備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)突破第2講 一元二次方程（題型突破+專題精練）（含答案與解析）

第第頁(yè)→?題型突破←→?專題精練←題型一一元二次方程的解1．判定下列方程是否關(guān)于x的一元二次方程：

(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．題型二解一元二次方程2．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）用配方法解方程時(shí)，配方后正確的是（

）A． B． C． D．4．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）已知方程的根為，則的值為_(kāi)___________．5．（2022·四川涼山）解方程：x2－2x－3＝0題型三一元二次方程根的判別式6．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程根的情況為（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．不能判定7．（2022·浙江溫州）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是（

）A．36 B． C．9 D．8．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程根的判別式的值是（

）A．33 B．23 C．17 D．9．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程根的情況，下列說(shuō)法中正確的是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定10．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根11．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么a的取值范圍是________．12．（2020·湖北中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若，求k的值．13．（2020·廣西玉林·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根是a，b，求的值．14．（2020·湖北隨州·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求的值．15．（2022·四川南充）已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍．(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，若，求k的值．考向四含參問(wèn)題16．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．17．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且18．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_________．19．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是_____________．20．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程兩根的倒數(shù)和為1，則m的值為_(kāi)__________．21．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）若是關(guān)x的方程的解，則的值為_(kāi)__________．22．（2022秋·北京東城·九年級(jí)景山學(xué)校校考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______．23．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，則實(shí)數(shù)_________．24．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，用配方法解方程．題型五根與系數(shù)關(guān)系25．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程的兩根為，則的值為（

）A． B． C．3 D．26．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于的一元二次方程的根的情況是（）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)的取值有關(guān)27．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．1628．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）若是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C． D．29．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知、是方程的兩根，則代數(shù)式的值為_(kāi)________．30．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）若a、b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為_(kāi)________．31．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）已知a、b是方程的兩根，則___________．32．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，若，則實(shí)數(shù)_____________．33．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求m的值．34．（2019·湖北黃石·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根.（1）求的取值范圍.（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，且，求的值.35．（2019·四川南充·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根.（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)m=2時(shí)，方程的根為，求代數(shù)式的值.題型六一元二次方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用36．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國(guó)居民人均可支配收入分別為3.2萬(wàn)元和3.7萬(wàn)元．設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．37．（2022·新疆）臨近春節(jié)的三個(gè)月，某干果店迎來(lái)了銷售旺季，第一個(gè)月的銷售額為8萬(wàn)元，第三個(gè)月的銷售額為11.52萬(wàn)元，設(shè)這兩個(gè)月銷售額的月平均增長(zhǎng)率為x，則根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B． C． D．38．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（

