C25c50

A?而加B?麗加C?訴MD?標”

8.在四面體48C0中，已知二面角4-BD-C為直二面角，/.BAD=90°,乙CBD=45°,AB=

AD=g設(shè)AC=t(t>0).若滿足條件的四面體ABC。有兩個，則t的取值范圍是()

3

A.(0,V-3)B.(0,1)C.(<3,3)D.(|,凡

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是()

A.i+i2+i3+i4=0

B.3+i>1—i

若z=(l+2i)2,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第四象限

D.已知復(fù)數(shù)z滿足：|z—2i|=3,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為圓

10.袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,從中有放回地依次

隨機摸出2個球，甲表示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件”第一次取出的球

的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字都是偶數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的

球的數(shù)字之和為6"，則()

A.甲與乙是對立事件B.甲與乙是互斥事件C.丙與丁相互獨立

D.甲與丁相互獨立

11.若定義在R上的奇函數(shù)/(X)滿足/(x)=f(2-x),且當X6(0,1］時，/(x)=x,則()

A.y=f(x+1)為偶函數(shù)B./0)在(3,5)上單調(diào)遞增

C.八》)在(—3,—1)上單調(diào)遞增D./'(x)的最小正周期T=4

12.如圖，若正方體力口^^一久為如久的棱長為2,點M是正方

體在側(cè)面8CC1B1上的一個動點(含邊界)，點P是44］的中點，則

下列結(jié)論正確的是()

A.三棱錐P-DAM的體積為定值

B.四棱錐P-BDQBi外接球的半徑為卑

4

C.若1DP,則41M的最大值為247

D.若D1MJ.DP,則41M的最小值為誓

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

1+,05

13.計算：，0。312+2^-log34=.

14.若圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為與，半徑為2的扇形，則這個圓錐表面積為.

15.請寫出一個定義域不是R,但值域為R的奇函數(shù)：/(x)=.

16.在銳角三角形4BC中，已知25勿244-sin2B=2sin2C,則tanCtanA=，ItanA+

ItanB+ItcmC的最小值是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

己知復(fù)數(shù)z=(m-1)+(771+l)i(mG/?).

(1)若z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第二象限，求小的取值范圍；

(2)若z為純虛數(shù)，設(shè)z3,z2-z在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為4,B,求向量而在向量旗上的投

影向量的坐標.

18.(本小題12.0分)

某企業(yè)為了深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，組織全體120位黨員開展“學(xué)習(xí)二十大，爭當領(lǐng)

學(xué)人”黨史知識競賽，所有黨員的成績均在［75,100］內(nèi)，成績分成5組，按照下面分組進行統(tǒng)

計分析：第1組［75,80),第2組［80,85),第3組［85,90),第4組［90,95),第5組［95,100］,并繪

制成頻率分布直方圖如圖所示，按比例分配的分層抽樣的方法在第3,4,5組共選取6人作為

企業(yè)“二十大精神”的宣傳使者.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計黨員成績的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；

(2)若從6位宣傳使者中隨機選取兩人參加宣傳活動，求第3組中至多有一人被選中的概率.

19.(本小題12.0分)

1

已知函數(shù)/'(x)=l^sin(3x+w)+1-2cos2(笑(3>0,0<<乃)為奇函數(shù)，且/'(%)圖

象的相鄰兩對稱軸間的距離為宏

(1)求/(X)的解析式及單調(diào)減區(qū)間；

(2)將函數(shù)“為的圖象向右平移著個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的白縱坐標不變)，得到

函數(shù)y=g(x)的圖象，當x6|—2今時，求方程g2(x)+3，與-g(x)+6=0的所有根之和.

20.(本小題12.0分)

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知AABC面積為「，。為BC的中點，且

AD=1.

⑴若乙4CC=求tanB；

(2)若爐+c?=8,求b,c.

21.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，PAl.WABCD,AD//BC,AD1CD,B.AD=CD=2,BC=4,

PA=

(1)求證：AB1PC；

(2)已知M為線段P。上一點，若與平面4BC。所成角的正切值為攀，試確定M點位置；并

求此時二面角M-AC-。的大小.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)y=-l(a>0,QH1)過定點4,且點/在函數(shù)f(x)=ln(x+t)(tGR)的圖象上,

g(x)=x2—2e，(”).

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)若定義在區(qū)間(1,2)上的函數(shù)y=/(%)+ln(2x-k)有零點，求整數(shù)k的值；

(3)設(shè)m>0,若對于任意Xe[^m],都有g(shù)(x)<-ln(m-1),求m的取值范圍.