）

A． B． C．或 D．39．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位個(gè)．設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，可列方程為_(kāi)__________．40．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）某校截止到年底，校園綠化面積為平方米．為美化環(huán)境，該校計(jì)劃年底綠化面積達(dá)到平方米．利用方程想想，設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，則依題意列方程為_(kāi)_________．41．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于6cm2？（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于8cm2？說(shuō)明理由．42．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛(ài)圖書(shū)的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購(gòu)買書(shū)籍．已知2020年該學(xué)校用于購(gòu)買圖書(shū)的費(fèi)用為5000元，2022年用于購(gòu)買圖書(shū)的費(fèi)用是7200元，求年買書(shū)資金的平均增長(zhǎng)率．43．（2022·四川眉山）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬(wàn)元，2021年投入資金1440萬(wàn)元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率；(2)2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬(wàn)元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長(zhǎng)率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？44．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）隨旅游旺季的到來(lái)，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬(wàn)人，4月份游客人數(shù)為2.5萬(wàn)人．(1)求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；(2)預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會(huì)繼續(xù)增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)率不會(huì)超過(guò)前兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬(wàn)人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬(wàn)人？45．（2019·遼寧鐵嶺·中考真題）小李在景區(qū)銷售一種旅游紀(jì)念品，已知每件進(jìn)價(jià)為6元，當(dāng)銷售單價(jià)定為8元時(shí)，每天可以銷售200件．市場(chǎng)調(diào)查反映：銷售單價(jià)每提高1元，日銷量將會(huì)減少10件，物價(jià)部門規(guī)定：銷售單價(jià)不能超過(guò)12元，設(shè)該紀(jì)念品的銷售單價(jià)為x（元），日銷量為y（件），日銷售利潤(rùn)為w（元）．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）要使日銷售利潤(rùn)為720元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（3）求日銷售利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)．46．（2019·山東東營(yíng)·中考真題）為加快新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某公司決定對(duì)近期研發(fā)出的一種電子產(chǎn)品進(jìn)行降價(jià)促銷，使生產(chǎn)的電子產(chǎn)品能夠及時(shí)售出，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：這種電子產(chǎn)品銷售單價(jià)定為元時(shí)，每天可售出個(gè)；若銷售單價(jià)每降低元，每天可多售出個(gè)．已知每個(gè)電子產(chǎn)品的固定成本為元，問(wèn)這種電子產(chǎn)品降價(jià)后的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，公司每天可獲利元？47．（2020·遼寧丹東·中考真題）某服裝批發(fā)市場(chǎng)銷售一種襯衫，襯衫每件進(jìn)貨價(jià)為50元，規(guī)定每件售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每月的銷售量（件）與每件的售價(jià)（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：售價(jià)（元/件）606570銷售量（件）140013001200（1）求出與之間的函數(shù)表達(dá)式；（不需要求自變量的取值范圍）（2）該批發(fā)市場(chǎng)每月想從這種襯衫銷售中獲利24000元，又想盡量給客戶實(shí)惠，該如何給這種襯衫定價(jià)？（3）物價(jià)部門規(guī)定，該襯衫的每件利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的30%，設(shè)這種襯衫每月的總利潤(rùn)為（元），那么售價(jià)定為多少元可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？48．（2020·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）閱讀理解：材料一：若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x，y，z滿足：只要其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個(gè)實(shí)教x，y，z構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.材料二：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為，，則有，．問(wèn)題解決：（1）請(qǐng)你寫(xiě)出三個(gè)能構(gòu)成“和諧三數(shù)組”的實(shí)數(shù)；（2）若，是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a，b，c均不為0)的兩根，是關(guān)于x的方程bx+c=0(b，c均不為0)的解．求證：x1，x2，x3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；（3）若A(m，y1)，B(m+1，y2)，C(m+3，y3)三個(gè)點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，且三點(diǎn)的縱坐標(biāo)恰好構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，求實(shí)數(shù)m的值．49．（2022·四川涼山）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝；x1x2＝．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．50．（2022·山西·中考真題）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程根的情況我們知道，一元二次方程的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象（稱為拋物線）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．拋物線與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、無(wú)交點(diǎn)．與此相對(duì)應(yīng)，一元二次方程的根也有三種情況：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、無(wú)實(shí)數(shù)根．因此可用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定一元二次方程根的情況下面根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（，）和一元二次方程根的判別式，分別分和兩種情況進(jìn)行分析：（1）時(shí)，拋物線開(kāi)口向上．①當(dāng)時(shí)，有．∵，∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)．∴頂點(diǎn)在x軸的下方，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖1）．②當(dāng)時(shí)，有．∵，∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)．∴頂點(diǎn)在x軸上，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（如圖2）．∴一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．③當(dāng)時(shí)，……（2）時(shí)，拋物線開(kāi)口向下．……任務(wù)：(1)上面小論文中的分析過(guò)程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（從下面選項(xiàng)中選出兩個(gè)即可）；A．?dāng)?shù)形結(jié)合B．統(tǒng)計(jì)思想C．分類討論．D．轉(zhuǎn)化思想(2)請(qǐng)參照小論文中當(dāng)時(shí)①②的分析過(guò)程，寫(xiě)出③中當(dāng)時(shí)，一元二次方程根的情況的分析過(guò)程，并畫(huà)出相應(yīng)的示意圖；(3)實(shí)際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識(shí)也可以用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)，例如：可用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)一元一次方程的解．請(qǐng)你再舉出一例為

→?題型突破←→?專題精練←題型一一元二次方程的解1．判定下列方程是否關(guān)于x的一元二次方程：

(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【解析】(1)經(jīng)整理，得它的一般形式

(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，

其中，由于對(duì)任何實(shí)數(shù)a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：

對(duì)任何實(shí)數(shù)a，它都是一個(gè)一元二次方程．

(2)經(jīng)整理，得它的一般形式

(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，

其中，當(dāng)m≠1且m≠-1時(shí)，有m2-1≠0，它是一個(gè)一元二次方程；當(dāng)m=1時(shí)方程不存在，

當(dāng)m=-1時(shí)，方程化為4x=0，它們都不是一元二次方程．

【總結(jié)】對(duì)于含有參數(shù)的一元二次方程，要十分注意二次項(xiàng)系數(shù)的取值范圍，在作為一元二次方程進(jìn)行研究討論時(shí)，必須確定對(duì)參數(shù)的限制條件．如在第(2)題，對(duì)參數(shù)m的限定條件是m≠±1．

例如，一個(gè)關(guān)于x的方程，若整理為(m-4)x2+mx-3=0的形式，僅當(dāng)m-4≠0，即m≠4時(shí)，才是一元二次方程(顯然，當(dāng)m=4時(shí)，它只是一個(gè)一元一次方程4x-3=0)．又如，當(dāng)我們說(shuō)：“關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”時(shí)，實(shí)際上就給出了條件“a-1≠0”，也就是存在一個(gè)條件“a≠1”．由于這個(gè)條件沒(méi)有直接注明，而是隱含在其他的條件之中，所以稱它為“隱含條件”．題型二解一元二次方程2．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法，熟練掌握配方法的基本步驟是解題的關(guān)鍵．3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）用配方法解方程時(shí)，配方后正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)配方法，先將常數(shù)項(xiàng)移到右邊，然后兩邊同時(shí)加上，即可求解．【詳解】解：移項(xiàng)得，兩邊同時(shí)加上，即∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）已知方程的根為，則的值為_(kāi)___________．【答案】6【分析】解方程，將解得的代入即可解答．【詳解】解：，對(duì)左邊式子因式分解，可得解得，，將，代入，可得原式，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川涼山）解方程：x2－2x－3＝0【答案】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【詳解】解：，，或，或，故方程的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、換元法等）是解題關(guān)鍵．題型三一元二次方程根的判別式6．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程根的情況為（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．不能判定【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得，根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程中，，∴，∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式的意義，熟練掌握一元二次方程根的判別式的意義是解題的關(guān)鍵．7．（2022·浙江溫州）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是（

）A．36 B． C．9 D．【答案】C【分析】根據(jù)判別式的意義得到，然后解關(guān)于c的一次方程即可．【詳解】解：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴解得故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的跟與的關(guān)系，關(guān)鍵是分清楚以下三種情況：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．8．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程根的判別式的值是（