答案和解析

I.【答案】c

【解析】【分析】

本題考查集合的包含關(guān)系，以及交集運算，屬于基礎(chǔ)題.

首先判斷集合T中任意元素都是集合S的元素，從而得出集合T是集合S的子集，然后即可求它們的

交集.

【解答】

解：因為當neZ時，集合7中任意元素t=4n+1=2,(2n)+16S

所以7些S,于是snr=T.

故答案選：C.

2.【答案】D

【解析】解：因為命題p：Vx<0,x2>0,所以p的否定是mx<0,%2<0.

故選：D.

根據(jù)含有量詞的命題否定方法來求解.

本題考查含有量詞的命題否定，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：若，ua,mu0,a/悻,貝弘〃m或I與zn異面，故A錯誤；

若〃/m,mu4則，〃/?或故B錯誤；

若a18,aCt/S-m,11m,則/u口或，〃0或，與￡相交，相交也不一定垂直，故C錯誤；

若11a,l//m,則m_La,又a〃B,則ml。，故。正確.

故選：D.

由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個選項得答案.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思

維能力，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】4

【解析】解：/(—x)=(2~x—2x)sin(—%)=(2X—2~x')sinx=f(x),

則/'(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除B,

當0<尤<?1■時，f(無)>0,排除D,

當OCX〈卵寸，/(x)為增函數(shù)，排除C,

故選：A.

判斷函數(shù)的奇偶性，對稱性以及單調(diào)性，利用排除法進行求解即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用排除法是解決本題的關(guān)

鍵.難度中等.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了向量的運算，考查了平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

由圖利用平面向量的基本定理表示出向量前，利用向量的線性運算，求解即可.

【解答】

解：在平行四邊形4BC。中，力E=/D,G為EF的中點，

DG=DF+FG=."+桿E=辦8+*尸D+DE)=辦8+*一〃8+/E-4D)=冢8+

-AD}=^AB-^AD,

故選：A.

6.【答案】A

【解析】解：因為sin(a+》=|,a￡(—與電，

所以cos(a+與)=/，

mil.?,1717T、1./7T、y/~3/I7T、1、，3>T3、,43-4x/-3

Lisina=sin(a+---)=-sm(a+-)--cos(a4--)=-x--—x-=———?

。。乙。乙。乙DX\J

故選：A.

結(jié)合同角平方關(guān)系先求出cos(a+9=￡然后結(jié)合兩角差的正弦公式可求.

本題主要考查了同角基本關(guān)系及兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：如圖所示：設(shè)球的半徑為R，貝露8=￡加60。/?=/可R，

Ar_R_R

~tan(|zC)一￡即10°'

R-100_100sinl0°

BC=-------?-CR=100=>/?

tan101coslO0—y[~3sinl00

tan10

100sinl0°

2s譏(30°-10°)

50sinl0025

-2sinl0°cosl0°-cosl0°

所以2R=能?

根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合正弦的二倍角公式、輔助角公式進行求解即可.

本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，是中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：由二面角A-BD-C是直二面角，乙BAD=90°,/.CBD=45°,

AB=AD,取BD的中點M,連接AM,

過M作MNJLBC,連接AN.

由4MlBD,可得4MJ?平面BCD,AN1BC,

則cos“BDcosWBC=翳.器=翳=cos乙4BC,

即有cosNABC=cos45°cos45°=1

設(shè)BC=a(a>0),在△4BC中，由余弦定理可知/=a2+3-<^a,即a?—+3-t?=o,

滿足條件的四面體ABC。有兩個,

所以a有兩個正根,

所以篁京+。44。，所以te（|,q）.

故選：D.

由面面垂直的性質(zhì)，推得N4BC=60°,再由三角形的余弦定理，結(jié)合條件和二次方程實根的分布,

解不等式可得所求取值范圍.

本題考查面面垂直的性質(zhì)和三角形的余弦定理，以及二次方程的根的個數(shù)，考查轉(zhuǎn)化思想和運算

能力，屬于中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：對于41+12+戶+產(chǎn)=2—i—t+i=0,故A正確；

對于B,兩個虛數(shù)不能比較大小，故8錯誤；

對于C,z=(1+2i)2=-3+4i,

則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(-3,4)位于第二象限，故C錯誤；

對于D,設(shè)z=a+bi,(a,beR),

v|z-2i|=3,

二a?+(b-2)2=9,表示以(0,2)為圓心，3為半徑的圓，故。正確.

故選：AD.

對于A，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解；

對于8,結(jié)合虛數(shù)不能比較大小，即可求解；

對于C,D,結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BD

【解析】解：設(shè)甲、乙、丙、丁事件分別對應(yīng)4,B,C,D,則P(4)=|,P(F)=I，P(C)=1x|=去，

丁包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),

則P(D)=羨=4p(e)=￡=4p?)=短=4

對于4、B,顯然甲乙事件不能同時發(fā)生，又PQ4)+P(B)="1,則A錯誤，B正確，

對于C,尸(CD)=嘏,P(C)-P(。)=羨則P(CD)#P(C)?P(D),則C錯誤，

對于D,PQW)=*,P(4).P(D)=￡則P(4D)=P(4)?P(D),故。正確.

故選：BD.

先求出事件對應(yīng)的概率，再由互斥事件的概念及概率和是否為1判斷人B選項，再由獨立事件的

概率公式判斷C、。選項即可.

本題主要考查互斥事件、對立事件的定義，以及相互獨立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABD

【解析】解：由f(x)=/(2—x)得函數(shù)/(為的圖象關(guān)于x=1對稱，

函數(shù)-X+1)的圖象是由函數(shù)/(x)的圖象向左平移一個單位長度得到的，

所以函數(shù)f(x+l)的圖像關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)f(x+l)是偶函數(shù)，故A正確：

由f(x)=/(2-x)得f(r)=/(2+x)=-/(X),

所以/(4+x)=f(x),f(x)的最小正周期為4,故以正確;

當xe(0,1]時，/(%)=x,因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以當Xe[—1,0)時,/(X)=X,且f(o)=o,

所以f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，

因為f(x)的最小正周期T=4,

所以“X)在(3,5)上單調(diào)遞增，在(一3,-1)上單調(diào)遞減，故B正確，C錯誤.

故選：ABD.

由"%)=/(2-％)可得函數(shù)圖象關(guān)于尤=1對稱，通過圖象的平移判斷選項4正確；由函數(shù)為奇函

數(shù)結(jié)合/(X)=/(2—x),可得函數(shù)的周期為4,判斷選項力正確；由x6(0,1]時，/(%)=%,結(jié)合

函數(shù)的奇偶性和對稱性，可得函數(shù)的單調(diào)性，判斷出8正確，C錯誤.

本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查函數(shù)奇偶性與周期性，考查運算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：

對于4,三棱

錐P-

的體

積為

V三棱錐P-OD1M

因為點P是24的中點，所以△PDQ的面積是定值，且點M到平面POD1的距離是正方體的棱長，

所以三棱錐P-OD1M的體積為定值，選項A正確；

對于8,過點P作PQ1平面8。5名，交平面于點Q,

則四棱錐P-BDDiBi外接圓的圓心0在直線PQ上，且Q為矩形8。。1品的交點，

22

設(shè)外接球的半徑為R，則BDi=J22+(2C=2/3,D[Q=C，PD1=V2+l=V-5-

所以PQ=J(<5)2-(V-3)2=yj~2>

△OQDi中，0Q2+QO；=。步，即(R_q)2+(q)2=R2,解得R=I%=手，選項8正

確；

對于C,過點P作PK_LBBi，則點K是BBi的中點，連接KC,取BC的中點N,

連接NCrAM4G，

則KC〃PD,GN1KC,DiG，平面BBiGC,所以D】G1KC,

又DiGn5M=Dr,所以KC_L平面DiG“，所以KC1GM,

所以點M的軌跡是線段QN,

22

在中，41G=2。，C、N=JNC2+CC：=底,ArN=yjAA^+AB+BN=3-

所以的最大值為3,選項C錯誤；

對于D,在AaiCiM中，cos4&NCi=笠華與手工=?，

所以sin乙4/Ci=J1-（一/=手，

所以點4到C】N的距離為d=ArN-sinz/V=3x=巧三

所以的最小值為修，選項。正確.

故選：ABD.

三棱錐P-0D1M的體積為三棱錐M-PODi的體積，由底面積和高是定值判斷選項4求出四棱

錐P-BDDiBi的外接球的半徑即可判斷選項B；過點P作PK1BBi，則點K是SB1的中點，連接KC,

取BC的中點N,連接NG，AiN,&G，由線面垂直的判定和性質(zhì)得點M的軌跡是線段GN,解4

41G"，能求出的最大值和最小值，由此判斷選項CD.