）A．33 B．23 C．17 D．【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判別式求出答案．【詳解】解：∵，，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的根的判別式，正確記憶公式是解題關(guān)鍵．9．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程根的情況，下列說(shuō)法中正確的是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判別式即可得．【詳解】解：，其中，，，∴，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．10．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】對(duì)于，當(dāng),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng),方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，,方程沒(méi)有實(shí)根，根據(jù)原理作答即可．【詳解】解：∵，∴，所以原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．11．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么a的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴，解得：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．12．（2020·湖北中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若，求k的值．【答案】(1)；(2)【分析】(1)根據(jù)建立不等式即可求解；(2)先提取公因式對(duì)等式變形為，再結(jié)合韋達(dá)定理求解即可．【解析】解：(1)由題意可知，，整理得：，解得：，∴的取值范圍是：．故答案為：．(2)由題意得：，由韋達(dá)定理可知：，，故有：，整理得：，解得：，又由(1)中可知，∴的值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、韋達(dá)定理、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．13．（2020·廣西玉林·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根是a，b，求的值．【答案】（1）k>-1；（2）1【分析】（1）根據(jù)?>0列不等式求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b、ab的值，然后代入所給代數(shù)式計(jì)算即可.【解析】解：（1）由題意得?=4+4k>0，∴k>-1；（2）∵a+b=-2，ab=-k，∴====1.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式與根的關(guān)系，以及根與系數(shù)的關(guān)系，若x1，x2為方程的兩個(gè)根，則x1，x2與系數(shù)的關(guān)系式：，．14．（2020·湖北隨州·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）求出△的值即可證明；（2），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入，得到關(guān)于m的方程，然后解方程即可．【解析】（1）證明：依題意可得故無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：由，得，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式證明根的情況以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?，x1x2=．15．（2022·四川南充）已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍．(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，若，求k的值．【答案】(1)k；(2)k=3【分析】根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，將等式左側(cè)展開(kāi)代入計(jì)算即可得到k值．【解析】(1)解：∵一元二次方程有實(shí)數(shù)根．∴?0，即32-4（k-2）0，解得k(2)∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，∴，∵，∴，∴，解得k=3．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，熟練掌握一元二次方程有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考向四含參問(wèn)題16．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．17．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】由于關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知，且，據(jù)此列不等式求解即可．【詳解】解：由題意得，，且，解得，，且.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．18．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_________．【答案】【分析】若一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式，建立關(guān)于k的不等式，解不等式即可得出答案．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式．一元二次方程的根與有如下關(guān)系：（1）?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．19．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是_____________．【答案】m＞-1【分析】根據(jù)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到＞0，解不等式即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得＞0，解得m＞-1；故答案為m＞-1．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的判別式，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握判別式和方程根之間的關(guān)系：當(dāng)＞0時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)=0時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)＜0時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根．20．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程兩根的倒數(shù)和為1，則m的值為_(kāi)__________．【答案】2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【詳解】解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別為a，b，由題意得：，，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，檢驗(yàn)：，∴符合題意，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）若是關(guān)x的方程的解，則的值為_(kāi)__________．【答案】2019【分析】將代入方程，得到，利用整體思想代入求值即可．【詳解】解：∵是關(guān)x的方程的解，∴，即：，∴；故答案為：2019．【點(diǎn)睛】本題考查方程的解，代數(shù)式求值．熟練掌握方程的解是使等式成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋·北京東城·九年級(jí)景山學(xué)校?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______．【答案】k＜1．【分析】由方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=，解得：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則△=”是解答本題的關(guān)鍵.23．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，則實(shí)數(shù)_________．【答案】3【分析】利用一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根求出m的取值范圍，由根與系數(shù)關(guān)系得到，代入，解得的值，根據(jù)求得的m的取值范圍，確定m的值即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，∵，，∴，解得（不合題意，舍去），∴故答案為：3.【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．24．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，用配方法解方程．【答案】(1)且；(2)，【分析】（1）根據(jù)題意，可得，注意一元二次方程的系數(shù)問(wèn)題，即可解答，（2）將代入，利用配方法解方程即可．【詳解】（1）解：依題意得：，解得且；（2）解：當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)椋海瑒t有：，，，方程的根為，．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)根的情況判斷參數(shù)，用配方法解一元二次方程，熟練利用配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．題型五根與系數(shù)關(guān)系25．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程的兩根為，則的值為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】先求得，，再將變形，代入與的值求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根為，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，牢記，是解決本題的關(guān)鍵．26．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于的一元二次方程的根的情況是（）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)的取值有關(guān)【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式求出，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．27．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，然后即可確定兩個(gè)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程兩根為，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握此關(guān)系是解題關(guān)鍵．28．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）若是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得．【詳解】解：方程中的，是方程的兩個(gè)根，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．29．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知、是方程的兩根，則代數(shù)式的值為_(kāi)________．【答案】【分析】根據(jù)、是一元二次方程的兩個(gè)根，則有，求解即可．【詳解】解：由題意得，原式．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了韋達(dá)定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．30．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）若a、b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為_(kāi)________．【答案】2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，由此即可得到答案．【詳解】解：∵a、b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于一元二次方程，若是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．31．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）已知a、b是方程的兩根，則___________．【答案】【分析】利用一元二次方程的解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，可得，從而得到，然后代入，即可求解．【詳解】解：∵a，b是方程的兩根，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．32．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，若，則實(shí)數(shù)_____________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得出，代入已知等式，即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，∴∵，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．33．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求m的值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)或【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系，只要判定即可得到答案；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，整體代入得到求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：關(guān)于的一元二次方程，∴，，，∴，∵，即，∴不論為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：∵，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∵，∴，∴，整理，得，解得，，∴m的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的情況與判別式關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟記一元二次方程判別式與方程根的情況聯(lián)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．34．（2019·湖北黃石·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根.（1）求的取值范圍.（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，且，求的值.【答案】（1）.（2）.【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，結(jié)合|x1-x2|=4可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解析】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有實(shí)數(shù)根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2；（2）∵方程x2-6x+（4m+1）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合|x1-x2|=4，找出關(guān)于m的一元一次方程．35．（2019·四川南充·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根.（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)m=2時(shí)，方程的根為，求代數(shù)式的值.【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）根據(jù)△≥0，解不等式即可；

（2）將m=2代入原方程可得：x2+3x+1=0，計(jì)算兩根和與兩根積，化簡(jiǎn)所求式子，可得結(jié)論．【解析】（1）△=∵原方程有實(shí)根，∴△=解得（2）當(dāng)m=2時(shí)，方程為x2+3x+1=0，∴x1+x2=-3，x1x2=1，

∵方程的根為x1，x2，∴x12+3x1+1=0，x22+3x2+1=0，

∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）=（x12+2x1+x1-x1）（x22+3x2+x2+2）=（-1-x1）（-1+x2+2）

=（-1-x1）（x2+1）=-x2-x1x2-1-x1=-x2-x1-2=3-2=1．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，根的判別式等知識(shí)，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．題型六一元二次方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用36．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國(guó)居民人均可支配收入分別為3.2萬(wàn)元和3.7萬(wàn)元．設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程即可．【詳解】設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．37．（2022·新疆）臨近春節(jié)的三個(gè)月，某干果店迎來(lái)了銷售旺季，第一個(gè)月的銷售額為8萬(wàn)元，第三個(gè)月的銷售額為11.52萬(wàn)元，設(shè)這兩個(gè)月銷售額的月平均增長(zhǎng)率為x，則根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)這兩個(gè)月銷售額的月平均增長(zhǎng)率為x，則第二個(gè)月的銷售額是萬(wàn)元，第三個(gè)月的銷售額為萬(wàn)元，即可得．【詳解】解：設(shè)這兩個(gè)月銷售額的月平均增長(zhǎng)率為x，則第二個(gè)月的銷售額是萬(wàn)元，第三個(gè)月的銷售額為萬(wàn)元，∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是能夠求出第二個(gè)月的銷售額和第三個(gè)月的銷售額．38．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（