本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了點到平面的距離、線面垂直的判定和性質(zhì)應(yīng)用問題，

以及運算求解能力，是中檔題.

13.【答案】11

1+,05,05

【解析】解：log312+2^-log34=log3^+2x2^=1+2x5=11.

故答案為：1L

根據(jù)給定條件，利用對數(shù)運算、指數(shù)運算求解作答.

本題考查的知識要點：對數(shù)的運算，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

14.【答案】喀聞

9

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)圓錐底面半徑為r,扇形的弧長為

因為/=|與|x2=與=2nrf所以r=|,

所以S側(cè)=nrl=7Tx|x=等,

「「，287r247r8n2+4n

S圓錐=$側(cè)+nr=—+y=-g-?

故答案為：卑物.

根據(jù)題意，設(shè)圓錐底面半徑為r,扇形的弧長為/,利用弧長公式、圓錐的側(cè)面積公式計算可得答

案.

本題考查圓錐的表面積計算，涉及圓錐的側(cè)面展開圖，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】tan#(答案不唯一)

【解析】解：,."(X)=tanx的定義域為{x|xHk兀+eZ},不是R,值域為R,且滿足/(-x)=

-/(x),即f(x)=tanx為奇函數(shù),

符合題意，

故答案為：tanx(答案不唯一).

/(x)=tanx,分析其定義域與值域及其奇偶性，可得答案.

本題考查函數(shù)的奇偶性、定義域、值域等性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】3132

【解析】解：因為2sin2a+siMB=ZsiMc,

所以由正弦定理得2a2+/=2c2,

又因為由余弦定理可得a2=/+-2bccosA,

可得3b=4ccosA,

再由正弦定理得3sinB=AsinCcosA,

則3(sinAcosC+cosAsinC)=4sinCcosA,可得=3,

所以tan8=—tan(A+C)=tanA+tanC_4tanA

tanAtanC-13tan2A-lJ

所以焉+焉+焉

1,3tan2A-1,1

tanA4tanA3tanA

313

=-rtanA+

412tanA

313

4X12

手，當且僅當tanA=3時取等號.

所以高+焉+熹的最小值為手.

故答案為：3；空

由己知條件結(jié)合正弦定理和余弦定理即可求出鬻=3,再利用兩角和的正切三角函數(shù)公式求出

tanB,然后利用基本不等式即可求出答案.

本題考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換以及基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查

了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

17.【答案】解：(l)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為(小一1,巾+1),

因為點(機一1,巾+1)位于第二象限，所以｛：；；；,解得一1<粗<1，

所以m的取值范圍為(—1,1)；

(2)因為z為純虛數(shù)，所以解得血=1，

所以z=21,所以爐=(2i)3=-83z2=(2i)2=—4,z2—z=-4—2i,

由復(fù)數(shù)幾何意義知：OA=(0,-8)，OB=(-4,-2)，

所以|甌cos畫，畫.贏=常赤=9(-4,_2)=(一披，一臺,

即向量方?在向量方上的投影向量的坐標為(-號

【解析】(1)根據(jù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第二象限的特征進行求解即可；

(2)根據(jù)純虛數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方運算法則、投影向量的定義進行求解即可.

本題考查復(fù)數(shù)及其幾何意義，復(fù)數(shù)的基本運算，投影向量的概念，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)因為0.01X5+0.07X5+0.06X5=0.7<0.8,0.01x5+0.07X5+0.06x

5+0.04x5=0.9>0.8,

所以第80百分位數(shù)落在［90,95)內(nèi)，設(shè)其為X,

則0.7+(x-90)x0.04=0.8,

解得久=92.5,

即第80百分位數(shù)為92.5；

(2)因為第3,4,5組的頻率之比為3：2：1,

所以按比例分配的分層抽樣的方法在第3,4,5組共選取6人作為企業(yè)“二十大精神”的宣傳使者,

則第3組抽取3人，記為4,B,C,第4組抽取2人，記為1,2,第5組抽取1人，記為a,

從6位宣傳使者中隨機選取兩人，所有基本事件為：

AB,AC,Al,A2,Aa,BC,Bl,B2,Ba,Cl,C2,Ca,12,la,2a,共15個，

其中第3組中至多有一人被選中的基本事件有：AB,AC,Al,A2,Aa,BC,Bl,B2,Ba,Cl,

C2,Ca,共12個,

所以所求概率為P=^|=今

【解析】(1)根據(jù)百分位數(shù)的定義求解；

(2)由分層抽樣可知，第3組抽取3人，第4組抽取2人，第5組抽取1人，再利用古典概型的概率公

式求解.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：⑴由題意可知，函數(shù)/'(x)=，3sin(o)x+。)-cos(3X+R)=2sin(a)x4-(p一看)，