）

A． B． C．或 D．【答案】A【分析】設(shè)小路寬為，則種植花草部分的面積等于長(zhǎng)為，寬為的矩形的面積，根據(jù)花草的種植面積為，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小路寬為，則種植花草部分的面積等于長(zhǎng)為，寬為的矩形的面積，依題意得：解得：，（不合題意，舍去），∴小路寬為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．39．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位個(gè)．設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，可列方程為_(kāi)__________．【答案】【分析】設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意列出一元二次方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，增長(zhǎng)率問(wèn)題，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．40．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）某校截止到年底，校園綠化面積為平方米．為美化環(huán)境，該校計(jì)劃年底綠化面積達(dá)到平方米．利用方程想想，設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，則依題意列方程為_(kāi)_________．【答案】【分析】設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，依題意列出一元二次方程即可求解．【詳解】解：設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，則依題意列方程為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．41．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于6cm2？（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于8cm2？說(shuō)明理由．【答案】（1）2或3秒；（2）不能.【解析】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒以后△PBQ的面積為6cm2，則×（5﹣x）×2x=6，整理得：x2﹣5x+6=0，解得：x=2或x=3．答：2或3秒后△PBQ的面積等于6cm2．（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒以后△PBQ面積為8cm2，則×（5﹣x）×2x=8，整理得：x2﹣5x+8=0，因?yàn)椤?25﹣32=﹣7＜0，所以此方程無(wú)解，故△PQB的面積不能等于8cm2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)“△PBQ的面積等于6cm2”，得出等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒鐘，△PBQ的面積等于6cm2，根據(jù)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，表示出BP和BQ的長(zhǎng)可列方程求解．（2）通過(guò)判定得到的方程的根的判別式即可判定能否達(dá)到8cm2．42．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛(ài)圖書(shū)的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購(gòu)買書(shū)籍．已知2020年該學(xué)校用于購(gòu)買圖書(shū)的費(fèi)用為5000元，2022年用于購(gòu)買圖書(shū)的費(fèi)用是7200元，求年買書(shū)資金的平均增長(zhǎng)率．【答案】【分析】設(shè)年買書(shū)資金的平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)2022年買書(shū)資金2020年買書(shū)資金建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設(shè)年買書(shū)資金的平均增長(zhǎng)率為，由題意得：，解得或（不符合題意，舍去），答：年買書(shū)資金的平均增長(zhǎng)率為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．43．（2022·四川眉山）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬(wàn)元，2021年投入資金1440萬(wàn)元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率；(2)2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬(wàn)元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長(zhǎng)率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？【答案】(1)20%(2)18個(gè)【分析】（1）先設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)2019年投入資金2021年投入的總資金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的資金年增長(zhǎng)率求出2022年的投入資金，然后2022年改造老舊小區(qū)的總費(fèi)用要小于等于2022年投入資金，列出不等式求解即可．【解析】(1)解：設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得：，解這個(gè)方程得，，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合本題要求．答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為20%．(2)設(shè)該市在2022年可以改造個(gè)老舊小區(qū)，由題意得：，解得．∵為正整數(shù)，∴最多可以改造18個(gè)小區(qū)．答：該市在2022年最多可以改造18個(gè)老舊小區(qū)．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的等量關(guān)系和相應(yīng)的不等關(guān)系，列出正確的方程和不等式．44．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）隨旅游旺季的到來(lái)，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬(wàn)人，4月份游客人數(shù)為2.5萬(wàn)人．(1)求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；(2)預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會(huì)繼續(xù)增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)率不會(huì)超過(guò)前兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬(wàn)人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬(wàn)人？【答案】(1)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為；(2)5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是1萬(wàn)人【分析】（1）設(shè)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬(wàn)人，根據(jù)題意，列出不等式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，由題意，得：，解得：（負(fù)值已舍掉）；答：這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為；（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬(wàn)人，由題意，得：，解得：；∴5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是1萬(wàn)人．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程和一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程和不等式，是解題的關(guān)鍵．45．（2019·遼寧鐵嶺·中考真題）小李在景區(qū)銷售一種旅游紀(jì)念品，已知每件進(jìn)價(jià)為6元，當(dāng)銷售單價(jià)定為8元時(shí)，每天可以銷售200件．市場(chǎng)調(diào)查反映：銷售單價(jià)每提高1元，日銷量將會(huì)減少10件，物價(jià)部門規(guī)定：銷售單價(jià)不能超過(guò)12元，設(shè)該紀(jì)念品的銷售單價(jià)為x（元），日銷量為y（件），日銷售利潤(rùn)為w（元）．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）要使日銷售利潤(rùn)為720元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（3）求日銷售利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)．【答案】（1）；（2）10元；（3）x為12時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)960元【分析】（1）根據(jù)題意得到函數(shù)解析式；（2）根據(jù)題意列方程，解方程即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：（1）根據(jù)題意得，，故y與x的函數(shù)關(guān)系式為；（2）根據(jù)題意得，，解得：，（不合題意舍去），答：要使日銷售利潤(rùn)為720元，銷售單價(jià)應(yīng)定為10元；（3）根據(jù)題意得，，，∴當(dāng)時(shí)，w隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，，答：當(dāng)x為12時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)960元．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的運(yùn)用，利用總利潤(rùn)=單個(gè)利潤(rùn)×銷售數(shù)量建立函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步利用性質(zhì)的解決問(wèn)題，解答時(shí)求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．46．（2019·山東東營(yíng)·中考真題）為加快新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某公司決定對(duì)近期研發(fā)出的一種電子產(chǎn)品進(jìn)行降價(jià)促銷，使生產(chǎn)的電子產(chǎn)品能夠及時(shí)售出，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：這種電子產(chǎn)品銷售單價(jià)定為元時(shí)，每天可售出個(gè)；若銷售單價(jià)每降低元，每天可多售出個(gè)．已知每個(gè)電子產(chǎn)品的固定成本為元，問(wèn)這種電子產(chǎn)品降價(jià)后的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，公司每天可獲利元？【答案】銷售單價(jià)為元時(shí)，公司每天可獲利元【分析】根據(jù)題意設(shè)降價(jià)后的銷售單價(jià)為元，由題意得到，則可得到答案.【解析】解：設(shè)降價(jià)后的銷售單價(jià)為元，則降價(jià)后每天可售出個(gè)，依題意，得：，整理，得：，解得：．，符合題意．答：這種電子產(chǎn)品降價(jià)后的銷售單價(jià)為元時(shí)，公司每天可獲利元．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.47．（2020·遼寧丹東·中考真題）某服裝批發(fā)市場(chǎng)銷售一種襯衫，襯衫每件進(jìn)貨價(jià)為50元，規(guī)定每件售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每月的銷售量（件）與每件的售價(jià)（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：售價(jià)（元/件）606570銷售量（件）140013001200（1）求出與之間的函數(shù)表達(dá)式；（不需要求自變量的取值范圍）（2）該批發(fā)市場(chǎng)每月想從這種襯衫銷售中獲利24000元，又想盡量給客戶實(shí)惠，該如何給這種襯衫定價(jià)？（3）物價(jià)部門規(guī)定，該襯衫的每件利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的30%，設(shè)這種襯衫每月的總利潤(rùn)為（元），那么售價(jià)定為多少元可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）與之間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）這種襯衫定價(jià)為每件70元；（3）價(jià)定為65元可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是19500元．【分析】（1）根據(jù)題意可以設(shè)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可求得y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)“總利潤(rùn)=每件商品的利潤(rùn)×銷售量”列出方程并求解，最后根據(jù)盡量給客戶實(shí)惠，對(duì)方程的解進(jìn)行取舍即可；（3）求出w的函數(shù)解析式，將其化為頂點(diǎn)式，然后求出定價(jià)的取值，即可得到售價(jià)為多少萬(wàn)元時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少．【解析】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，，解得，，∴與之間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）設(shè)該種襯衫售價(jià)為x元，根據(jù)題意得，（x-50）(-20x+2600)=24000解得，，，∵批發(fā)商場(chǎng)想盡量給客戶實(shí)惠，∴，故這種襯衫定價(jià)為每件70元；（3）設(shè)售價(jià)定為x元，則有：=∵∴∵k=-20＜0，∴w有最大值，即當(dāng)x=65時(shí)，w的最大值為-20（65-90）2+32000=19500（元）．所以，售價(jià)定為65元可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是19500元．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解答．48．（2020·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）閱讀理解：材料一：若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x，y，z滿足：只要其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個(gè)實(shí)教x，y，z構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.材料二：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為，，則有，．問(wèn)題解決：（1）請(qǐng)你寫(xiě)出三個(gè)能構(gòu)成“和諧三數(shù)組”的實(shí)數(shù)；（2）若，是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a，b，c均不為0)的兩根，是關(guān)于x的方程bx+c=0(b，c均不為0)的解．求證：x1，x2，x3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；（3）若A(m，y1)，B(m+1，y2)，C(m+3，y3)三個(gè)點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，且三點(diǎn)的縱坐標(biāo)恰好構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】（1），2，3（答案不唯一）；（2）見(jiàn)解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．【分析】（1）根據(jù)“和諧三數(shù)組”的定義可以先寫(xiě)出后2個(gè)數(shù)，取倒數(shù)求和后即可寫(xiě)出第一個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得答案；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出，然后再求出，只要滿足=即可；（3）先求出三點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1，y2，y3，然后由“和諧三數(shù)組”可得y1，y2，y3之間的關(guān)系，進(jìn)