又因為函數(shù)/'(x)為奇函數(shù)，所以可得0-荽="，fceZ,

又3G(0,7T),解得0=

因為函數(shù)/'(為圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為今

可得周期T=薔=兀，由3>0可得3=2.

故函數(shù)/(%)=2sin2x.

令2卜江+<2%<2kn+.,kEZ,

可得單調(diào)減區(qū)間為出兀+不時+竽，k&Z.

(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移款單位長度，可得y=2sin(2x*)的圖象，

再把橫坐標縮小為原來的報得到函數(shù)y=g(x)=2sin(4x-今.

由方程g2(%)+3V~~3-g(%)+6=0得g(x)=或g(%)=-2，3,

BPsin(4x-f)=或sin(4x_,=一，3(舍)；

當XW［一睛］時，4x冶片］,

所以4%一號=一空或一號或等或券；

即方程有四個實數(shù)根，不妨設(shè)為%1，小，右，

口1*4日A兀,7i.7i27r/7T、47r57ro

口J得4與--+4X2一§+鈦3一§+以4-§=—-+(一?+彳+彳=2兀.

所以%1+%2+%3+%4=也

故所有根之和為母.

6

【解析】(1)利用三角恒等變換將函數(shù)f(x)化簡可得f(x)=2sin(3x+s-J再函數(shù)性質(zhì)可求得

解析式，根據(jù)整體代換可求出單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)由三角函數(shù)平移規(guī)則可知g(x)=2sin(4x-^),再根據(jù)三角函數(shù)值域以及方程的根可求出方程

g2(x)+3V-3'g(x)+6=0的所有根之和為胡.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的圖象的平移變換，主

要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1))。為BC中點，SAABC=C，

則SZMCD=?，

過4作AEJ.BC,垂足為E,如圖所示：

△力DE中，DE=^,4E=孕，S"CD=1孕C。=?，解得CC=2,

乙LLLL

???BD=2,BE=|,

故tcmB=等=子=?；

BE15

2

(2)4。=久48+/。)，

而2=+匕2+2bcCOSAy

AD=1,h24-c2=8,

則1=：(8+2bccos4),

???bccosA=-2①，

SAABC=^bcsinA=^VbcsinA=②'

由①②解得S7L4=—

A.=—27r,

???be=4,又b?4-c2=8,

-c-2.

【解析】（1）根據(jù)已知條件，推得邑ACO=U，過4作4E_LBC,垂足為E,依次求出4E,BE,即

可求解;

（2）根據(jù)已知條件，求得而=*四+前），兩邊同時平方，再結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.

本題主要考查三角形中的幾何計算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

21.【答案】（1）證明：AD〃BC,4D1CD,AD=

???四邊形ABC。是直角梯形，AC=2<7.

過點4作垂足為〃點，

則四邊形4DCH為正方形.

:.AH=2,BH=BC-CH=2,

AB2=AH2+BH2=22+22=8,

故AS?+4。2=16=BC?,^ABA.AC.

乂24_L平面ABCD,ABu平面ABCD,二PALAB.

V.PAOAC=A,且PA,ACu平面PAC,4BJ_平面PAC,

又PCu平面PAC,AB1PC；

(2)解：過點M作MN14。于點N,連接8N,

???PA!_平面ABC。，ADu平面力BCD,/.PAA.AD,

MN,尸4u平面PAD,MN//PA,

PALAB,■-■MNLAB,

又ABC40=4AB,4。u平面ABC。，

???MN_L平面ABC。，

則NMBN為BM與平面4BCD所成的角.

設(shè)4N=x(0WxW2),則ND=2-工，M/V=^(2-x)>BN=V(2+x)2+4.

￥(2-X)

由tan/MBN=罌得Ip=

BN4。(2+X)2+4

解得x=1或x=當（舍去），于是M為P。的中點.

過點N作NG，4?于點G,連接MG,

???MN1平面ABC。，4Cu平面/BCD,.-.MN1AC,

又MNCNG=N,MN,N